1、下列数中，是无理数的是（ ） A3 B0 C D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 Ba6a2a4 C （2ab）36a3b3 Da2a3a6 3 （3 分） 三国演义 红楼梦 水浒传 西游记是我国古典长篇小说四大名著其中 2016 年光明日报出版社出版的红楼梦有 350 万字，则“350 万”用科学记数法表示 为（ ） A3.5106 B0.35107 C3.5102 D350104 4 （3 分）若一个多边形的内角和为 1080，则这个多边形的边数为（ ） A6 B7 C8
2、 D9 5（3 分） 如图， 已知直线 a， b 被直线 c 所截， 且 ab， 若40， 则 的度数为 （ ） A140 B50 C60 D40 6 （3 分）小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员 工工资的（ ） A众数 B中位数 C方差 D平均数 7 （3 分）在 RtABC 中，B90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，DEAC，垂足为 点 E，若 BD3，则 DE 的长为（ ） 第 2 页（共 26 页） A3 B C2 D6 &nb
3、sp;8 （3 分）已知一元二次方程 x2kx+40 有两个相等的实数根，则 k 的值为（ ） Ak4 Bk4 Ck4 Dk2 9 （3 分）在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，若AOB 的面积为 2，则矩形 ABCD 的 面积为（ ） A4 B6 C8 D10 10 （3 分）在同一平面直角坐标系中，一次函数 y1k1x+b 与反比例函数 y2（x0） 的图象如图所示、则当 y1y2时，自变量 x 的取值范围为（ ） Ax1 Bx3 C0 x1 D1x3 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分
4、，共 24 分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11 （3 分）代数式有意义，则 x 的取值范围是 12 （3 分）因式分解：x3x 13 （3 分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是 80 分，面试成绩是 60 分，综合成 绩笔试占 60%，面试占 40%，则该教师的综合成绩为 分 14（3 分） 如图， 在ABC 和ADC 中， ABAD， BCDC， B130， 则D 第 3 页（共 2
5、6 页） 15 （3 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 （结果保留 ） 16 （3 分）如图，OB1A1，A1B2A2，A2B3A3，An1BnAn，都是一边在 x 轴上的 等边三角形，点 B1，B2，B3，Bn都在反比例函数 y（x0）的图象上，点 A1， A2，A3，An，都在 x 轴上，则 An的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 86 分）分） 17计算：+2 22cos45+|2 |
6、;18先化简，再求值： （），然后从1，0，1 中选择适当的数代入求 值 19为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是 “A书画类、B文艺类、C社会实践类、D体育类” 现随机抽取了七年级部分学 生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信 息回答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有 名，扇形统计图中“A书画类”所占扇形的圆心角 第 4 页（共 26 页） 的度数为 度； （2）请你将条形统计图补全； （3）若该校七年级共有
7、 600 名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C社会 实践类”的学生共有多少名？ （4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她 们选择同一个项目的概率 20如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树 A 点处测得古树顶端 D 的 仰角为 30， 然后向古树底端 C 步行 20 米到达点 B 处， 测得古树顶端 D 的仰角为 45， 且点 A、B、C 在同一直线上求古树 CD 的高度 （已知：1.414，1.732，结果 保留整数） 21定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形 （1）下
8、面四边形是垂等四边形的是 ； （填序号） 平行四边形；矩形；菱形；正方形 （2）图形判定：如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，ACBD，过点 D 作 BD 垂线交 BC 的延长线于点 E，且DBC45，证明：四边形 ABCD 是垂等四边形 （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半应用： 在图 2 中， 面积为 24 的垂等四边形 ABCD 内接于O 中， BCD60 求O 的半径 22某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共 20 台，已知甲型平板电脑进价 1600 元，售价
9、2000 元；乙型平板电脑进价为 2500 元，售价 3000 元 （1）设该商店购进甲型平板电脑 x 台，请写出全部售出后该商店获利 y 与 x 之间函数表 达式 第 5 页（共 26 页） （2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过 39200 元，全部售出所获利润不低于 8500 元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润 23如图，在O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，延长 AB 到点 D，使 CDCA，且D 30 （1）求证：CD 是O 的切线 （2） 分别过
10、A、B 两点作直线 CD 的垂线，垂足分别为 E、F 两点，过 C 点作 AB 的垂线， 垂足为点 G求证：CG2AEBF 24如图所示，抛物线 yx22x3 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 M 为 抛物线的顶点 （1）求点 C 及顶点 M 的坐标 （2）若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 BN、CN 求BCN 面积的最大值 及此时点 N 的坐标 （3）若点 D 是抛物线对称轴上的动点，点 G 是抛物线上的动点，是否存在以点 B、C、 D、G 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点 G 的坐标；若不存在
11、，试说明理 由 （4）直线 CM 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点，是否存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与ABC 相似若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 26 页） 2020 年湖南省怀化市中考数学试卷年湖南省怀化市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 40 分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选 项的代号填涂在答题卡
12、的相应位置上）项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1 （3 分）下列数中，是无理数的是（ ） A3 B0 C D 【分析】根据无理数的三种形式求解即可 【解答】解：3，0，是有理数，是无理数 故选：D 【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：开方 开不尽的数，无限不循环小数，含有 的数 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 Ba6a2a4 C （2ab）36a3b3 Da2a3a6 【分析】分别根据合并同类项的法则、
13、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘 法法则计算各项，进而可得答案 【解答】解：a2与 a3不是同类项，不能合并，因此选项 A 计算错误，不符合题意； a6a2a4，因此选项 B 计算正确，符合题意； （2ab）38a3b36a3b3，因此选项 C 计算错误，不符合题意； a2a3a5a6，因此选项 D 计算错误，不符合题意 故选：B 【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法和乘法以及积的乘方等运算法则，属 于基本题型，熟练掌握上述基础知识是关键 3 （3 分） 三国演义 红楼梦 水浒传 西游记是我国
14、古典长篇小说四大名著其中 2016 年光明日报出版社出版的红楼梦有 350 万字，则“350 万”用科学记数法表示 为（ ） A3.5106 B0.35107 C3.5102 D350104 【分析】科学记数法的形式是：a10n，其中 1|a|10，n 为整数所以 a3.5，n 取 第 7 页（共 26 页） 决于原数小数点的移动位数与移动方向， n 是小数点的移动位数， 往左移动， n 为正整数， 往右移动，n 为负整数本题小数点往左移动到 3 的后面，所以 n6 【解答】解：350 万3501043.51021043.5106
15、 故选：A 【点评】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记 数法的基础上确定好 a，n 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响 4 （3 分）若一个多边形的内角和为 1080，则这个多边形的边数为（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】首先设这个多边形的边数为 n，由 n 边形的内角和等于 180（n2） ，即可得 方程 180（n2）1080，解此方程即可求得答案 【解答】解：设这个多边形的边数为 n， 根据题意得：180（n2）1080， 解得：n8 故
16、选：C 【点评】此题考查了多边形的内角和公式此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此 题的关键，注意方程思想的应用 5（3 分） 如图， 已知直线 a， b 被直线 c 所截， 且 ab， 若40， 则 的度数为 （ ） A140 B50 C60 D40 【分析】首先根据对顶角相等可得1 的度数，再根据平行线的性质可得 的度数 【解答】解：40， 140， ab， 140 故选：D 第 8 页（共 26 页） 【点评】此题主
17、要考查了对顶角相等和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角 相等的知识点 6 （3 分）小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员 工工资的（ ） A众数 B中位数 C方差 D平均数 【分析】根据题意，结合该公司所有员工工资的情况，从统计量的角度分析可得答案 【解答】解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全 面的了解中间员工的工资水平， 故最应该关注的数据是中位数， 故选：B 【点评】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的含义，以及在实际情境中统计意
18、 义，掌握以上知识是解题的关键 7 （3 分）在 RtABC 中，B90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，DEAC，垂足为 点 E，若 BD3，则 DE 的长为（ ） A3 B C2 D6 【分析】根据角平分线的性质即可求得 【解答】解：B90， DBAB， 又AD 平分BAC，DEAC， 由角平分线的性质得 DEBE3， 故选：A 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键 第 9 页（共 26 页） 8 （3
19、 分）已知一元二次方程 x2kx+40 有两个相等的实数根，则 k 的值为（ ） Ak4 Bk4 Ck4 Dk2 【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 k 的方程，解之即可得出 k 值 【解答】解：一元二次方程 x2kx+40 有两个相等的实数根， （k）24140， 解得：k4 故选：C 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个相等的实数根”是解题 的关键 9 （3 分）在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，若AOB 的面积为 2，则矩形 ABCD 的 面
20、积为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】根据矩形的性质得到 OAOBOCOD，推出 SADOSBCOSCDOSABO 2，即可求出矩形 ABCD 的面积 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O， ACBD，且 OAOBOCOD， SADOSBCOSCDOSABO2， 矩形 ABCD 的面积为 4SABO8， 故选：C 【点评】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的面 积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键 &nb
21、sp;10 （3 分）在同一平面直角坐标系中，一次函数 y1k1x+b 与反比例函数 y2（x0） 的图象如图所示、则当 y1y2时，自变量 x 的取值范围为（ ） 第 10 页（共 26 页） Ax1 Bx3 C0 x1 D1x3 【分析】根据函数图象得到两个交点的横坐标，再观察一次函数图象在反比例函数图象 上方的部分，即可得到 x 的取值范围 【解答】解：由图象可得， 当 y1y2时，自变量 x 的取值范围为 1x3， 故选：D 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解
22、答本题的关键是明确题意，利 用数形结合的思想解答 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11 （3 分）代数式有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x10，再解不等式即可 【解答】解：由题意得：x10， 解得：x1， 故答案为：x1 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键 12 （3 分）因式分解：x3x x（x+1） （
23、x1） 【分析】原式提取 x，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式x（x21）x（x+1） （x1） ， 故答案为：x（x+1） （x1） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 13 （3 分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是 80 分，面试成绩是 60 分，综合成 绩笔试占 60%，面试占 40%，则该教师的综合成绩为 72 分 第 11 页（共 26 页） 【分析】根据综合成绩笔试占 60%，面试占 40%，即综合成绩等于笔试成
24、绩乘以 60%， 加上面试成绩乘以 40%，即可求解 【解答】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为 8060%+6040%72（分） 故答案为：72 【点评】本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是 解题的关键 14（3 分） 如图， 在ABC 和ADC 中， ABAD， BCDC， B130， 则D 130 【分析】根据全等三角形的判定定理得出ABCADC，根据全等三角形的性质得出 DB，代入求出即可 【解答】证明：在ADC 和ABC 中 ， ABCAD
25、C（SSS） ， DB， B130， D130， 故答案为：130 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解此题的 关键 15（3 分） 如图是一个几何体的三视图， 根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 24 （结果保留 ） 第 12 页（共 26 页） 【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积 【解答】解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是 422，高是 6， 圆柱的侧面
26、展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的 高， 且底面周长为：224， 这个圆柱的侧面积是 4624 故答案为：24 【点评】本题考查由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该 几何体是圆柱体 16 （3 分）如图，OB1A1，A1B2A2，A2B3A3，An1BnAn，都是一边在 x 轴上的 等边三角形，点 B1，B2，B3，Bn都在反比例函数 y（x0）的图象上，点 A1， A2，A3，An，都在 x 轴上，则 An的坐标为 （2，0） 【分析】如图，过点 B1
27、作 B1Cx 轴于点 C，过点 B2作 B2Dx 轴于点 D，过点 B3作 B3Ex 轴于点 E，先在OCB1中，表示出 OC 和 B1C 的长度，表示出 B1的坐标，代入 反比例函数解析式，求出 OC 的长度和 OA1的长度，表示出 A1的坐标，同理可求得 A2、 A3的坐标，即可发现一般规律 【解答】解：如图，过点 B1作 B1Cx 轴于点 C，过点 B2作 B2Dx 轴于点 D，过点 B3 作 B3Ex 轴于点 E， OA1B1为等边三角形， B1OC60，OCA1C， B1COC， 设 OC 的长度为 t，则 B1的坐标为（t
28、，t） ， 把 B1（t，t）代入 y得 tt，解得 t1 或 t1（舍去） ， OA12OC2， 第 13 页（共 26 页） A1（2，0） ， 设 A1D 的长度为 m，同理得到 B2Dm，则 B2的坐标表示为（2+m，m） ， 把 B2（2+m，m）代入 y得（2+m）m，解得 m1 或 m 1（舍去） ， A1D，A1A2，OA2， A2（，0） 设 A2E 的长度为 n，同理，B3E 为n，B3的坐标表示为（2+n，n） ， 把 B3（2+n，n）
29、代入 y得（2+n） n， A2E，A2A3，OA3， A3（，0） ， 综上可得：An（，0） ， 故答案为： 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足 其解析式灵活运用各类知识求出 A1、A2、A3的坐标是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 86 分）分） 17计算：+2 22cos45+|2 | 【分析】按照公式、特殊角的三角函数值、化简二次根式、去绝对值符 号进行运算，最后计算加减即可 【解答】解：原式
30、 第 14 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负指数幂公式、熟记特殊锐角三 角函数值及二次根式与绝对值的性质等 18先化简，再求值： （），然后从1，0，1 中选择适当的数代入求 值 【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入 x0 求值即可 【解答】解：原式 x+10 且 x10 且 x+20， x1 且 x1 且 x2， 当 x0 时，分母不为 0，代入：
31、 原式 【点评】本题考查分式的化简求值，注意运算顺序为：先算乘除，再算加减，有括号先 算括号内的；另外本题选择合适的数时要注意选择的数不能使分母为 0 19为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是 “A书画类、B文艺类、C社会实践类、D体育类” 现随机抽取了七年级部分学 生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信 息回答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有 50 名，扇形统计图中“A书画类”所占扇形的圆心角 的度数为 72 度； （2）请你将条形统计图补全； &nb
32、sp; 第 15 页（共 26 页） （3）若该校七年级共有 600 名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C社会 实践类”的学生共有多少名？ （4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她 们选择同一个项目的概率 【分析】 （1）用条形统计图中 D 类的人数除以扇形统计图中 D 类所占百分比即可求出被 抽查的总人数，用条形统计图中 A 类的人数除以总人数再乘以 360即可求出扇形统计 图中 A 类所占扇形的圆心角的度数； （2）用总人数减去其它三类人数即得 B 类人数，进而可补全条形统计图；
33、 （3）用 C 类人数除以总人数再乘以 600 即可求出结果； （4）先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项 目的结果数，然后根据概率公式计算即可 【解答】解： （1）本次被抽查的学生共有：2040%50（名） ， 扇形统计图中“A书画类”所占扇形的圆心角的度数为； 故答案为：50，72； （2）B 类人数是：501082012（人） ， 补全条形统计图如图所示： （3）名， 答：估计该校学生选择“C社会实践类”的学生共有 96 名； &
34、nbsp; （4）列表如下： A B C D 第 16 页（共 26 页） A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 由表格可得：共有 16 种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果 有 4 种， 王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率 【点评】本题是统计与概率类综合题，主要考查了条形统计图
35、、扇形统计图、利用样本 估计总体和求两次事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基 本知识是解题的关键 20如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树 A 点处测得古树顶端 D 的 仰角为 30， 然后向古树底端 C 步行 20 米到达点 B 处， 测得古树顶端 D 的仰角为 45， 且点 A、B、C 在同一直线上求古树 CD 的高度 （已知：1.414，1.732，结果 保留整数） 【分析】设 CBCDx，根据 tan30即可得出答案 【解答】解：由题意可知，AB20，DAB30，C90，DBC45， BCD 是等
36、腰直角三角形， CBCD， 设 CDx，则 BCx，AC20+x， 在 RtACD 中， tan30， 解得 x10+10101.732+1027.3227， CD27， 答：CD 的高度为 27 米 【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，构造直角三角形是 第 17 页（共 26 页） 解题关键 21定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形 （1）下面四边形是垂等四边形的是 ； （填序号） 平行
37、四边形；矩形；菱形；正方形 （2）图形判定：如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，ACBD，过点 D 作 BD 垂线交 BC 的延长线于点 E，且DBC45，证明：四边形 ABCD 是垂等四边形 （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半应用： 在图 2 中， 面积为 24 的垂等四边形 ABCD 内接于O 中， BCD60 求O 的半径 【分析】 （1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可； （2）根据已知条件可证明四边形 ACED 是平行四边形，即可得到 ACDE，再根据等腰 直角三角形的性质
38、即可得到结果； （3）过点 O 作 OEBD，根据面积公式可求得 BD 的长，根据垂径定理和锐角三角函数 即可得到O 的半径 【解答】解： （1）平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形； 矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形； 菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形； 正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； 故选：； （2）ACBD，EDBD， ACDE， 又ADBC， 四边形 ADEC 是平行四边形， ACDE， &
39、nbsp;又DBC45， 第 18 页（共 26 页） BDE 是等腰直角三角形， BDDE， BDAC， 又BDAC， 四边形 ABCD 是垂等四边形； （3）如图，过点 O 作 OEBD， 四边形 ABCD 是垂等四边形， ACBD， 又垂等四边形的面积是 24， ACBD24， 解得，ACBD4， 又BCD60， DOE60， 设半径为 r，根据垂径定理可得： 在ODE 中，ODr
40、，DE， r4， O 的半径为 4 【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的 性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件，利用新定义解答问题 22某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共 20 台，已知甲型平板电脑进价 1600 元，售价 2000 元；乙型平板电脑进价为 2500 元，售价 3000 元 （1）设该商店购进甲型平板电脑 x 台，请写出全部售出后该商店获利 y 与 x 之间函数表 第 19 页（共 26 页）
41、 达式 （2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过 39200 元，全部售出所获利润不低于 8500 元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润 【分析】 （1）根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可； （2）根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函 数关系式得到当 x 取最小值时，y 有最大值，将 x12 代入函数解析式求出结果即可 【解答】 解：（1） 由题意得： y （20001600） x+ （30002500） （20 x） 100 x+10000
42、， 全部售出后该商店获利 y 与 x 之间函数表达式为 y100 x+10000； （2）由题意得：， 解得 12x15， x 为正整数， x12、13、14、15， 共有四种采购方案： 甲型电脑 12 台，乙型电脑 8 台， 甲型电脑 13 台，乙型电脑 7 台， 甲型电脑 14 台，乙型电脑 6 台， 甲型电脑 15 台，乙型电脑 5 台， y100 x+10000，且1000， y 随 x 的增大而减小， 当 x 取最小值时，y 有最
43、大值， 即 x12 时，y 最大值10012+100008800， 采购甲型电脑 12 台，乙型电脑 8 台时商店获得最大利润，最大利润是 8800 元 【点评】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正 确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键 23如图，在O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，延长 AB 到点 D，使 CDCA，且D 30 （1）求证：CD 是O 的切线 （2） 分别过 A、B 两点作直线 CD 的垂线，垂足分别为 E、F 两点，过 C 点作
44、 AB 的垂线， 垂足为点 G求证：CG2AEBF 第 20 页（共 26 页） 【分析】 （1）连接 OC，CADD30，由 OCOA，进而得到OCACAD 30，由三角形外角定理得到CODA+OCA60， 在OCD 中由内角和定理可 知OCD90即可证明； （2） 证明 AC 是EAG 的角平分线， CB 是FCG 的角平分线， 得到 CECG， CFCG， 再证明AECCFB，对应线段成比例即可求解 【解答】 （1）证明：连接 OC，如右图所示， CACD，且D30， CADD30， &n
45、bsp;OAOC， CADACO30， CODCAD+ACO30+3060， OCD180DCOD180306090， OCCD， CD 是O 的切线； （2）COB60，且 OCOB， OCB 为等边三角形， CBG60， 又CGAD， CGB90， GCBCGBCBG30， 又GCD60， CB 是GCD 的角平分线， BFCD，BGCG， BFBG， 又BCBC， 第 21
46、 页（共 26 页） RtBCGRtBCF（HL） ， CFCG D30，AEED，E90， EAD60， 又CAD30， AC 是EAG 的角平分线， CEAE，CGAB， CECG， EBFC90，EAC30BCF， AECCFB， ，即 AEBFCFCE， 又 CECG，CFCG， AEBFCG2 【点评】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等， 属于中考常考题型，熟练掌握切
47、线性质、角平分线性质是解决此题的关键 24如图所示，抛物线 yx22x3 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 M 为 抛物线的顶点 （1）求点 C 及顶点 M 的坐标 （2）若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 BN、CN 求BCN 面积的最大值 及此时点 N 的坐标 第 22 页（共 26 页） （3）若点 D 是抛物线对称轴上的动点，点 G 是抛物线上的动点，是否存在以点 B、C、 D、G 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，试说明理 由 （
48、4）直线 CM 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点，是否存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与ABC 相似若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）令抛物线解析式中 x0 即可求出 C 点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出 顶点 M 坐标； （2）过 N 点作 x 轴的垂线交直线 BC 于 Q 点，设 N（n，n22n3） ，求出 BC 解析式， 进而得到 Q 点坐标，最后根据 SBCNSNQC+SNQB即可求解； （3）设 D 点坐标为（1，t） ，G 点坐标为（m，m22m3） ，然后分成DG 是对角线； D
49、B 是对角线；DC 是对角线时三种情况进行讨论即可求解； （4）连接 AC，由 CECB 可知BE，求出 MC 的解析式，设 P（x，x3） ，然 后根据PEO 相似ABC，分成和讨论即可求解 【解答】解： （1）令 yx22x3 中 x0，此时 y3， 故 C 点坐标为（0，3） ， 又yx22x3（x1）24， 抛物线的顶点 M 的坐标为（1，4） ； （2）过 N 点作 x 轴的垂线交直线 BC 于 Q 点，连接 BN，CN，如图 1 所示： 令 yx22x30， 解得：x3 或 x1， &n
50、bsp;B（3，0） ，A（1，0） ， 设直线 BC 的解析式为：yax+b， 第 23 页（共 26 页） 代入 C（0，3） ，B（3，0）得：， 解得， 直线 BC 的解析式为：yx3， 设 N 点坐标为（n，n22n3） ，故 Q 点坐标为（n，n3） ，其中 0n3， 则 ， （其中 xQ，xC，xB分别表示 Q，C，B 三点的横坐标） ，且 QN（n3）（n22n3）n2+3n，xBxC3， 故，其中 0n3， 当时，SBCN有最大值为， 此时点
51、 N 的坐标为（） ， （3）设 D 点坐标为（1，t） ，G 点坐标为（m，m22m3） ，且 B（3，0） ，C（0，3） 分情况讨论： 当 DG 为对角线时，则另一对角线是 BC，由中点坐标公式可知： 线段 DG 的中点坐标为，即， 线段 BC 的中点坐标为，即， 此时 DG 的中点与 BC 的中点为同一个点， ，解得， 经检验此时四边形 DCGB 为平行四边形，此时 G 坐标为（2，3） ； 当 DB 为对角线时，则另一对角线是 GC，由中点坐标公式可知： 线段 DB
52、 的中点坐标为，即， 线段 GC 的中点坐标为，即， 此时 DB 的中点与 GC 的中点为同一个点， 第 24 页（共 26 页） ，解得， 经检验此时四边形 DCBG 为平行四边形，此时 G 坐标为（4，5） ； 当 DC 为对角线时，则另一对角线是 GB，由中点坐标公式可知： 线段 DC 的中点坐标为，即， 线段 GB 的中点坐标为，即， 此时 DB 的中点与 GC 的中点为同一个点， ，解得， 经检验此时四边形 DGCB 为平行四边形，此时
53、G 坐标为（2，1） ； 综上所述，G 点坐标存在，为（2，3）或（4，5）或（2，1） ； （4）连接 AC，OP，如图 2 所示： 设 MC 的解析式为：ykx+m， 代入 C（0，3） ，M（1，4）得， 解得 MC 的解析式为：yx3，令 y0，则 x3， E 点坐标为（3，0） ， OEOB3，且 OCBE， CECB， BE， 设 P（x，x3） ， 又P 点在线段 EC 上， 3x0， 则， 由题意知：
54、PEO 相似ABC， 第 25 页（共 26 页） 分情况讨论： PEOCBA， ， ， 解得，满足3x0，此时 P 的坐标为； PEOABC， ， ， 解得 x1，满足3x0，此时 P 的坐标为（1，2） 综上所述，P 点的坐标为或（1，2） 【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线 的解析式、平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质等 第 26 页（共 26 页） 知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代 数的方法求解几何问题
