1、2020 年广东省深圳市南山外国语学校中考数学二模试卷年广东省深圳市南山外国语学校中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）2 的相反数是（ ） A2 B C D2 2 （3 分）下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）在函数中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 且 x Cx1 且 x Dx1 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba3aa3 C （a2）3a6 D （3a2）49a4 5 （3 分）下列各点不在直线 yx+2 上的是（ ）
2、A （3，1） B （2，0） C （1，1） D （3，5） 6 （3 分）如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B、C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M、N；作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CDAD，B20，则下列结论中错误的是（ ） ACAD40 BACD70 C点 D 为ABC 的外心 DACB90 7 （3 分）为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区 10 户家庭一周垃 圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（单位：个） ，关于这组 数据下列结论正确的是（ ） A极差是 6 B众数是 7
3、 C中位数是 8 D平均数是 10 8 （3 分）ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，再添加一个条件，仍不能判定四边形 ABCD 是矩 形的是（ ） AABAD BOAOB CACBD DDCBC 9 （3 分）解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（ ） A方程两边分式的最简公分母是（x1） （x+1） B方程两边都乘以（x1） （x+1） ，得整式方程 2（x1）+3（x+1）6 C解这个整式方程，得 x1 D原方程的解为 x1 10 （3 分）下列命题中，真命题的个数是（ ） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直；图形平移的方向一定是水平的
4、；内错角相等；相等的角是对顶角；垂线 段最短 A3 B2 C1 D0 11 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为 x下列 结论中，正确的是（ ） Aabc0 Ba+b0 C2b+c0 D4a+c2b 12 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABBD，点 E、F 分别是 AB、AD 上任意的点（不与 端点重合） ，且 AEDF，连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H给出 如下几个结论： AEDDFB； S四边形BCDGCG2； 若 AF2DF，则 BG6GF； CG 与 BD 一定不垂直； BGE 的大小为定值 其中正确的
5、结论个数为（ ） A4 B3 C2 D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）将数 12700000 科学记数法表示为 14 （3 分）端午节那天， “味美早餐店”的粽子打 9 折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了 54 元钱，比平时多买了 3 个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖 x 元，列方 程为 15 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，动点 M 在 CD 边上运动，以 EM 为折痕将CEM 折叠得到PEM，连接 PA，若 AB4，BAD60，则 PA 的最小值 是
6、16 （3 分）如图，已知点 A 在反比例函数 y（x0）上，作 RtABC，点 D 是斜边 AC 的中点，连接 DB 并延长交 y 轴于点 E，若BCE 的面积为 7，则 k 的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 52 分）分） 17 （6 分） 18 （6 分）先化简，再求值： （x2+），其中 x 19 （8 分） “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗我市某食品厂为 了解市民对去年销量较好的肉馅粽、 豆沙馅粽、 红枣馅粽、 蛋黄馅粽 （以下分别用 A、 B、 C、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查
7、， 并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整） 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）求扇形统计图中 C 所对圆心角的度数； （4）若有外型完全相同的 A、B、C、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个用列表或画 树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是 C 粽的概率 20 （8 分）一艘轮船向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在 A 的北偏东 60方向，航行 40 海里到达 B 处，此时测得灯塔 P 在 B 的北偏东 15方向上 （1）求灯塔 P 到轮船航线的距离 PD 是多少海里？（结果保留根号） （2）当轮船从 B 处继续向东
8、航行时，一艘快艇从灯塔 P 处同时前往 D 处，尽管快艇速 度是轮船速度的 2 倍， 但快艇还是比轮船晚 15 分钟到达 D 处， 求轮船每小时航行多少海 里？（结果保留根号） 21 （8 分）华昌中学开学初在金利源商场购进 A、B 两种品牌的足球，购买 A 品牌足球花 费了 2500 元，购买 B 品牌足球花费了 2000 元，且购买 A 品牌足球数量是购买 B 品牌足 球数量的 2 倍，已知购买一个 B 品牌足球比购买一个 A 品牌足球多花 30 元 （1）求购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的足球各需多少元？ （2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进 A、B 两种品牌
9、足球 共 50 个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A 品牌足球售价比第一次购 买时提高了 8%， B 品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出售， 如果这所中学此次购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过 3260 元， 那么华昌中学此次最多可购买多少个 B 品牌足 球？ 22 （8 分）如图，AB 为O 的直径，且 AB4，点 C 是弧 AB 上的一动点（不与 A，B 重 合） ，过点 B 作O 的切线交 AC 的延长线于点 D，点 E 是 BD 的中点，连接 EC （1）若 BD8，求线段 AC 的长度； （2）求证：EC 是O 的切线； （3）当D30时，求图中阴影部分面积
10、 23 （8 分）如图 1，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 C（1，4） ，交 x 轴于 A、B 两点， 交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 为直线 BD 上方抛物线上一点，若 SPBD3，请求出点 P 的坐标 （3）如图 3，M 为线段 AB 上的一点，过点 M 作 MNBD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，若DNMBMD，请求出点 M 的坐标 2020 年广东省深圳市南山外国语学校中考数学二模试卷年广东省深圳市南山外国语学校中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题
11、（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）2 的相反数是（ ） A2 B C D2 【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案 【解答】解：2 的相反数是2 故选：A 2 （3 分）下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误 故选：B 3 （3 分）在函数中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1
12、且 x Cx1 且 x Dx1 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可 以求出 x 的范围 【解答】解：由题意得，x+10 且 2x10， 解得 x1 且 x 故选：C 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba3aa3 C （a2）3a6 D （3a2）49a4 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及积的 乘方法则逐一判断即可 【解答】解：Aa2a3a5，故本选项不合题意； Ba3aa2，故本选项不合题意； C （a2）3a6故本选项符合题意； D （3a2）481a8故本选项不合题意 故选：C 5
13、 （3 分）下列各点不在直线 yx+2 上的是（ ） A （3，1） B （2，0） C （1，1） D （3，5） 【分析】分别计算出自变量为 3、2、1 和3 时所对应的函数值，然后根据一次函数图 象上点的坐标特征进行判断 【解答】解：当 x3 时，yx+21；当 x2 时，yx+20；当 x1 时，y x+23；当 x3 时，yx+25， 所以点（3，1） 、 （2，0） 、 （3，5）在直线 yx+2 上，而点（1，1）不在直线 y x+2 上 故选：C 6 （3 分）如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B、C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M、N；
14、作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CDAD，B20，则下列结论中错误的是（ ） ACAD40 BACD70 C点 D 为ABC 的外心 DACB90 【分析】由题意可知直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线，故 BNCN，BC，故可 得出CDA 的度数，根据 CDAD 可知DCACAD，故可得出CAD 的度数，进而 可得出结论 【解答】解：由题意可知直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线， BDCD，BBCD， B20， BBCD20， CDA20+2040 CDAD， ACDCAD70， A 错误，B 正确； CDAD，BDCD， CDADBD， 点 D 为ABC 的外心，故
15、 C 正确； ACD70，BCD20， ACB70+2090，故 D 正确 故选：A 7 （3 分）为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区 10 户家庭一周垃 圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（单位：个） ，关于这组 数据下列结论正确的是（ ） A极差是 6 B众数是 7 C中位数是 8 D平均数是 10 【分析】根据极差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断 【解答】解：A极差1477，结论错误，故 A 不符合题意； B众数为 7，结论正确，故 B 符合题意； C中位数为 8.5，结论错误，故 C 不符合题意； D平均数是
16、 9，结论错误，故 D 不符合题意； 故选：B 8 （3 分）ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，再添加一个条件，仍不能判定四边形 ABCD 是矩 形的是（ ） AABAD BOAOB CACBD DDCBC 【分析】矩形的判定定理有： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）有三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形据此判断 【解答】解：根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）可得 DCBC 可证四边形 ABCD 是矩形故 D 不正确 矩形的对角线相等且相互平分，OAOB，ACBD 可证四边形 ABCD 为矩形，故 B 不正 确，C 不正确
17、 ABAD 时，可证四边形 ABCD 为菱形，不能证四边形 ABCD 为矩形故 A 正确 故选：A 9 （3 分）解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（ ） A方程两边分式的最简公分母是（x1） （x+1） B方程两边都乘以（x1） （x+1） ，得整式方程 2（x1）+3（x+1）6 C解这个整式方程，得 x1 D原方程的解为 x1 【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解， 经检验即可得到分式方程的解 【解答】解：分式方程的最简公分母为（x1） （x+1） ， 方程两边乘以（x1） （x+1） ，得整式方程 2（x1）+3（x+1）6， 解得：x1，
18、 经检验 x1 是增根，分式方程无解 故选：D 10 （3 分）下列命题中，真命题的个数是（ ） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直；图形平移的方向一定是水平的；内错角相等；相等的角是对顶角；垂线 段最短 A3 B2 C1 D0 【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可 【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题； 图形平移的方向不一定是水平的，是假命题； 两直线平行，内错角相等，是假命题； 相等的角不一定是对顶角，是假命题； 垂线段最短，是真命题，
19、 故选：C 11 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为 x下列 结论中，正确的是（ ） Aabc0 Ba+b0 C2b+c0 D4a+c2b 【分析】由二次函数的性质，即可确定 a，b，c 的符号，即可判定 A 是错误的；又由对 称轴为 x，即可求得 ab；由当 x1 时，a+b+c0，即可判定 C 错误；然后由抛 物线与 x 轴交点坐标的特点，判定 D 正确 【解答】解：A、开口向上， a0， 抛物线与 y 轴交于负半轴， c0， 对称轴在 y 轴左侧， 0， b0， abc0， 故 A 选项错误； B、对称轴：x， ab， 故 B 选项错误； C、当
20、x1 时，a+b+c2b+c0， 故 C 选项错误； D、对称轴为 x，与 x 轴的一个交点的取值范围为 x11， 与 x 轴的另一个交点的取值范围为 x22， 当 x2 时，4a2b+c0， 即 4a+c2b， 故 D 选项正确 故选：D 12 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABBD，点 E、F 分别是 AB、AD 上任意的点（不与 端点重合） ，且 AEDF，连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H给出 如下几个结论： AEDDFB； S四边形BCDGCG2； 若 AF2DF，则 BG6GF； CG 与 BD 一定不垂直； BGE 的大小为定值 其中正
21、确的结论个数为（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】先证明ABD 为等边三角形，根据“SAS”证明AEDDFB； 证明BGE60BCD，从而得点 B、C、D、G 四点共圆，因此BGCDGC 60， 过点 C 作 CMGB 于 M， CNGD 于 N 证明CBMCDN， 所以 S四边形BCDG S四边形CMGN，易求后者的面积； 过点 F 作 FPAE 于 P 点，根据题意有 FP：AEDF：DA1：3，则 FP：BE1：6 FG：BG，即 BG6GF； 因为点 E、F 分别是 AB、AD 上任意的点（不与端点重合） ，且 AEDF，当点 E，F 分别是 AB，AD 中点时，CGBD； BGE
22、BDG+DBFBDG+GDF60 【解答】解：ABCD 为菱形，ABAD， ABBD，ABD 为等边三角形， ABDF60， 又AEDF，ADBD， AEDDFB，故本选项正确； BGEBDG+DBFBDG+GDF60BCD， 即BGD+BCD180， 点 B、C、D、G 四点共圆， BGCBDC60，DGCDBC60， BGCDGC60， 过点 C 作 CMGB 于 M，CNGD 于 N（如图 1） ， 则CBMCDN（AAS） ， S四边形BCDGS四边形CMGN， S四边形CMGN2SCMG， CGM60， GMCG，CMCG， S四边形CMGN2SCMG2CGCGCG2，故本选项错误；
23、 过点 F 作 FPAE 交 DE 于 P 点（如图 2） ， AF2FD， FP：AEDF：DA1：3， AEDF，ABAD， BE2AE， FP：BEFP：2AE1：6， FPAE， PFBE， FG：BGFP：BE1：6， 即 BG6GF，故本选项正确； 当点 E，F 分别是 AB，AD 中点时（如图 3） ， 由（1）知，ABD，BDC 为等边三角形， 点 E，F 分别是 AB，AD 中点， BDEDBG30， DGBG， 在GDC 与BGC 中， ， GDCBGC， DCGBCG， CHBD，即 CGBD，故本选项错误； BGEBDG+DBFBDG+GDF60，为定值， 故本选项正确
24、； 综上所述，正确的结论有，共 3 个， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）将数 12700000 科学记数法表示为 1.27107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 12700000 用科学记数法表示为：1.27107 故答案为：1.27107 14 （3 分）端午节那天，
25、 “味美早餐店”的粽子打 9 折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了 54 元钱，比平时多买了 3 个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖 x 元，列方 程为 +3 【分析】根据端午节那天， “味美早餐店”的粽子打 9 折出售，小红的妈妈去该店买粽子 花了 54 元钱，比平时多买了 3 个，设平时每个粽子卖 x 元，可以列出相应的分式方程 【解答】解：由题意可得， +3， 故答案为：+3 15 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，动点 M 在 CD 边上运动，以 EM 为折痕将CEM 折叠得到PEM，连接 PA，若 AB4，BAD60，则 PA 的最小值 是 2
26、2 【分析】当 A，P，E 在同一直线上时，AP 最短，过点 E 作 EFAB 于点 F，依据 BE BC2，EBF60，即可得到 AE 的长度，进而得出 PA 的最小值 【解答】解：如图，EPCEBC2，故点 P 在以 E 为圆心，EP 为半径的半圆上， AP+EPAE， 当 A，P，E 在同一直线上时，AP 最短， 如图，过点 E 作 EFAB 于点 F， 在边长为 4 的菱形 ABCD 中，BAD60，E 为 BC 的中点， BEBC2，EBF60， BEF30，BFBE1， EF，AF5， AE2， PA 的最小值AEPE22 故答案为：22 16 （3 分）如图，已知点 A 在反比例
27、函数 y（x0）上，作 RtABC，点 D 是斜边 AC 的中点，连接 DB 并延长交 y 轴于点 E，若BCE 的面积为 7，则 k 的值为 14 【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义，证明ABCEOB，根据相似比求出 BA BO 的值，从而求出AOB 的面积 【解答】解：连接 OA BCE 的面积为 7， BCOE7， BCOE14， 点 D 为斜边 AC 的中点， BDDCAD， DBCDCBEBO， 又EOBABC90， EOBABC， ， ABOBBCOE， OBAB， kABBOBCOE14， 故答案为 14 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 5
28、2 分）分） 17 （6 分） 【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项 利用乘方的意义化简，第四项利用负整数指数幂法则计算，第五项利用特殊角的三角函 数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 【解答】解：原式21+1+9+213 18 （6 分）先化简，再求值： （x2+），其中 x 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式（+） 2（x+2） 2x+4， 当 x时， 原式2（）+4 1+4 3 19 （8 分） “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗我市某食品厂为
29、 了解市民对去年销量较好的肉馅粽、 豆沙馅粽、 红枣馅粽、 蛋黄馅粽 （以下分别用 A、 B、 C、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查， 并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整） 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）求扇形统计图中 C 所对圆心角的度数； （4）若有外型完全相同的 A、B、C、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个用列表或画 树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是 C 粽的概率 【分析】 （1）根据 B 类有 60 人，所占的百分比是 10%即可求解； （2） 利用总人数减去
30、其他类型的人数即可求得 C 类型的人数， 然后根据百分比的意义求 解； （3）利用 360乘以对应的百分比即可求解； （4）利用列举法即可求解 【解答】解： （1）本次参加抽样调查的居民人数是：6010%600（人） ； （2）C 类的人数是：60018060240120（人） ， C 类所占的百分比是：100%20%， A 类所占的百分比是：100%30% ； （3）扇形统计图中 C 所对圆心角的度数是：36020%72； （4）画树状图如下： 则他第二个吃到的恰好是 C 粽的概率是： 20 （8 分）一艘轮船向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在 A 的北偏东 60方向，航行 40 海
31、里到达 B 处，此时测得灯塔 P 在 B 的北偏东 15方向上 （1）求灯塔 P 到轮船航线的距离 PD 是多少海里？（结果保留根号） （2）当轮船从 B 处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔 P 处同时前往 D 处，尽管快艇速 度是轮船速度的 2 倍， 但快艇还是比轮船晚 15 分钟到达 D 处， 求轮船每小时航行多少海 里？（结果保留根号） 【分析】 （1）作 BCAP 于 C，根据余弦的定义求出 AC，根据等腰直角三角形的性质求 出 CP，得到 AP 的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据余弦的定义求出 AD，得到 BD 的长，根据题意列出分式方程，解方程得到答 案 【解答】
32、解： （1）作 BCAP 于 C， 在 RtABC 中，A30， BCAB20，ACABcosA20， NBP15， PBD75， CBP180607545， PCBC20， APAC+PC20+20， 在 RtADP 中，A30， PDAP10+10， 答：灯塔 P 到轮船航线的距离 PD 是（10+10）海里； （2）设轮船每小时航行 x 海里， 在 RtADP 中，ADAPcosA10+30， BDADAB1010， 由题意得，+， 解得，x6020， 经检验，x6020是原方程的解， 答：轮船每小时航行（6020）海里 21 （8 分）华昌中学开学初在金利源商场购进 A、B 两种品牌的
33、足球，购买 A 品牌足球花 费了 2500 元，购买 B 品牌足球花费了 2000 元，且购买 A 品牌足球数量是购买 B 品牌足 球数量的 2 倍，已知购买一个 B 品牌足球比购买一个 A 品牌足球多花 30 元 （1）求购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的足球各需多少元？ （2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进 A、B 两种品牌足球 共 50 个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A 品牌足球售价比第一次购 买时提高了 8%， B 品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出售， 如果这所中学此次购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过 3260 元， 那么华昌
34、中学此次最多可购买多少个 B 品牌足 球？ 【分析】 （1）设一个 A 品牌的足球需 x 元，则一个 B 品牌的足球需（x+30）元，根据购 买 A 品牌足球数量是购买 B 品牌足球数量的 2 倍列出方程解答即可； （2）设此次可购买 a 个 B 品牌足球，则购进 A 牌足球（50a）个，根据购买 A、B 两 种品牌足球的总费用不超过 3260 元，列出不等式解决问题 【解答】解： （1）设一个 A 品牌的足球需 x 元，则一个 B 品牌的足球需（x+30）元，由 题意得 2 解得：x50 经检验 x50 是原方程的解， x+3080 答：一个 A 品牌的足球需 50 元，则一个 B 品牌的足
35、球需 80 元 （2）设此次可购买 a 个 B 品牌足球，则购进 A 牌足球（50a）个，由题意得 50（1+8%） （50a）+800.9a3260 解得 a31 a 是整数， a 最大等于 31， 答：华昌中学此次最多可购买 31 个 B 品牌足球 22 （8 分）如图，AB 为O 的直径，且 AB4，点 C 是弧 AB 上的一动点（不与 A，B 重 合） ，过点 B 作O 的切线交 AC 的延长线于点 D，点 E 是 BD 的中点，连接 EC （1）若 BD8，求线段 AC 的长度； （2）求证：EC 是O 的切线； （3）当D30时，求图中阴影部分面积 【分析】 （1）连接 BC，如图
36、，连接 BC，根据切线的性质得到ABD90，根据勾股 定理得到 AD4，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论； （2）连接 OC，OE，由 E 是 BD 的中点，可得 CEBE，证明OCEOBE，得OCE OBE90，则结论得证； （3）阴影部分的面积即为四边形 OBED 的面积减去扇形 COB 的面积 【解答】解： （1）如图，连接 BC， BD 是O 的切线， ABD90， AB4，BD8， AD4， AB 为O 的直径， BCAD， BC， AC； （2）连接 OC，OE， AB 为O 的直径， ACB90， 在 RtBDC 中，BEED， DEECBE， OCOB，OEOE， O
37、CEOBE（SSS） ， OCEOBE， BD 是O 的切线， ABD90， OCEABD90， OC 为半径， EC 是O 的切线； （3）OAOB，BEDE， ADOE， DOEB， D30， OEB30，EOB60， BOC120， AB4， OB2， BE2 四边形 OBEC 的面积为 2SOBE2224， 阴影部分面积为 S四边形OBECS扇形BOC44 23 （8 分）如图 1，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 C（1，4） ，交 x 轴于 A、B 两点， 交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 为直线 BD
38、上方抛物线上一点，若 SPBD3，请求出点 P 的坐标 （3）如图 3，M 为线段 AB 上的一点，过点 M 作 MNBD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，若DNMBMD，请求出点 M 的坐标 【分析】 （1）设抛物线的解析式为 ya（x1）2+4，将点 B 的坐标代入求出 a 的值即可 得出答案； （2） 过点 P 作 PQy 轴交 DB 于点 Q， 求出直线 BD 的解析式， 设 P （m， m2+2m+3） ， 则 Q （m， m+3） ， 可得出 SPBDm， 解方程可求出 m 的值， 则答案可求出； （3）设 M（a，0） ，证明AMNABD，可得，再由DNMBMD，可得 ，得出
39、关于 a 的方程，解方程即可得出答案 【解答】解： （1）设抛物线的解析式为 ya（x1）2+4， 将点 B（3，0）代入得， （31）2a+40 解得：a1 抛物线的解析式为：y（x1）2+4x2+2x+3 （2）过点 P 作 PQy 轴交 DB 于点 Q， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 D（0，3） 设直线 BD 的解析式为 ykx+n， ， 解得：， 直线 BD 的解析式为 yx+3 设 P（m，m2+2m+3） ，则 Q（m，m+3） ， PQm2+2m+3（m+3）m2+3m SPBDSPQD+SPQB， SPBDPQ（3m）PQm， SPBD3， m3 解得：m11，m22 点 P 的坐标为（1，4）或（2，3） （3）B（3，0） ，D（0，3） ， BD3， 设 M（a，0） ， MNBD， AMNABD， ， 即 MN（1+a） ，DM， DNMBMD， ， DM2BDMN 9+a23（1+a） 解得：a或 a3（舍去） 点 M 的坐标为（，0）
