1、2020-2021 学年北京学年北京 171 中九年级 （上） 月考数学试卷 （中九年级 （上） 月考数学试卷 （8 月份）月份） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）一元二次方程 2x2x30 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A2，1，3 B2，1，3 C2，1，3 D2，1，3 2 （2 分）平行四边形所具有的性质是（ ） A对角线相等 B邻边互相垂直 C每条对角线平分一组对角 D两组对边分别相等 3 （2 分）图中，不是函数图象的是（ ） A B C D 4 （2 分）下列函数中，y 是 x 的正比例函数的是（ ）
2、Ay6x1 B Cyx2 D 5 （2 分）用配方法解方程 x2+4x3，下列配方正确的是（ ） A （x2）21 B （x2）27 C （x+2）27 D （x+2）21 6（2 分） 一次函数 ykx+b 中， 若 kb0， 且 y 随着 x 的增大而增大， 则其图象可能是 （ ） A B C D 7 （2 分）将抛物线 yx2沿 y 轴向下平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） Ayx2+2 Byx22 Cy（x+2）2 Dy（x2）2 8 （2 分）点 P（x，y）在第一象限内，且 x+y6，点 A 的坐标为（4，0） 设OPA 的面 积为 S，则下列图象中，能正确反映 S 与
3、 x 之间的函数关系式的是（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）方程 x240 的解是 10 （2 分）请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式 11 （2 分）若二次函数 y2x25 的图象上有两个点 A（2，a） 、B（3，b） ，则 a b （填“”或“”或“” ） 12 （2 分）二次函数 y（x+1）22 的最大值是 13 （2 分）如图，直线 yx+b 与直线 ykx+6 交于点 P（3，5） ，则关于 x 的不等式 kx+6 x+b 的解集是 14 （2 分）如图，在正方形 ABCD 外侧，
4、作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于点 F，则 BFC 为 度 15 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+4 与 x，y 轴分别交于点 A，B，若将该 直线向右平移 5 单位，线段 AB 扫过区域的边界恰好为菱形，则 k 的值为 16 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（0，1） ，B（1，0） ，C（3，1） ，若以 A、B、 C、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点 D 的坐标是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18-23 题，每小题题，每小题 6 分，第分，第 24-26 题，每小题题，每小题 6
5、 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 6 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17 （6 分）解方程： （1）x22x30； （2）2x2+3x10 18 （5 分）下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形的尺规作图过程： 已知：如图，在 RtABC 中，ABC90，O 为 AC 的中点， 求作：四边形 ABCD，使得四边形 ABCD 为矩形 作法：作射线 BO，在线段 BO 的延长线上取点 D，使得 DOBO 连接 AD，CD，则四边形 ABCD 为矩形 根据小丁设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，在图中补全图
6、形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：点 O 为 AC 的中点， AOCO 又DOBO， 四边形 ABCD 为平行四边形（ ） ABC90， ABCD 为矩形（ ） 19 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b 的图象与直线 y3x 平行，且经 过点 A（1，6） （1）求一次函数 ykx+b 的解析式； （2）求一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴围成的三角形的面积 20 （5 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k30 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 是该方程的一个根，求 2k2+6k5 的值 21 （5 分）若抛物线 yx2+3x
7、+2a 与 x 轴只有一个交点，求实数 a 的值 22 （5 分）已知点（2，0）在抛物线 y3x2+（k+3）xk 上，求此抛物线的对称轴 23 （5 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB3cm，BC5cm，B60，G 是 CD 的中 点，E 是边 AD 上的动点，EG 的延长线与 BC 的延长线交于点 F，连结 CE，DF （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）当 AE cm 时，四边形 CEDF 是矩形 （直接写出答案，不需要说明理由） 24 （6 分）抛物线与直线 y2x+m 相交于 A（2，n） 、B（2，3）两点 （1）求这条抛物线的解析式； （2）若4x1，则
8、y2y1的最小值为 25 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+8 与直线 yx1 交于点 A（3， m） （1）求 k，m 的值； （2）已知点 P（n，n） ，过点 P 作垂直于 y 轴的直线与直线 yx1 交于点 M，过点 P 作垂直于 x 轴的直线与直线 ykx+8 交于点 N（P 与 N 不重合） 若 PN2PM，结合图 象，求 n 的取值范围 26 （6 分）有这样一个问题：探究函数 y+x 的图象与性质小亮根据学习函数的经 验， 对函数 y+x 的图象与性质进行了探究 下面是小亮的探究过程， 请补充完整： （1）函数 y+x 中自变量 x 的取值范围是 ；
9、（2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 2 1 0 1 3 4 5 6 y 0 m 则 m 的值是 ； （3） 在平面直角坐标系 xOy 中， 描出了以上表中各对对应值为坐标的点， 根据描出的点， 画出该函数的图象； （4） 根据画出的函数图象， 发现下列特征： 该函数的图象与过点 （2， 0） 且平行于 的 直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交 27 （7 分）在ABC 中，C90，ACBC，D 是 AB 的中点，E 为直线 AC 上一动点， 连接 DE，过点 D 作 DFDE，交直线 BC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，当点 E 是线段 AC 的
10、中点时，AE2，BF1，求 EF 的长； （2）当点 E 在线段 AC 的延长线上时，依题意补全图形 2，用等式表示 AE，EF，BF 之 间的数量关系，并证明 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（t，0） ，B（t+2，0） ，C（n，1） ，若射线 OC 上存在点 P，使得ABP 是以 AB 为腰的等腰三角形，就称点 P 为线段 AB 关于射线 OC 的等腰点 （1）如图，t0， 若 n0，则线段 AB 关于射线 OC 的等腰点的坐标是 ； 若 n0，且线段 AB 关于射线 OC 的等腰点的纵坐标小于 1，求 n 的取值范围； （2）若 n，且射线 OC 上只存在一个线段
11、 AB 关于射线 OC 的等腰点，则 t 的取值 范围是 2020-2021 学年北京学年北京 171 中九年级 （上） 月考数学试卷 （中九年级 （上） 月考数学试卷 （8 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）一元二次方程 2x2x30 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A2，1，3 B2，1，3 C2，1，3 D2，1，3 【分析】找出方程的二次项系数，一次项系数，常数项即可 【解答】解： 一元二次方程 2x2x30 的二次项系数、 一次项系数、常数项分别是 2， 1，
12、3， 故选：D 2 （2 分）平行四边形所具有的性质是（ ） A对角线相等 B邻边互相垂直 C每条对角线平分一组对角 D两组对边分别相等 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行 且相等，继而即可得出答案 【解答】解：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等 故选：D 3 （2 分）图中，不是函数图象的是（ ） A B C D 【分析】根据函数的定义和函数图象可以判断哪个选项中的图象不是函数图象，本题得 以解决 【解答】解：由函数的定义可知，对于每一个自变量的 x 的取值，都有唯一的 y 值与其 对应， 选项 A 中当 x1 时，有两个 y 值与
13、其对应，故选项 A 中的图象不是函数图象， 故选：A 4 （2 分）下列函数中，y 是 x 的正比例函数的是（ ） Ay6x1 B Cyx2 D 【分析】利用正比例函数的定义进行分析即可 【解答】解：A、y6x1 是一次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意； B、y是反比例函数，不是正比例函数，故此选项不合题意； C、yx2是二次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意； D、yx 是正比例函数，故此选项符合题意； 故选：D 5 （2 分）用配方法解方程 x2+4x3，下列配方正确的是（ ） A （x2）21 B （x2）27 C （x+2）27 D （x+2）21 【分析】把方程两边都加上
14、4，方程左边可写成完全平方式 【解答】解：x2+4x+47， （x+2）27 故选：C 6（2 分） 一次函数 ykx+b 中， 若 kb0， 且 y 随着 x 的增大而增大， 则其图象可能是 （ ） A B C D 【分析】由 y 随着 x 的增大而增大，利用一次函数的性质可得出 k0，结合 kb0 可得 出 b0， 再利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数 ykx+b 的图象经过第一、 三、四象限 【解答】解：y 随着 x 的增大而增大， k0， 又kb0， b0， 一次函数 ykx+b 的图象经过第一、三、四象限 故选：B 7 （2 分）将抛物线 yx2沿 y 轴向下平移 2 个单
15、位，得到的抛物线的解析式为（ ） Ayx2+2 Byx22 Cy（x+2）2 Dy（x2）2 【分析】根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）求解 【解答】解：抛物线 yx2沿 y 轴向下平移 2 个单位长度，得到的抛物线解析式为 yx2 2 故选：B 8 （2 分）点 P（x，y）在第一象限内，且 x+y6，点 A 的坐标为（4，0） 设OPA 的面 积为 S，则下列图象中，能正确反映 S 与 x 之间的函数关系式的是（ ） A B C D 【分析】根据点 P（x，y）在第一象限内，且 x+y6，点 A 的坐标为（4，0） ，从而可以 得到 S 关于 x 的函数关系式，从而可以解答本题 【
16、解答】解：点 P（x，y）在第一象限内，且 x+y6，点 A 的坐标为（4，0） ， S2y2（6x）2x+12，0 x6， 0S12， 故选：B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）方程 x240 的解是 2 【分析】首先移项可得 x24，再两边直接开平方即可 【解答】解：x240， 移项得：x24， 两边直接开平方得：x2， 故答案为：2 10 （2 分）请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式 yx2+x+1（答案不唯 一） 【分析】开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（0，1） ，说明常数项 c1 【解答】解：依
17、题意，满足题意的抛物线解析式为 yx2+x+1 等，答案不唯一 故本题答案为：yx2+x+1 等 11 （2 分）若二次函数 y2x25 的图象上有两个点 A（2，a） 、B（3，b） ，则 a b（填 “”或“”或“” ） 【分析】根据二次函数图象的增减性即可解答 【解答】解：y2x25 的对称轴为 x0，开口方向向上，顶点为（0，5） 对于开口向上的函数，x 距离对称轴越近，y 值越小，2 比 3 距离近，所以 ab 故答案为 12 （2 分）二次函数 y（x+1）22 的最大值是 2 【分析】根据二次函数的性质和已知得出最大值即可 【解答】解：y（x+1）22 中10， 函数的图象开口向
18、下，函数有最大值， 当 x1 时，函数的最大值是2， 故答案为：2 13 （2 分）如图，直线 yx+b 与直线 ykx+6 交于点 P（3，5） ，则关于 x 的不等式 kx+6 x+b 的解集是 x3 【分析】观察函数图象得到当 x3 时，函数 ykx+6 的图象都在 yx+b 的图象上方， 所以关于 x 的不等式 kx+6x+b 的解集为 x3 【解答】解：当 x3 时，kx+6x+b， 即不等式 kx+6x+b 的解集为 x3 故答案为：x3 14 （2 分）如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于点 F，则 BFC 为 60 度 【分析】根据正方形的性
19、质及全等三角形的性质求出ABE15，BAC45，再求 BFC 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABAD， 又ADE 是等边三角形， AEADDE，DAE60， ABAE， ABEAEB，BAE90+60150， ABE（180150）215， 又BAC45， BFC45+1560 故答案为：60 15 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+4 与 x，y 轴分别交于点 A，B，若将该 直线向右平移 5 单位，线段 AB 扫过区域的边界恰好为菱形，则 k 的值为 【分析】根据菱形的性质知 AB5，由一次函数图象的性质和两点间的距离公式解答 【解答】解：令 y0，则 x，
20、即 A（，0） 令 x0，则 y3，即 B（0，3） 将该直线向右平移 5 单位，线段 AB 扫过区域的边界恰好为菱形， AB5，则 AB225 （）2+3225 解得 k 故答案是： 16 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（0，1） ，B（1，0） ，C（3，1） ，若以 A、B、 C、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点 D 的坐标是 （2，0）或（4，0）或（2， 2） 【分析】分三种情况：BC 为对角线时，AB 为对角线时，AC 为对角线时；由平 行四边形的性质容易得出点 D 的坐标 【解答】解：分三种情况：BC 为对角线时，点 D 的坐标为（4，0） ； AB 为对角
21、线时，点 D 的坐标为（2，0） AC 为对角线时，点 D 的坐标为（2，2） 综上所述，点 D 的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，2） ； 故答案为： （2，0）或（4，0）或（2，2） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18-23 题，每小题题，每小题 6 分，第分，第 24-26 题，每小题题，每小题 6 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 6 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17 （6 分）解方程： （1）x22x30； （2）2x2+3x10 【分析】 （1）
22、分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）求出 b24ac 的值，再代入公式求出即可 【解答】解： （1）x22x30， （x3） （x+1）0， x30 或 x+10， x13，x21； （2）2x2+3x10， a2，b3，c1，b24ac3242（1）17， x， x1，x2 18 （5 分）下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形的尺规作图过程： 已知：如图，在 RtABC 中，ABC90，O 为 AC 的中点， 求作：四边形 ABCD，使得四边形 ABCD 为矩形 作法：作射线 BO，在线段 BO 的延长线上取点 D，使得 DOBO 连接 AD，CD，
23、则四边形 ABCD 为矩形 根据小丁设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：点 O 为 AC 的中点， AOCO 又DOBO， 四边形 ABCD 为平行四边形（ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ） ABC90， ABCD 为矩形（ 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ） 【分析】 （1）根据要求画出图形即可 （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明 【解答】解： （1）如图，矩形 ABCD 即为所求 （2）理由：点 O 为 AC 的中点， AOCO 又DOBO， 四边形 ABCD 为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平
24、行四边形） ABC90， ABCD 为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩 形 19 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b 的图象与直线 y3x 平行，且经 过点 A（1，6） （1）求一次函数 ykx+b 的解析式； （2）求一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴围成的三角形的面积 【分析】 （1）根据函数 ykx+b 的图象与直线 y3x 平行，且经过点 A（1，6） ，即可得 出 k 和 b 的值，即得出了函数解析式； （2）先求出与 x 轴及 y 轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式
25、求解即可 【解答】解： （1）函数 ykx+b 的图象与直线 y3x 平行， k3， 又函数 y3x+b 的图象经过点 A（1，6） ， 63+b， 解得 b3， 一次函数的解析式为 y3x+3； （2）在 y3x+3 中，令 x0，则 y3；令 y0，则 x1； 一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴交于（0，3）和（1，0） ， 一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 13 20 （5 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k30 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 是该方程的一个根，求 2k2+6k5 的值 【分析】 （1）根据判别式的意义得到224（
26、k3）0，然后解不等式即可； （2）利用方程解的定义得到 k2+3k3，再变形得到 2k2+6k52（k2+3k）5，然后利 用整体代入的方法计算 【解答】解： （1）224（k3）0， 解得 k4； （2）把 xk 代入方程得 k2+2k+k30，即 k2+3k3， 所以 2k2+6k52（k2+3k）52351 21 （5 分）若抛物线 yx2+3x+2a 与 x 轴只有一个交点，求实数 a 的值 【分析】由题意得：b24ac3242a0，即可求解 【解答】解：由题意得：b24ac3242a0， 解得：a 22 （5 分）已知点（2，0）在抛物线 y3x2+（k+3）xk 上，求此抛物线的
27、对称轴 【分析】根据点（2，0）在抛物线 y3x2+（k+3）xk 上，可以求得 k 的值，然后即 可得到该抛物线的对称轴 【解答】解：点（2，0）在抛物线 y3x2+（k+3）xk 上， 0322+（k+3）2k， 解得，k6， 抛物线 y3x2+（6+3）x63x2+9x6， 该抛物线的对称轴是直线 x， 即此抛物线的对称轴是直线 x 23 （5 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB3cm，BC5cm，B60，G 是 CD 的中 点，E 是边 AD 上的动点，EG 的延长线与 BC 的延长线交于点 F，连结 CE，DF （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）当 AE 3.
28、5 cm 时，四边形 CEDF 是矩形 （直接写出答案，不需要说明理由） 【分析】 （1）证CFGEDG，推出 FGEG，根据平行四边形的判定推出即可； （2）求出MBAEDC，推出CEDAMB90，根据矩形的判定推出即可； 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， CFED， FCGEDG， G 是 CD 的中点， CGDG， 在FCG 和EDG 中， ， FCGEDG（ASA） FGEG， CGDG， 四边形 CEDF 是平行四边形； （2）当 AE3.5 时，平行四边形 CEDF 是矩形， 理由是：过 A 作 AMBC 于 M， B60，AB3， BM1.5， 四边形 AB
29、CD 是平行四边形， CDAB60，DCAB3，BCAD5， AE3.5， DE1.5BM， 在MBA 和EDC 中， ， MBAEDC（SAS） ， CEDAMB90， 四边形 CEDF 是平行四边形， 四边形 CEDF 是矩形， 故答案为：3.5； 24 （6 分）抛物线与直线 y2x+m 相交于 A（2，n） 、B（2，3）两点 （1）求这条抛物线的解析式； （2）若4x1，则 y2y1的最小值为 12 【分析】 （1）把 B 的坐标代入直线 y22x+m 求得 m 的值，然后代入 A（2，n）求得 n 的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）求得 y2y1x2+4，然后
30、代入 x4 和 x1，求得函数值，即可求得最小值 【解答】解： （1）直线 y22x+m 经过点 B（2，3） ， 322+m m1 直线 y22x+m 经过点 A（2，n） ， n4+15； 抛物线 y1x2+bx+c 过点 A 和点 B，则，解得， y1x22x3； （2）y2y12x+1（x22x3）x2+4， y2y1的最大值是 4， 代入 x4 得 y2y112，代入 x1 得 y2y13， 若4x1，y2y1的最小值为12 故答案为12 25 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+8 与直线 yx1 交于点 A（3， m） （1）求 k，m 的值； （2）已知
31、点 P（n，n） ，过点 P 作垂直于 y 轴的直线与直线 yx1 交于点 M，过点 P 作垂直于 x 轴的直线与直线 ykx+8 交于点 N（P 与 N 不重合） 若 PN2PM，结合图 象，求 n 的取值范围 【分析】 （1）把 A 点坐标代入 yx2 中，求得 m 的值，再把求得的 A 点坐标代入 y kx+7 中，求得 k 的值； （2）根据题意，用 n 的代数式表示出 M、N 点的坐标，再求得 PM、PN 的值，根据 PN 2PM，列出 n 的不等式，再求得结果 【解答】解： （1）把 A（3，m）代入 yx1 中，得 m312， A（3，2） ， 把 A（3，2）代入 ykx+8
32、中，得 23k+8， 解得，k2； 答：k，m 的值为2、2； （2）由（1）知，直线 ykx+8 为 y2x+8， 根据题意，如图： 点 P（n，n） ， M（n1，n） ，N（n，2n+8） ， PM1，PN|3n8|， PN2PM， |3n8|21， 2n P 与 N 不重合， n2n+8， n， 综上，2n，且 n 26 （6 分）有这样一个问题：探究函数 y+x 的图象与性质小亮根据学习函数的经 验， 对函数 y+x 的图象与性质进行了探究 下面是小亮的探究过程， 请补充完整： （1）函数 y+x 中自变量 x 的取值范围是 x2 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 2
33、1 0 1 3 4 5 6 y 0 m 则 m 的值是 4 ； （3） 在平面直角坐标系 xOy 中， 描出了以上表中各对对应值为坐标的点， 根据描出的点， 画出该函数的图象； （4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与过点（2，0）且平行于 y 轴 的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 yx 越来越靠近而永不 相交 【分析】 （1）根据分母不为 0 即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出结论； （2）将 x3 代入函数解析式中求出 m 值即可； （3）连点成线即可画出函数图象； （4）观察函数图象即可求解 【解答】解： （1）由题意得：x20， 解得：x2
34、故答案为：x2； （2）当 x3 时，m+31+34， 即 m 的值为 4， 故答案为 4； （3）图象如图所示： （4）观察函数图象发现：该函数的图象与过点（2，0）且平行于 y 轴的直线越来越靠近 而永不相交，该函数的图象还与直线 yx 越来越靠近而永不相交 故答案为：y 轴，yx 27 （7 分）在ABC 中，C90，ACBC，D 是 AB 的中点，E 为直线 AC 上一动点， 连接 DE，过点 D 作 DFDE，交直线 BC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，当点 E 是线段 AC 的中点时，AE2，BF1，求 EF 的长； （2）当点 E 在线段 AC 的延长线上时，依题意补全图
35、形 2，用等式表示 AE，EF，BF 之 间的数量关系，并证明 【分析】 （1）由三角形的中位线定理得 DEBC，DEBC，进而证明四边形 CEDF 是 矩形得 DECF，得出 CF，再根据勾股定理得结果； （2）过点 B 作 BMAC，与 ED 的延长线交于点 M，连接 MF，证明ADEBDM 得 AEBM，DEDM，由垂直平分线的判定定理得 EFMF，进而根据勾股定理得结论 【解答】解： （1）D 是 AB 的中点，E 是线段 AC 的中点， DEBC，DEBC， ACB90， DEC90， DFDE， EDF90， 四边形 CEDF 是矩形， DECFBC， CFBF1， CEAE2，
36、EF； （2）AE2+BF2EF2 证明：过点 B 作 BMAC，与 ED 的延长线交于点 M，连接 MF， 则AEDBMD，CBMACB90， D 点是 AB 的中点， ADBD， 在ADE 和BDM 中， ADEBDM（AAS） ， AEBM，DEDM， DFDE， EFMF， BM2+BF2MF2， AE2+BF2EF2 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（t，0） ，B（t+2，0） ，C（n，1） ，若射线 OC 上存在点 P，使得ABP 是以 AB 为腰的等腰三角形，就称点 P 为线段 AB 关于射线 OC 的等腰点 （1）如图，t0， 若 n0，则线段 AB 关
37、于射线 OC 的等腰点的坐标是 （0，2） ； 若 n0，且线段 AB 关于射线 OC 的等腰点的纵坐标小于 1，求 n 的取值范围； （2）若 n，且射线 OC 上只存在一个线段 AB 关于射线 OC 的等腰点，则 t 的取值 范围是 4t2 或 t0 或 2t4 【分析】 （1）根据线段 AB 关于射线 OC 的等腰点的定义可知 OPAB2，由此即可 解决问题 如图 2 中，当 OPAB 时，作 PHx 轴于 H求出点 P 的横坐标，利用图象法即可解 决问题 （2）如图 31 中，作 CHy 轴于 H分别以 A，B 为圆心，AB 为半径作A，B首 先证明COH30，由射线 OC 上只存在一
38、个线段 AB 关于射线 OC 的等腰点，推出 射线 OC 与A，B 只有一个交点，求出几种特殊位置 t 的值，利用数形结合的思想解 决问题即可 【解答】解： （1）如图 1 中，由题意 A（0，0） ，B（2，0） ，C（0，1） ， 点 P 是线段 AB 关于射线 OC 的等腰点， OPAB2， P（0，2） 故答案为： （0，2） 如图 2 中，当 OPAB 时，作 PHx 轴于 H 在 RtPOH 中，PHOC1，OPAB2 OH， 观察图象可知： 若 n0， 且线段 AB 关于射线 OC 的等腰点的纵坐标小于 1 时， n （2）如图 31 中，作 CHy 轴于 H分别以 A，B 为圆
39、心，AB 为半径作A，B 由题意 C（，1） ， CH，OH1， tanCOH， COH60， 当B 经过原点时，B（2，0） ，此时 t4， 射线 OC 上只存在一个线段 AB 关于射线 OC 的等腰点， 射线 OC 与A，B 只有一个交点，观察图象可知当4t2 时，满足条件， 如图 32 中，当点 A 在原点时，POB30，此时两圆的交点 P 在射线 OC 上，满 足条件，此时 t0， 如图 33 中，当B 与 OC 相切于 P 时，连接 BP OC 是B 的切线， OPBP， OPB90， BP2，POB30， OB4，此时 t422， 如图 34 中，当A 与 OC 相切时，同法可得 OA4，此时 t4，此时符合题意 如图 35 中，当A 经过原点时，A（2，0） ，此时 t2， 观察图形可知，满足条件的 t 的值为：2t4， 综上所述，满足条件 t 的值为4t2 或 t0 或 2t4 故答案为：4t2 或 t0 或 2t4
