1、 新教材 2020-2021 学年上学期高二第一次月考备考试卷 数数学（学（A） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分
2、，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1直三棱柱中，若， ，则（ ） A B C D 2已知空间向量，则 （ ） A B C D 3已知， ，则是（ ） A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 4若点与关于平面对称，点 与关于轴对称，则点与关于（ ）对称 A 轴 B平面 C原点 D不是以上答案 5直线的方向向量 ，直线的方向向量，则直线与的位置关系 是（ ） A平行 B相交 C垂直 D不能确定 6已知向量为平面的法向量，点 在内，则点到平面的距离 为（ ） A B C D 7在正方体，平面与平面 所成二
3、面角的余弦值为（ ） A B C D 8如图，已知正方体棱长为，点在棱上，且，在侧面 内作边长为的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线 段的长，则当点在侧面运动时，的最小值是（ ） A B C D 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9已知， ，若，三点共线，则点坐标可能为（ ） A B C D 10 已知点为三棱
4、锥的底面 所在平面内的一点， 且（， ） ，则，的值可能为（ ） A， B， 111 ABCABC CAaCBb 1 CC c 1 AB ab c ab c abc abc 0ab c2a3b4c cos,a b 1 2 1 3 1 2 1 4 (3,0, 1)A(0, 2, 6)B(2,4, 2)C ABC P P xOy P P z P P xyOz O 1 l 1 (1,0, 1)v 2 l 2 ( 2,0,2) v 1 l 2 l (2,0,1)n( 1,2,1)A (1,2,2)P 5 5 52 5 5 10 1111 ABCDABC D 1 ABD 1 C BD 1 2 3 2 1
5、 3 3 3 1111 ABCDABC D 8H 1 AA 1 2HA 11 BCC B 2 1 EFGC P 11 BCC B P 11 CDDC PFP 11 BCC B 2 HP 87888990 ( 1,1,3)M ( 2, 1,4)N MNOO (3,5, 2)( 4, 5,6) 5 1 (, 2) 2 2 (0,3,2) POABCABC 1 2 OPOAmOBnOCm nR mn 1m 1 2 n 1 2 m 1n 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 C， D， 11在长方体中， ，则异面直线与 所成角的大小可能为（ ） A B C D 12在长方体中， ，以
6、为原点， 的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A的坐标为 B C平面的一个法向量为 D二面角的余弦值为 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 在轴上有一点， 点 到点与点的距离相等， 则点坐标为 14已知向量满足，且，若与的夹角为 ，则 15已知， ，点，若平面，则点的坐标 为 16在长方体中， ，以为原点，方 向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，若点为线段的中 点，则到平面距离为 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应
7、写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在平面，三个条件中选两个条件补充在下面 的横线处，使得平面成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题 如图，在三棱锥中，若 ，且，求直线与平面所成 角的正弦值 18 （12 分）如图，在长方体中 （1）写出直线的一个方向向量； （2）写出平面的一个法向量； （3）写出与，共面的两个向量 19 （12 分）如图，已知空间四边形，连接，分别是， 的中点，请化简： （1）； （2），并在图中标出化简结果的向量 1 2 m 1n 3 2 m 1n ABCDABCD 1ABAD (1)AA A BBC 6 4 3
8、 2 ABCDABCD 2ABAD3AAD DADC DD x y z B (2,2,3) ( 2,0,3)BC ABC ( 3,3, 2) BACB 22 11 z MM (1,0,2)A(1, 3,1)B M BC 1a2 a bab 3 b (0,1,0)A(1,1,0)B(1,0,0)C( , ,1)P x y PA ABCP ABCDABCD 22ABAAADD DADC DD x y z AC PAB PABC PA ABCBCACPBBC BC PAC PABC22PAACBCABPBC 1111 ABCDABC D 11 AC 11 BCC B ABAC ABCDACBDEFG
9、BCCDDB ABBCCD ABGDEC 20 （12 分）在直三棱柱中，是的中点 （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离 21（12 分） 如图， 在三棱柱 中， 侧棱平面， ，点是的中点 （1）证明：平面； （2）在线段上找一点，使得与所成角为，求的值 22 （12 分）如图，直四棱柱中，底面是边长为的菱形，且 ，为中点 （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值 1 3AAABBC 2AC DAC 1 BC 1 ABD 1 BC 1 ABD 111 ABCABC 1 AA ABCACBC1AC 2BC 1 1A A DAB 1 AC 1 CDB ABP 1 AC CP60 AP A
10、B 1111 ABCDABC D 1 3AA ABCD4 60BADEAD BE 11 ADD A 11 BABE 数数学（学（A）答案答案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】D 【解析】，故选 D 2 【答案】D 【解析】， ， 3 【答案】C 【解析】由题知， ， 则可知，故为直角三角形 4 【答案】C 【解析】设点，则的坐标为，的坐标为， 所以点与关于原点对称 5 【答案】A 【解析】， 6 【答案】B
11、【解析】， 点到平面的距离 7 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐 标系如图， 设正方体的棱长为 ，则， ， ， 和分别是平面和平面的法向量， 又， 结合图形可知平面与平面所成二面角的余弦值为 8 【答案】B 【解析】建立空间直角坐标系，如图所示， 过点作，垂足为，连接，则， 当最小时，最小，过作，垂足为， 设，则，且， ，化简得， ， 当时，取得最小值，此时最小， 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题
12、目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】BD 111 ABAAABCCCBCA abc 0ab cabc 222 2 ()2ababa bc 3 2 a b 1 cos, 4 a b a b a b 222 (3 0)(02)( 1 6)38AB 222 (3 2)(04)( 1 2)18AC 222 (02)( 24)( 62)56BC 222 BCACABABC ( , , )P x y z P ( , ,)x yz P (,)xyz P PO 1 (1,0, 1)v 2 ( 2,0,2) v 1
13、2 vv 12 ll ( 2,0, 1)PA (2,0,1)n P 4 1 5 5 PA d n n DDADC 1 DDx y z 1 1 ( 1,1, 1)AC 1 ( 1,1,1)AC (1,1,0)DB 1 (0,1,1)DC 1 (1,0,1)DA 1 0AC DB 11 0AC DC 11 0AC DA 1 0AC DB 1 AC 1 AC 1 C BD 1 ABD 11 1 cos, 3 AC AC 1 ABD 1 C BD 1 3 H 1 HMBB MMPHMPM 222 HPHMMP MP 2 HP P 1 PNCC N ( ,8, )P xz(2,8,6)F(8,8,6)M
14、(0,8, )Nz 08x08z PNPF 22 (2)(6)xzx 2 44(6)xz 222222 (8)(6)(8)441260(6)2424MPxzxxxxx 6x 2 MP 2 HP 2222 82488HPHMMP 【解析】由已知可得， 对于 B 选项，此时，三点共线，满足题意； 对于 D 选项，此时，三点共线，满足题意， 故选 BD 10 【答案】CD 【解析】根据空间向量基本定理可知，即，C、D 满足题意 11 【答案】AB 【解析】以为原点，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线与所成角为，则， ， 故选 AB 12 【答案】ABD 【解析】由已知得
15、， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，得； 又平面的一个法向量为， ， 二面角的余弦值为 综上可知，ABD 正确 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】 【解析】设，点到点与点的距离相等， 所以， ，解得， 所以点的坐标为 14 【答案】 【解析】由，得，所以 15 【答案】 【解析】由已知得， 若平面，则，即，解得， 故点的坐标为 16 【答案】， 【解析】由题意可知， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 又，到平面距离为 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分
16、分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】见解析 【解析】若选：由知，为直角三角形，所以不垂直， ( 1, 2,1)MN ( 2, 4,2)2NOMN MNO (2,4, 2)2NOMN MNO 1 1 2 mn 1 2 mn D DADC DD x y z (1,0, )A(1,1,0)B(1,1, )B(0,1,0)C (0,1,)A B( 1,0,)B C A BBC (0) 2 2 2 cos 1 A B B C A BB C 1 1 cos1 2 0 3 (2,2,3) B (2,2,0)B(2,0,0)A(2,0,3) A (0
17、,2,3) C ( 2,0,3)BC ( 2,2,0)A C ABC ( , , )x y zm 230 220 BCxz A Cxy m m 3x (3,3,2)m ABC (0,0,1)n 222 cos, 1122 m n m n mn BACB 22 11 (0,0, 3) (0,0, )Mz M (1,0,2)A(1, 3,1)B 22 1 (2)1 9(1)zz 22 45211zzzz26z 3z M (0,0, 3) 4 cos, a ba ba b 21 cos, 2 a b a b a bb 4b (0,1,1) ( ,1,1)APx y(1,0,0)AB (1, 1,0)
18、AC PA ABC 0 0 AP AB AP AC 0 10 x xy 0 x 1y P (0,1,1) ( 1,2,2) 6 6 (1,0,0)A(0,2,2) C (1,2,0)B(1,0,2) A (1,1,0)P ( 1,2,2)AC (0,2, 2)A B( 1,0,2)BC ABC ( , , )x y zn 220 20 A Byz BCxz n n 2x (2,1,1)n (0, 1,0)BP PABC 16 66 BP n n PBBCPBCBCPC 又平面，所以不可能垂直平面，所以必不选，故选 下面证明：平面 平面，平面， 又，平面，平面， 平面 作平面，易知，两两相互垂直
19、， 以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系 ， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 直线与平面所成角的正弦值为 18 【答案】 （1）； （2）； （3）， 【解析】 （1）从图形中可以看出，故， 即为直线的一个方向向量 （2）由于，且， 所以有平面，从而是平面的一个法向量 （3）由于与不共线，且在平面中， 因此，只需要找与平面平行或共面的线段对应的向量即可 平面，平面， 故，是与，共面的向量 19 【答案】 （1）； （2），图见解析 【解析】 （1），如下图中向量 （2）连接，如图中向量 20 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【解析】 （1）证明
20、：连接交于点，则点为中点， 又是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面 （2）因为平面，所以到平面的距离就等于点到平面的距离， 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 所以，即，即，令，则， 距离为 21 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【解析】 （1）证明：设与相交于，连结， PC PACBCPAC BC PAC PA ABCBC ABCBCPA BCACAC PACPAPACACPAA BC PAC PCABCCACB CP C CACB CP x y z Cxyz 22PAACBC (1,0,0)A(0,2,0)B(0,0,0)C(1,0,2
21、)P ( 1,2,0)AB (0,2,0)CB (1,0,2)CP PBC ( , , )x y zn 0 0 CB CP n n 20 20 y xz 1z ( 2,0,1) n 22 cos, 555 AB AB AB n n n ABPBC 2 5 ACAB 11 AB 11 AC 11 ACAC 11 ACAC AC11 AC ABBC 1 ABBB 1 BCBBB AB 11 BCC B AB11 BCC B ABAC ABCD ABCD 11 AB ABCD 11 AC ABCD 11 AB 11 AC ABAC ADAF ABBCCDACCDADAD GF ABGDECABBGE
22、CAGGFAFAF 3 10 10 1 AB 1 AB EE 1 AB DAC 1 DEBC DE 1 ABD 1 BC 1 ABD 1 BC 1 ABD 1 BC 1 ABD 1 BC 1 ABD 1 B 1 ABD D 1(0,2 2,3) B(0,2 2,0)B 1( 1,0,3) A 1 (0,2 2,3)DB (0,2 2,0)DB 1 ( 1,0,3)DA 1 ABD( , , )x y zn 1 DB DA n n 1 0 0 DB DA n n 2 20 30 y xz 1z (3,0,1)n 13 10 10 DB d n n 1 3 1 CB 1 C B EDE 是的中点，
23、是的中点， 平面，平面，平面 （2）建立空间直角坐标系如图，为轴，为轴，为轴， ， ， 设， 所以，故 22 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【解析】 （1）由四边形是菱形，且， 是正三角形， 为中点，所以， 又四棱柱是直四棱柱，平面， 又平面， ，所以平面 （2）由（1）知，分别以、为，轴建立坐标系，如图所示， 则， ， 设平面的一个法向量为； 平面的一个法向量为， 则有，解得，所以取； ，解得，所以取 设二面角的平面角为，可知为钝角， 则， 所以二面角的余弦值是 DABE 1 BC 1 DEAC DE 1 CDB 1 AC 1 CDB 1 AC 1 CDB 1 CCz CA x CB
24、 y (0,0,0)C(1,0,0)A(0,2,0)B 1(0,0,1) C (1,0,0)CA ( 1,2,0)AB (01)APAB(1,2 ,0)CPCAAB 1 ( 1,0,1)AC 1 2 111 cos, 23 5212 AC CP 1 3 AP AB 3 39 26 ABCD60BAD ABD EADBEAD 1111 ABCDABC D 1 AA ABCD BE ABCD 1 AABE 1 AAADA BE 11 ADD A BEBC BEBC 1 BB x y z (2 3,0,0)E 1(2 3, 2,3) A 1(0,0,3) B (2 3,0,0)BE 1 (2 3, 2,3)BA 1 (0,0,3)BB 1 EAB 1111 ( ,)x y zn 11 B AB 2222 (,)xy zn 1 111 2 30 2 3230 x xyz 1 11 0 3 2 x yz 1 (0,3,2)n 2 222 30 2 3230 z xyz 2 22 0 3 z yx 2 (1, 3,0)n 11 BABE 12 2 22 12 3 33 39 cos 26 3231 n n nn 11 BABE 3 39 26
