1、4 简单计数问题简单计数问题 学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列 与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题 知识点一 两个计数原理 1分类加法计数原理(加法原理) 完成一件事，可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种方法，在第二类办法中有 m2种方 法，在第 n 类办法中有 mn种方法，那么，完成这件事共有 Nm1m2mn种方 法 2分步乘法计数原理(乘法原理) 完成一件事需要经过n个步骤， 缺一不可， 做第一步有m1种方法， 做第二步有m2种方法， ， 做第 n 步有 mn种方法，那么，完成这件事共有 Nm1m2mn种方法 3分
2、类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数它们的 区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以 完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了， 这件事才算完成. 知识点二 排列 1排列 从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从 n 个不同的元 素中任意取出 m 个元素的一个排列 2排列数 排列数定义及表示 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数， 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 Am n 排列数 公式 乘积式 Am nn(
3、n1)(n2)(nm1) 阶乘式 Am n n！ nm！(n，mN ，mn) 排列数的性质 Annn！ ；A0n1,0！1 知识点三 组合 1组合 一般地，从 n 个不同的元素中，任取 m(mn)个元素为一组，叫作从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个组合 2组合数 (1)组合数定义： 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数， 叫作从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n表示 (2)组合数公式 组合数 公式 乘积形式 Cm nA m n Am m nn1n2nm1 m！ 阶乘形式 Cm n n！ m！nm！ 备注 n，mN，且 mn，规定 C0
4、n1 特别提醒：1.排列组合综合题的一般解法 一般坚持先组后排的原则， 即先选元素后排列， 同时注意按元素性质分类或按事件的发生过 程分类 2解决有限制条件的排列、组合问题的一般策略 (1)特殊元素优先安排的策略 (2)正难则反，等价转化的策略 (3)相邻问题捆绑处理的策略 (4)不相邻问题插空处理的策略 (5)定序问题除法处理的策略 (6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 (7)平均分组问题，除法处理的策略 (8)构造模型的策略. 类型一 两个计数原理的应用 命题角度1 “类中有步”的计数问题 例 1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信， 甲信箱中
5、有 30 封，乙信箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之 星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 28 800 解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星， 决定了后边选幸运伙伴是不同的， 故要分两类分别计 算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有 30292017 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有 20193011 400(种)结 果因此共有 17 40011 40028 800(种)不同结果 反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情
6、形如图所示： 具体意义如下： 从 A 到 B 算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第 1 类办法中有 3 步，在第 2 类 办法中有 2 步，每步的方法数如图所示 所以，完成这件事的方法数为 m1m2m3m4m5， “类”与“步”可进一步地理解为： “类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一 件事的完成，“步”缺一不可 跟踪训练 1 现有 4 种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两 部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( ) A24 种 B30 种 C36 种 D48 种 考点 涂色问题 题点 涂色问题 答案 D 解析 将原
7、图从上而下的 4 个区域标为 1,2,3,4.因为 1,2,3 之间不能同色，1 与 4 可以同色， 因此，要分类讨论 1,4 同色与不同色这两种情况故不同的着色方法种数为 432 432148.故选 D. 命题角度2 “步中有类”的计数问题 例 2 有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、 “握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上 午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安 排方式共有_种(用数字作答) 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 264
8、解析 上午总测试方法有 432124(种)；我们以 A，B，C，D，E 依次代表五个测试 项目若上午测试 E 的同学下午测试 D，则上午测试 A 的同学下午只能测试 B，C，确定上 午测试 A 的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有 2 种；若上午测试 E 的同学下午 测试 A，B，C 之一，则上午测试 A，B，C 中任何一个的同学下午都可以测试 D，安排完这 位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有 339(种)测试方法，即下午的测试 方法共有 11 种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有 2411264(种) 反思与感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示： 从计数
9、的角度看，由 A 到 D 算作完成一件事，可简单地记为 AD. 完成 AD 这件事，需要经历三步，即 AB，BC，CD.其中 BC 这步又分为三类，这 就是步中有类 其中 mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数 完成 AD 这件事的方法数为 m1(m2m3m4)m5. 以上给出了处理步中有类问题的一般方法 跟踪训练 2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有( ) A11 种 B12 种 C20 种 D21 种 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 D 解析 根据题意，设 5 个开关依次为 1,2,3,4,5，若电路接通，则开关 1,2 与 3,4,
10、5 中至少有 1 个接通， 对于开关 1,2，共有 224(种)情况，其中全部断开的有 1 种情况，则其至少有 1 个接通的 有 413(种)情况， 对于开关 3,4,5，共有 2228(种)情况，其中全部断开的有 1 种情况，则其至少有 1 个 接通的有 817(种)情况，则电路接通的情况有 3721(种)故选 D. 类型二 有限制条件的排列问题 例 3 3 个女生和 5 个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？ (5)
11、如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？ 考点 排列的应用 题点 有限制条件的排列问题 解 (1)(捆绑法)因为 3 个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同 5 个男 生合在一起共有 6 个元素，排成一排有 A66种不同排法对于其中的每一种排法，3 个女生 之间又有 A33种不同的排法，因此共有 A66 A334 320(种)不同的排法 (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把 5 个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空， 这样共有 4 个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有 6 个位置，再把 3 个女生插入这 6 个位置中，只要保证每个位置至多插入一
12、个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于 5 个男生排成一排有 A55种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述 6 个位置中选出 3 个来让 3 个女生插入有 A36种方法，因此共有 A55 A3614 400(种)不同的排法 (3)方法一 (特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个， 有 A25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 A66种排法，所以共有 A25 A66 14 400(种)不同的排法 方法二 (间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A88种不同的排法，从中扣除女生排在首 位的 A13 A77种排法和女生排在末位的 A1
13、3 A77种排法，但这样两端都是女生的排法，再扣除女 生排在首位时被扣去一次，再扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两 端都是女生有 A23 A66种不同的排法，所以共有 A882A13 A77A23 A6614 400(种)不同的排法 方法三 (特殊元素优先法)从中间 6 个位置中挑选出 3 个让 3 个女生排入， 有 A36种不同的排 法，对于其中的任意一种排法，其余 5 个位置又都有 A55种不同的排法，所以共有 A36 A5514 400(种)不同的排法 (4)方法一 因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件 限制了，这样可有 A15 A77
14、种不同的排法；如果首位排女生，有 A13种排法，这时末位就只能排 男生，这样可有 A13 A15 A66种不同的排法 因此共有 A15 A77A13 A15 A6636 000(种)不同的排法 方法二 3 个女生和 5 个男生排成一排有 A88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有 A23 A66 种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有 A88A23 A6636 000(种)不同的排法 (5)(顺序固定问题)因为 8 人排队，其中两人顺序固定，共有A 8 8 A2220 160(种)不同的排法 反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只 能放某些元素
15、等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较 麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合 条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽) (2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将 相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”， 即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中 跟踪训练 3 为迎接某会，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛该校高三年级准备从 包括甲、乙、丙在内的 7 名学生中选派 4 名学生参加，要求甲、乙、丙这 3 名
16、学生中至少有 1 人参加，且当这 3 名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的 4 名学生不 同的朗诵顺序的种数为( ) A720 B768 C810 D816 考点 排列的应用 题点 有限制条件的排列问题 答案 B 解析 根据题意，知在 7 名学生中选派 4 名学生参加诗歌朗诵比赛，有 A47840(种)情况， 其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有 A4424(种)， 则甲、乙、丙这 3 名学生中至少有 1 人参加的情况有 84024816(种)； 其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻的情况有 C14A22A3348(种)， 则满足题意的朗诵顺序有 81648768
17、(种) 故选 B. 类型三 排列与组合的综合应用 例 4 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片，从 这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不 同的排法共有多少种？ 考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 解 分三类： 第一类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,2,3,4 时，不同的排法有 C12 C12 C12 C12 A44种 第二类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,1,4,4 时，不同的排法有 C22 C22 A44种 第三类，当取出的 4 张卡片分别标
18、有数字 2,2,3,3 时，不同的排法有 C22 C22 A44种 故满足题意的所有不同的排法种数为 C12 C12 C12 C12 A442C22 C22 A44432. 反思与感悟 解答排列、组合综合问题的思路及注意点 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出 来，再对元素或位置进行排列 (2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点： 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法， 无序的问题是组合问题， 有序的问题是排列 问题 对于有多个限制条件的复杂问题， 应认真分析每个限制条件， 然后再考虑是分类还是分步， 这是处理排列、组合综合问题的一般方法 跟踪
19、训练 4 某科室派出 4 名调研员到 3 个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学 校至少一名，则不同的分配方案种数为_ 考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 36 解析 先从 4 名调研员中选 2 名去同一所学校有 C24种方案，然后与另外两名调研员进行全 排列对应三所学校，有 A33种方案，故共有 C24A3336(种)分配方案. 1 给一些书编号， 准备用 3 个字符， 其中首字符用 A， B， 后两个字符用 a， b， c(允许重复)， 则不同编号的书共有( ) A8 本 B9 本 C12 本 D18 本 考点 分步乘法计数原理 题点 分步乘法计数原理的应用 答
20、案 D 解析 由分步乘法计数原理得，不同编号的书共有 23318(本) 2在 100 件产品中，有 3 件是次品，现从中任意抽取 5 件，其中至少有 2 件次品的取法种 数为( ) AC23C397 BC23C397C33C297 CC5100C13C497 DC5100C597 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 B 解析 根据题意，“至少有 2 件次品”可分为“有 2 件次品”与“有 3 件次品”两种情况， “有 2 件次品”的抽取方法有 C23C397种， “有 3 件次品”的抽取方法有 C33C297种， 则共有 C23C397 C33C297种不同的抽取方法，故选 B
21、. 3从 4 男 3 女志愿者中选 1 女 2 男分别到 A，B，C 三地去执行任务，则不同的选派方法有 ( ) A36 种 B108 种 C210 种 D72 种 考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 B 解析 从 4 男 3 女志愿者中选 1 女 2 男有 C13C2418(种)方法， 分别到 A， B， C 地执行任务， 有 A336(种)方法，根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有 186108(种) 48 次投篮中，投中 3 次，其中恰有 2 次连续命中的情形有_种 考点 排列的应用 题点 排列的简单应用 答案 30 解析 将 2 次连续命中当作一个整体， 和另
22、一次命中插入另外 5 次不命中留下的 6 个空档里 进行排列有 A2630(种) 5某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火 炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传 递方法共有_种(用数字作答) 考点 排列的应用 题点 元素“在”与“不在”问题 答案 96 解析 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有 A44种方法乙传第一棒，甲传最后一棒，共有 A44 种方法丙传第一棒，共有 C12 A44种方法由分类加法计数原理得，共有 A44A44C12 A44 96(种)方法 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、 也是最重要的原理， 是解答排列、 组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础 2解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分 步，再利用两个基本计数原理作最后处理 3对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏 4对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注 意顺序，避免计数的重复或遗漏.
