1、3.2 复数的运算复数的运算 3.2.1 复数的加法与减法复数的加法与减法 学习目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义， 能够利用“数形结合”的思想解题 知识点一 复数的加法与减法 思考 1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？ 答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi) (cdi) (a c)(b d)i. 思考 2 复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足 梳理 复数的加法与减法 (1)运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)， 定义 z1z2(abi)(cdi)(ac)(
2、bd)i， z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. (2)加法运算律 对任意 z1，z2，z3，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3) 知识点二 复数加减法的几何意义 如图OZ 1，OZ 2分别与复数 abi，cdi 对应 思考 1 试写出OZ 1，OZ 2，OZ 1OZ 2，OZ 1OZ 2的坐标 答案 OZ 1(a，b)，OZ 2(c，d)， OZ 1OZ 2(ac，bd)，OZ 1OZ 2(ac，bd) 思考 2 向量OZ 1OZ 2，OZ 1OZ 2对应的复数分别是什么？ 答案 (ac)(bd)i，(ac)(bd)i. 梳理 复数加减法的几何意义 复数加法的
3、几何意义 复数 z1z2是以OZ1 ，OZ2 为邻边的平行四边形的 对角线OZ 所对应的复数 复数减法的 几何意义 复数z1z2是从向量OZ2 的终点指向向量OZ1 的终 点的向量Z2Z1 所对应的复数 1两个虚数的和或差可能是实数( ) 2在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部( ) 3复数的减法不满足结合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立( ) 类型一 复数的加减法运算 例 1 (1)若 z12i，z23ai(aR)，复数 z1z2所对应的点在实轴上，则 a_. (2)已知复数 z 满足|z|iz13i，则 z_. 答案 (1)1 (2)14 3i 解
4、析 (1)z1z2(2i)(3ai)5(a1)i，由题意得 a10，则 a1. (2)设 zxyi(x，yR)，则|z| x2y2， |z|iz x2y2ixyix( x2y2y)i 13i， x1， x2y2y3， 解得 x1， y4 3， z14 3i. 反思与感悟 (1)复数的加减法运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 (2)当一个等式中同时含有|z|与 z 时，一般用待定系数法，设 zxyi(x，yR) 跟踪训练 1 (1)若复数 z 满足 zi33i，则 z_. (2)(abi)(2a3bi)3i_(a，bR) (3)已知复数 z 满足|z|z13i，则 z_. 答案 (1)6
5、2i (2)a(4b3)i (3)43i 解析 (1)zi33i， z62i. (2)(abi)(2a3bi)3i (a2a)(b3b3)ia(4b3)i. (3)设 zxyi(x，yR)，|z| x2y2， |z|z(x2y2x)yi13i， x2y2x1， y3， 解得 x4， y3， z43i. 类型二 复数加、减法的几何意义 例 2 (1)如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别对应的复数为 0，32i，2 4i.求：AO 表示的复数；CA 表示的复数；OB 表示的复数 解 A，C 对应的复数分别为 32i，24i， 由复数的几何意义知，OA 与OC 表示的复数分别为
6、32i，24i. 因为AO OA ，所以AO 表示的复数为32i. 因为CA OA OC ， 所以CA 表示的复数为(32i)(24i)52i. OB OA OC ， 所以OB 表示的复数为(32i)(24i)16i. (2)已知 z1，z2C，|z1|z2|1，|z1z2| 3，求|z1z2|. 解 根据复数加减法的几何意义，由|z1|z2|知，以OA ，OB 为邻边的平行四边形 OACB 是菱 形 如图，OA 对应的复数为 z1，OB 对应的复数为 z2， |OA |OB |，OC 对应的复数为 z1z2， |OC | 3. 在AOC 中，|OA |AC |1，|OC | 3， AOC30
7、 . 同理得BOC30 ， OAB 为等边三角形，则|BA |1， BA 对应的复数为 z 1z2， |z1z2|1. 引申探究 若将本例(2)中的条件“|z1z2| 3”改为“|z1z2|1”，求|z1z2|. 解 如例 2(2)图，向量BA 表示的复数为 z 1z2， |BA |1， 则AOB 为等边三角形，AOC30 ， 则|OD | 3 2 ，|OC | 3，OC 表示的复数为 z1z2， |z1z2| 3. 反思与感悟 (1)常用技巧 形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中 (2)
8、常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为 A，B，z1z2对应的点为 C，O 为坐标原 点 四边形 OACB 为平行四边形 若|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为矩形 若|z1|z2|，则四边形 OACB 为菱形 若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为正方形 跟踪训练 2 (1)已知复平面内的平面向量OA ，AB 表示的复数分别是2i,32i，则|OB | _. (2)若 z12i，z23ai，复数 z2z1所对应的点在第四象限内，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 (1) 10 (2)(，1) 解析 (1)OB OA AB ， OB 表示的复数为(2
9、i)(32i)13i， |OB |1232 10. (2)z2z11(a1)i， 由题意知 a10，即 a1. 1已知实数 x，y 满足(1i)x(1i)y2，则 xy 的值是( ) A1 B2 C2 D1 答案 A 解析 (1i)x(1i)yxy(xy)i2， 由 xy2， xy0， 得 xy1，则 xy1. 2设 z134i，z223i，则 z1z2在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 D 解析 z1z257i， z1z2在复平面内对应的点位于第四象限 3设 z12bi，z2ai，当 z1z20 时，复数 abi 为( ) A1i B2i C3
10、 D2i 答案 D 解析 由 2a0， b10， 得 a2 b1 ，abi2i. 4设 f(z)|z|，z134i，z22i，则 f(z1z2)等于( ) A. 10 B5 5 C. 2 D5 2 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 D 解析 因为 z1z255i， 所以 f(z1z2)f(55i)|55i|5 2. 5 已知复数 z1(a22)(a4)i， z2a(a22)i(aR)， 且 z1z2为纯虚数， 则 a_. 答案 1 解析 z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数， a2a20， a2a60， 解得 a 1. 1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算 2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减 法的三角形法则