1、青岛版数学八年级下册青岛版数学八年级下册 第七章实数单元测试第七章实数单元测试 一、单选题一、单选题 1.已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2.将面积为 2 的半圆与两个正方形 A 和正方形 B 拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 16 3.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书周髀算经中早有记载如图 1，以直角三 角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大的正方形内若 知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( ) A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重
2、叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 4.下列等式成立的是( ) A. B. C. D. 5.下列说法中正确的有( ) 负数没有平方根，但负数有立方根；一个数的立方根等于它本身，则这个数是 0 或 1； 无理数与数轴上的点一一对应； 的平方根是2；- 一定是负数 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 6.在 ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a、b、c，下列条件中，能判断 ABC 是直角三角形（ ） A. a=2，b=3，c=4 B. a：b：c= ： ： C. A+B=2C D. A=2B=3C 7.在实数 ，3.14159， ， ，1.010010001
3、 ， ，0. 中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.如图所示的“赵爽弦圈”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形 较长直角边长为 n，较短直角边长为 b若 nb=8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为( ) A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 9.如图，将两个大小、形状完全相同的 ABC 和 ABC拼在一起，其中点 A与点 A 重合，点 C 落在边 AB 上，连接 BC若ACB=ACB=90，AC=BC=3，则 BC 的长为( ) A. B. 6 C. D. 10.已知：在 ABC 中，三边长 a，b，c 满足等式 a2
4、-16b2-c2+6ab+10bc=0，则（ ） A. abc B. a+c=2b C. cba D. a+c 与 2b 的大小关系不能确定 11.把两个同样大小的含 45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重 合于点 A，且另外三个锐角顶点 B，C，D 在同一条直线上，若 AB= ，则 CD 的长为（ ） A. B. C. D. 12.如图，设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，黑、白两个甲壳虫同时从点 A 出发，以相同的速度分别 沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是 AA1A1D1，白甲壳虫爬行的路线是 ABBB1，并且都遵 循如下规则：所爬行的第 n
5、2 与第 n 条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中 n 是正整数）那 么当黑、 白两个甲壳虫各爬行完第 2018 条棱分别停止在所到的正方体顶点处时， 它们之间的距离是 （ ） A. 0 B. C. D. 1 二、填空题二、填空题 13.已知 的整数部分为 a，小数部分为 b，则 a-b=_ . 14.在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正 放置的四个正方形的面积依次是 S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， 则 S1+S2+S3+S4=_ 15.程大位所著算法统宗是一部中国传统数学重要的著作在算法统宗中记载：“平地秋千未起， 踏
6、板离地一尺送行二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉良工高士素好奇，算出 索长有几？”【注释】1 步=5 尺 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有 1 尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10 尺）时，踏板就 和人一样高，已知这个人身高是 5 尺美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断好 奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？” 如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点 B 是推动 两步后踏板的位置，弧 AB 是踏板移动的轨迹已知 AC=1 尺，CD=EB=10 尺，人的身高 BD=5 尺设绳索长 OA=OB
7、=x 尺，则可列方程为_ 16.已知，如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，则四边形 ABCD 的面积_ 17.如图，在高 3 米，坡面线段 AB 长为 5 米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽 1.5 米，地毯售价为 40 元/平 方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需_元 18.如图，要使宽为 2 米的矩形平板车 ABCD 通过宽为 2 米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过 _米 19.如图 1，Rt ABC 中，ACB=90，AC=1，BC=2，将 ABC 放置在平面直角坐标系中，使点 A 与原点重 合，点 C 在 x 轴正半轴上将
8、 ABC 按如图 2 方式顺时针滚动（无滑动），则滚动 2017 次后，点 B 的坐 标为_ 20.分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题 OA22=（ ） 2+1=2 S 1= ； OA32=（ ） 2+1=3 S 2= ； OA42=（ ） 2+1=4 S 3= （1）请用含有 n（n 为正整数）的等式 Sn=_ ； （2）推算出 OA10=_ （3）求出 S12+S22+S32+S102的值 三、计算题三、计算题 21.求 x 的值: （1）（x2）281 （2）（2x1）3+270 （3）计算： - - ； 22.已知 2 是 的平方根， 是 的立方根，求 的平方根. 2
9、3.课堂上老师讲解了比较 和 的方法，观察发现 11-1015-141，于是比较这两 个数的倒数： 因为 ，所以 ，则有 ， 请你设计一种方法比较 与 的大小， 四、作图题四、作图题 24.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫格点 （1）在图 1 中以格点为顶点画一个直角三角形，使它的三边长都为整数； （2）在图 2 中以格点为顶点画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数； （3）在图 3 中以格点为顶点画一个面积为 10 的正方形 五、解答题五、解答题 25.如图所示，北部湾海面有一艘解放军军舰正在基地 的正东方向且距 地 40 海里的 处训练，突 然接到基地命令
10、，要该舰前往 岛接送一名患病的渔民到基地 的医院救治.已知 岛在基地 的北 偏东 58方向且距基地 32 海里，在 处的北偏西 32的方向上.军舰从 处出发，平均每小时行驶 40 海里，问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地医院？ 26.如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13 米，此人以 0.5 米 每秒的速度收绳，10 秒后船移动到点 D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留 根号） 27.如图，折叠长方形的一边 ，使点 落在 边上的点 处， ， . （1）求 的长； （2）求 的长. 28.为了积极响应国家新农村建设，遂
11、宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员如图，笔直公路 MN 的一侧点 A 处有一村庄，村庄 A 到公路 MN 的距离为 600 米，假使宣讲车 P 周围 1000 米以内能听到 广播宣传，宣讲车 P 在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时： （1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由； （2）如果能听到，已知宣讲车的速度是 200 米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？ 答案解析答案解析 一、单选题 1.【答案】 B 【考点】平方根 【解析】【解答】 ， ， 3x=7， x= . 故答案为：B. 【分析】先移项，再利用直接开平方法，即可求解. 2.【答案】 D 【考点】勾股定理 【解析】
12、【解答】解：已知半圆的面积为 2， 所以半圆的直径为：2 4， 即如图直角三角形的斜边为：4， 设两个正方形的边长分别为：x，y， 则根据勾股定理得：x2+y24216， 即两个正方形面积的和为 16. 故答案为：D. 【分析】首先由面积为 2 的半圆，可知圆的面积为 4，求出半圆的直径，即直角边的斜边，再根据勾股 定理求出两直角边的平方和，即是这两个正方形面积的和. 3.【答案】 C 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为 c，较长直角边为 b，较短直角边为 a。 由勾股定理得 c2=a2+b2 ， 阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(
13、a+b-c)， 较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a， 则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)， 知道图中阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。 【分析】设直角三角形的斜边长为 c，较长直角边为 b，较短直角边为 a。由勾股定理得 c2=a2+b2 ， 然后根据正方形和长方形的面积公式计算即可。 4.【答案】 D 【考点】平方根，算术平方根，立方根及开立方 【解析】【解答】解：A. ，故错误； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，正确； 故答案为：D. 【分析】根据算术平方根的定义、立方根的性质、平方根的定义即可一一判断得出答案.
14、 5.【答案】 B 【考点】平方根，算术平方根，立方根及开立方，实数在数轴上的表示 【解析】【解答】解：负数没有平方根，但负数有立方根；说法正确； 一个数的立方根等于它本身，则这个数是 0 或 1，还有-1，故错误； 实数与数轴上的点一一对应，故错误； =4 的平方根是2，说法正确； - 一定是负数，当 a=0 时，不是负数，故错误； 故答案为：B. 【分析】根据只有非负数才有平方根和算术平方根，可对作出判断；立方根等于它本身的数有1，0， 可对作出判断；再根据实数与数轴上的点成一一对应，可对作出判断；任何数的立方根只有一个， 可对作出判断；- 一定是非正数可对作出判断，综上所述，可得到正确结
15、论的个数。 6.【答案】 B 【考点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A、22+32=1342=16，不是直角三角形，不符合题意； B、设比的每份为 1, 则 ,是直角三角形，符合题意； C、A+B+C=180，3C=180，C=60，A+B=120，不一定有角是 90，不符合题 意； D、 A=2B=3C ，B= A，C= A ， A+ A+ A=180，解得A= 90， 不符合题意. 故答案为：B. 【分析】已知三边，先求出较小两边的平方和，利用勾股定理即可判断；已知角的关系，则求出最大角， 看是否等于 90即可. 7.【答案】 C 【考点】无理数的认识 【解析】 【解答】解：因为在
16、实数 ，3.14159， ， ，1.010010001 ， ，0. 中， 是 开不尽方的数，1.010010001 是无限不循环小数， 也是无限不循环小数，所以 、1.010010001 和 是无理数，所以共有 3 个无理数； 故答案选 C. 【分析】根据无理数的概念以及常见无理数的类型即可做出判断. 8.【答案】 D 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解： 较长直角边长为 n，较短直角边长为 b ，大正方形的面积为 25 n2+b2=25 （n-b）2+2nb=25 nb=8 （n-b）2+28=25 即（n-b）2=9 nb n-b=3 小正方形的边长为 3 故答案为：D 【分析】由
17、题意可知 n2+b2=25，再将其转化为（n-b）2+2nb=25，将 nb=8 代入就可求出小正方形的边长。 9.【答案】A 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：ACB=ACB=90，AC=BC=3， 由勾股定理得：AB= ， 由题意 ABC ABC AB=AB= ， 在 Rt ABC 中，由勾股定理得：BC= ( ) . 【分析】在直角三角形 ABC 中，用勾股定理可求得 AB 的长，由题意知 AB=AB，于是在直角三角形 ABC 中，用勾股定理即可求得 BC 的长。 10.【答案】 B 【考点】实数大小的比较 【解析】 【分析】首先根据配方法，将原方程变为（a+c-2b)（a-c
18、+8b)=0；又由三角形的三边关系，即可得到答案 【解答】a2-16b2-c2+6ab+10bc=a2+9b2+6ab-25b2-c2+10bc=（a+3b)2-（c-5b)2=0， （a+3b+c-5b)（a+3b-c+5b)=0， 即（a+c-2b)（a-c+8b)=0， a+c-2b=0 或 a-c+8b=0， a+c=2b 或 a+8b=c， a+bc， a+8b=c 不符合题意，舍去， a+c=2b 故选 B 11.【答案】 C 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图， 过点 A 作 AFBC 于 F， 在 Rt ABC 中，B=45， BC= AB=2，BF=AF= AB
19、=1， 两个同样大小的含 45角的三角尺， AD=BC=2， 在 Rt ADF 中，根据勾股定理得，DF= = CD=BF+DF-BC=1+ -2= -1， 故答案为：C 【分析】 根据含有45的直角三角形， 可计算出BC的长度， 在Rt ADF中， 根据勾股定理可计算出CD= 。 12.【答案】 B 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图： 从图中发现，发现周期为 6 条棱 2, 即黑棋子在 D1处，白棋子在 B1处，它们之间的距离为线段 D1 B1的长, 由勾股定理得：D1 B1= ， 故答案为：B 【分析】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨
20、迹如下图，根据表中找出规律，可知黑棋子在 D1处，白 棋子在 B1处，它们之间的距离为线段 D1 B1的长，然后利用勾股定理求解即可。 二、填空题 13.【答案】 【考点】平方根，算术平方根 【解析】【解答】3 4， a=3， 则 b= -3 a-b=6- 【分析】根据 3 4 首先确定 a 的值，则小数部分即可确定 14.【答案】4 【考点】勾股定理 【解析】【解答】 解：观察发现， AB=BE，ACB=BDE=90， ABC+BAC=90，ABC+EBD=90， BAC=EBD， ABCBDE（AAS）， BC=ED， AB2=AC2+BC2 ， AB2=AC2+ED2=S1+S2 ， 即
21、 S1+S2=1， 同理 S3+S4=3 则 S1+S2+S3+S4=1+3=4 故答案为：4 【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答 15.【答案】102+（x5+1）2=x2 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】设绳索长 OA=OB=x 尺，由题意得，102+（x5+1）2=x2 故答案为：102+（x5+1）2=x2 【分析】设绳索长 OA=OB=x 尺，则由图形的信息可知：OE=x5+1,BE=CD=10,在直角三角形 OBE 中，由勾 股定理可得： ,即 + = 。 16.【答案】36cm2 【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理
22、【解析】【解答】解：连接 BD， AB=3cm，AD=4cm，A=90，BC=13cm，CD=12cm， BD= = =5cm 122+52=132 ， 即 CD2+BD2=BC2 ， BCD 是直角三角形，BDC=90， S四边形ABCD=S ABD+S BCD= 34+ 512=6+30=36cm 2 故答案为：36cm2 【分析】连接 BD，根据勾股定理求出 BD 的长，再由勾股定理的逆定理判断出 BCD 的形状，由 S四边形 ABCD=S ABD+S BCD即可得出结论 17.【答案】420 元 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图所示： 在 Rt ABC 中，由勾股定理可
23、知：BC= =4 米 地毯的总长=BC+AC=4+3=7 米 地毯的面积=71.5=10.5 平方米 地毯的总价=4010.5=420 元 故答案为：420 元 【分析】利用平移法可求地毯的长等于直角三角形的两直角边的和，再乘以宽得面积，乘以单价，得出费 用. 18.【答案】4 【考点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：设平板手推车的长度不能超过 x 米 则 x 为最大值，且此时平板手推车所形成的三 角形 CBP 为等腰直角三角形 连接 PO，与 BC 交于点 N 直角走廊的宽为 2 m， PO=4m， NP=POON=42=2（m） 又CBP 为等腰直角三角形， AD=BC=2CN=2NP
24、=4（m） 故答案为：4 【分析】如图，先设平板手推车的长度不能超过 x 米，则得出 x 为最大值时，平板手推车所形成的三角形 CBP 为等腰直角三角形连接 PO，与 BC 交于点 N，利用 CBP 为等腰直角三角形即可求得平板手推车的 长度不能超过多少米 19.【答案】（2019+672 ，0） 【考点】勾股定理 【解析】【解答】解：根据三角形滚动规律得出每 3 次一循环， 20133=671， 滚动 2013 次后，点 B 的纵坐标与滚动第 3 次纵坐标相同为 2， ACB=90，AC=1，BC=2， OB= = ， 三角形三边长的和为：1+2+ =3+ ， 则滚动 2017 次后，点 B
25、 的横坐标为：1+2+672（3+ ）=2019+672 故点 B 的坐标为：（2019+672 ，0） 故答案为：（2019+672 ，0） 【分析】根据三角形的滚动规律分别得出 B 点的横、纵坐标，进而得出答案 20.【答案】 ； 【考点】算术平方根，勾股定理 【解析】【解答】解：（1）( ) +1=n+1 Sn= （n 是正整数）； 故答案是： ； （2）OA12=1， OA22=（ ） 2+1=2， OA32=（ ） 2+1=3， OA42=（ ） 2+1=4， OA12= ， OA2= ， OA3= ， OA10= ； 故答案是： ； （3）S12+S22+S32+S102 =（ ）
26、2+（ ）2+（ ）2+（ ）2 = （1+2+3+10） = 即：S12+S22+S32+S102= 【分析】（1） 此题要利用直角三角形的面积公式， 观察上述结论， 会发现， 第 n 个图形的一直角边就是 ， 然后利用面积公式可得 （2）由同述 OA2= ， 0A3= 可知 OA10= （3）S12+S22+S32+S102的值就是把面积的平方相加就可 三、计算题 21.【答案】 （1）解：（x2）281 或 - x11 或 x7 （2）解：2x1）3+270 x1 （3）解： - - ； = - - =10 【考点】平方根，立方根及开立方，实数的运算 【解析】【分析】（1）用直接开平方法
27、解方程；（2）用直接开立方法解方程；（3）实数的混合运算， 先将绝对值，零指数幂，负整指数幂，立方根分别化简和计算，然后做有理数加减混合运算. 22.【答案】 解：由题意得 ,解得 , , 的平方根是1. 【考点】平方根，立方根及开立方 【解析】【分析】根据平方根、立方根，可得 3x-2=4,y-2x=-27，据此联立方程组，求出 x、y 的值，然后代 入 12x+y 中，求出其值，最后求出平方根即可. 23.【答案】 解： 【考点】实数大小的比较 【解析】【分析】比较二者的大小可以分别求出 和 的平方，根据二次根式的性质进行大小 比较，得到 和 的大小比较。 四、作图题 24.【答案】 （1
28、）解：如图 1 所示，Rt ABC 即为所求， （2）解：如图所示，Rt DEF 即为所求， （3）解：如图所示，正方形 GHIJ 即为所求， 【考点】勾股定理 【解析】【分析】（1）画一个边长 3，4，5 的三角形即可；（2）利用勾股定理，找长为 、2 、 的线段，画三角形即可；（3）利用勾股定理作一个边长为 的正方形即可得 五、解答题 25.【答案】 解： ， ， ， 在 中， ， 为直角三角形， 在 中， ， ， 航程： （海里），时间：5640=1.4（小时） 至少需要 1.4 小时能把患病渔民送到基地医院. 【考点】勾股定理的应用 【解析】 【分析】 根据题意知应求 （BC+AC）
29、的长， 根据方向角及三角形内角和求出 为直角三角形， 根据勾股定理求出 BC 的长即可. 26.【答案】解：在 Rt ABC 中： CAB=90，BC=13 米，AC=5 米， AB= =12（米）， 此人以 0.5 米每秒的速度收绳，10 秒后船移动到点 D 的位置， CD=130.510=8（米）， AD= = = （米）， BD=ABAD=12 （米）， 答：船向岸边移动了（12 ）米 【考点】勾股定理的应用 【解析】【分析】在 Rt ABC 中，利用勾股定理计算出 AB 长，再根据题意可得 CD 长，然后再次利用勾股 定理计算出 AD 长，再利用 AB=AD 可得 BD 长 27.【答
30、案】 （1）解：由题意可得， 在 中， ， （2）解： 由题意可得 ，设 的长为 cm 则在 中， 解得 则 的长为 【考点】勾股定理的应用 【解析】 【分析】 （1）由折叠可知 AF 的长为 10cm，已知 AB=8cm，即可利用勾股定理求出 BF;(2)根据（1） 可求得 FC 的长，由折叠知 EF=DE，所以设 EF=xcm 可表示出 CE=（8-x）cm，就可运用勾股定理求得 EC 的 长. 28.【答案】 （1）解：村庄能听到宣传， 理由：村庄 A 到公路 MN 的距离为 600 米1000 米 村庄能听到宣传 （2）解：如图：假设当宣讲车行驶到 P 点开始影响村庄，行驶 QD 点结束对村庄的影响 则 APAQ1000 米，AB600 米 BPBQ 米 PQ1600 米 影响村庄的时间为：16002008 分钟 村庄总共能听到 8 分钟的宣传 【考点】勾股定理的应用 【解析】【分析】（1）根据村庄 A 到公路 MN 的距离为 600 米1000 米，于是得到结论；（2）根据勾股 定理得到 BPBQ800 米，求得 PQ1600 米，于是得到结论
