1、2020 年山东省淄博市张店区中考数学一模试卷年山东省淄博市张店区中考数学一模试卷 一、选择题： （本题共一、选择题： （本题共 12 小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把 正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）. 1下列各数中，比2 小的数是（ ） A0 B C1.5 D3 2下列几何体中，侧面展开图是矩形的是（ ） A B C D 3下列计算中，正确的是（ ） Aa5+a5a10 Ba2a3a6 C （a3）3a9 Da6a2a3（a0） 4下列命题中，正确的是（ ） A两个直角三
2、角形一定相似 B两个矩形一定相似 C两个等边三角形一定相似 D两个菱形一定相似 5 如图， 直角坐标平面内有一点 P （2， 4） ， 那么 OP 与 x 轴正半轴的夹角 的余切值为 （ ） A2 B C D 6如果 x3y0，那么代数式的值为（ ） A2 B2 C D3 7设 x1为一元二次方程 x22x较小的根，则（ ） A0 x11 B1x10 C2x11 D5x14 8如图所示，概率学习中小红制作了一个游戏转盘，红、绿两个扇形的圆心角度数分别为 150，90让转盘自由转动（落在边界处重转） ，指针停止后落在紫色区域的概率是 （ ） A B C D 9如图，AB 为O 直径，已知DCB2
3、0，则DBA 为（ ） A50 B20 C60 D70 10如图，菱形 ABCD 的边长为 4，且 AEBC，E、F、G、H 分别为 BC、CD、DA、AB 的中点，以 A、B、C、D 四点为圆心，半径为 2 作圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A44 B42 C82 D84 11一辆货车与客车都从 A 地出发经过 B 地再到 C 地，总路程 200 千米，货车到 B 地卸货 后再去 C 地，客车到 B 地部分旅客下车后再到 C 地，货车比客车晚出发 10 分钟，则以 下 4 种说法： 货车与客车同时到达 B 地； 货车在卸货前后速度不变； 客车到 B 地之前的速度为 20 千米/时； 货车比
4、客车早 5 分钟到达 C 地； 4 种说法中正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12如图所示，菱形 ABCD 的边长是 2 厘米，BAD120，动点 M 以 1 厘米/秒的速度 自 A 点出发向 B 移动，动点 N 以 2 厘米/移的速度自 B 点出发向 D 移动，两点中任一个 到达线段端点移动便告结束若点 M、N 同时出发运动了 t 秒，记BMN 的面积为 S 厘 米 2，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 5 小题，请把正确的结果填在答题纸的相应位置上 ）小题，请把正确的结果填在答题纸的相应位
5、置上 ） 13的算术平方根是 14颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一小万去颐和园参加实践 活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则1 15若A 半径为 5，圆心 A 的坐标是（1，2） ，点 P 的坐标是（5，2） ，那么点 P 与A 位 置关系为 16如图，已知点 A、B 分别在反比例函数 y（x0）与 y（x0）图象上，且 OAOB，若 AB6，则AOB 的面积为 17甲地有 42 吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表： 类型 载重量（吨） 运费（元/车） 大货车 8 450 小货车 5 300 运完这批货物最少要支付运费 元 三、解答题
6、（本题共三、解答题（本题共 7 小题，请把解答过程写在答题纸上）小题，请把解答过程写在答题纸上） 18计算： 19已知：如图，MAN90，线段 a 和线段 b 求作：矩形 ABCD，使得矩形 ABCD 的两条边长分别等于线段 a 和线段 b 下面是小东设计的尺规作图过程 作法：如图， 以点 A 为圆心，b 为半径作弧，交 AN 于点 B； 以点 A 为圆心，a 为半径作弧，交 AM 于点 D； 分别以点 B、点 D 为圆心，a、b 长为半径作弧，两弧交于MAN 内部的点 C； 分别连接 BC，DC 所以四边形 ABCD 就是所求作的矩形 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全
7、图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明： AB ；AD ； 四边形 ABCD 是平行四边形 MAN90； 四边形 ABCD 是矩形（填依据 ） 20如图，点 C、E、F、B 在同一直线上，点 A、D 在 BC 异侧，ABCD，AEDF，A D （1）求证：ABCD； （2）若 ABCF，B40，求D 的度数 21为了丰富学生的业余文化生活，某校教务处准备在大课间期间开设兴趣小组，预设科目 为“舞蹈” “音乐” “电竞” “动漫”为了准确配备教室与师资，负责人制作了“你最喜欢 的科目”的调查问卷，在校园随机调查后制作了两幅不完整的统计图，请你根据信息解 答下面问题： （1）本次调查
8、中，参与问卷调查的人数为 ； （2）扇形统计图中的 m、n 的值为 、 ，补全条形统计图； （3）若该校有学生 2000 人，请你估计报名“电竞”的学生的人数为 ； （4）最先报名“动漫”课程的三名学生中有两名男生一名女生，若随机抽取两名学生参 与教室网线布设，求两名学生恰为一男一女的概率 22如图，四边形 ABCD 内接于O，BD 是O 的直径，过点 A 作 AECD，交 CD 的延 长线于点 E，DA 平分BDE （1）求证：AE 是O 的切线； （2）已知 AE8cm，CD12cm，求O 的半径 23如图，在ABC 与EBD 中，ABCEBD90，AB6，BC3，EB2，BD ，射线 A
9、E 与直线 CD 交于点 P （1）求证：ABECBD； （2）若 ABED，求 tanPAC 的值； （3）若EBD 绕点 B 逆时针旋转一周，直接写出线段 AP 的最大值与最小值 24已知，抛物线 yx2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，2） ，经过点 Q（2，2） 直线 yx+4 分别交 x 轴、y 轴于点 B、A （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 P 为抛物线上一动点（不与点 C 重合） ，PO 交抛物线于 M，PC 交 AB 于 N，连 MN求证：MNy 轴； （3）如图 2，过点 A 的直线交抛物线于 D、E，QD、QE 分别交 y 轴于 G、H求证： CGCH 为定
10、值 2020 年山东省淄博市张店区中考数学一模试卷年山东省淄博市张店区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本题共一、选择题： （本题共 12 小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把 正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）. 1下列各数中，比2 小的数是（ ） A0 B C1.5 D3 【分析】根据负数的绝对值越大负数反而小，可得答案 【解答】解：|3|2|， 32， 故选：D 2下列几何体中，侧面展开图是矩形的是（ ） A B C D 【分析】根据几何
11、体的展开图：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形； 六棱锥的侧面展开图是六个三角形；棱台的侧面展开图是四个梯形，可得答案 【解答】解：A、侧面展开图是矩形，故 A 正确； B、侧面展开图是扇形，故 B 错误； C、侧面展开图是三角形，故 C 错误； D、侧面展开图是梯形，故 D 错误 故选：A 3下列计算中，正确的是（ ） Aa5+a5a10 Ba2a3a6 C （a3）3a9 Da6a2a3（a0） 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底 数幂的除法法则逐一判断即可 【解答】解：Aa5+a52a5，故本选项不符合题意； Ba2a3a5，故本选项
12、不符合题意； C （a3）3a9，符合题意； Da6a2a4（a0） ，故本选项不符合题意 故选：C 4下列命题中，正确的是（ ） A两个直角三角形一定相似 B两个矩形一定相似 C两个等边三角形一定相似 D两个菱形一定相似 【分析】根据相似三角形的判定方法对 A、C 进行判断；利用反例可对 B、D 进行判断 【解答】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似， 而两个等边三角形一定相似 故选：C 5 如图， 直角坐标平面内有一点 P （2， 4） ， 那么 OP 与 x 轴正半轴的夹角 的余切值为 （ ） A2 B C D 【分析】过点 P 作 PAx 轴于点 A由
13、P 点的坐标得 PA、OA 的长，根据余切函数的定 义得结论 【解答】解：过点 P 作 PAx 轴于点 A 由于点 P（2，4） ， PA4，OA2 cot 故选：B 6如果 x3y0，那么代数式的值为（ ） A2 B2 C D3 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x3y 代入化简可得 【解答】解：原式（） ， x3y0， x3y， 则原式2， 故选：B 7设 x1为一元二次方程 x22x较小的根，则（ ） A0 x11 B1x10 C2x11 D5x14 【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案 【解答】解：x22x， 8x216x50， x， x1为一元
14、二次方程 x22x较小的根， x11， 56， 1x10 故选：B 8如图所示，概率学习中小红制作了一个游戏转盘，红、绿两个扇形的圆心角度数分别为 150，90让转盘自由转动（落在边界处重转） ，指针停止后落在紫色区域的概率是 （ ） A B C D 【分析】 直接利用已知得出紫色部分扇形的圆心角度数， 再利用概率公式计算得出答案 【解答】解：红、绿两个扇形的圆心角度数分别为 150，90 紫色部分扇形的圆心角度数为：36015090120， 故指针停止后落在紫色区域的概率是： 故选：B 9如图，AB 为O 直径，已知DCB20，则DBA 为（ ） A50 B20 C60 D70 【分析】先根
15、据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到ACB90，再利用互余得 ACD90DCB70，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解 【解答】解：AB 为O 直径， ACB90， ACD90DCB902070， DBAACD70 故选：D 10如图，菱形 ABCD 的边长为 4，且 AEBC，E、F、G、H 分别为 BC、CD、DA、AB 的中点，以 A、B、C、D 四点为圆心，半径为 2 作圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A44 B42 C82 D84 【分析】 由图形可知， 阴影部分的面积是菱形 ABCD 的面积减去半径为 2 的整圆的面积， 然后根据题目中的数据可以计算 AE 的长，然后代入数
16、据计算即可解答本题 【解答】解：由已知可得， ABBCAC4， 点 E 为 BC 的中点， AEBC，并且平分 BC， AE2， 图中阴影部分的面积是：42284， 故选：D 11一辆货车与客车都从 A 地出发经过 B 地再到 C 地，总路程 200 千米，货车到 B 地卸货 后再去 C 地，客车到 B 地部分旅客下车后再到 C 地，货车比客车晚出发 10 分钟，则以 下 4 种说法： 货车与客车同时到达 B 地； 货车在卸货前后速度不变； 客车到 B 地之前的速度为 20 千米/时； 货车比客车早 5 分钟到达 C 地； 4 种说法中正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个
17、 【分析】由函数图可以得出货车到达 B 地用时 30 分钟，客车到达 B 地用时 40 分钟， 根据货车比客车晚出发 10 分钟就可以得出货车与客车同时到达 B 地； 分别求出货车卸货前后的速度并作比较就可以得出结论； 由路程时间速度就可以得出结论； 由函数图象可以得出货车到达 C 地的时间是 80 分钟， 客车到达 C 地的时间是 85 分钟 就可以得出，但是客车先出发了 10 分钟，故货车比客车晚 5 分钟到达 C 地 【解答】 解： 函数图可以得出货车到达 B 地用时 30 分钟， 客车到达 B 地用时 40 分钟， 车比客车晚出发 10 分钟， 货车与客车同时到达 B 地故正确 货车在
18、卸货前的速度为：800.5160 千米/时， 货车在卸货后的速度为：1200.5240 千米/时 160240， 货车在卸货前后速度不相等故错误； 客车到 B 地之前的速度为：80120 千米/时20 千米/时故错误； 由函数图象可以得出货车到达 C 地所有时间是 80 分钟，客车到达 C 地所用时间是 85 分钟， 客车先出发了 10 分钟， 货车是客车出发 90 分钟后到达的 C 地， 货车比客车晚 5 分钟到达 C 地故错误 故选：A 12如图所示，菱形 ABCD 的边长是 2 厘米，BAD120，动点 M 以 1 厘米/秒的速度 自 A 点出发向 B 移动，动点 N 以 2 厘米/移的
19、速度自 B 点出发向 D 移动，两点中任一个 到达线段端点移动便告结束若点 M、N 同时出发运动了 t 秒，记BMN 的面积为 S 厘 米 2，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是（ ） A B C D 【分析】连接 AC 与 BD 交于点 O，作 MHBD，垂足为 H，根据菱形的性质以及题目给 出的条件可得 BOcm， 进而得出 BDcm， 根据题意可知 AMtcm， BN2tcm， 根据题意得出 t 的取值范围， 再根据三角形的面积公式得出 S 与 t 之间的函数关系式即可 得出正确选项 【解答】解：如图，连接 AC 与 BD 交于点 O，作 MHBD，垂足为 H， ABCD
20、是菱形，BAD120， BAC60，ABO30， BOABcos30（cm） ， BD（cm） ， 根据 svt 可知，AMt（cm） ，BN2t（cm） ， 0AM2，得 0t2， ， 在BMH 中，BN2t，MHBMsin30， （） ， 此函数的图象为开口方向向下的抛物线的一部分， 且图象两个端点的横坐标分别为 0， 故选：B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 5 小题，请把正确的结果填在答题纸的相应位置上 ）小题，请把正确的结果填在答题纸的相应位置上 ） 13的算术平方根是 3 【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根 【解答】解：9， 又（3）29， 9
21、 的平方根是3， 9 的算术平方根是 3 即的算术平方根是 3 故答案为：3 14颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一小万去颐和园参加实践 活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则1 45 【分析】利用正八边形的外角和等于 360 度即可求出答案 【解答】解：360845， 故答案为：45 15若A 半径为 5，圆心 A 的坐标是（1，2） ，点 P 的坐标是（5，2） ，那么点 P 与A 位 置关系为 点 P 在A 内 【分析】先求出 PA 的长，然后比较 PA 与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法 进行判断 【解答】解：点 A 的坐标是（1，2） ，点 P
22、的坐标是（5，2） ， PA45， 点 P 在圆 A 内， 故答案为：点 P 在A 内 16如图，已知点 A、B 分别在反比例函数 y（x0）与 y（x0）图象上，且 OAOB，若 AB6，则AOB 的面积为 6 【分析】过 A 作 ACx 轴，过 B 作 BDx 轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再 由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形 ACO 与三角形 ODB 相似，由 A、B 分别在反比例函数 y（x0）与 y（x0）图象上，利用反比 例函数 k 的几何意义求出三角形 AOC 与三角形 BOD 面积，进而得到面积之比，利用面 积比等于相似比的平方确定出相似比，即
23、为 OA 与 OB 之比，设出 OAx，OBx， 在直角三角形 AOB 中，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确 定出 OA 与 OB 的长，即可求出三角形 AOB 的面积 【解答】解：过 A 作 ACx 轴于 C，过 B 作 BDx 轴于 D， AOC+BOD90，AOC+CAO90， BODCAO， ACOBDO90， ACOODB， 点 A，B 分别分别在反比例函数 y（x0）与 y（x0）图象上， SAOC|3|，SBOD63，即 SAOC：SBOD1：2， OA：OB1：， 在 RtAOB 中，设 OAx，则 OBx，AB6， 根据勾股定理得：AB2OA2
24、+OB2，即 36x2+2x2， 解得：x2， OA2，OB2， 则 SAOBOAOB6 故答案为：6 17甲地有 42 吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表： 类型 载重量（吨） 运费（元/车） 大货车 8 450 小货车 5 300 运完这批货物最少要支付运费 2400 元 【分析】直接利用二元一次方程组的解分析得出答案 【解答】解：设租用大货车 x 辆，小货车 y 辆，由题意得： 8x+5y42， 整数解为：，此时运费为：4450+23002400（元） ， 当 x6 时，y0，此时运费为：64502700（元） ， 当 x5 时，y1（此车没装满） ，此时运费为
25、：5450+13002550（元） ， 当 x3 时，y4（有一辆车没装满） ，此时运费为：3450+43002550（元） ， 当 x2 时，y6（有一辆车没装满） ，此时运费为：2450+63002700（元） ， 故运完这批货物最少要支付运费是 2400 元 故答案为：2400 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 7 小题，请把解答过程写在答题纸上）小题，请把解答过程写在答题纸上） 18计算： 【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、负指数幂、绝对值、二次根式化简 4 个考点在 计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式2+42+424 19
26、已知：如图，MAN90，线段 a 和线段 b 求作：矩形 ABCD，使得矩形 ABCD 的两条边长分别等于线段 a 和线段 b 下面是小东设计的尺规作图过程 作法：如图， 以点 A 为圆心，b 为半径作弧，交 AN 于点 B； 以点 A 为圆心，a 为半径作弧，交 AM 于点 D； 分别以点 B、点 D 为圆心，a、b 长为半径作弧，两弧交于MAN 内部的点 C； 分别连接 BC，DC 所以四边形 ABCD 就是所求作的矩形 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明： AB CD ；AD BC ； 四边形 ABCD 是平行四边
27、形 MAN90； 四边形 ABCD 是矩形（填依据 有一个角为直角的平行四边形是矩形 ） 【分析】 （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先根据平行四边形的判定方法得到四边形 ABCD 是平行四边形再根据有一个角为 直角的平行四边形是矩形判断四边形 ABCD 是矩形 【解答】解： （1）如图，四边形 ABCD 为所求作； （2）完成下面的证明 证明：ABCD；ADBC； 四边形 ABCD 是平行四边形 MAN90； 四边形 ABCD 是矩形（有一个角为直角的平行四边形是矩形） 故答案为 CD，BC；有一个角为直角的平行四边形是矩形 20如图，点 C、E、F、B 在同一直线上，点 A、D
28、 在 BC 异侧，ABCD，AEDF，A D （1）求证：ABCD； （2）若 ABCF，B40，求D 的度数 【分析】 （1）根据平行线的性质求出BC，根据 AAS 推出ABEDCF，根据全 等三角形的性质得出即可； （2）根据全等得出 ABCD，BECF，BC，求出 CFCD，推出DCFD， 即可求出答案 【解答】 （1）证明：ABCD， BC， 在ABE 和DCF 中， ， ABEDCF（AAS） ， ABCD； （2）解：ABEDCF， ABCD，BECF，BC， B40， C40 ABCF， CFCD， DCFD（18040）70 21为了丰富学生的业余文化生活，某校教务处准备在大课
29、间期间开设兴趣小组，预设科目 为“舞蹈” “音乐” “电竞” “动漫”为了准确配备教室与师资，负责人制作了“你最喜欢 的科目”的调查问卷，在校园随机调查后制作了两幅不完整的统计图，请你根据信息解 答下面问题： （1）本次调查中，参与问卷调查的人数为 80 人 ； （2）扇形统计图中的 m、n 的值为 54 、 25 ，补全条形统计图； （3）若该校有学生 2000 人，请你估计报名“电竞”的学生的人数为 1000 人 ； （4）最先报名“动漫”课程的三名学生中有两名男生一名女生，若随机抽取两名学生参 与教室网线布设，求两名学生恰为一男一女的概率 【分析】 （1）从两个统计图可得， “电竞”的有
30、 40 人，占调查人数的 50%，可求出调查 人数； （2）求出“动漫”12 人所占的百分比，即可求出“动漫”所在的圆心角的度数，确定 m 的值；求出“音乐”20 人所占的百分比，即可求出 n 的值；求出“舞蹈”的人数，即可 补全条形统计图： （3）样本估计总体，样本中“电竞”占 50%，估计总体 2000 人的 50%是报“电竞”的 人数 （4）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“一男一女”的结果数，即可求出 相应的概率 【解答】解： （1）4050%80（人） ， 故答案为：80； （2）m36054， 208025%， 8010%8（人） ，补全条形统计图如图所示： 故答案为：5
31、4，25； （3）200050%1000（人） 故答案为：1000 人； （4）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有 6 种结果，其中一男一女的有 4 种， 两名学生恰为一男一女的概率为 22如图，四边形 ABCD 内接于O，BD 是O 的直径，过点 A 作 AECD，交 CD 的延 长线于点 E，DA 平分BDE （1）求证：AE 是O 的切线； （2）已知 AE8cm，CD12cm，求O 的半径 【分析】 （1）根据等边对等角得出ODAOAD，进而得出OADEDA，证得 EC OA，从而证得 AEOA，即可证得 AE 是O 的切线； （2）过点 O 作 OFCD，垂足为点 F从而证得
32、四边形 AOFE 是矩形，得出 OFAE 8cm，根据垂径定理得出 DFCD6cm，在 RtODF 中，根据勾股定理即可求得O 的半径 【解答】 （1）证明：连结 OA OAOD， ODAOAD DA 平分BDE， ODAEDA OADEDA， ECOA AECD， OAAE 点 A 在O 上， AE 是O 的切线 （2）解：过点 O 作 OFCD，垂足为点 F OAEAEDOFD90， 四边形 AOFE 是矩形 OFAE8cm 又OFCD， DFCD6cm 在 RtODF 中，OD10cm， 即O 的半径为 10cm 23如图，在ABC 与EBD 中，ABCEBD90，AB6，BC3，EB2
33、，BD ，射线 AE 与直线 CD 交于点 P （1）求证：ABECBD； （2）若 ABED，求 tanPAC 的值； （3）若EBD 绕点 B 逆时针旋转一周，直接写出线段 AP 的最大值与最小值 【分析】 （1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可 （2）如图，设 DE 交 BC 于 M想办法证明P90，求出 PC，PA 即可解决问题 （3）由（2）可知当点 P 与 C 重合时，PA 的值最大，最大值 PAAC 3，如图，当 AE 在 AB 的下方且与B 相切时，CAP 的值最大，此时 PA ACcosCAP 的值最小，解直角三角形求出 PA 的最小值即可 【解答】 （1）证明：，
34、ABCEBD90， ABECBD， AB6，BC3，EB2，BD， 2， ABECBD （2）解：如图，设 DE 交 BC 于 M ABDE，ABC90， DMBABCDMC90， 在 RtDEB 中，EBD90，BE2，BD， DE5， BM2， DM1， CMDM1，CD， CDMDCM45， ABECBD， 2，CDBAEB， AE2， AEB+PEB180， CDB+PEB180， EBD90， APC90， PEPDDE， PCPDCDMPAPE+AE， tanPAC （3）由（2）可知当点 P 与 C 重合时，PA 的值最大，最大值 PAAC 3， 如图，当 AE 在 AB 的下方
35、且与B 相切时，CAP 的值最大，此时 PAACcosCAP 的值最小， BEPDPEDBE90， 四边形 BEPD 是矩形， BDPE， AE4， PA 的最小值为 4， 24已知，抛物线 yx2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，2） ，经过点 Q（2，2） 直线 yx+4 分别交 x 轴、y 轴于点 B、A （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 P 为抛物线上一动点（不与点 C 重合） ，PO 交抛物线于 M，PC 交 AB 于 N，连 MN求证：MNy 轴； （3）如图 2，过点 A 的直线交抛物线于 D、E，QD、QE 分别交 y 轴于 G、H求证： CGCH 为定值 【分析
36、】 （1）将点 C，Q 的坐标代入 yx2+bx+c 即可； （2）设直线 PM 的解析式为 ymx，直线 PC 的解析式为 ykx+2，先求出点 P 的横坐 标，再求出点 M、N 的横坐标，由 M、N 的横坐标相等可确定 MNy 轴； （3）设 G（0，m） ，H（0，n） ，分别求出直线 QG 和直线 QH 的解析式，再求出点 D、 E 的横坐标， 求直线 AE 与抛物线的交点时利用根与系数的关系推出 xDxE4， 可进一步 推出 CGCH4 【解答】解： （1）将点 C（0，2） ，Q（2，2）代入 yx2+bx+c， 得， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+x+2； （2）设直线 PM
37、 的解析式为 ymx，直线 PC 的解析式为 ykx+2， 联立， 得x2+（k1）x0， 解得，x10，x222k， xP22k， 联立， 得x2+（m1）x20， x1x24，即 xPxM4， xM， 由， 得 xN， xNxM， MNy 轴； （3）设 G（0，m） ，H（0，n） ， 设直线 QG 的解析式为 ykx+m， 将点 Q（2，2）代入 ykx+m， 得，22k+m， k， 直线 QG 的解析式为 yx+m， 同理可求直线 QH 的解析式为 yx+n， 由， 得，x+mx2+x+2， 解得，x12，x2m2， xDm2， 同理，xEn2， 设直线 AE 的解析式为 ykx+4， 由， 得x2（k1）x+20 x1x24，即 xDxE4， 即（m2） （n2）4， CGCH（2m） （2n）4
