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山东省菏泽市成武一中2020届高三第二次模拟考试数学试卷(含答案)

1、成武一中高三数学模拟试题(成武一中高三数学模拟试题(2 2) 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求. 1、设函数 2 4yx的定义域A,函数ln1yx的定义域为B,则AB ( ) A. 1,2 B. 1,2 C. 2,1 D. 2,1 2、已知i是虚数单位,, a bR,则“ 2 2abii”是“1ab”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3、设25 ab m,且 11 1 ab ,则m( ) A. 10 B. 10 C. 20 D. 100 4、等差数

2、列 n a的公差不为 0.若 2 a, 3 a, 6 a成等比数列,且 14 4aa ,则 n a前 6 项的和为( ) A. -24 B. -3 C. 3 D. 8 5、若将函数 sin2cos2f xxx的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值 是( ) A. 8 B. 4 C. 3 8 D. 3 4 6、x为实数, x表示不超过x的最大整数,则函数 f xxx在R上为( ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 周期函数 7、 在如图的平面图形中, 已知1OM ,2ON ,120MON,2BMMA,2CNNA, 则BC OM 的值为( ) A. -15 B. -

3、9 C. -6 D. 0 8、设F为抛物线C: 2 3yx的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点, 则OAB的面积为( ) A. 3 3 4 B. 9 3 8 C. 63 32 D. 9 4 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9、设函数 f x的定义域为R, 00 0 xx 是 f x的极大值点,以下结论错误的是( ) A. xR , 0 f xf x B. 0 x是fx的极小值点 C. 0 x是 f x的极小值点 D. 0 x是f

4、x的极小值点 10、,是两个平面,m,n是两条线,有下列四个命题中其中正确的命题有( ) A. 如果mn,m,/ /n,那么. B. 如果m,/n,那么mn. C. 如果/ /,m,那么/ /m. D. 如果/mn,/ /,那么m与所成的角和n与所成的角相等. 11、设 1 F, 2 F是双曲线C: 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点,O是坐标原点.过 2 F作C的一条渐 近线的垂线,垂足为P.若 1 6PFOP,则下列说法正确的是( ) A. 2 F Pb B. 双曲线的离心率为3 C. 双曲线的渐近线方程为2yx D. 点P在直线 3 3 xa上 12、已知函数 sinc

5、ossincosf xxxxx,下列说法正确的是( ) A. f x是周期函数 B. f x在区间, 2 2 上是增函数 C. 若 12 2fxfx,则 12 () 2 k xxkZ D. 函数 1g xf x在区间0,2上有且仅有 1 个零点 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、我省高考实行3 3模式,即语文数学英语必选,物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三,今年 高一的小明与小芳进行选科,假若他们对六科没有偏好,则他们选课至少两科相同的概率为_. 14、 函数 2 0yxx的图像在点 2 , kk a a处的切线与x轴交点的横坐标为 1k a , 其中

6、* kN, 若 1 16a , 则 135 aaa_. 15、已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为 7 8 ,SA与圆锥底面所成角为45,若SAB 的面积为5 15,则该圆锥的侧面积为_. 16、设函数 2,1 42,1 x a x f x xaxax . 若1a ,则 f x的最小值为_; 若 f x恰有 2 个零点,则实数a的取值范围是_. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、已知数列 n a满足 * 123 2n n aaaanN. (1)求数列 n a的通项公式; (2) 2 (1)log n a n bn,求数列

7、* 1 n nN b 的前n项和 n S. 18、在3 sin4 cosaCcA;2 sin5 sin 2 BC baB 这两个条件中任选一个,补充在下面问题中, 然后解答补充完整的题. 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知_,3 2a . (1)求sinA; (2)如图,M为边AC上一点,MCMB, 2 ABM ,求ABC的面积. 19、如图,在多面体ABCDE中,/DEAB,ACBC,22BCAC,2ABDE,且D点在平 面ABC内的正投影为AC的中点H,1DH . (1)证明:面BCE 面ABC; (2)求BD与面CDE夹角的正弦值. 20、如图,已知圆A: 2 2 11

8、6xy,点1,0B是圆A内一个定点,点P是圆上任意一点,线段BP 的垂直平分线 1 l和半径AP相交于点Q.当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)设过点4,0D的直线 2 l与曲线C相交于M,N两点(点M在D,N两点之间).是否存在直线 2 l 使得2DNDM?若存在,求直线 2 l的方程;若不存在,请说明理由. 21、某市积极贯彻落实国务院 “十三五”节能减排综合工作方案 ,空气质量明显改善.该市生态环境局统 计了某月(30 天)空气质量指数,绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下 表: 空气质量指数 0,50 50,100 100

9、,150 150,200 200,300 300 以上 空气质量等级 一级(优) 二级(良) 三级 (轻度污染) 四级 (中度污染) 五级 (重度污染) 六级 (严重污染) (1)根据频率分布直方图估计,在这 30 天中,空气质量等级为优或良的天数; (2)根据体质检查情况,医生建议:当空气质量指数高于 90 时,市民甲不宜进行户外体育运动;当空气 质量指数高于 70 时,市民乙不宜进行户外体育运动(两人是否进行户外体育运动互不影响). 从这 30 天中随机选取 2 天, 记乙不宜进行户外体育运动, 且甲适宜进行户外体育运动的天数为X, 求X 的分布列和数学期望; 以一个月空气质量指数分布的频

10、率代替每天空气质量指数分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响) , 甲、乙两人分别随机选择 3 天和 2 天进行户外体育运动,求甲恰有 2 天,且乙恰有 1 天不宜进行户外体育 运动的概率. 22、已知函数 1 ln1 1 x f xax x ,aR. (1)若 f x在1x 时取到极值,求a的值及 f x的图象在1x 处的切线方程; (2)当0 x时, ln2f x 恒成立,求a的取值范围. 成武一中高三数学模拟试题参考答案(2) 一、单项选择题 1-5:BBAC 6-8:DCD 1、B【解析】由 2 40 x得22x ,由10 x 得1x ,故 | 22|1ABxxx x |12xx,选

11、 B. 2、B【解析】当1ab时, 22 ()(1)2abiii,反之,若 2 2abii, 则有1ab或1ab,因此选 B. 3、B【解析】 11 log 2log 5log 101 mmm ab ,又0m,10m. 4、A【解析】设 n a的公差为0d d ,由 2 326 aa a,得 2 111 25adadad, 又 1 234ad ,所以 1 1a ,2d , 6 6 5 6 1( 2)24 2 S .选 A. 5 、 C 【 解 析 】( )2sin 2 4 f xx , 将 函 数 f x的 图 象 向 右 平 移个 单 位 得 ()2 s i n22 4 fxx ,由该函数为

12、偶函数可知2 42 k ,kZ,即 3 28 k ,所 以的最小正值是为 3 8 . 6、D【解析】由题意1.11.11.10.1f,1.11.11.11.120.9f , 故该函数不是奇函数,也不是偶函数,更不是增函数. 又对任意整数a,有 f axaxaxxxf x , 故 f x在R上为周期函数.故选 D. 7、 【答案】C 【解析】 解法,由题意,2BMMA,2CNNA, 2 BMCN MANA ,/BCMN,且3BCMN, 又 222 1 2cos120142 1 27 2 MNOMONOM ON , 7MN ; 3 7BC , 222 1 742 cos 22 177 OMMNON

13、 OMN OM MN , cosBC OMBCOMOMN 2 3 7 16 7 . 解题:不妨设四边形OMAN是平行四边形, 由1OM ,2ON ,120MON,2BMMA,2CNNA, 知3333BCACABANAMOMON, 33BC OMOMONOM 2 33OMON OM 2 3 13 2 1 cos120 6 . 故选:C. 解法:利用向量数量积的几何意义更易求. 8、D【解析】易知抛物线中 3 2 p ,焦点 3 ,0 4 F ,直线AB的斜率 3 3 k ,故直线AB的方程为 33 34 yx ,代入抛物线方程 2 3yx,整理得 2 219 0 216 xx. 设 11 ,A

14、x y, 22 ,B x y,则 12 21 2 xx,由抛物线的定义可得弦长 12 12ABxxp,结合图象可得O到直线AB的距离 3 sin30 28 p d, 所以OAB的面积 19 24 SAB d. 二、多项选择题 9. ABC 10. BCD 11. ABCD 12. AC 9、ABC【解析】A. xR , 0 f xf x,错误. 00 0 xx 是 f x的极大值点,并不是最大值点; B. 0 x是fx的极小值点.错误.fx相当于 f x关于y轴的对称图像,故 0 x应是fx的极大 值点;C. 0 x是 f x的极小值点.错误. f x相当于 f x关于x轴的对称图像,故 0

15、x应是 f x的 极小值点.跟 0 x没有关系; D. 0 x是fx的极小值点.正确.fx相当于 f x先关于y轴的对称,再关于x轴的对称图像.故 D 正确. 10、BCD【解析】对于命题 A,可运用长方体举反例证明其错误: 如图,不妨设AA为直线m,CD为直线n,ABCD所在的平面为. ABC D所在的平面为,显然这些直线和平面满足题目条件,但不成立. 命题 B 正确,证明如下:设过直线n的某平面与平面相交于直线l,则/ /ln, 由m,有ml,从知mn结论正确. 由平面与平面平行的定义知命题 C 正确. 由平行的传递性及线面角的定义知命题 D 正确. 三、填空题 13. 1 2 14. 2

16、1 15. 40 2 16. -1 1 ,12, 2 14、 【解析】在点 2 , kk a a处的切线方程为: 2 2 kkk yaaxa,当0y 时, 解得 2 k a x ,所以 1 2 k k a a , 135 164 121aaa . 15、40 2【解析】如图所示, 设S在底面的射影为S,连接AS,SS.SAB的面积为 222 1115 sin1 cos5 15 2216 SA SBASBSAASBSA, 2 80SA ,4 5SA.SA与底面所成的角为45,45SAS, 2 cos454 50 2 2 1SAAS. 底面周长24 10lAS, 圆锥的侧面积为 1 4 54 10

17、40 2 2 . 16、-1 1 ,12, 2 【解析】若1a ,则 2,1 ( ) 4()(2 ),1 x a x f x xa xa x ,作出函数 f x的图象 如图所示,由图可知 f x的最小值为-1. 当1a 时,要使 f x恰好有 2 个零点,需满足 1 20a,即2a.所以2a; 当1a 时,要使 f x恰好有 2 个零点,需满足 1 12 20 aa a ,解得 1 1 2 a. 四、解答题 17.【解析】 (1)当1n 时, 1 2a , 当2n时 1 1231 2n n aaaa -得 1 2n n a ,经检验 1 a不符合上式, 1 2,1 2,2 n n n a n

18、. (2)由(1)得当1n 时 1 2b , 当2n时 2 (1)log(1)(1) nn bnann, 11111 (2) (1)(1)211 n n bnnnn . 12 111521 42 (1) n n bbb n S n n . 18、 【解析】若选择条件,则答案为: (1)在ABC中,由正弦定理得3sinsin4sincosACA, 因为sin0C ,所以3sin4cosAA, 22 9sin16cosAA, 所以 2 25sin16A ,因为sin0A,所以 4 sin 5 A . (2)解法 1:设BMMCm,易知 4 coscossin 5 BMCBMAA , 在BMC中由余

19、弦定理得: 22 4 1822 5 mm ,解得5m . 所以 2 1133 sin5 2252 BMC SmBMC . 在RtABM中, 4 sin 5 A ,5BM , 2 ABM ,所以 3 5 4 AB ,所以 15 8 ABM S , 所以 31527 288 ABC S . 解法 2:因为MBMC,所以MBCC,因为 2 ABM , 所以2 2 AC ,2 2 CA , 所以sin2sincos 2 CAA ,因为A为锐角,所以 3 sin2cos 5 CA, 又 15 2 sinsinsin4 bca BCA ,所以 15 2 sin 4 bB, 15 2 sin 4 cC, 所

20、以 1115 215 24 sinsinsin 22445 ABC SbcABC 45 sinsin 42 CC 454527 sincossin2 448 CCC. 若选择条件,则答案为: (1)因为2 sin5 sin 2 BC baB ,所以2 sin5 sin 2 A baB , 由正弦定理得2sincos5sinsin 2 A BAB, 因为sin0B,所以2cos5sin 2 A A,cos5sincos 222 AAA , 因为cos0 2 A ,所以 1 sin 25 A ,则 2 cos 25 A , 所以 4 sin2sincos 225 AA A. (2)同选择. 19、

21、 【解析】 (1)取BC的中点F,连接EF,HF. H,F分别为AC,BC的中点, /HFAB,且2ABHF. 又/DEAB,2ABDE, /HFDE且HFDE, 四边形DEFH为平行四边形. /EFDH, 又D点在平面ABC内的正投影为AC的中点H, DH 平面ABC, EF 平面ABC,EF 面BCE,面ECB 面ABC. (2)DH 平面ABC,ACBC, 以C为原点,建立空间直角坐标系, 则0,2,0B, 1 ,0,1 2 D ,0,1,1E, 设平面CDE的法向量, ,nx y z, 1 ,0,1 2 CD ,0,1,1CE , 则 1 0 2 0 xz yz 取1y ,则2x,1z

22、 . 2,1,1n , 1 , 2,1 2 BD , 2 14 cos, 21 BD n BD n BD n , BD与面CDE夹角的正弦值为 2 14 21 . 20、 【分析】 (1)结合垂直平分线的性质和椭圆的定义,求出椭圆C的方程. (2)设出直线 2 l的方程,联立直线 2 l的方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用2DNDM,结合向量相 等的坐标表示,求得直线 2 l的斜率,进而求得直线 2 l的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线 2 l的方程的 设法的不同. 【详解】 (1)因为圆A的方程为 2 2 116xy, 所以1,0A ,半径4r . 因为 1 l是线段AP的垂直平分线,所

23、以QPQB. 所以4APAQQPAQQB. 因为4AB, 所以点Q的轨迹是以1,0A ,1,0B为焦点,长轴长24a的椭圆. 因为2a,1c, 222 3bac, 所以曲线C的方程为 22 1 43 xy . (2)存在直线 2 l使得2DNDM. 方法一:因为点D在曲线C外,直线 2 l与曲线C相交, 所以直线 2 l的斜率存在,设直线 2 l的方程为4yk x. 设 11 ,M x y, 2212 ,N x yxx, 由 22 1 43 (4) xy yk x 得 2222 343264120kxk xk. 则 2 12 2 32 34 k xx k , 2 12 2 6412 34 k

24、x x k , 由题意知 2 222 324 3464120kkk ,解得 11 22 k. 因为2DNDM, 所以 21 424xx,即 21 24xx. 把代入得 2 1 2 4 16 34 k x k , 2 2 2 4 16 34 k x k . 把代入得 2 365k ,得 5 6 k ,满足 11 22 k. 所以直线 2 l的方程为: 5 (4) 6 yx或 5 (4) 6 yx . 方法二:因为当直线 2 l的斜率为 0 时,2,0M,2,0N ,6,0DN ,2,0DM , 此时2DNDM. 因此设直线 2 l的方程为:4xty. 设 11 ,M x y, 2212 ,N x

25、 yxx, 由 22 1 43 4 xy xty 得 22 3424360tyty. 由题意知 22 (24 )4 36 340tt ,解得2t 或2t , 则 12 2 24 34 t yy t , 12 2 36 34 y y t , 因为2DNDM,所以 21 2yy. 把代入得 1 2 8 34 t y t , 2 2 16 34 t y t 把代入得 2 536t , 6 5 t ,满足2t 或2t . 所以直线 2 l的方程为 5 (4) 6 yx或 5 (4) 6 yx . 【点睛】 本小题主要考查椭圆的定义和标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查化归与转化的数学思想方法, 考

26、查运算求解能力,属于中档题. 21、解: (1)由频率分布直方图可得,空气质量指数在90,110的天数为 2 天,所以估计空气质量指数在 90,100的天数为 1 天,故在这 30 天中空气质量等级属于优或良的天数为 28 天. (2)在这 30 天中,乙不宜进行户外体育运动,且甲适宜进行户外体育运动的天数共 6 天, 2 24 2 30 92 (0) 145 C P X C , 11 624 2 30 48 (1) 145 CC P X C , 2 6 2 30 1 (2) 29 C P X C , X的分布列为 X 0 1 2 P 92 145 48 145 1 29 924812 012

27、 145145295 EX . 甲不宜进行户外体育运动的概率为 1 10 ,乙不宜进行户外体育运动的概率为 3 10 , 2 21 32 1937567 101010 1050000 PCC . 22、 (1) 2 22 22 1(1)(1)(1) aaxa axxaxx fx , f x在1x 时取到极值, 10f,解得1a , 故在1x 处的切线方程为:ln2y . 注意到 1 20ln2 3 f ,故此时 ln2f x 不恒成立. 当2a时,在区间0,上, 0fx 恒成立,所以此时 f x在0,递增, 01ln2f xf ,故此时 ln2f x 恒成立. 当02a时, f x的单调减区间

28、为 2 0, a a ,单调增区间为 2 , a a , f x在 2a x a 处取得最小值,只需 2 ln2 a f a 恒成立, 设 2 1 2 ( )ln(2)1)(02) 2 1 a a a fg aaaa aa a , 设 2 (0,) a t a , 2 221 ( )ln1 11 att m tf att 2 2 2 (1)22 ln12ln(1)ln11 111 t tt ttt , 2 22 4 ( )0 (1)1 t m t tt , m t在0,递减,又 1ln2m, 所以1t 即 2 1 a a ,解得12a, 综上可知,若 ln2f x 恒成立,只需a的取值范围是1,.