1、 2019-2020 学年浙江省绍兴市学年浙江省绍兴市 XX 中学实验班高二（上）中学实验班高二（上）10 月段月段 考数学试卷考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中只有分在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合要求的一项是符合要求的 1 （4 分）准线方程为 y2 的抛物线的标准方程是（ ） Ax216y Bx28y Cx216y Dx28y 2 （4 分）若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是 （ ） A B C D 3 （4 分）已知直线 a、b 是平面 内的
2、两条直线，l 是空间中一条直线则“la，lb” 是“l”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （4 分）设 x 为实数，命题 p：xR，x20，则命题 p 的否定是（ ） Ap：xR，x20 Bp：x0R，x020 Cp：xR，x20 Dp：x0R，x020 5 （4 分）直线 ya（aR）与抛物线 y2x 交点的个数是（ ） A0 B1 C2 D0 或 1 6 （4 分）设 ， 是三个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列说法正确 的是（ ） A若 ，则 B若 ，m，则 m C若 m，n，则 mn D若 m，n，则 mn 7 （4 分
3、）如图，在三棱锥 SABC 中，E 为棱 SC 的中点，若 AC2，SASBAB BCSC2，则异面直线 AC 与 BE 所成的角为（ ） A30 B45 C60 D90 8 （4 分）设 F1，F2分别为椭圆（ab0）的左、右焦点，椭圆上存在一点 P 使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 9 （4 分）在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳 马如图，已知四棱锥 SABCD 为阳马，且 ABAD，SD底面 ABCD若 E 是线段 AB 上的点（不含端点） ，设 SE 与 AD 所成的角为 ，SE 与底面 ABC
4、D 所成的角为 ，二 面角 SAED 的平面角为 ，则 A B C D 10 （4 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的 一条渐近线上关于原点对称的两点， 以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M， N 两点， 若|MN|2，ABF 的面积为 8，则 C 的渐近线方程为（ ） Ay By Cy2x Dy 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分 11 （4 分）命题“若整数 a，b 都是偶数，则 a+b 是偶数”的否命题可表示为 ，这 个否命题是一个 命题 （可填： “真” ， “假”
5、之一） 12 （4 分） 已知椭圆中心在原点， 一个焦点为 F （2， 0） ， 且长轴长是短轴长的 2 倍 则 该椭圆的长轴长为 ，其标准方程是 13 （4 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 体积是 ，表面积是 14 （4 分）抛物线 C：y22x 的焦点坐标是 ，经过点 P（4，1）的直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点， 且点 P 恰为 AB 的中点， F 为抛物线的焦点， 则|+| 15 （4 分）若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则 a 的最大值为 16 （4 分）已知双曲线的右焦点为 F，若直线 xa 上存在点 P， 使得OP
6、F30，其中 O 为坐标原点，则双曲线的离心率的最小值为 17 （4 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中边长 AB 为 2，P 为正方形 A1B1C1D1四边上的动 点，O 为底面正方形 ABCD 的中心，Q 为正方形 ABCD 内一点，M，N 分别为 AB，BC 上靠近 A 和 C 的三等分点，若线段 D1Q 与 OP 相交且互相平分，则点 Q 的轨迹与线段 MN 形成的封闭图形的面积为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 52 分解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤 18已知命题 P：表示双曲线，命题 q：表示
7、椭圆 （1）若命题 P 与命题 q 都为真命题，则 P 是 q 的什么条件？ （请用简要过程说明是“充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件”和“既不 充分也不必要条件”中的哪一个） （2）若 Pq 为假命题，且 Pq 为真命题，求实数 m 的取值范围 19如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直ABCD，AB BC，AB2CD2BC2，EAEB （1）求证：ABDE； （2）求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值； （3）线段 EA 上是否存在点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出；若不存在，说明 理由 20已知抛物线 C：x22py（
8、p0）的焦点为 F，M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意 一点，O 为坐标原点，记经过 M，F，O 三点的圆的圆心为 Q，且点 Q 到抛物线 C 的准 线的距离为 （）求点 Q 的纵坐标； （可用 p 表示） （）求抛物线 C 的方程； （）设直线 l：ykx+与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B若点 M 的横坐标为 2， 且QAB 的面积为 2，求直线 l 的方程 21如图：在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCDPAABBC，ADCD1， ADC120点 M 是 AC 与 BD 的交点，点 N 在线段 PB 上且 PNPB （1）证明：MN平面 PDC； （2）求直线 MN 与平
9、面 PAC 所成角的正弦值； （3）求二面角 APCD 的正切值 22如图，A 为椭圆1 的下顶点，过 A 的直线 l 交抛物线 x22py（p0）于 B、 C 两点，C 是 AB 的中点 （）求证：点 C 的纵坐标是定值； （）过点 C 作与直线 l 倾斜角互补的直线 l交椭圆于 M、N 两点，求 p 的值，使得 BMN 的面积最大 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中只有分在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合要求的一项是符合要求的 1 （4 分）准线方程为 y2
10、 的抛物线的标准方程是（ ） Ax216y Bx28y Cx216y Dx28y 【分析】利用抛物线的简单性质求解抛物线方程即可 【解答】解：准线方程为 y2 的抛物线的标准方程是：x28y 故选：D 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 2 （4 分）若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是 （ ） A B C D 【分析】正视图是从前向后看得到的视图，结合选项即可作出判断 【解答】解：所给图形的正视图是 A 选项所给的图形，满足题意 故选：A 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握正视图是从前向后看 得到的视图 3 （4
11、 分）已知直线 a、b 是平面 内的两条直线，l 是空间中一条直线则“la，lb” 是“l”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出结论 【解答】解：l，a，b“la，lb” ，反之不一定成立，例如 ab 时 “la，lb”是“l”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 4 （4 分）设 x 为实数，命题 p：xR，x20，则命题 p 的否定是（ ） Ap：xR，x20 Bp：x0R，x020 Cp：xR，x20 D
12、p：x0R，x020 【分析】通过全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：全称命题的否定是特称命题， 命题 p：xR，x20，则命题 p 的否定是：p：x0R，x020 故选：D 【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查 5 （4 分）直线 ya（aR）与抛物线 y2x 交点的个数是（ ） A0 B1 C2 D0 或 1 【分析】在坐标系中画出函数的图象，根据函数的图象，可以得出结论 【解答】解：画出函数的图象，根据函数的图象，得 由图象知，直线 ya（aR）与抛物线 y2x 交点只有 1 个 故选：B 【点评】本题考查了利用函数的图象来解答问题的知识，
13、解题时只需画出函数的图象， 即可得出答案，是基础题 6 （4 分）设 ， 是三个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列说法正确 的是（ ） A若 ，则 B若 ，m，则 m C若 m，n，则 mn D若 m，n，则 mn 【分析】在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中，m 与 相交、平行或 m；在 C 中，由 线面垂直的性质定理得 mn；在 D 中，m 与 n 相交、平行或异面 【解答】解：由 ， 是三个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，知： 在 A 中，若 ，则 与 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，若 ，m，则 m 与 相交、平行或 m，故 B 错误； 在 C 中，
14、若 m，n，则由线面垂直的性质定理得 mn，故 C 正确； 在 D 中，若 m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查推理论能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档 题 7 （4 分）如图，在三棱锥 SABC 中，E 为棱 SC 的中点，若 AC2，SASBAB BCSC2，则异面直线 AC 与 BE 所成的角为（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】取 SA 的中点 F，连接 EF，BF，则BEF（或其补角）为异面直线 AC 与 BE 所 成的角，求出三
15、角形的三边，即可求出异面直线 AC 与 BE 所成的角 【解答】解：取 SA 的中点 F，连接 EF，BF，则 E 为棱 SC 的中点， EFAC， BEF（或其补角）为异面直线 AC 与 BE 所成的角， AC2，SASBABBCSC2， BEEFBF， BEF60 故选：C 【点评】本题考查异面直线及其所成的角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线及 其所成的角是关键 8 （4 分）设 F1，F2分别为椭圆（ab0）的左、右焦点，椭圆上存在一点 P 使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|2a
16、，解方程可得|PF1|，|PF2|，由条件可得 a，b 的 方程，求得 a3b，由 a，b，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求离心率 【解答】解：由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|2a， |PF1|PF2|3b， 解得|PF1|（2a+3b） ，|PF2|（2a3b） ， |PF1|PF2|ab， 可得（4a29b2）ab， 即为 4a29ab9b20， 化为（3ba） （3b+4a）0， 可得 a3b， c2b， 则该椭圆的离心率为 e 故选：D 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和方程思想，考查运算能 力，属于中档题 9 （4 分）在九章算术中，将底面为长方形且
17、有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳 马如图，已知四棱锥 SABCD 为阳马，且 ABAD，SD底面 ABCD若 E 是线段 AB 上的点（不含端点） ，设 SE 与 AD 所成的角为 ，SE 与底面 ABCD 所成的角为 ，二 面角 SAED 的平面角为 ，则 A B C D 【分析】由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到 SAD， 从而 【解答】解：四棱锥 SABCD 为阳马，且 ABAD，SD底面 ABCDE 是线段 AB 上 的点（不含端点） ， 设 SE 与 AD 所成的角为 ，SE 与底面 ABCD 所成的角为 ， 二面角 SAED 的平面角为 ， SAD， 故选：A
18、 【点评】本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档 题 10 （4 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的 一条渐近线上关于原点对称的两点， 以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M， N 两点， 若|MN|2，ABF 的面积为 8，则 C 的渐近线方程为（ ） Ay By Cy2x Dy 【分析】设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF是矩形， 可得 SABFSABF，即 bc8，再根据|MN|2，可得 b2c，即
19、可求出 【解答】解：设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF是矩 形， SABFSABF， 即 bc8， 由，可得 y， 则|MN|2，即 b2c， b2，c4， a2， C 的渐近线方程为 yx， 故选：B 【点评】本题考查了双曲线的简单性质，三角形的面积，双曲线的渐近线方程，属于中 档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分 11 （4 分）命题“若整数 a，b 都是偶数，则 a+b 是偶数”的否命题可表示为 若两个整数 a， b 不都是偶数， 则 a+b 不是偶数 ， 这个否命题是一个 假 命题（可
20、填：“真” ，“假” 之一） 【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举 a，b 均为奇数，则 a+b 为偶数，即可判断真假 【解答】解：命题“若整数 a，b 都是偶数，则 a+b 是偶数”的否命题可表示为 “若整数 a，b 不都是偶数，则 a+b 不是偶数” ， 由 a，b 均为奇数，可得 a+b 为偶数， 则原命题的否命题为假命题， 故答案为：若整数 a，b 不都是偶数，则 a+b 不是偶数，假 【点评】 本题考查命题的否命题和真假判断， 考查判断能力和推理能力， 是一道基础题 12 （4 分） 已知椭圆中心在原点， 一个焦点为 F （2， 0） ， 且长轴长是短轴长的 2
21、倍 则 该椭圆的长轴长为 8 ，其标准方程是 1 【分析】先根据题意 a2b，c2并且 a2b2+c2求出 a，b，c 的值，代入标准方程得 到答案 【解答】解：已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（2，0） ，且长轴长是短轴长的 2 倍可得， ，可得 a4，2a8， 1 为椭圆的标准方程； 故答案为：8；1 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程椭圆的简单性质的应用，属基础题 13 （4 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 体积是 ，表面积是 +1+ 【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面 PAC面 ABC，PAC 是边长为 2 的正三角形
22、，ABC 是边 AC2，边 AC 上的高 OB1，PO为底面上 的高据此可计算出表面积和体积 【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥， 其中侧面 PAC面 ABC，PAC 是边长为 2 的正三角形，ABC 是边 AC2， 边 AC 上的高 OB1，PO为底面上的高 于是此几何体的体积 VSABCPO21， 几何体的表面积 SSPAC+SABC+2SPAB2+21+2 +1+ 故答案为：，+1+ 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几 何体的形状是解答的关键 14 （4 分）抛物线 C：y22x 的焦点坐标是 （，0） ，经过点 P（4，1）的
23、直线 l 与 抛物线 C 相交于 A，B 两点，且点 P 恰为 AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则|+| 9 【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点坐标，利用抛物线的定义把|AF|+|BF|进行转化 求解 【解答】解：由抛物线 C：y22x，得 2p2，p1，则， 抛物线的焦点 F（，0） 过 A 作 AM准线，BN准线，PK准线，M、N、K 分别为垂足， 则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|AF|+|BF| 再根据 P 为线段 AB 的中点，有（|AM|+|BN|）|PK|， |AF|+|BF|9， 故答案为： （） ，9 【点评】本题主要考查抛物线的定义性值以及标准方程的应用，属于中档题
24、 15 （4 分）若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则 a 的最大值为 1 【分析】因 x21 得 x1 或 x1，又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知“x a”可以推出“x21” ，反之不成立由此可求出 a 的最大值 【解答】解：因 x21 得 x1 或 x1，又“x21”是“xa”的必要不充分条件， 知“xa”可以推出“x21” ， 反之不成立 则 a 的最大值为1 故答案为1 【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解 答 16 （4 分）已知双曲线的右焦点为 F，若直线 xa 上存在点 P， 使得OPF30，其中 O 为坐标原点，则双曲线的
25、离心率的最小值为 2 【分析】 先运用正弦定理， 求得OPF 的外接圆的半径 rc， 外接圆的圆心 M （， y0） ， 则原题等价于直线 xa，与圆 m 存在公共点，即有ca，由离心率公 式，解不等式即可得到 【解答】解：设OPF 的外接圆的半径 r，由|OF|c，正弦定理可得，2r 2c，即有 rc， 且圆心 m 在 x上，P 在圆上， 所以原题等价于直线 xa 与圆 M 存在公共点， 即有ca，由离心率公式可得 e2 则双曲线的离心率的最小值为 2， 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和圆的关系，考 查正弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题和易
26、错题 17 （4 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中边长 AB 为 2，P 为正方形 A1B1C1D1四边上的动 点，O 为底面正方形 ABCD 的中心，Q 为正方形 ABCD 内一点，M，N 分别为 AB，BC 上靠近 A 和 C 的三等分点，若线段 D1Q 与 OP 相交且互相平分，则点 Q 的轨迹与线段 MN 形成的封闭图形的面积为 【分析】根据线段 D1Q 与 OP 互相平分，可得四边形 D1PQO 是平行四边形，点 Q 的轨 迹为两条线段（过 O 与 AB，AD 平行的两条线段） ，设过 O 平行于 AB 的直线交 MN 于点 H，过 O 平行于 AD 的直线与 MN 交于点
27、G，则点 Q 的轨迹与线段 MN 形成的封闭图形 是等腰直角GHO，由此能求出点 Q 的轨迹与线段 MN 形成的封闭图形的面积 【解答】解：线段 D1Q 与 OP 互相平分， 四边形 D1PQO 是平行四边形 OQD1P O 为底面正方形 ABCD 的中心， 点 Q 的轨迹为两条线段（过 O 与 AB，AD 平行的两条线段） ， 设过 O 平行于 AB 的直线交 MN 于点 H，过 O 平行于 AD 的直线与 MN 交于点 G， 点 Q 的轨迹与线段 MN 形成的封闭图形是等腰直角GHO， OGOH1+， 点 Q 的轨迹与线段 MN 形成的封闭图形的面积为： S 故答案为： 【点评】本题考查立
28、体几何中的轨迹问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 52 分解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤 18已知命题 P：表示双曲线，命题 q：表示椭圆 （1）若命题 P 与命题 q 都为真命题，则 P 是 q 的什么条件？ （请用简要过程说明是“充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件”和“既不 充分也不必要条件”中的哪一个） （2）若 Pq 为假命题，且 Pq 为真命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）命题
29、P：表示双曲线是真命题，则（m1） （m4）0，解 得 m 取值范围又命题 q：表示椭圆是真命题，可得，解出即 可判断出关系 （2）Pq 为假命题，且 Pq 为真命题，可得 P、q 为“一真一假” ，进而得出 【解答】 （1）解：命题 P：表示双曲线是真命题， （m1） （m4）0， 解得 1m4 又命题 q：表示椭圆是真命题， 解得 2m3 或 3m4 m|1m42m3 或 3m4 P 是 q 的必要不充分条件 （2）解：Pq 为假命题，且 Pq 为真命题 P、q 为“一真一假” ， 当 P 真 q 假时，由（1）可知，P 为真，有 1m4，q 为假，m2 或 m3 或 m4 由解得 1m2
30、 或 m3 当 P 假 q 真时，由（1）可知，P 为假，有 m1 或 m4，q 为真，有 2m3 或 3 m4 由解得，无解 综上，可得实数 m 的取值范围为 1m2 或 m3 【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方 法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直ABCD，AB BC，AB2CD2BC2，EAEB （1）求证：ABDE； （2）求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值； （3）线段 EA 上是否存在点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出；若不存在，说明 理由 【
31、分析】（1） 取 AB 的中点 O， 连结 EO， 则可证 OEAB， ODAB， 故而 AB平面 ODE， 故而 ABDE； （2）由面面垂直的性质可得 BC平面 ABE，故BEC 为直线 EC 与平面 ABE 所成角， 求出 BC，CE，继而可求出 sinBEC； （3）假设 AE 上存在点 F，使得 EC平面 BDF连结 AC 交 BD 于 M，连结 BF，DF， MF由线面平行性质得出 CEMF，于是，从而 【解答】解： （1）证明：取 AB 的中点 O，连结 EO， EAEB，O 为 AB 的中点， EOAB， ABCD，CDBCAB，ABBC， 四边形 OBCD 是正方形， ABO
32、D 又 OE平面 ODE，OD平面 ODE，ODOEO， AB平面 ODE，又 DE平面 ODE， ABDE （2） 平面 ABCD平面 ABE， 平面 ABCD平面 ABEAB， BCAB， BC平面 ABCD， BC平面 ABE， CEB 为 EC 与平面 ABE 所成的角， 连结 OC，则 OC，OE1，CE， sinCEB （3）假设 AE 上存在点 F，使得 EC平面 BDF 连结 AC 交 BD 于 M，连结 BF，DF，MF EC平面 BDF，EC平面 ACE，平面 ACE平面 BDFMF， ECMF， ， 又CDMABM， ， ， 线段 EA 上存在点 F，使 EC平面 FBD
33、， 【点评】本题考查了线面平行，面面平行的性质，线面角的计算，属于中档题 20已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意 一点，O 为坐标原点，记经过 M，F，O 三点的圆的圆心为 Q，且点 Q 到抛物线 C 的准 线的距离为 （）求点 Q 的纵坐标； （可用 p 表示） （）求抛物线 C 的方程； （）设直线 l：ykx+与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B若点 M 的横坐标为 2， 且QAB 的面积为 2，求直线 l 的方程 【分析】 （）根据焦点 F（0，）以及MFO 的外接圆的圆心为 Q，即可求出； （）由题意可得（），解得 p2，即可求
34、出抛物线方程； （）先判断MFO 为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的 面积公式即可求出 【解答】解： （）设 Q（xQ，yQ） ， 焦点 F（0，）以及MFO 的外接圆的圆心为 Q， Q 点的纵坐标为 yQ， （）抛物线 C 的准线方程为 y， （），解得 p2， 抛物线 C 的方程 x24y （）可知 M（2，1） ，F（0，1） ，O（0，0） ， MFO 为直角三角形，其外接圆圆心在 MO 的中点上，即 Q 的坐标为（1，） ， 点 Q 到直线 AB 的距离 d， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立方程组，消 y 可得 x24kx20， x1+x24
35、k，x1x22， |AB|， SQAB|AB|d2， 解得 k22，即 k， 直线 l 的方程为 yx+ 【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，训练了弦长公式 的应用，是中档题 21如图：在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCDPAABBC，ADCD1， ADC120点 M 是 AC 与 BD 的交点，点 N 在线段 PB 上且 PNPB （1）证明：MN平面 PDC； （2）求直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值； （3）求二面角 APCD 的正切值 【分析】 （1） 推导出 AC，在正三角形 ABC 中， BM， DM，从而进 而 MNPD，由此能证明 M
36、N平面 PDC （2）分别以 AB，AD，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，利用向量法 能求出直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值 （3）求出平面 APC 的法向量、平面 PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角 APC D 的正切值 【解答】 解： （1） 证明： 在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD， PAABBC， ADCD1，ADC120，点 M 是 AC 与 BD 的交点， AC， 在正三角形 ABC 中，BM， 在ACD 中，M 为 AC 中点，DMAC， ADCD，又CDA120， DM， 点 N 在线段 PB 上，且 PNPBMNPD，
37、MN平面 PDC，PD平面 PDC， MN平面 PDC （2）解：BADBAC+CAD90，ABAD， 分别以 AB，AD，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系， B（，0，0） ，C（， ，0） ，A（0，0，0） ，P（0，0，） ，N（，0，） ， M（，0） ， （0，0，） ，（，0） ， 设平面 PAC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x，得 （，1，0） ， （0，） ， 设直线 MN 与平面 PAC 所成角为 ， 则 sin 故直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值为 （3）解：平面 APC 的法向量 （，1，0） ， D（0，1，0） ，（，）
38、，（0，1，） ， 设平面 PCD 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y，得 （1，1） ， 设二面角 APCD 的平面角为 ， 则 cos，sin， tan 二面角 APCD 的正切值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、二面角的正切值的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 22如图，A 为椭圆1 的下顶点，过 A 的直线 l 交抛物线 x22py（p0）于 B、 C 两点，C 是 AB 的中点 （）求证：点 C 的纵坐标是定值； （）过点 C 作与直线 l 倾斜角互补的直线 l交椭圆于 M、N 两点，求 p 的值，使得
39、BMN 的面积最大 【分析】 （）由题意可求 A（0，1） ，设，可求，代入 抛物线方程，整理可得 t24p，计算可得点 C 的纵坐标值为，从而得证 （）由题意可得 SBMNSAMN，求得直线 l 的斜率，可求直线 l的斜率和方程，不妨 记，则 l：ymx+2，代入椭圆方程整理得： （2m2+1）x2+8mx+60，设 M（x1， y1） ，N（x2，y2） ，求得|MN|的值和 A 到 MN 的距离，进而根据三角形的面积 公式及基本不等式可求BMN 的面积最大值，由条件解得，即可求得 p 的值 【解答】解： （）易知 A（0，1） ，不妨设， 则，代入抛物线方程得：，得：t24p， 为定值 （）点 C 是 AB 中点， SBMNSAMN， 直线 l 的斜率，直线 l的斜率， 直线 l的方程：，即，不妨记，则 l：ymx+2， 代入椭圆方程整理得： （2m2+1）x2+8mx+60， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 则， 可得：， 可得：A 到 MN 的距离， 所以 取等号时，得， 所以：， 【点评】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达 定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力， 属于中档题
