1、2020 年安徽省皖南四校尖子生对抗赛数学试卷年安徽省皖南四校尖子生对抗赛数学试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12020 的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 2若 a，b，则实数 a，b 的大小关系为（ ） Aab Bab Cab Dab 3化简二次根式的结果是（ ） A B C D 4若关于 x 的不等式 mxn0 的解集是 x，则关于 x 的不等式（m+n）xnm 的解 集是（ ） Ax Bx Cx Dx 5如图，随机闭合开关 S1、S2、S3中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A B C D 6如图，已知函数 y与 yax2+bx（a0，b0）的图象交
2、于点 P，点 P 的纵坐标为 1，则关于 x 的方程 ax2+bx+0 的解为（ ） Ax3 Bx1 Cx3 D无解 7 如图， 曲线 l 是由函数 y在第一象限内的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 45得到的， 过点 A（3，3） ，B（，）的直线与曲线 l 相交于点 M、N，则OMN 的面积为（ ） A2 B3 C4 D5 8已知等腰直角ABC，AC5，把BMN 沿 MN 折叠，B 点刚好落在 AC 的中点处，求 折痕 MN （ ） A B C D 9如图，以半圆的一条弦 BC（非直径）为对称轴将弧 BC 折叠与直径交于点 D，若 tanB ，且 AD2，则 AB（ ） A10 B9 C8
3、D9.5 10 已 知 对 于 任 意 正 整 数n ， 都 有a1+a2+a3+ +an n3， 则 （ ） A B C D 二填空题二填空题 11已知方程 x2+x2，则 2x2+2x 12已知ABC，C90，ADEC，ACBE，BD 交 AE 于点 O，则BOE 13 如图， 已知ABC， DEF 均为等腰直角三角形， EF10， 顶点 D， E 分别在边 AB， AC 上滑动则在滑动过程中，点 A，F 间距离的最大值为 14若函数 yax2+bx+c 的图象经过 p（1，0） ，Q（5，4）当 1x5 时，y 随 x 的增大 而减小，则实数 a 的范围 三解答题（共三解答题（共 2 小
4、题）小题） 15先化简，再求值： （x2） ，其中 x（1）0| 16某县为落实“精准扶贫惠民政策” ，计划将某村的居民自来水管道进行改造该工程若 由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定 天数的 1.5 倍如果由甲、乙队先合作施工 15 天，那么余下的工程由甲队单独完成还需 5 天 （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队 合作完成则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？ 17.小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第 16min 回到家中设 小明出发第 tmin 时
5、的速度为 vm/min，离家的距离为 sm，v 与 t 之间的函数关系如图所示 （图中的空心圈表示不包含这一点） （1）小明出发第 2min 时离家的距离为 m； （2）当 2t5 时，求 s 与 t 之间的函数表达式； （3）画出 s 与 t 之间的函数图象 18.如图，已知在平面直角坐标系中，A（2，1） ，B（3，3） ，C（5，2） （1）画图：以 A 点为位似中心向右侧放大两倍； （2）ABC 内有一点 p（a，b）求放大后对应点的坐标 19.阅读下列材料： 对于任意正实数 a，b，0，a2+b0，a+b2，当且仅 当 ab 时，等号成立 结论：在 a+b2均为正实数）中，若 ab
6、为定值 p，则 a+b2，当且仅当 ab 时，a+b 有最小值 2 拓展：对于任意正实数 a，b，c，都有 a+b+c3，当且仅当 abc 时，等号成 立在 a+b+c3， （a，b，c 均为正实数）中，若 abc 为定值 p，则 a+b+c3， 当且仅当 abc 时，a+b+c 有最小值 3 例如：x0，则 x+4，当且仅当 x，即 x2 时等号成立又如：若 x 0， 求 2x+的最小值时， 因为 2x+6， 当且仅当 x， 即 x2 时等号成立，故当 x2 时，2x+有最小值 6根据上述材料，解答下列问题： （1）若 a 为正数，则当 a 时，代数式 2a+取得最小值，最小值为 ； （2）
7、已知函数 y1x2（x0）与函数 y2，求函数 y1+y2的最小值及此时 x 的值； （3）我国某大型空载机的一次空载运输成本包含三部分：一是基本运输费用，共 8100 元；二是飞行耗油，每一百公里 1200 元；三是飞行报耗费用，飞行报耗费用与路程（单 位：百公里）的平方成正比，比例系数为 0.04，设该空载机的运输路程为 x 百公里，则 该空载机平均每一百公里的运输成本 y 最低为多少？ 20.如图， 南海某海域有两艘外国渔船 A、B 在小岛 C 的正南方向同一处捕鱼 一段时间后， 渔船 B 沿北偏东 30的方向航行至小岛 C 的正东方向 20 海里处 （1）求渔船 B 航行的距离； （2
8、）此时，在 D 处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中 B 渔船在点 D 的南 偏西 60方向，A 渔船在点 D 的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海 域请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离 （注：结果保留根号） 21.已知 AB 是O 的直经，PB 是O 的切线，C 是O 上的点，ACOP，M 是直径 AB 上 的动点，A 与直线 CM 上的点的连线距离的最小值为 d，B 与直线 CM 上的连线距离的最 小值为 f， （1）求证：PC 是O 切线 （2）设 OPAC，求CPO 的正切值 （3）设 AC9，AB15，求 d+f 的取值范围 22.如图，一条抛物线经过
9、原点和点 C（8，0） ，A、B 是该抛物线上的两点，ABx 轴，OA 5，AB2点 E 在线段 OC 上，作MENAOC，使MEN 的一边始终经过点 A， 另一边交线段 BC 于点 F，连接 AF （1）求抛物线的解析式； （2）当点 F 是 BC 的中点时，求点 E 的坐标； （3）当AEF 是等腰三角形时，求点 E 的坐标 23.如图，在ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 边上的中点，点 P 是 AC 边上的一个动点，延 长 DP 到点 E，使CAECDE，作DCGACE，其中 G 点在 DE 上 （1）如图 1，若B45，则 ； （2）如图 2，若DCG30，求 ； （3）如图 3
10、，若ABC60，延长 CG 至点 M，使得 MGGC，连接 AM，BM在点 P 运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段 AM 与 DM 的长度之和取得最小值？ 2020 年安徽省皖南四校尖子生对抗赛数学试卷年安徽省皖南四校尖子生对抗赛数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12020 的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【解答】解：2020 的相反数是：2020 故选：C 2若 a，b，则实数 a，b 的大小关系为（ ） Aab Bab Cab Dab 【分析】直接利用 a，b 接近的有
11、理数，进而分析得出答案 【解答】解：， 23， ， 34， ab 故选：B 3化简二次根式的结果是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式找出隐含条件 a+20，即 a2，再化简 【解答】解：若二次根式有意义，则0， a20，解得 a2， 原式 故选：B 4若关于 x 的不等式 mxn0 的解集是 x，则关于 x 的不等式（m+n）xnm 的解 集是（ ） Ax Bx Cx Dx 【分析】先解关于 x 的不等式 mxn0，得出解集，再根据不等式的解集是 x，从 而得出 m 与 n 的关系，选出答案即可 【解答】解：关于 x 的不等式 mxn0 的解集是 x， m0， 解得 m5n， n0，
12、 解关于 x 的不等式（m+n）xnm 得，x， x， 故选：A 5如图，随机闭合开关 S1、S2、S3中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A B C D 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率 公式求出该事件的概率 【解答】解：随机闭合开关 S1、S2、S3中的两个出现的情况列表得，所以概率为，故 选 B 开关 S1S2 S1S3 S2S3 结果 亮 亮 不亮 6如图，已知函数 y与 yax2+bx（a0，b0）的图象交于点 P，点 P 的纵坐标为 1，则关于 x 的方程 ax2+bx+0 的解为（ ） Ax3 Bx1 Cx3 D无解 【分析】 先求出
13、 P 点坐标， 再把方程的解转化为求两函数的交点问题， 进而可得出结论 【解答】解：函数 y经过点 P，点 P 的纵坐标为 1， 1，解得 x3 ax2+bx+0 可化为方程 ax2+bx， 此方程的解即为两函数的交点， x3 故选：C 7 如图， 曲线 l 是由函数 y在第一象限内的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 45得到的， 过点 A（3，3） ，B（，）的直线与曲线 l 相交于点 M、N，则OMN 的面积为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】由题意得 A（3，3） ，B（，） ，可知 OAOB，建立如图所 示的平面直角坐标系，利用方程组求出 M、N 的坐标，根据 SOMNSOBMSO
14、BN计算 即可 【解答】解：A（3，3） ，B（，） ， OAOB 建立如图新的坐标系，OB 为 x轴，OA 为 y轴 在新的坐标系中，A（0，6） ，B（3，0） ， 直线 AB 解析式为 y2x+6， 由，解得或， M（1，4） ，N（2，2） ， SOMNSOBMSOBN34323， 故选：B 8已知等腰直角ABC，AC5，把BMN 沿 MN 折叠，B 点刚好落在 AC 的中点处，求 折痕 MN （ ） A B C D 【分析】作 MGBC 于 G，作 DHAB 于 H，则BGMMGNAHD90，由 折叠的性质得：DNBN，BMNDMN，证明ADH 是等腰直角三角形，得出 DH AHAD
15、，设 DNBNx，在 RtCDN 中，CNBCBN5x，由勾股 定理得出方程，解方程得出 BN，CN，设 MGy，证明BMG 是等腰直角三 角形，得出 BGMGy，BMy，则 AM5y，由四边形 BNDM 的面积 ABC 的面积CDN 的面积ADM 的面积，得出方程，得出 BGMG，求出 NGBNBG，在 RtMNG 中，由勾股定理即可得出结果 【解答】解：作 MGBC 于 G，作 DHAB 于 H，如图所示： 则BGMMGNAHD90， 由折叠的性质得：DNBN，BMNDMN， D 是 AC 的中点， CDADAC， 等腰 RtABC，ACBC5， AB45，AB5， ADH 是等腰直角三角
16、形， DHAHAD， 设 DNBNx， 在 RtCDN 中，CNBCBN5x， 由勾股定理得：x2（5x）2+（）2， 解得：x， BN，CN， 设 MGy， MGBC， BMG 是等腰直角三角形， BGMGy，BMy，则 AM5y， 四边形 BNDM 的面积ABC 的面积CDN 的面积ADM 的面积， 2y55（5y）， 解得：y， BGMG， NGBNBG， 在 RtMNG 中，由勾股定理得：MN 故选：C 9如图，以半圆的一条弦 BC（非直径）为对称轴将弧 BC 折叠与直径交于点 D，若 tanB ，且 AD2，则 AB（ ） A10 B9 C8 D9.5 【分析】连接 CA、CD，作
17、CHAB 于 H，如图，利用折叠性质可判断半圆 AB 和所 在的圆为等圆，利用圆周角定理得到，则 ACCD，所以 AHDH1，然后利 用正切定义先求出 CH，再求出 BH，从而得到 AB 的长 【解答】解：连接 CA、CD，作 CHAB 于 H，如图， 弦 BC（非直径）为对称轴将弧 BC 折叠与直径交于点 D， 半圆 AB 和所在的圆为等圆， ， ACCD， 而 CHAD， AHDH1， AB 为直径， ACB90， ACHB， 在 RtACH 中，tanACHtanB， CH3AH3， 在 RtBCH 中，tanB， BH3CH9， ABAH+BH1+910 故选：A 10 已 知 对 于
18、 任 意 正 整 数n ， 都 有a1+a2+a3+ +an n3， 则 （ ） A B C D 【分析】由题意知，a1+a2+an1+ann3，a1+a2+an1（n1）3，把两式相减， 得出 an的表达式，再根据进行解答即可 【解答】解：a1+a2+an1+ann3，a1+a2+an1（n1）3，两式相减，得 an 3n23n+1， ， ， 故选：C 二填空题二填空题 11已知方程 x2+x2，则 2x2+2x 6 【分析】首先设 x2+xy，则原方程变为为 y22y30，再利用因式分解法解出方程， 可得 y 的值，进而得到 2x2+2x 的值 【解答】解：设 x2+xy， 则原方程变为
19、y2， 整理得：y22y30， 分解因式得： （y3） （y+1）0， 则 y30，y+10， 解得：y13，y21， 所以 x2+x3 或1， 因为 x2+x1 无解， 故 2x2+2x6， 故答案为：6 12 已知ABC， C90， ADEC， ACBE， BD 交 AE 于点 O， 则BOE 45 【分析】过点 B 作 BFBC，且使得 BFEC，连接 AF，FE，利用 SAS 判定AEC EFB，再判定AEF 为等腰直角三角形，则EAF45；然后利用一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形证明四边形 ADBF 为平行四边形，从而 BDAF，由平行线的性 质可得答案 【解答】解：如图，过
20、点 B 作 BFBC，且使得 BFEC，连接 AF，FE，则EBF C90， 在AEC 和EFB 中， ， AECEFB（SAS） ， AEEF，EACFEB， EAC+AEC90， FEB+AEC90， AEF90， AEF 为等腰直角三角形， EAF45， BFEC，ADEC， BFAD， FBE+C90+90180， BFAC， 四边形 ADBF 为平行四边形， BDAF， BOEEAF45， 故答案为：45 13 如图， 已知ABC， DEF 均为等腰直角三角形， EF10， 顶点 D， E 分别在边 AB， AC 上滑动则在滑动过程中，点 A，F 间距离的最大值为 5+5 【分析】
21、以 ED 为直角作等腰直角三角形 EDM， 以 M 为圆心， AM 为半径作圆， 随着 D、 E 点运动， A 始终在圆 M 上， 当 A、 M、 F 三点共线时， AF 最大； 由已知可求 AM5， 由DEFMED45，可得MEF90， 则 MF5，所以 AF5+5 【解答】解：DEF 均为等腰直角三角形，EF10， DEDF10， ABC 是等腰直角三角形， 以 ED 为直角作等腰直角三角形 EDM，以 M 为圆心，AM 为半径作圆， 随着 D、E 点运动，A 始终在圆 M 上， 当 A、M、F 三点共线时，AF 最大； AMEM， AM5， DEFMED45， MEF90， MF5， A
22、F5+5， 故答案为 5+5 14若函数 yax2+bx+c 的图象经过 p（1，0） ，Q（5，4）当 1x5 时，y 随 x 的增大 而减小，则实数 a 的范围 a 【分析】当 a0 时，b0 时，函数是一次函数，y 随 x 的增大而减小，当 a0 时，是 二次函数，把（1，0） ， （5，4）代入解析式，用含 a 的代数式表示 b，表示出对称轴， 根据二次函数的性质解答即可 【解答】解：当 a0 时，b0 时，y 随 x 的增大而减小， 把 P（1，0） ，Q（5，4）代入解析式得， 两式相减得，b16a， 抛物线的对称轴为直线 x+3， 当 a0 时，+35，y 随 x 的增大而减小，
23、即 0a， 当 a0 时，+31，y 随 x 的增大而减小，即a0， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 2 小题）小题） 15先化简，再求值： （x2） ，其中 x（1）0| 【分析】先化简，再求出 x 的值，代入即可得出结论 【解答】解：原式 x（1）0|1， 原式14 16某县为落实“精准扶贫惠民政策” ，计划将某村的居民自来水管道进行改造该工程若 由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定 天数的 1.5 倍如果由甲、乙队先合作施工 15 天，那么余下的工程由甲队单独完成还需 5 天 （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）为了缩短工期以减少对居民
24、用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队 合作完成则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？ 【分析】 （1）设这项工程的规定时间是 x 天，则甲队单独施工需要 x 天完工，乙队单独 施工需要 1.5x 天完工， 根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量总工作量 （单位 1） ， 即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）由（1）可求出甲、乙单独施工所需天数，再利用两队合作完工所需时间总工作 量（甲队一天完成的工作量+乙队一天完成的工作量） ，即可求出结论 【解答】解： （1）设这项工程的规定时间是 x 天，则甲队单独施工需要 x 天完工，乙队 单独施工需要 1.5x 天
25、完工， 依题意，得：+1， 解得：x30， 经检验，x30 是原方程的解，且符合题意 答：这项工程的规定时间是 30 天 （2）由（1）可知：甲队单独施工需要 30 天完工，乙队单独施工需要 45 天完工， 1（+）18（天） 答：甲乙两队合作完成该工程需要 18 天 17.小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第 16min 回到家中设 小明出发第 tmin 时的速度为 vm/min，离家的距离为 sm，v 与 t 之间的函数关系如图所示 （图中的空心圈表示不包含这一点） （1）小明出发第 2min 时离家的距离为 m； （2）当 2t5 时，求 s 与 t 之间的函数表
26、达式； （3）画出 s 与 t 之间的函数图象 【考点】FH：一次函数的应用 【专题】33：函数思想 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据路程速度时间求出小明出发第 2min 时离家的距离即可； （2）当 2t5 时，离家的距离 s前面 2min 走的路程加上后面（t2）min 走过的路 程列式即可； （3）分类讨论：0t2、2t5、5t6.25 和 6.25t16 四种情况，画出各自的图 形即可求解注意因为小明是往返用了 16 分钟，往返的路程是一样的，根据往返路程相 等，计算出的 6.25 【解答】解： （1）1002200（m） 故小明出发第 2min 时离家的距离为 200m；
27、 故答案为：200 （2）当 2t5 时，s1002+160（t2）160t120 故 s 与 t 之间的函数表达式为 s160t120； （3）s 与 t 之间的函数关系式为， 如图所示： 18.如图，已知在平面直角坐标系中，A（2，1） ，B（3，3） ，C（5，2） （1）画图：以 A 点为位似中心向右侧放大两倍； （2）ABC 内有一点 p（a，b）求放大后对应点的坐标 【考点】SD：作图位似变换 【专题】13：作图题；64：几何直观 【答案】见试题解答内容 【分析】（1） 延长 AB 到点 B使 BBAB， 延长 AC 到 C使 CCAC， 则ABC 满足条件； （2）先把ABC 进
28、行判断，使 A 点平移到 O 点，则可根据以原点为位似中心的对应点 的坐标写出平移后 P 点的对应点的坐标， 然后再反向平移到原来的位置， 从而得到ABC 放大后 P 点的对应点的坐标 【解答】解： （1）如图，ABC为所作； （2）把 A 点向左平移 2 个单位，向下平移 1 个单位与原点重合， 点 P （a， b） 向左平移 2 个单位， 向下平移 1 个单位的对应点 P1的坐标为 （a2， b1） ， 点 P1（a2，b1）以原点为位似中心向右侧放大两倍的对应点 P2的坐标为（2a4， 2b2） ， 把点 P2（2a4，2b2）向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位的对应点 P的坐标
29、为 （2a2，2b1） 故答案为（2a2，2b1） 19.阅读下列材料： 对于任意正实数 a，b，0，a2+b0，a+b2，当且仅 当 ab 时，等号成立 结论：在 a+b2均为正实数）中，若 ab 为定值 p，则 a+b2，当且仅当 ab 时，a+b 有最小值 2 拓展：对于任意正实数 a，b，c，都有 a+b+c3，当且仅当 abc 时，等号成 立在 a+b+c3， （a，b，c 均为正实数）中，若 abc 为定值 p，则 a+b+c3， 当且仅当 abc 时，a+b+c 有最小值 3 例如：x0，则 x+4，当且仅当 x，即 x2 时等号成立又如：若 x 0， 求 2x+的最小值时， 因
30、为 2x+6， 当且仅当 x， 即 x2 时等号成立，故当 x2 时，2x+有最小值 6根据上述材料，解答下列问题： （1）若 a 为正数，则当 a 时，代数式 2a+取得最小值，最小值为 ； （2）已知函数 y1x2（x0）与函数 y2，求函数 y1+y2的最小值及此时 x 的值； （3）我国某大型空载机的一次空载运输成本包含三部分：一是基本运输费用，共 8100 元；二是飞行耗油，每一百公里 1200 元；三是飞行报耗费用，飞行报耗费用与路程（单 位：百公里）的平方成正比，比例系数为 0.04，设该空载机的运输路程为 x 百公里，则 该空载机平均每一百公里的运输成本 y 最低为多少？ 【考
31、点】GA：反比例函数的应用；HE：二次函数的应用 【专题】21：阅读型；69：应用意识 【答案】 （1）1，3； （2）函数 y1+y2的最小值是 12，此时 x 的值是 2； （3）1650 【分析】 （1）根据题目给出的结论，可知当 a，即 a1 时等号成立，故当 a1 时， 2a+有最小值； （2）计算函数 y1+y2x2+，把，类比可得结论； （3）根据运输路程平均每一百公里的运输成本一次空载运输成本，可得 y 的式子， 类比材料可得结论 【解答】解： （1）因为 2a+22，当且仅当 2a，即 a时等号成 立，故当 a时，2a+取得最小值为 2； 故答案为：，2； （2）y1x2（x
32、0） ，y2， 函数 y1+y2x2+， x2+x2+312，当且仅当 x2，即 x2 时等号成立，故当 x2 时，x2+取得最小值是 12， 即函数 y1+y2的最小值是 12，此时 x 的值是 2； （3）设该空载机的运输路程为 x 百公里，则运输成本为 xy 元， 由题意得：xy8100+1200 x+0.04x2， y， 因为+0.04x236，当且仅当，即 x450 时等号 成立， 450+12001650， 故该空载机平均每一百公里的运输成本 y 最低为 1650 百公里 20.如图， 南海某海域有两艘外国渔船 A、B 在小岛 C 的正南方向同一处捕鱼 一段时间后， 渔船 B 沿北
33、偏东 30的方向航行至小岛 C 的正东方向 20 海里处 （1）求渔船 B 航行的距离； （2）此时，在 D 处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中 B 渔船在点 D 的南 偏西 60方向，A 渔船在点 D 的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海 域请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离 （注：结果保留根号） 【考点】TB：解直角三角形的应用方向角问题 【专题】55E：解直角三角形及其应用 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）由题意得到CAB30，ACB90，BC20，根据直角三角形的性 质即可得到结论； （2）过 B 作 BEAE 于 E，过 D 作 DHAE 于
34、 H，延长 CB 交 DH 于 G，得到四边形 AEBC 和四边形 BEHG 是矩形，根据矩形的性质得到 BEGHAC20，AEBC 20，设 BGEHx，求得 AHx+20，解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）由题意得，CAB30，ACB90，BC20， AB2BC40 海里， 答：渔船 B 航行的距离是 40 海里； （2）过 B 作 BEAE 于 E，过 D 作 DHAE 于 H，延长 CB 交 DH 于 G， 则四边形 AEBC 和四边形 BEHG 是矩形， BEGHAC20，AEBC20， 设 BGEHx 海里， AHx+20， 由题意得，BDG60，ADH45， x，DH
35、AH， 20+xx+20， 解得：x20， BG20，AH20+20， BD40， ADAH20+20， 答：中国渔政船此时到外国渔船 B 的距离是 40 海里，到外国渔船 A 的距离是（20+20 ）海里 21.已知 AB 是O 的直经，PB 是O 的切线，C 是O 上的点，ACOP，M 是直径 AB 上 的动点，A 与直线 CM 上的点的连线距离的最小值为 d，B 与直线 CM 上的连线距离的最 小值为 f， （1）求证：PC 是O 切线 （2）设 OPAC，求CPO 的正切值 （3）设 AC9，AB15，求 d+f 的取值范围 【考点】MR：圆的综合题 【专题】152：几何综合题；551
36、：线段、角、相交线与平行线；552：三角形；554：等 腰三角形与直角三角形；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55D： 图形的相似；55E：解直角三角形及其应用；67：推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）连接 OC，由切线的性质得出OBP90，证OCPOBP（SAS） ，得 出OCPOBP90，进而得出结论； （2）连接 BC，交 OP 于 H，证 OH 是ABC 的中位线，则 OHAC，设 AC2a，则 OP3a， OHa， HP2a， 证OHCCHP， 得出， 则 HC2OHHP2a2， HCa，由三角函数定义即可得出答案； （3）连接 BC，过点 A
37、 作 ANCM 于 N，过点 B 作 BSCM 于 S，由三角函数定义得 d+f AMsinAMC+BMsinSMB，则 d+fsinAMC（AM+BM）ABsinAMC，当 AMC 最大， d+f 最大， 即 CMAB 最大， 此时， d+fAB15， 当AMC 最小， d+f 最小， 即M在B点AMCABC与M在A点AMCCAB时最小， 由圆周角定理得ACB 90，由勾股定理得 BC12，进而得出答案 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图 1 所示： BP 是圆的切线， BPOB， OBP90， ACOP， OACBOP，ACOCOP， 又OAOC， OACACO， COPBOP， 在O
38、CP 和OBP 中， OCPOBP（SAS） ， OCPOBP90， PCOC， PC 是圆的切线； （2）解：连接 BC，交 OP 于 H，如图 2 所示： 由（1）得：COHBOH， OBOC， OHBC，BHCH， OAOB， OH 是ABC 的中位线， OHAC， OPAC， 设 AC2a，则 OP3a， OHa，HP2a， OCP90， OCH+PCH90， CPH+PCH90， OCHCPH， OHCCHP90， OHCCHP， ， HC2OHHPa2a2a2， HCa， tanCPO； （3）解：连接 BC，过点 A 作 ANCM 于 N，过点 B 作 BSCM 于 S，如图 3
39、 所示： 则 dANAMsinAMC，fBSBMsinSMB， d+fAMsinAMC+BMsinSMB， AMCSMB， d+fsinAMC（AM+BM）ABsinAMC， 当AMC 最大，d+f 最大，即 CMAB 最大， 此时，d+fAB15， 当AMC 最小，d+f 最小， 即 M 在 B 点AMCABC，与 M 在 A 点AMCCAB 时最小， AB 是O 的直经， ACB90， 由勾股定理得：BC12， BCAC， ABCACB， M 在 B 点时，AMC 最小， 此时，d+fAC9， 9d+f15 22.如图，一条抛物线经过原点和点 C（8，0） ，A、B 是该抛物线上的两点，A
40、Bx 轴，OA 5，AB2点 E 在线段 OC 上，作MENAOC，使MEN 的一边始终经过点 A， 另一边交线段 BC 于点 F，连接 AF （1）求抛物线的解析式； （2）当点 F 是 BC 的中点时，求点 E 的坐标； （3）当AEF 是等腰三角形时，求点 E 的坐标 【考点】HF：二次函数综合题 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据题意可设该抛物线的解析式为：yax（x8） （a0） 然后将点 A 或 点 B 的坐标代入求值即可； （2）由相似三角形AOEECF 的对应边成比例求得线段 OE 的长度，则易求点 E 的 坐标； （3）需要分类讨论：当 AEEF、AFEF 和 AE
41、AF 时，分别求得点 E 的坐标 【解答】解： （1）如图， 该抛物线经过原点和点 C（8，0） ， 设该抛物线的解析式为：yax（x8） （a0） 点 C（8，0） ， 该抛物线的对称轴是 x4 AB2，ABx 轴， 设 A（3，t） ，B（5，t） ， 又OA5， t4，即 A（3，4） ，B（5，4） ， 把点 A 的坐标代入解析式，得 43a（38） ，解得 a， 该抛物线的解析式是：yx（x8） （或 yx2+x） ； （2）ABx 轴， 根据抛物线的对称性知 OACB5，AOCBCO， 点 F 是 BC 的中点， CF MENAOC，即AEFAOC，AECAEF+CEFAOC+OA
42、E， CEFOAE， AOEECF， ，即， 解得，OE，或 OE， 则 E（，0） ； （3）当 AEEF 时，可证AOEECF 则 OACE5， OE3，则 E（3，0） ； 当 AFEF 时，过点 F 作 FKAO 易证ABFFKE，求得 OE，则 E（，0） ； 当 AEAF 时，在 AO 上取点 Q，使得 EQOE 易证ABFEQA，则 EQAB2， OE2则 E（2，0） ； 综上所述，点 E 的坐标是： （3，0） 、 （，0）或（2，0）时，AEF 是等腰三角形 23.如图，在ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 边上的中点，点 P 是 AC 边上的一个动点，延 长 DP 到
43、点 E，使CAECDE，作DCGACE，其中 G 点在 DE 上 （1）如图 1，若B45，则 ； （2）如图 2，若DCG30，求 ； （3）如图 3，若ABC60，延长 CG 至点 M，使得 MGGC，连接 AM，BM在点 P 运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段 AM 与 DM 的长度之和取得最小值？ 【考点】KY：三角形综合题 【专题】152：几何综合题；67：推理能力；69：应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）如图 1，根据ABC 是等腰直角三角形，得 BCAC，由点 D 是 BC 边 上的中点，可知 2CDAC，得 AC 与 CD 的比，证明DCGACE，列比例式
44、可得 结论； （2）如图 2，连接 AD，同理得DCGACE，可得，设 ABAC5k， BDCD4k，则 AD3k，由此即可解决问题； （3）如图 3 中，由题意，当 A，M，D 共线时，AM+DM 的值最小想办法证明GDM GDC45， 设 CHa， 则 PC2a， PHDHa， 推出 AC2CD2 （a+a） ， 由此即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1， ABACB45， ABC 是等腰直角三角形， BCAC， 又点 D 是 BC 边上的中点， BC2CD， 2CDAC， ， CAECDE，DCGACE， DCGACE， ； 故答案为：； （2）如图 2连接 AD， CAECDEE
45、CAGCD， DCGACE， ， 又ABAC，点 D 是 BC 边上的中点， BDDC，ADBC， 设 ABAC5kBDDC4k， 由勾股定理可得 AD3k， ECAGCD， ACDECG ADCEGC， ADCEGC90 可得 EGGC， 又D，G，E 三点共线， DGC90， 又DCG30， 可得 DG2k，GC2k， SDGC2kk2k2， SABC8k3k12k2， ； 故答案为：； （3）如图 3，当 A，MD 三点共线时，AM+DM 的值最小， 连接 EM，取 AC 的中点 O，连接 OE，OD作 PHCD 于点 H， ABAC，ABC60， ABC 是等边三角形， 又BCACACB60， DACHPC30， BDCD，ACBC， AC2CD， CAECDE，ECAGCD， DCGACE， ， EC2CG， 又CGMG， MCCE， 又ACD60， MCE60， MCE 是等边三角形， 又O 是中点， DCCO，ECOMCD，MCCE， MDCEOC（SAS） ， OEDM， 又CDECAE， A，D，C，E 四点共圆， ADC+AEC180， AEC90， AOOC， EOOCCDMD， 又CGGM，CDDM， GDMGDC45，PDHDPH45， PHDH， 设 CHa，则 PC2a，PHDH， AC2CD2（a+） ，
