1、第 1 页，共 15 页 2019-2020 学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷 （理科） （理科） （9 月份）月份） 一、选择题（本大题共 12 小题） 1. 已知集合 = *| 1+， = *|2 0+，则( ) A. B. C. = *| 0+ 2. 已知 ，i为虚数单位，若 + 为实数，则 a 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘 子六十颗， 人别加三颗 问： 五人各得几何？”其意思为“有 5 个人分 60个橘子， 他们分得的橘子，数成公差为 3
2、的等差数列，问 5人各得多少橘子”根据上述问 题的己知条件，分得橘子最多的人所得的橘子个数为( ) A. 15 B. 16 C. 18 D. 21 4. 函数() = 2( )的大致图象为( ) A. B. C. D. 5. (2 + )5的展开式中，4的系数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 6. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为 15，则 M处条件为( ) 第 2 页，共 15 页 A. 16 B. 8 C. 16 D. 8 7. 已知锐角 的内角A， B， C的对边分别为 a， b， c， 232 + 2 = 0， = 7， = 6，则 = ( ) A. 10
3、 B. 9 C. 8 D. 5 8. 曲线 = 4 与直线 = 5 围成的平面图形的面积为( ) A. 15 2 B. 15 4 C. 15 4 4ln2 D. 15 2 8ln2 9. 已知函数() = ，若直线 l过点(0,)，且与曲线 = ()相切，则直线 l的 斜率为( ) A. 2 B. 2 C. D. e 10. 已知将函数() = sin(2 + )(0 2)的图象向左平移个单位长度后，得到 函数()的图象.若()是偶函数，则( 3) = ( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 11. 如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意 图
4、，现在提供 5种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻 区域颜色不同，则 A，C区域涂色不相同的概率为( ) A. 1 7 B. 2 7 C. 3 7 D. 4 7 12. 如图，将边长为 1的正方形 ABCD沿 x 轴正向滚动，先以 A为 中心顺时针旋转，当 B落在 x轴时，又以 B为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点 C滚动时的曲线方程为 = ()，则下列说法不正确的是( ) 第 3 页，共 15 页 A. () 0恒成立 B. () = ( + 8) C. () = 2+ 4 3(2 3) D. (2019) = 0 二、填空题（本大题共 4 小题） 13. 已知等差
5、数列*+，且4= 8，则数列*+的前 7项和7=_ 14. 若 x，y 满足约束条件 + 2 0 + 2 0 + + 2 0 ，则2+ 2的最小值为_ 15. 已知向量 与 的夹角为120，且| | = 2，| | = 3，若 = + ，且 ，则实数的值为_ 16. 若过抛物线2= 4上一点(4,4)， 作两条直线PA， PB使它们的斜率之积为定值4， 则直线 AB恒过点_ 三、解答题（本大题共 6 小题） 17. 已知等差数列*+的前 n 项和为，且3= 9，又1= 2 (1)求数列*+的通项公式； (2)若数列*+满足= 2 ，求证：数列* +的前 n 项和 0)的焦点坐标分別为1(1,0
6、)，2(1,0)，P为椭 圆 C 上一点，满足3|1|52|且cos12= 3 5 (1)求椭圆 C 的标准方程： (2)设直线 l： = + 与椭圆 C交于 A，B两点，点(1 4,0)，若| = |，求 k 的取值范围 21. 已知函数() = ，() = 2+ 3 2 (1)求证：() () + 1 2 2 5 2 0对 (0,+)恒成立； 第 5 页，共 15 页 (2)若() = () ()+3 2 ( 0)，若0 1 (2). 22. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C的参数方程 = 1 + cos = sin (为参数)，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求
7、圆 C的极坐标方程； (2)直线 l的极坐标方程是( + 3) = 33，射线： = 1(0 1 2) 与圆 C的交点为 O，P，与直线 l的交点为 Q，求| |的范围 第 6 页，共 15 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：因为集合 = *| 1+， = *|2 0+， 解得 = *|0 1+， 所以 ， = *|0 1+， = *| 1+， 故选：B 由集合 = *| 1+， = *|2 0+，解得 = *|0 0， = 在 (0,+)是增函数， 0， 所以() = 2( )在(0,+)是增函数，排除 C (或者)当 +时，() +，故排除 C， 故选：A 判断函数的奇
8、偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可 本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算 能力 5.【答案】C 第 7 页，共 15 页 【解析】解：二项展开式的通项为+1= 5 (2)5 ()= 5 25 5 2 令5 2 = 4，得 = 2 因此，二项展开式中4的系数为5 2 23= 80 故选：C 先写出二项展开式的通项，然后令 x 的指数为 4，解出相应参数的值，代入通项即可得 出答案 本题考查二项式定理求指定项的系数，考查二项式定理的应用，属于中等题 6.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查算法框图，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考
9、中的一个热点， 应高度重视 程序填空也是重要的考试题型， 这种题考试的重点有： 分支的条件循 环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽 略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是 累加 k 值到 S并输出 S 【解答】 解：程序运行过程中，各变量的值如下表示： S k 是否继续循环 循环前 0 1 第一圈 1 2 否 第二圈 3 4 否 第三圈 7 8 否 第四圈 15 16 是 故退出循环的条件应为 16， 故选 A 7.【答案】D 【解析】解： 232 + 2 = 232 + 22 1
10、= 0，即cos2 = 1 25，A 为锐 角， = 1 5， 又 = 7， = 6， 根据余弦定理得：2= 2+ 2 2 ，即49 = 2+ 36 12 5 ， 解得： = 5或 = 13 5 (舍去)， 则 = 5 故选：D 利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出 cosA的值，再由 a与 c 的值，利用 余弦定理即可求出 b 的值 此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 8.【答案】D 第 8 页，共 15 页 【解析】【分析】 本题考查了定积分， 找到积分区间和被积函数是解决此类问题的关键 本题属于基础题 联立 = 4 = 5 ，解得两曲线的交点
11、为(1,4)，(4,1)，所以两曲线围成的面积为 = 5 4 在,1,4-上的积分 【解答】 解：如图：联立 = 4 = 5 ， 解得， 两曲线的交点坐标为(1,4)， (4,1)， 所以两曲线围成的图形的面积为 = ( 4 1 5 4 ) = (5 1 2 2 4)|1 4 = 15 2 82 故选：D 9.【答案】B 【解析】解：函数() = 的导数为() = + 1， 设切点为(,)，可得切线的斜率为 = 1 + ， 则1 + = + = + ， 解得 = ， = 1 + = 2， 故选：B 求得()的导数，设出切点(,)，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可 得 m，即可得到所
12、求斜率 本题考查导数的运用： 求切线的斜率， 考查直线的斜率公式， 以及方程思想和运算能力， 属于基础题 10.【答案】A 【解析】【分析】 先由题意写出()，根据()是偶函数求出，即可得出结果 本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型 【解答】 解：由题意可得：() = sin(2 + 3)， 因为()是偶函数，所以3 = 1 2 + ， ，即 = 6 + 1 3， ， 又0 1 2，所以0 6 + 1 3 1 2， 解得 1 2 1，所以 = 0，故 = 6； 所以(1 3) = 1 2 故选：A 11.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查概率的求法，考
13、查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 第 9 页，共 15 页 提供5种颜色给其中5个小区域涂色， 规定每个区域只涂一种颜色， 相邻区域颜色不同， 利用分步计数原理求出不同的涂色方案有 420 种，其中，A、C 区域涂色不相同的情况 有 240 种，由此能求出 A、C 区域涂色不相同的概率 【解答】 解： 提供5种颜色给其中5个小区域涂色， 规定每个区域只涂一种颜色， 相邻区域颜色不同， 根据题意，如图，设 5个区域依次为 A、B、C、D、E，分 4 步进行分 析： ，对于区域 A，有 5 种颜色可选； ，对于区域 B，与 A区域相邻，有 4 种颜色可选； ，对于区域 E，与
14、A、B区域相邻，有 3种颜色可选； ，对于区域 D、C，若 D与 B 颜色相同，C区域有 3 种颜色可选， 若 D 与 B颜色不相同，D区域有 2种颜色可选，C区域有 2种颜色可选， 则区域 D、C 有3 + 2 2 = 7种选择， 则不同的涂色方案有5 4 3 7 = 420种， 其中，A、C 区域涂色不相同的情况有： 若 A、C 不同色，则 ABCE两两不同色，涂色方案有5 4 3 2种， 涂 D 时只需要和 ACE 不同即可，有 2 种， 故有5 4 3 2 2 = 240种， 、C 区域涂色不相同的概率为 = 240 420 = 4 7 故选：D 12.【答案】C 【解析】解：正方形的
15、边长为 1，正方形的对角线 = 2， 则由正方形的滚动轨迹得到 = 0时， C 位于(0,1)点， 即(0) = 1， 当 = 1时，C位于(1,2)点，即(1) = 2， 当 = 2时，C位于(2,1)点，即(2) = 1， 当 = 3时，C位于(3,0)点，即(3) = 0， 当 = 4时，C位于(4,1)点，即(4) = 1， 则( + 4) = ()，即()具备周期性，周期为 4， 由右图可得() 0恒成立；( + 8) = ()； 当2 3时， C的轨迹为以(2,0)为圆心， 1 为半径的1 4圆， 方程为( 2) 2 + 2= 1(2 3, 0)； (2019) = (504 4
16、+ 3) = (3) = 0， 综上可得 A，B，D正确；C错误 故选：C 根据正方形的运动关系， 分布求出当 = 0， 1， 2， 3， 4 时对应的函数值()， 得到()具备 周期性，周期为 4，结合图象，当2 3时，C的轨迹为以(2,0)为圆心，1为半径的 1 4圆，即可判断所求结论 本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对 应函数值，得到周期性是解决本题的关键 13.【答案】56 第 10 页，共 15 页 【解析】解：由等差数列的性质可得：1+ 7= 24= 16 数列*+的前 7 项和7= 7(1+7) 2 = 7 8 = 56 故答案为：56
17、由等差数列的性质可得：1+ 7= 24.利用求和公式即可得出数列*+的前 7 项和7 本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 14.【答案】2 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如 图： 2+ 2的几何意义是平面区域内的点到原 点的距离， 由图象得 O 到直线 + + 2 = 0的距离最小， 此时最小值 = 2 2 = 2， 则2+ 2的最小值是 2， 故答案为： 2 作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线 的距离公式进行求解即可 本题主要考查线性规划的应用， 利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关 键 15.【答案】12 7 【
18、解析】解：向量 与 的夹角为120，且| | = 2，| | = 3， = | | | |120 = 2 3 (1 2) = 3， = + ，且 ， = ( + ) = ( + ) ( ) = 0， 即 2+ 2 = 0， 3 4 + 9 + 3 = 0， 解得 = 12 7 ， 故答案为：12 7 根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论 本题主要考查平面向量的基本运算， 利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关 键 16.【答案】( 1 16,0) 【解析】解：设 PA的斜率为 k，则 PB的斜率为：4 ， 所以 PA 的方程为： 4 = ( 4).联立抛物线方程：2= 4
19、，可得：2 4 + 16 16 = 0， 第 11 页，共 15 页 可得( 1 42 , 1 )， 同理可得( 2 64, 4)， 所以 AB 的方程为： 4 = 1 4 1 42 2 64 ( 2 64 )， 可得： 4 = 2+4( 1 16)， 所以直线 AB 恒过点：( 1 16,0) 故答案为：( 1 16,0) 设出直线 PA 的斜率，求出 PB的斜率，然后求解 A、B 坐标得到 AB方程，即可推出 结果 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查转化思想以及 计算能力 17.【答案】解：(1)设公差为 d 的等差数列*+的前 n 项和为，且3= 9，又1=
20、 2 所以3= 31+ 32 2 = 9，解得 = 1 故= 2 + ( 1) = + 1 (2)证明：由于= + 1，所以= (1 2) +1， 所以= (1 2) 2 + (1 2) 2 + + (1 2) +1 = 1 4(1 1 2) 11 2 1 4 1 2 = 1 2 【解析】(1)直接利用等差数列前 n 项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项 公式 (2)利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前 n 项和的应用，放 缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18.【答案】(1)
21、证明：设正方形 ABCD的边长为 4，由图 1知， = = 2， = 1， = 3， = 2+ 2= 25， = 2+ 2= 5， = 2+ 2= 5， 2+ 2= 2， = 90，即 ， 由题意知，在图 2中， ， ， 平面 MEF， 平面 MEF，且 = ， 平面 MEF， 平面 MEF， 又 平面 MED， 平面 MED，且 = ， 平面 MED 第 12 页，共 15 页 (2)解： 由(1)知 平面MED， 则建立如图所示空间直角坐标系， 过点M作 ， 垂 足为 N， 在 中， = = 45 5 ， = 2 2= 25 5 ， 从而(0,0，0)，(0, 25 5 , 45 5 )，
22、(5,00)，(0,25,0)， = (0, 25 5 , 45 5 )， = (5, 25 5 , 45 5 )， = (5,25,0) 设平面 MFD的一个法向量为 = (,)，则5 + 25 5 + 45 5 = 0 5 + 25 = 0 ， 令 = 2，则 = 1， = 4， = (2,1,2) 设直线 EM 与平面 MFD 所成角为， 则 = |cos | = | | = 5 3 直线 EM与平面 MFD 所成角的正弦值为 5 3 【解析】(1)设正方形 ABCD的边长为 4，由2+ 2= 2，可得 ，结合 .可得 平面 MED (2)建立空间直角坐标系，过点 M作 ，垂足为 N 求
23、出平面MFD的一个法向量为 = (,)， 则 = |cos | = | | = 5 3 .即 可得直线 EM与平面 MFD所成角的正弦值 本题考查了空间线面垂直的判定，线面角的求解，属于中档题 19.【答案】(本小题满分 12 分) 解：(1)根据题意：6(0分)或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中， 评分在,60,100-的频率为：(0.028 + 0.03 + 0.016 + 0.004) 10 = 0.78； (2)根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是(0.016 + 0.004) 10 = 0.2 = 1 5， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取 1
24、人， 该人非常满意该项目的概率为1 5， 现从中抽取 3人恰有 2 人非常满意该项目的概率为： = 3 2 (1 5) 2 4 5 = 12 125； (3) 评分低于6(0分)的被调查者中，老年人占1 3， 又从被调查者中按年龄分层抽取 9人， 这 9人中，老年人有 3 人，非老年人 6人， 第 13 页，共 15 页 随机变量的所有可能取值为 0，1，2， ( = 0) = 3 062 9 2 = 15 36， ( = 1) = 3 161 9 2 = 18 36 = 1 2， ( = 2) = 3 260 9 2 = 3 36 = 1 12 的分布列为： 0 1 2 p 15 36 1
25、2 1 12 的数学期望 = 0 15 36 + 1 1 2 + 2 1 12 = 2 3 【解析】(1)根据频率分布直方图，求解在,60,100-的频率即可 (2)根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是(0.016 + 0.004) 10 = 0.2 = 1 5， 然后求解抽取 3 人恰有 2人非常满意该项目的概率 (3)从被调查者中按年龄分层抽取 9 人，这 9人中，老年人有 3人，非老年人 6人，随 机变量的所有可能取值为 0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可 本题考查频率分布列， 频率分布直方图， 期望的求法， 考查分层抽样的应用， 是基础题 20.【答案】解：(1)
26、由题意设|1| = 1，|2| = 2则31= 52，又1+ 2= 2， 1= 5 4，2 = 3 4 在 12中，由余弦定理得，cos12= 1 2+22|12|2 212 = (5 4) 2+(3 4) 222 25 4 3 4 = 3 5， 解得 = 2， = 1， 2= 2 2= 3， 所求椭圆方程为 2 4 + 2 3 = 1； (2)联立方程 2 4 + 2 3 = 1 = + ，消去 y得(3 + 42)2+ 8 + 42 12 = 0， 则1+ 2= 8 3+42，12 = 4212 3+42 ，且= 48(3 + 42 2) 0 设 AB的中心为(0,0)， 则0= 1+2
27、2 = 4 3+42， 0= 0+ = 3 3+42， | = |， ， 即 = 3 3+42 4 3+42 1 4 = 1，解得 = 3+42 4 把代入得3 + 42 ( 3+42 4 )2， 第 14 页，共 15 页 整理得164+ 82 3 0，即(42 1)(42+ 3) 0， 解得 (, 1 2) ( 1 2,+) 【解析】(1)由题意设|1| = 1，|2| = 2，根据余弦定理即可求出 a的值，即可求出 b 的值，可得椭圆方程， (2)根据根与系数的关系和直线的斜率，化简整理即可求出 k 的范围 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到 0 及根
28、与系数的关系、斜率等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属 于中档题 21.【答案】证明：(1)由题意，可知 () () + 1 2 2 5 2 = 2 + 3 2 + 1 2 2 5 2 = 1 2 2 1 令() = 1 2 2 1， 0.则 () = 1， 0.() = 1， 当 0时，() = 1 0， ()在(0,+)上单调递增 当 0时，() (0) = 0， ()在(0,+)上单调递增 当 0时，() (0) = 0 1 = 0 故命题得证 (2)由题意，() = ， 0 () = (1) 2 ， 0 令() = 0，解得 = 1； 令() 0，解得0 0，解得 1
29、 ()在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增， 在 = 1处取得极小值(1) = ()大致图象如下： 根据图，可知(1) 0，(2) 0 (1) (2) = ln 1 1 ln 2 2 = 1 1 (2 2) = 1 2 (1 2). 0 1 2，1+ 2 2， 根据对数平均不等式，有 第 15 页，共 15 页 12 12 1+2 2 1， (1)(2) 12 = 1 12 12 1 1 = 0 1 2 0 (1) (2). 故得证 【解析】本题第(1)题先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数 ()，对函数()进行一阶导数和二阶导数的分析，得到()在(0,+)上单调
30、递增， 则当 0时，() (0) = 0 1 = 0.命题得证第(2)题先对整理后的()进行一 阶导数的分析，画出函数()大致图象，可知(1) 0，(2) 0.然后采用先取对数 然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明 本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力， 数形结合法的应用， 构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题 22.【答案】解：(1) 圆 C 的参数方程 = 1 + cos = sin (为参数)， 消去参数，得圆 C 的普通方程是( 1)2+ 2= 1， 又 = ， = ， 圆 C 的极坐标方程是 = 2 (2)设(1,1)，则有1= 21，(2,1)， 则有2= 33 1+31， | = 1 2= 631 1+31 = 63 3+1 (0 1 0， 0 | 0，能求出| |的范围 本题考查圆的极坐标方程的求法，考查两线段的乘积的取值范围的求法，考查直角坐标 方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力， 考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题
