1、2020 年河南省高考数学质检试卷（文科）（年河南省高考数学质检试卷（文科）（6 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x（x2）0，Bx|x1，则 AB（ ） A（0，1） B（1，2） C0，1） D（1，2 2已知复数 z+2i，则|z|（ ） A B2 C D 3在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为，则 C（ ） A B C或 D或 4计算： （ ） A B C D 5“（x3）lnx0”是“2x8”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知实数 x，y 满约束条件则 z2xy
2、 的最小值为（ ） A5 B4 C3 D2 7函数 f（x）xln（x）的图象大致为（ ） A B C D 8刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用 圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法已知半径为 1 的圆 O 内接正二十四 边形，现随机向圆 O 内投放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正二十四边形内（a，bN*，ba），则圆 周率的近似值为（ ） A B C D 9 若非零向量满足 ， 则向量 与 夹角的余弦值为 （ ） A B C D 10已知函数 f（x）若 a50.01，b 0.9，则有（ ） Af（b）f（a）f（
3、c） Bf（c）f（a）f（b） Cf（a）f（c）f（b） Df（a）f（b）f（c） 11已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，B 为椭圆的上顶点，若BF1F2的外 接圆的半径为，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 12如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABBC，ADBP，PAAC，若三棱锥 PABC 外接 球表面积为 8，则三棱锥 PACD 体积的最大值为（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题）. 13曲线 y2x2lnx 在某点处的切线的斜率为 3，则该切线的方程为 14已知在等比数列an中，则数列an的通项公式为 15已知函数 f（x）sinx+a
4、cosx（05，a0）对任意的 x1，x2都有 f（x1）+f（x2）4，且存 在 x0R，f（x0）2，点 为曲线 yf（x）的对称中心若将函数 yf（x）的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则 g（0） 16已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1的直线与双曲线 C 的 左支相交于点 A，与双曲线的右支相交于点 B，O 为坐标原点若 2|BF2|3|AF1|，且|F1F2|2|OB|，则双 曲线 C 的渐近线方程为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根
5、据要求作答 17在数列an中，a11，对nN*，nan+1（n+1）ann（n+1） （1）求数列an的通项公式； （2）若，求数列bn的前 n 项和 Sn 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，BCAD，ABBC，ABBC1，ADAP2，E 为 PD 的中点，F 为 BP 的中点 （1）求证：CE平面 PAB； （2）求点 D 到平面 PBC 的距离 19PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国 PM2.5 标准采用世卫 组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下的空气质量为一级；在 35 微克/立方米与
6、75 微克/立方米之间的空气质量为二级（含边界值）；在 75 微克/立方米以上的空气质量为超标为了解 A 城市 2019 年的空气质量情况，从全年每天的 PM2.5 日均值数据中随机抽取 30 天的数据作为样本，日 均值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） （1）求 30 天样本数据的平均数； （2）从 A 城市共采集的 30 个数据样本中，从 PM2.5 日均值在70，90范围内随机取 2 天数据，求取到 2 天的 PM2.5 均超标的概率； （3）以这 30 天的 PM2.5 日均值数据来估计一年的空气质量情况，求 A 城市一年（按 365 天计算）中空 气质量达到一级、二级分别有多少天？（
7、结果四舍五入，保留整数） 20已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 F 到直线 xy+10 的距离为 （1）求抛物线 C 的方程 （2）点 O 为坐标原点，直线 l1，l2经过点 M（1，0），斜率为 k1的直线 l1与抛物线 C 交于 A，B 两点， 斜率为 k2的直线 l2与抛物线 C 交于 D，E 两点，记 |MA| |MB| |MD| |ME|，若 ，求 的 最小值 21已知函数 f（x）x22ax+2lnx（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2（x2x1），求证：f（x2）f（x1）（2a）（x2x1） 选修 4-4：
8、坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（1，0）；以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相 同的单位长度建立极坐标系，点 M 的极坐标为，曲线 C1的极坐标方程为 4cos （1）若点 N 为曲线 C1上的动点，求线段 MN 的中点 T 的轨迹 C2的直角坐标方程； （2）在（1）的条件下，若过点 P 的直线 l 与曲线 C2相交于 A，B 两点，求|PA| |PB|的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x2|+|x+1| （1）求不等式 f（x）4 的解集； （2）若函数 yf（x）+|x+1|的最小值为 k，求的最小值 参考答案 一
9、、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x（x2）0，Bx|x1，则 AB（ ） A（0，1） B（1，2） C0，1） D（1，2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|x（x2）0 x|0 x2， Bx|x6， 故选：D 2已知复数 z+2i，则|z|（ ） A B2 C D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 解：z+2i， |z| 故选：D 3在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为，则 C（ ） A B C或 D或 【分析】由题意利用三角形的面积公式可得 sin2C，结合 sinC0，可求
10、sinC 的值，结合 C 的范围即 可求解 C 的值 解：由题意可得：ABC 的面积为absinC， 可得：sin2C， 所以 sinC， 故选：C 4计算： （ ） A B C D 【分析】由已知利用平方差公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解 解：cos2cos2 故选：A 5“（x3）lnx0”是“2x8”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据题意，求出两个不等式的解集，分析其解集之间的关系，结合集合与充分必要条件的关系 分析可得答案 解：根据题意，不等式（x3）lnx0或，解可得 0 x1 或 x3，即不等式的
11、解 集为x|8x1 或 x3， 2x8，解可得 x7，即不等式的解集为x|x3， 则“（x3）lnx0”是“2x8”的必要不充分条件； 故选：B 6已知实数 x，y 满约束条件则 z2xy 的最小值为（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最小值 解 ： 作 出 实 数x ， y满 约 束 条 件对 应 的 平 面 区 域 （ 阴 影 部 分 ） ， 由 z7xy，得 y2xz， 此时 z 的最小值为 z4， 故选：B 7函数 f（x）xln（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据题意，由函数的解析式分析 f（1
12、）与 f（1）的符号，利用排除法分析可得答案 解：根据题意，函数 f（x）xln（x），则 f（1）ln（1）4，排除 BC， f（1）ln（+1）0，排除 A， 故选：D 8刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用 圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法已知半径为 1 的圆 O 内接正二十四 边形，现随机向圆 O 内投放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正二十四边形内（a，bN*，ba），则圆 周率的近似值为（ ） A B C D 【分析】根据题意，由圆的半径求出圆的面积以及圆的内接正二十四边形的面积，结合几何概型的知识 可得
13、，变形即可得答案 解：根据题意，圆 O 的半径为 1，则其面积 S， 其内接正二十四边形的面积 S24（11sin15）33， 变形可得：； 故选：C 9 若非零向量满足 ， 则向量 与 夹角的余弦值为 （ ） A B C D 【分析】根据平面向量的数量积与模长、夹角公式，即可求出向量 与 夹角的余弦值 解：由， 所以（ +2 ） （ 2 ）0， 即80，所以| |2| |； 代入得 4+8cos+3 0， 所以向量 与 夹角的余弦值为 故选：A 10已知函数 f（x）若 a50.01，b 0.9，则有（ ） Af（b）f（a）f（c） Bf（c）f（a）f（b） Cf（a）f（c）f（b）
14、Df（a）f（b）f（c） 【分析】根据 f（x）的解析式即可判断 f（x）在（0，+）上是增函数，并且 x0 时，f（x）0，x 0 时，f（x）0，并且可判断 a1b0c，从而可得出 f（a），f（b）和 f（c）的大小关系 解：f（x）在（0，+）上是增函数，且 x0 时，f（x）0，x0 时，f（x）0， b 1，a50.01501，clog30.6log310，4b1，a1，c0， f（a）f（b）f（c） 故选：D 11已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，B 为椭圆的上顶点，若BF1F2的外 接圆的半径为，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，利
15、用勾股定理列式可得 b23c2，结合隐含条件即可求得椭圆 C 的离心率 解：设 O 为坐标原点，BF1F2的外心必在线段 OB 上， 且有，得 b23c2， 椭圆 C 的离心率为 e 故选：C 12如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABBC，ADBP，PAAC，若三棱锥 PABC 外接 球表面积为 8，则三棱锥 PACD 体积的最大值为（ ） A B C D 【分析】设 ABa，BCb，由三棱锥 PABC 外接球表面积得外接球的半径，再由已知结合勾股定理 列式求得 AP 及 a2+b2的值， 把 PB， BD 用含有 a 的代数式表示， 过 D 作 DEAB， 可得 DE平面 A
16、BC， 利用三角形相似把 DE 用含有 a 的代数式表示，可得 VPACDVPABCVDABC，整理后利用基本不等式 求最值 解：设 ABa，BCb，由三棱锥 PABC 外接球表面积为 8，得外接球的半径为， 又 PA平面 ABC，得 ABBC， PA平面 ABC，ADBP，PB，BD， DEPA，可得，则 三棱锥 PACD 体积的最大值为 故选：D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13曲线 y2x2lnx 在某点处的切线的斜率为 3，则该切线的方程为 3xy10 【分析】先利用已知的切线斜率，列方程求出切点的横坐标，然后代入原函数求出切点坐标，最后利用 点斜式写出
17、切线方程 解：由得：（舍） 所以切点坐标为（1，2）故切线方程为 y23（x5） 故答案为：3xy10 14 已 知 在 等 比 数 列 an 中 ， 则 数 列 an 的 通 项 公 式 为 或 【分析】由已知结合等比数列的性质可求公比及 a1，然后结合等比数列的通项公式即可求解 解：因为， 由等比数列的性质可知， 所以， 解可得，或， 当时，q3，an2n 2 故答案为：an22n，或 an2n5 15已知函数 f（x）sinx+acosx（05，a0）对任意的 x1，x2都有 f（x1）+f（x2）4，且存 在 x0R，f（x0）2，点 为曲线 yf（x）的对称中心若将函数 yf（x）的
18、图象向右平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则 g（0） 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，先求出函数 g（x） 的解析式，从而求得 g（0）的值 解：函数 f（x）sinx+acosx（05，a0）对任意的 x1，x2都有 f（x1）+f（x7）4， 且存在 x0R，f（x0）3， 点为曲线 yf（x）的对称中心， 若将函数 yf （x） 的图象向右平移个单位长度， 得到函数 g （x） 2sin （4x+） 2sin （4x） 的图象，则 g（0）7sin（）2sin， 故答案为： 16已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F
19、1的直线与双曲线 C 的 左支相交于点 A，与双曲线的右支相交于点 B，O 为坐标原点若 2|BF2|3|AF1|，且|F1F2|2|OB|，则双 曲线 C 的渐近线方程为 2xy0 【分析】设|AF1|2m，m0，求得|BF2|，运用双曲线的定义可得|AF2|，|BF1|，|AB|，推得 BF1BF2，运 用勾股定理推得 m，b2a，可得双曲线的渐近线方程 解：设|AF1|2m，m0，则|BF2|3m，因为|AF2|AF3|2a， 所以|AF2|2m+2a，同理可得|BF5|2a+3m， 因为|F1F2|2|OB|，所以 BF1BF3， 即（2m+2a）2（5a+m）2+9m8，解得 m，
20、在直角三角形 BF1F2中，由|F7F2|2|BF1|2+|BF2|7， 所以双曲线的渐近线方程为 2xy0 故答案为：2xy0 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17在数列an中，a11，对nN*，nan+1（n+1）ann（n+1） （1）求数列an的通项公式； （2）若，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】（1）先由 nan+1（n+1）ann（n+1）1，进而说明数列 ）是首项、公差 均为 1 的等差数列，求出，即可求得 an； （2）先由（1）中求得的 an
21、求出 bn，再利用裂项相消法即可求得其前 n 项和 Sn 解：（1）nan+1（n+1）ann（n+1）， 1，又1， 数列）是首项、公差均为 1 的等差数列 （3）由（1）得 ann2，bn ， Sn（1 ）+（）+（）1 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，BCAD，ABBC，ABBC1，ADAP2，E 为 PD 的中点，F 为 BP 的中点 （1）求证：CE平面 PAB； （2）求点 D 到平面 PBC 的距离 【分析】（1）取 AP 的中点 G，连接 EG，BG，证明四边形 BCEG 为平行四边形，则有 CEBG，即可 证 CE平面 PAB； （2）过点 A 作垂足
22、为 H，证明 AH平面 PBC，又 ADBC，所以点 D 到平面 PBC 的距离即为 AH 长， 求解 AH 即可 【解答】（1）证明：如图，取 AP 的中点 G，连接 EG，BG， DEPE，AGPG，GEAD 且 AD2GE BCAD，BC1，GEBC 且 GEBC， CEBG CE平面 PAB （2）解：如图，过点 A 作 AHBP，垂足为 H BCAB，ABAPA，又 AB，AP平面 PAB，BC平面 PAB AHBP，BPBCB，BP，BC平面 PBC，AH平面 PBC ADBC，BC平面 PBC，AD平面 PBC，AD平面 PBC， 故点 D 到平面 PBC 的距离为 19PM2.
23、5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国 PM2.5 标准采用世卫 组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下的空气质量为一级；在 35 微克/立方米与 75 微克/立方米之间的空气质量为二级（含边界值）；在 75 微克/立方米以上的空气质量为超标为了解 A 城市 2019 年的空气质量情况，从全年每天的 PM2.5 日均值数据中随机抽取 30 天的数据作为样本，日 均值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） （1）求 30 天样本数据的平均数； （2）从 A 城市共采集的 30 个数据样本中，从 PM2.5 日均值在70，90范围内随机
24、取 2 天数据，求取到 2 天的 PM2.5 均超标的概率； （3）以这 30 天的 PM2.5 日均值数据来估计一年的空气质量情况，求 A 城市一年（按 365 天计算）中空 气质量达到一级、二级分别有多少天？（结果四舍五入，保留整数） 【分析】（1）根据茎叶图中数据计算平均数即可； （2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值； （3）利用样本数据估计总体数据即可 解：（1）30 天样本数据的平均数为 （20+60+150+160+200+300+210+160+180+16+21+19+18+19+23+16+9+9）53； 而 PM2.5 日均值为超标（大于 75 微克/立方米）的
25、有 3 天； 则从这 5 天中随机取 2 天，共有如下 10 种结果（不记顺序）： 其中，抽出 2 天的 PM2.5 日均值均超标的情况有 5 种：（a，b）、（a，c）、（b，c）， （3）在抽取的 30 天样本数据中，A 城市有 8 天达到一级，有 17 天达到二级 A 城市一年（按 365 天计算）中空气质量达到二级的天数约为：365207（天）； 所以估计 A 城市一年中空气质量为一级约有 97 天，空气质量为二级约有 207 天 20已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 F 到直线 xy+10 的距离为 （1）求抛物线 C 的方程 （2）点 O 为坐标原点，直线 l1，
26、l2经过点 M（1，0），斜率为 k1的直线 l1与抛物线 C 交于 A，B 两点， 斜率为 k2的直线 l2与抛物线 C 交于 D，E 两点，记 |MA| |MB| |MD| |ME|，若 ，求 的 最小值 【分析】（1）求得 F 的坐标，由点到直线的距离公式可得 p，进而得到抛物线的方程； （2）设点 A，B 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立直线 l1和抛物线的方程，运用韦达定理和两 点的距离公式，求得|MA|，|MB|，同理可得|MD|，|ME|，可得 的式子，化简整理由基本不等式可得所求 最小值 解：（1）点 F 的坐标为（，0）， 点 F 到直线 xy+10 的距离为
27、， 所以抛物线 C 的方程为 y24x 联立方程消去 y 后整理为，k12x2+（4k124）x+k124， 所以 x1+x2 ，x1x26， 则|MB|x2+1|，且 x1，x20， 同理，|MD| |ME| 64（1+k17）（1+k22）64（k15+k22+ ）64（2|k1k4|+）64（1+）144（当且仅当 k4 ， k2时取等号） 所以 的最小值为 144 21已知函数 f（x）x22ax+2lnx（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2（x2x1），求证：f（x2）f（x1）（2a）（x2x1） 【分析】（1）函数 f（x）的
28、定义域为（0，+），f（x），然后分 a0，0a2 和 a 2 三类讨论 f（x）与 0 的大小关系，从而得 f（x）的单调性； （2）由（1）知，x1、x2是方程 x2ax+10 的两个不同正根且 ，故 0 x11x2；于是可 将 f（x2）f（x1）化简为（ ）+2ln，将（2a） （x2x1）化简为 2（x2x1）（）， 然后利用分析法将原问题转化为证明 x22lnx20 恒成立； 构造函数 g （x） x2lnx （x1） ， 利用导数判断其单调性，并求最小值即可得证 【解答】（1）解：函数 f（x）的定义域为（0，+），f（x）2x2a+， 当 a0 时，x6ax+10 恒成立，即
29、f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 0a8 时，0，f（x）0 恒成立，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a2 时，令 f（x）0，得 0 x或 x，函数 f（x）单调递增； 综上所述， 当 a6 时， 函数 f （x） 在 （0，） 和 （， +） 上单调递增， 在 （，） 上单调递减 f（x2）f（x1）（ 2ax2+2lnx2）（ 2ax1+2lnx1） （2a） （x2x1）2（x2x6）a（x2x1）2（x4x1）（x2+x1） （x2x1）2（x2x4）（ ）， x4x21，只需证 ln x2 ，即证 x72lnx50 g（x）g（1）0，即 x22l
30、nx20 故若 f（x）存在两个极值点 x1，x2（x2x1），则 f（x2）f（x1）（2a）（x2x1） 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（1，0）；以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相 同的单位长度建立极坐标系，点 M 的极坐标为，曲线 C1的极坐标方程为 4cos （1）若点 N 为曲线 C1上的动点，求线段 MN 的中点 T 的轨迹 C2的直角坐标方程； （2）在（1）的条件下，若过点 P 的直线 l 与曲线 C2相交于 A，B 两点，求|PA| |PB|的值 【分析】（1）先根据直角坐标系与极坐标系坐标之间的关系求出 M
31、 点的直角坐标系坐标与曲线 C1的直 角坐标系方程， 再利用 T 为 MN 的中点这个条件求出 N 点坐标与 T 点坐标之间的关系， 再代入到方程 （m 2）2+n24 中即可得到 x，y 的关系，即线段 MN 的中点 T 的轨迹 C2的直角坐标方程； （2）先求出直线 l 的标准的参数方程，再与曲线 C2联立，结合参数 t 的几何意义即可求出|PA| |PB|的 值 解：（1）点 M 的直角坐标方程为（2，2）， 将代入曲线 C3的极坐标方程， 设点 T 的坐标为（x，y），点 N 的坐标为（m，n），则（m2）2+n24 得，代入（m2）4+n24，可得 4x2+（5y2）24， 故线段
32、MN 的中点 T 的轨迹 C2的直角坐标方程为 x2+（y1）21 A，B 对应的参数分别为 t1，t2 t2+2（cossin）t+70， t1+t22（cossin），t1 t25， 所以|PA| |PB|的值的值为 1 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x2|+|x+1| （1）求不等式 f（x）4 的解集； （2）若函数 yf（x）+|x+1|的最小值为 k，求的最小值 【分析】（1）对 x 进行讨论，化简绝对值，进而可求不等式的解集； （2）由绝对值不等式的性质可求 f（x）的最小值，进而可求 k，然后结合基本不等式即可求解 解：（1）当 x1 时，原不等式可化为 22x（x+1）5，得 x1，故有 x1； 当1x1 时，原不等式可化为 26x+x+14，得 x1，故有1x1； 当 x1 时，原不等式可化为 2x2+x+15，解得 x，故有 1 综上，不等式的解集为1， 所以 k4 当且仅当 2m，即 m1 时“”成立， 所以 km+的最小值为 4
