1、 20202020 年秋人教版九年级数学上册第年秋人教版九年级数学上册第 2222 章二次函数单元提高测试卷章二次函数单元提高测试卷 一、选择题（共一、选择题（共 1010 题；共题；共 3030 分）分） 1.关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ） A. 若将图象向上平移 10 个单位，再向左平移 2 个单位后过点 ，则 B. 当 时，y 有最小值 C. 对应的函数值比最小值大 7 D. 当 时，图象与 x 轴有两个不同的交点 2.已知二次函数 （其中 x 是自变量）的图象经过不同两点 ， ，且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，则 的值（ ） A. -1 B. 2 C. 3 D. 4 3.
2、已知(-3，y1)，(-2，y2)，(1，y3)是抛物线 y=-3x 2-12x+m 上的点，则( ) A. y3y2y1 B. y3y1y2 C. y2y3y1 D. y1y3y2 4.已知函数 y1mx 2+n，y 2nx+m（mn0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 5.已知抛物线 （ 是常数， ）经过点 ，其对称轴是直线 有下列结论： ；关于 x 的方程 有两个不等的实数根； 其中，正确结论的 个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.竖直上抛物体离地面的高度 与运动时间 之间的关系可以近似地用公式 表示，其中 是物体抛出时离地面的高
3、度， 是物体抛出时的速度某人将一个小球从 距地面 的高处以 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 7.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线 y=ax 2的图 象与正方形有公共顶点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，已知函数 y1=x 2+ax+1，y 2=x 2+bx+2，y 3=x 2+cx+4，其中 a，b，c 是正实数，且满足 b 2=ac。设函数 y 1 ， y2 ， y3的图象与 x 轴的交点个数分别为 M1 ， M2 ， M3 ， ( ) A.
4、 若 M1=2，M2=2，则 M3=0 B. 若 M1=1，M2=0，则 M3=0 C. 若 M1=0，M2=2，则 M3=0 D. 若 M1=0，M2=0，则 M3=0 9.如图， 点 C、 A、 M、 N 在同一条直线 l 上 其中， 是等腰直角三角形， ， 四边形 为 正方形，且 ，将等腰 沿直线 l 向右平移若起始位置为点 A 与点 M 重合，终 止位置为点 C 与点 N 重合设点 A 平移的距离为 x ， 两个图形重叠部分的面积为 y ， 则 y 与 x 的函 数图象大致为（ ） A. B. C. D. 10.已知抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)的对称轴是直线 x=1，其部分图
5、象如图所示，下列说法中：abc0； 4a 2b+c0； 若 A （ ， y1） 、 B （ ， y2） 、 C （ ， y3） 是抛物线上的三点， 则有 ； 若 m ， n （ ）为方程 的两个根，则 且 ，以上说法正确的有 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 题；共题；共 2424 分）分） 11.将抛物线 y=(x1) 25 关于 y 轴对称，再向右平移 3 个单位长度后顶点的坐标是_ 12.抛物线 的顶点坐标为_ 13.将抛物线 向上平移 3 个单位长度后，经过点 ，则 的值是 _ 14.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 为 CD 边上的一个
6、动点，以 CE 为边向外作正方形 ECFG，连结 BG， 点 H 为 BG 中点，连结 EH，则 EH 的最小值为_。 15.在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数 y = (x -1) 2 +1（x0）的图象 C 1和图象 C2 组成的中心对称图形，对称中心为点（0，2）已知不重合的两点 A、B 分别在图象 C1 和 C2 上，点 A、 B 的横坐标分别为 a、b ， 且 ab0当 bxa 时该函数的最大值和最小值均与 a、b 的值无关， 则 a 的取值范围为_ 16.如图，在平面直角坐标系 中，A、B 为 x 轴上的点，C、D 为抛物线 y=-x 2+2x+3 上两点，且四边形 A
7、BCD 是正方形，则正方形 ABCD 的面积是_ 三、解答题（共三、解答题（共 8 8 题；共题；共 6666 分）分） 17.已知二次函数 yax 2bxc 的图象过 A(2，0)，B(0，1)和 C(4，5)三点，求二次函数的解析式 18.已知二次函数 ,将其配方成 的形式， 并写出它的图象的开口方向、 顶点坐标、对称轴. 19.要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水 柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，高度为 3m ， 水柱落地处离池中心 3m ， 水管应多长？ 20.已知某厂以 小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 ）
8、，且每小时可获得利 润 元 （1） 某人将每小时获得的利润设为 y 元， 发现 时， ， 所以得出结论： 每小时获得的利润， 最少是 180 元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明； （2）若以生产该产品 2 小时获得利润 1800 元的速度进行生产，则 1 天（按 8 小时计算）可生产该产品多 少千克； （3）要使生产 680 千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润 21.已知抛物线 y=a(x2) 2+c 经过点 A(2,0)和点 C(0, )，与 x 轴交于另一点 B，顶点为 D （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； （
9、2）如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（点 E 不与点 A，B 重合），且DEF=DAB，DE=EF，直接写出 线段 BE 的长 22.平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ， ， ，顶点 不在第一象限，线段 上有一点 ，设 的面积为 ， 的面积为 ， （1）用含 的式子表示 ； （2）求点 的坐标； （3） 若直线 与抛物线 的另一个交点 的横坐标为 ， 求 在 时 的取值范围（用含 的式子表示） 23.将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 B 在第一象限， ， ，点 P 在边 上（点 P 不与点 重合） （1）如图，当 时，求点 P 的坐标； （2）折叠该纸片
10、，使折痕所在的直线经过点 P ， 并与 x 轴的正半轴相交于点 Q ， 且 ，点 O 的对应点为 ，设 如图， 若折叠后 与 重叠部分为四边形， 分别与边 相交于点 ， 试用含有 t 的式子表示 的长，并直接写出 t 的取值范围； 若折叠后 与 重叠部分的面积为 S ， 当 时，求 S 的取值范围（直接写出 结果即可） 24.如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，过 A、B 两点的抛物线 与 x 轴交于另一点 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点 P，使 ？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明 理由； （3） 点 M 为直
11、线 下方抛物线上一点， 点 N 为 y 轴上一点， 当 的面积最大时， 求 的 最小值 答案答案 一、选择题 1.解：A、将二次函数 向上平移 10 个单位，再向左平移 2 个 单位后， 表达式为： = ， 若过点（4，5）， 则 ，解得：a=-5，不符合题意； B、 ，开口向上， 当 时，y 有最小值 ，不符合题意； C、当 x=2 时，y=a+16，最小值为 a-9，a+16-（a-9）=25，即 对应的函数值比最小值大 25，符合题 意； D、= =9-a，当 a0 时，9-a0，即方程 有两个不同 的实数根，即二次函数图象与 x 轴有两个不同的交点，不符合题意， 故答案为：C. 2.解
12、：二次函数 的图像经过 ， ， 对称轴 x= ，即 x= ， 对称轴 x=b， =b，化简得 c=b-1， 该二次函数的图象与 x 轴有公共点， = = = = b=2，c=1， b+c=3， 故答案为：C. 3.解：抛物线的对称轴为直线 ， ， 时，函数值最大， 又 到 的距离比 1 到 的距离小， 故答案为： 4.解：A、由一次函数 y2nx+m（mn0）的图象可得：n0，m0.此时二次函数 y1mx 2+n 的图象应该开 口向上，抛物线与 y 轴交于负半轴，故答案为：不符合题意； B、由一次函数 y2nx+m（mn0）的图象可得：n0，m0.此时二次函数 y1mx 2+n 的图象应该开口
13、向 下，抛物线与 y 轴交于正半轴，故本选项不符合题意； C、由一次函数 y2nx+m（mn0）的图象可得：n0，m0.此时二次函数 y1mx 2+n 的图象应该开口向 下，抛物线与 y 轴交于负半轴，故本选项不符合题意； D、由一次函数 y2nx+m（mn0）的图象可得：n0，m0.此时二次函数 y1mx 2+n 的图象开口向上， 抛物线与 y 轴交于正半轴，故本选项不符合题意. 故答案为：A. 5.抛物线 经过点 ，对称轴是直线 ， 抛物线经过点 ，b=-a 当 x= -1 时，0=a-b+c，c=-2a;当 x=2 时，0=4a+2b+c， a+b=0，ab1， ，符合题意 故答案为：C
14、. 6.解：依题意得： = ， = ， 把 = ， = 代入 得 当 时， 故小球达到的离地面的最大高度为： 故答案为：C 7.解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a= ， 观察图象可知 a3， 故答案为：A 8.解：由题意，令 y1=0，y2=0，y3=0 则1=a 2-4， 2=b 2-8， 3=c 2-16 b =ac 2=ac-8 A：M1=2，M2=2 1=a 2-40， 2=ac-80 a2 或 a4 或 c16 c -160 30 M3=2，故 A 错误； B：M1=1，M2=0 1=a 2-4=0， 2=ac-80 a=2 -4c4 c 216 c
15、 2-160 30 a=2 c4 或 c16 c -160 30 M3=2，故 C 错误； D：M1=0，M2=0 1=a 2-4=0， 2=ac-8=0 a=2 c=4 c =16 c -16=0 3=0 M3=1，故 D 错误。 综上，故答案为：B 9.ABC 是等腰直角三角形， 作 BO直线 于 O， 则 OA=OB=OC=2， 当 时，如图： ， ， ，开口向上的抛物线； 当 时，如图： ， ， ， ， ，开口向下的抛物线； 当 时，如图： ， ， ， ， ，开口向上的抛物线； 综上，前后两段是开口向上的抛物线，中间一段是开口向下的抛物线，只有选项 D 符合， 故答案为：D 10.解：
16、根据图象可知：a0，c0， 对称轴是直线 x=1， - ， b=-2a0， abc0， 故正确； 当 x=-2 时，y=4a 2-2b+c0， 故正确； -2- ， y3y1c ， y2c， y3y1y2， 故正确； a（x-3）（x+1）=0 的两个根为 3 和-1， a（x-3）（x+1）-2=0 的两个根为 m-1 且 n3， 故正确. 故答案为：A. 二、填空题 11.抛物线 y=(x1) 25 的顶点为（1，-5）， 关于 y 轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移 3 个单位长度后的坐标为（2，-5）， 故答案为：(2，5)。 12.解：由二次函数性质可知， 的顶点坐标为( ，
17、) 的顶点坐标为(1，8) 故答案为：(1，8) 13.解：将抛物线 向上平移 3 个单位长度后， 表达式为： ， 经过点 ，代入， 得： ， 则 = =23-11=-5. 故答案为：-5. 14.解：延长 EH 交 BC 于 M 四边形 ECFG 为正方形 EG/BF EGB=GBC 点 H 为 BG 中点 BH=HG BHM=EHG BHGGHE(ASA) EG=BM,EH=HM 设正方形 ECFG 的边长为 x，则 EG=EC=BM=x，MC=4-x 再 RtEMC 中，EM 2=MC2+EC2=(4-x)2+x2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8 EM 的最小值为 EH= 故答案
18、为： 15.解：抛物线的解析式为 y=（x-1） 2+1 抛物线 C1顶点的坐标为（1,1） 两个图象关于（0,2）成中心对称图形 抛物线 C2的顶点坐标为（-1,3） 抛物线 C2的函数解析式为 y=-（x+1） 2+3 点 A 以及点 B 分别在图象 C1和 C2上，横坐标为 a，b，且 a+b=0 b=-a 当 bxa 时，即-axa 时，函数的最大值和最小值与 a 无关 函数的最大值为 3，最小值为 1 a1,1（a-1） 2+13 a 的取值范围为 1a1+ 16.解：设正方形的边长为 a，令 y=a，得 a=-x 2+2x+3， 解得 x1=1+ ，x2=1- ， xC=1+ ，x
19、D=1- ， CD=a= xC-xD=1+ -1+ =2 ， a 2+4a-16=0， 解得 a=2 -2(舍去负值)， 正方形 ABCD 的面积=a 2=24-8 故答案为：24-8 三、解答题 17. 解：将 A(2，0)，B(0，1)和 C(4，5)代入 yax 2bxc 中 解得 18. 解： 开口方向向上 顶点坐标是 对称轴是直线 19. 解：以池中心为原点，竖直安装的水管为 y 轴，与水管垂直的为 x 轴建立直角坐标系 由于在距池中心的水平距离为 1m 时达到最高，高度为 3m ， 则设抛物线的解析式为： ya（x1） 2+3（0 x3）， 代入（3，0）求得：a 将 a 值代入得
20、到抛物线的解析式为： y （x1） 2+3（0 x3）， 令 x0，则 y 2.25 故水管长为 2.25m 20. （1）依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论； 令 y= ，当 t=1 时，y=180， 当 ， 随 t 的增大而减小，-3t 也随 t 的增大而减小， -3t+ 的值随 t 的增大而减小， y= 随 t 的增大而减小， 当 t=1 时，y 取最小， 他的结论符合题意； （2）由题意可得： 2=1800， 整理得： ， 解得：t= 或-5（舍）， 即以 小时/千克的速度匀速生产产品， 则 1 天（按 8 小时计算）可生产该产品 8 =24 千克； （3）生产 680 千克该
21、产品获得的利润为：y=680t 整理得：y= ， 当 t= 时，y 最大，且为 207400 元. 故该厂应该选取 小时/千克的生产速度，最大利润为 207400 元. 21. （1）将点 A(-2,0)，C(0, )代入 y = a(x - 2) 2 + c，得： ，解得： 抛物线的解析式为 y= (x2) 2+3 顶点 D 的坐标为(2,3) （2）A,B 两点为抛物线与 x 轴两交点，D 为坐标顶点， DA=DB，故DAB=DBA， DE=EF， EDF=EFD EFD=FEB+EBD，DEF=DAB， EDF=FEB+DEF， BDE=BED， 故 BD=BE A(-2,0)，D(2,
22、3)， 利用对称性可得 B(6,0)， 经计算 BD=5, 故 BE=5 22.（1）把 代入： ， （2） 抛物线为： 抛物线的对称轴为： 顶点 不在第一象限， 顶点 在第四象限， 如图，设 记对称轴与 的交点为 ， 则 ， 当 同理可得： 综上： 或 （3） 当 ，设 为： 解得： 为 消去 得： 由根与系数的关系得： 解得： 当 时， 当 时， 当 时， ， 当 时，有 当 ， 同理可得 为： 同理消去 得： 解得： 此时，顶点在第一象限，舍去， 综上：当 时，有 23.（1）解：如图， 过点 P 作 轴，垂足为 H，则 ， 在 中， ， ， 点 P 的坐标为 （2）解：由折叠知， ，
23、， 又 ， 四边形 为菱形 可得 点 ， 有 在 中， ， ，其中 t 的取值范围是 由知， 为等边三角形， 四边形 为菱形， ,三角形 DCQ 为直角三角形，Q=60， ， , ， ， ， 24. （1）解：由题意，令 ，即 A 的坐标为（4,0） 令 ，即 B 的坐标为（0，-2） 将 A、B、C 三点坐标代入抛物线，得 解得 抛物线解析式为： ； （2）解：假设存在该点 P，设其坐标为（a， ） A 的坐标为（4,0），B 的坐标为（0，-2） OA=4，OB=2， ， 点 P 到直线 的距离为 存在这样的点 P，点 P 的坐标为（2，-3） （3）解：设 M 坐标为 当 的面积最大时，即 的面积最大为 4， M 坐标为 设 N 的坐标为 当 时， 有最小值， 其值为 .
