1、3.2 复数的运算复数的运算 3.2.1 复数的加法与减法复数的加法与减法 学习目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义, 能够利用“数形结合”的思想解题 知识点一 复数的加法与减法 思考 1 类比多项式的加减法运算,想一想复数如何进行加减法运算? 答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(abi) (cdi) (a c)(b d)i. 思考 2 复数的加法满足交换律和结合律吗? 答案 满足 梳理 复数的加法与减法 (1)运算法则 设 z1abi,z2cdi(a,b,c,dR), 定义 z1z2(abi)(cdi)(ac)(
2、bd)i, z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. (2)加法运算律 对任意 z1,z2,z3,有 z1z2z2z1,(z1z2)z3z1(z2z3) 知识点二 复数加减法的几何意义 如图OZ 1,OZ 2分别与复数 abi,cdi 对应 思考 1 试写出OZ 1,OZ 2,OZ 1OZ 2,OZ 1OZ 2的坐标 答案 OZ 1(a,b),OZ 2(c,d), OZ 1OZ 2(ac,bd),OZ 1OZ 2(ac,bd) 思考 2 向量OZ 1OZ 2,OZ 1OZ 2对应的复数分别是什么? 答案 (ac)(bd)i,(ac)(bd)i. 梳理 复数加减法的几何意义 复数加法的
3、几何意义 复数 z1z2是以OZ1 ,OZ2 为邻边的平行四边形的 对角线OZ 所对应的复数 复数减法的 几何意义 复数z1z2是从向量OZ2 的终点指向向量OZ1 的终 点的向量Z2Z1 所对应的复数 1两个虚数的和或差可能是实数( ) 2在进行复数的加法时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部( ) 3复数的减法不满足结合律,即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立( ) 类型一 复数的加减法运算 例 1 (1)若 z12i,z23ai(aR),复数 z1z2所对应的点在实轴上,则 a_. (2)已知复数 z 满足|z|iz13i,则 z_. 答案 (1)1 (2)14 3i 解
4、析 (1)z1z2(2i)(3ai)5(a1)i,由题意得 a10,则 a1. (2)设 zxyi(x,yR),则|z| x2y2, |z|iz x2y2ixyix( x2y2y)i 13i, x1, x2y2y3, 解得 x1, y4 3, z14 3i. 反思与感悟 (1)复数的加减法运算就是实部与实部相加减,虚部与虚部相加减 (2)当一个等式中同时含有|z|与 z 时,一般用待定系数法,设 zxyi(x,yR) 跟踪训练 1 (1)若复数 z 满足 zi33i,则 z_. (2)(abi)(2a3bi)3i_(a,bR) (3)已知复数 z 满足|z|z13i,则 z_. 答案 (1)6
5、2i (2)a(4b3)i (3)43i 解析 (1)zi33i, z62i. (2)(abi)(2a3bi)3i (a2a)(b3b3)ia(4b3)i. (3)设 zxyi(x,yR),|z| x2y2, |z|z(x2y2x)yi13i, x2y2x1, y3, 解得 x4, y3, z43i. 类型二 复数加、减法的几何意义 例 2 (1)如图所示,平行四边形 OABC 的顶点 O,A,C 分别对应的复数为 0,32i,2 4i.求:AO 表示的复数;CA 表示的复数;OB 表示的复数 解 A,C 对应的复数分别为 32i,24i, 由复数的几何意义知,OA 与OC 表示的复数分别为
6、32i,24i. 因为AO OA ,所以AO 表示的复数为32i. 因为CA OA OC , 所以CA 表示的复数为(32i)(24i)52i. OB OA OC , 所以OB 表示的复数为(32i)(24i)16i. (2)已知 z1,z2C,|z1|z2|1,|z1z2| 3,求|z1z2|. 解 根据复数加减法的几何意义,由|z1|z2|知,以OA ,OB 为邻边的平行四边形 OACB 是菱 形 如图,OA 对应的复数为 z1,OB 对应的复数为 z2, |OA |OB |,OC 对应的复数为 z1z2, |OC | 3. 在AOC 中,|OA |AC |1,|OC | 3, AOC30
7、 . 同理得BOC30 , OAB 为等边三角形,则|BA |1, BA 对应的复数为 z 1z2, |z1z2|1. 引申探究 若将本例(2)中的条件“|z1z2| 3”改为“|z1z2|1”,求|z1z2|. 解 如例 2(2)图,向量BA 表示的复数为 z 1z2, |BA |1, 则AOB 为等边三角形,AOC30 , 则|OD | 3 2 ,|OC | 3,OC 表示的复数为 z1z2, |z1z2| 3. 反思与感悟 (1)常用技巧 形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中 (2)
8、常见结论:在复平面内,z1,z2对应的点分别为 A,B,z1z2对应的点为 C,O 为坐标原 点 四边形 OACB 为平行四边形 若|z1z2|z1z2|,则四边形 OACB 为矩形 若|z1|z2|,则四边形 OACB 为菱形 若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|,则四边形 OACB 为正方形 跟踪训练 2 (1)已知复平面内的平面向量OA ,AB 表示的复数分别是2i,32i,则|OB | _. (2)若 z12i,z23ai,复数 z2z1所对应的点在第四象限内,则实数 a 的取值范围是 _ 答案 (1) 10 (2)(,1) 解析 (1)OB OA AB , OB 表示的复数为(2
9、i)(32i)13i, |OB |1232 10. (2)z2z11(a1)i, 由题意知 a10,即 a1. 1已知实数 x,y 满足(1i)x(1i)y2,则 xy 的值是( ) A1 B2 C2 D1 答案 A 解析 (1i)x(1i)yxy(xy)i2, 由 xy2, xy0, 得 xy1,则 xy1. 2设 z134i,z223i,则 z1z2在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 D 解析 z1z257i, z1z2在复平面内对应的点位于第四象限 3设 z12bi,z2ai,当 z1z20 时,复数 abi 为( ) A1i B2i C3
10、 D2i 答案 D 解析 由 2a0, b10, 得 a2 b1 ,abi2i. 4设 f(z)|z|,z134i,z22i,则 f(z1z2)等于( ) A. 10 B5 5 C. 2 D5 2 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 D 解析 因为 z1z255i, 所以 f(z1z2)f(55i)|55i|5 2. 5 已知复数 z1(a22)(a4)i, z2a(a22)i(aR), 且 z1z2为纯虚数, 则 a_. 答案 1 解析 z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数, a2a20, a2a60, 解得 a 1. 1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律,复数的减法是加法的逆运算 2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则,复数减法的几何意义就是向量减 法的三角形法则