1、成武一中高三数学模拟试题（成武一中高三数学模拟试题（2 2） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求. 1、设函数 2 4yx的定义域A，函数ln1yx的定义域为B，则AB （ ） A. 1,2 B. 1,2 C. 2,1 D. 2,1 2、已知i是虚数单位，, a bR，则“ 2 2abii”是“1ab”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3、设25 ab m，且 11 1 ab ，则m（ ） A. 10 B. 10 C. 20 D. 100 4、等差数
2、列 n a的公差不为 0.若 2 a， 3 a， 6 a成等比数列，且 14 4aa ，则 n a前 6 项的和为（ ） A. -24 B. -3 C. 3 D. 8 5、若将函数 sin2cos2f xxx的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值 是（ ） A. 8 B. 4 C. 3 8 D. 3 4 6、x为实数， x表示不超过x的最大整数，则函数 f xxx在R上为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 周期函数 7、 在如图的平面图形中， 已知1OM ，2ON ，120MON，2BMMA，2CNNA， 则BC OM 的值为（ ） A. -15 B. -
3、9 C. -6 D. 0 8、设F为抛物线C： 2 3yx的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点， 则OAB的面积为（ ） A. 3 3 4 B. 9 3 8 C. 63 32 D. 9 4 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9、设函数 f x的定义域为R， 00 0 xx 是 f x的极大值点，以下结论错误的是（ ） A. xR ， 0 f xf x B. 0 x是fx的极小值点 C. 0 x是 f x的极小值点 D. 0 x是f
4、x的极小值点 10、，是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题中其中正确的命题有（ ） A. 如果mn，m，/ /n，那么. B. 如果m，/n，那么mn. C. 如果/ /，m，那么/ /m. D. 如果/mn，/ /，那么m与所成的角和n与所成的角相等. 11、设 1 F， 2 F是双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点，O是坐标原点.过 2 F作C的一条渐 近线的垂线，垂足为P.若 1 6PFOP，则下列说法正确的是（ ） A. 2 F Pb B. 双曲线的离心率为3 C. 双曲线的渐近线方程为2yx D. 点P在直线 3 3 xa上 12、已知函数 sinc
5、ossincosf xxxxx，下列说法正确的是（ ） A. f x是周期函数 B. f x在区间, 2 2 上是增函数 C. 若 12 2fxfx，则 12 () 2 k xxkZ D. 函数 1g xf x在区间0,2上有且仅有 1 个零点 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、我省高考实行3 3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年 高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率为_. 14、 函数 2 0yxx的图像在点 2 , kk a a处的切线与x轴交点的横坐标为 1k a ， 其中
6、* kN， 若 1 16a ， 则 135 aaa_. 15、已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 7 8 ，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB 的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_. 16、设函数 2,1 42,1 x a x f x xaxax . 若1a ，则 f x的最小值为_； 若 f x恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、已知数列 n a满足 * 123 2n n aaaanN. （1）求数列 n a的通项公式； （2） 2 (1)log n a n bn，求数列
7、* 1 n nN b 的前n项和 n S. 18、在3 sin4 cosaCcA；2 sin5 sin 2 BC baB 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中， 然后解答补充完整的题. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_，3 2a . （1）求sinA； （2）如图，M为边AC上一点，MCMB， 2 ABM ，求ABC的面积. 19、如图，在多面体ABCDE中，/DEAB，ACBC，22BCAC，2ABDE，且D点在平 面ABC内的正投影为AC的中点H，1DH . （1）证明：面BCE 面ABC； （2）求BD与面CDE夹角的正弦值. 20、如图，已知圆A： 2 2 11
8、6xy，点1,0B是圆A内一个定点，点P是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线 1 l和半径AP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设过点4,0D的直线 2 l与曲线C相交于M，N两点（点M在D，N两点之间）.是否存在直线 2 l 使得2DNDM？若存在，求直线 2 l的方程；若不存在，请说明理由. 21、某市积极贯彻落实国务院 “十三五”节能减排综合工作方案 ，空气质量明显改善.该市生态环境局统 计了某月（30 天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下 表： 空气质量指数 0,50 50,100 100
9、,150 150,200 200,300 300 以上 空气质量等级 一级（优） 二级（良） 三级 （轻度污染） 四级 （中度污染） 五级 （重度污染） 六级 （严重污染） （1）根据频率分布直方图估计，在这 30 天中，空气质量等级为优或良的天数； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于 90 时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气 质量指数高于 70 时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）. 从这 30 天中随机选取 2 天， 记乙不宜进行户外体育运动， 且甲适宜进行户外体育运动的天数为X， 求X 的分布列和数学期望； 以一个月空气质量指数分布的频
10、率代替每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响） ， 甲、乙两人分别随机选择 3 天和 2 天进行户外体育运动，求甲恰有 2 天，且乙恰有 1 天不宜进行户外体育 运动的概率. 22、已知函数 1 ln1 1 x f xax x ，aR. （1）若 f x在1x 时取到极值，求a的值及 f x的图象在1x 处的切线方程； （2）当0 x时， ln2f x 恒成立，求a的取值范围. 成武一中高三数学模拟试题参考答案（2） 一、单项选择题 1-5：BBAC 6-8：DCD 1、B【解析】由 2 40 x得22x ，由10 x 得1x ，故 | 22|1ABxxx x |12xx，选
11、 B. 2、B【解析】当1ab时， 22 ()(1)2abiii，反之，若 2 2abii， 则有1ab或1ab，因此选 B. 3、B【解析】 11 log 2log 5log 101 mmm ab ，又0m，10m. 4、A【解析】设 n a的公差为0d d ，由 2 326 aa a，得 2 111 25adadad， 又 1 234ad ，所以 1 1a ，2d ， 6 6 5 6 1( 2)24 2 S .选 A. 5 、 C 【 解 析 】( )2sin 2 4 f xx ， 将 函 数 f x的 图 象 向 右 平 移个 单 位 得 ()2 s i n22 4 fxx ，由该函数为
12、偶函数可知2 42 k ，kZ，即 3 28 k ，所 以的最小正值是为 3 8 . 6、D【解析】由题意1.11.11.10.1f，1.11.11.11.120.9f ， 故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数. 又对任意整数a，有 f axaxaxxxf x ， 故 f x在R上为周期函数.故选 D. 7、 【答案】C 【解析】 解法，由题意，2BMMA，2CNNA， 2 BMCN MANA ，/BCMN，且3BCMN， 又 222 1 2cos120142 1 27 2 MNOMONOM ON ， 7MN ； 3 7BC ， 222 1 742 cos 22 177 OMMNON
13、 OMN OM MN ， cosBC OMBCOMOMN 2 3 7 16 7 . 解题：不妨设四边形OMAN是平行四边形， 由1OM ，2ON ，120MON，2BMMA，2CNNA， 知3333BCACABANAMOMON， 33BC OMOMONOM 2 33OMON OM 2 3 13 2 1 cos120 6 . 故选：C. 解法：利用向量数量积的几何意义更易求. 8、D【解析】易知抛物线中 3 2 p ，焦点 3 ,0 4 F ，直线AB的斜率 3 3 k ，故直线AB的方程为 33 34 yx ，代入抛物线方程 2 3yx，整理得 2 219 0 216 xx. 设 11 ,A
14、x y， 22 ,B x y，则 12 21 2 xx，由抛物线的定义可得弦长 12 12ABxxp，结合图象可得O到直线AB的距离 3 sin30 28 p d， 所以OAB的面积 19 24 SAB d. 二、多项选择题 9. ABC 10. BCD 11. ABCD 12. AC 9、ABC【解析】A. xR ， 0 f xf x，错误. 00 0 xx 是 f x的极大值点，并不是最大值点； B. 0 x是fx的极小值点.错误.fx相当于 f x关于y轴的对称图像，故 0 x应是fx的极大 值点；C. 0 x是 f x的极小值点.错误. f x相当于 f x关于x轴的对称图像，故 0
15、x应是 f x的 极小值点.跟 0 x没有关系； D. 0 x是fx的极小值点.正确.fx相当于 f x先关于y轴的对称，再关于x轴的对称图像.故 D 正确. 10、BCD【解析】对于命题 A，可运用长方体举反例证明其错误： 如图，不妨设AA为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为. ABC D所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立. 命题 B 正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面相交于直线l，则/ /ln， 由m，有ml，从知mn结论正确. 由平面与平面平行的定义知命题 C 正确. 由平行的传递性及线面角的定义知命题 D 正确. 三、填空题 13. 1 2 14. 2
16、1 15. 40 2 16. -1 1 ,12, 2 14、 【解析】在点 2 , kk a a处的切线方程为： 2 2 kkk yaaxa，当0y 时， 解得 2 k a x ，所以 1 2 k k a a ， 135 164 121aaa . 15、40 2【解析】如图所示， 设S在底面的射影为S，连接AS，SS.SAB的面积为 222 1115 sin1 cos5 15 2216 SA SBASBSAASBSA， 2 80SA ，4 5SA.SA与底面所成的角为45，45SAS， 2 cos454 50 2 2 1SAAS. 底面周长24 10lAS， 圆锥的侧面积为 1 4 54 10
17、40 2 2 . 16、-1 1 ,12, 2 【解析】若1a ，则 2,1 ( ) 4()(2 ),1 x a x f x xa xa x ，作出函数 f x的图象 如图所示，由图可知 f x的最小值为-1. 当1a 时，要使 f x恰好有 2 个零点，需满足 1 20a，即2a.所以2a； 当1a 时，要使 f x恰好有 2 个零点，需满足 1 12 20 aa a ，解得 1 1 2 a. 四、解答题 17.【解析】 （1）当1n 时， 1 2a ， 当2n时 1 1231 2n n aaaa -得 1 2n n a ，经检验 1 a不符合上式， 1 2,1 2,2 n n n a n
18、. （2）由（1）得当1n 时 1 2b ， 当2n时 2 (1)log(1)(1) nn bnann， 11111 (2) (1)(1)211 n n bnnnn . 12 111521 42 (1) n n bbb n S n n . 18、 【解析】若选择条件，则答案为： （1）在ABC中，由正弦定理得3sinsin4sincosACA， 因为sin0C ，所以3sin4cosAA， 22 9sin16cosAA， 所以 2 25sin16A ，因为sin0A，所以 4 sin 5 A . （2）解法 1：设BMMCm，易知 4 coscossin 5 BMCBMAA ， 在BMC中由余
19、弦定理得： 22 4 1822 5 mm ，解得5m . 所以 2 1133 sin5 2252 BMC SmBMC . 在RtABM中， 4 sin 5 A ，5BM ， 2 ABM ，所以 3 5 4 AB ，所以 15 8 ABM S ， 所以 31527 288 ABC S . 解法 2：因为MBMC，所以MBCC，因为 2 ABM ， 所以2 2 AC ，2 2 CA ， 所以sin2sincos 2 CAA ，因为A为锐角，所以 3 sin2cos 5 CA， 又 15 2 sinsinsin4 bca BCA ，所以 15 2 sin 4 bB， 15 2 sin 4 cC， 所
20、以 1115 215 24 sinsinsin 22445 ABC SbcABC 45 sinsin 42 CC 454527 sincossin2 448 CCC. 若选择条件，则答案为： （1）因为2 sin5 sin 2 BC baB ，所以2 sin5 sin 2 A baB ， 由正弦定理得2sincos5sinsin 2 A BAB， 因为sin0B，所以2cos5sin 2 A A，cos5sincos 222 AAA ， 因为cos0 2 A ，所以 1 sin 25 A ，则 2 cos 25 A ， 所以 4 sin2sincos 225 AA A. （2）同选择. 19、
21、 【解析】 （1）取BC的中点F，连接EF，HF. H，F分别为AC，BC的中点， /HFAB，且2ABHF. 又/DEAB，2ABDE， /HFDE且HFDE， 四边形DEFH为平行四边形. /EFDH， 又D点在平面ABC内的正投影为AC的中点H， DH 平面ABC， EF 平面ABC，EF 面BCE，面ECB 面ABC. （2）DH 平面ABC，ACBC， 以C为原点，建立空间直角坐标系， 则0,2,0B， 1 ,0,1 2 D ，0,1,1E， 设平面CDE的法向量, ,nx y z， 1 ,0,1 2 CD ，0,1,1CE ， 则 1 0 2 0 xz yz 取1y ，则2x，1z
22、 . 2,1,1n ， 1 , 2,1 2 BD ， 2 14 cos, 21 BD n BD n BD n ， BD与面CDE夹角的正弦值为 2 14 21 . 20、 【分析】 （1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C的方程. （2）设出直线 2 l的方程，联立直线 2 l的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DNDM，结合向量相 等的坐标表示，求得直线 2 l的斜率，进而求得直线 2 l的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线 2 l的方程的 设法的不同. 【详解】 （1）因为圆A的方程为 2 2 116xy， 所以1,0A ，半径4r . 因为 1 l是线段AP的垂直平分线，所
23、以QPQB. 所以4APAQQPAQQB. 因为4AB， 所以点Q的轨迹是以1,0A ，1,0B为焦点，长轴长24a的椭圆. 因为2a，1c， 222 3bac， 所以曲线C的方程为 22 1 43 xy . （2）存在直线 2 l使得2DNDM. 方法一：因为点D在曲线C外，直线 2 l与曲线C相交， 所以直线 2 l的斜率存在，设直线 2 l的方程为4yk x. 设 11 ,M x y， 2212 ,N x yxx， 由 22 1 43 (4) xy yk x 得 2222 343264120kxk xk. 则 2 12 2 32 34 k xx k ， 2 12 2 6412 34 k
24、x x k ， 由题意知 2 222 324 3464120kkk ，解得 11 22 k. 因为2DNDM， 所以 21 424xx，即 21 24xx. 把代入得 2 1 2 4 16 34 k x k ， 2 2 2 4 16 34 k x k . 把代入得 2 365k ，得 5 6 k ，满足 11 22 k. 所以直线 2 l的方程为： 5 (4) 6 yx或 5 (4) 6 yx . 方法二：因为当直线 2 l的斜率为 0 时，2,0M，2,0N ，6,0DN ，2,0DM ， 此时2DNDM. 因此设直线 2 l的方程为：4xty. 设 11 ,M x y， 2212 ,N x
25、 yxx， 由 22 1 43 4 xy xty 得 22 3424360tyty. 由题意知 22 (24 )4 36 340tt ，解得2t 或2t ， 则 12 2 24 34 t yy t ， 12 2 36 34 y y t ， 因为2DNDM，所以 21 2yy. 把代入得 1 2 8 34 t y t ， 2 2 16 34 t y t 把代入得 2 536t ， 6 5 t ，满足2t 或2t . 所以直线 2 l的方程为 5 (4) 6 yx或 5 (4) 6 yx . 【点睛】 本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法， 考
26、查运算求解能力，属于中档题. 21、解： （1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在90,110的天数为 2 天，所以估计空气质量指数在 90,100的天数为 1 天，故在这 30 天中空气质量等级属于优或良的天数为 28 天. （2）在这 30 天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共 6 天， 2 24 2 30 92 (0) 145 C P X C ， 11 624 2 30 48 (1) 145 CC P X C ， 2 6 2 30 1 (2) 29 C P X C ， X的分布列为 X 0 1 2 P 92 145 48 145 1 29 924812 012
27、 145145295 EX . 甲不宜进行户外体育运动的概率为 1 10 ，乙不宜进行户外体育运动的概率为 3 10 ， 2 21 32 1937567 101010 1050000 PCC . 22、 （1） 2 22 22 1(1)(1)(1) aaxa axxaxx fx ， f x在1x 时取到极值， 10f，解得1a ， 故在1x 处的切线方程为：ln2y . 注意到 1 20ln2 3 f ，故此时 ln2f x 不恒成立. 当2a时，在区间0,上， 0fx 恒成立，所以此时 f x在0,递增， 01ln2f xf ，故此时 ln2f x 恒成立. 当02a时， f x的单调减区间
28、为 2 0, a a ，单调增区间为 2 , a a ， f x在 2a x a 处取得最小值，只需 2 ln2 a f a 恒成立， 设 2 1 2 ( )ln(2)1)(02) 2 1 a a a fg aaaa aa a ， 设 2 (0,) a t a ， 2 221 ( )ln1 11 att m tf att 2 2 2 (1)22 ln12ln(1)ln11 111 t tt ttt ， 2 22 4 ( )0 (1)1 t m t tt ， m t在0,递减，又 1ln2m， 所以1t 即 2 1 a a ，解得12a， 综上可知，若 ln2f x 恒成立，只需a的取值范围是1,.
