1、 1了解基本不等式的证明过程 2能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小 3熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点) 教 材 展 示教 材 展 示 课课堂堂 7 7 基本不等式基本不等式 知识点 1： 基本不等式的形式：若，则，当且仅当时取“”号 均值不等式：若为正数，则，当且仅当时取等号 变式： 推广：是个正数，则称为这个正数的算术平均数， 称为这个正数的几何平均数， 它们的关系是，当且仅当时等号成立 知识点 2：利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况， 综合法是指从已证不等式和问 题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步
2、的逻辑推理，最后转化为所求 问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知” 知识点 3：利用基本不等式求最值问题 （1）“积定和最小”：如果积是定值P，那么当时，和有 , a bR 22 2ababab , a b 2 ab ab ab 22 2 11 22 abab ab ab 123 , n a a aan 12n aaa n n 12 n n a aan 12 12 n n n aaa a aa n 12n aaa 2ababababab 知 识 梳 理知 识 梳 理 最小值 （2） “和定积最大”：如果和是定值S，那么当时，积有 最大值 此外，基本不等式求最值需注意的问题： （1
3、）各数(或式)均为正； （2）和或积为定值； （3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可 若无明显“定值”，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值 当多次使用基本不等式时， 一定要注意每次是否能保证等号成立， 并且要注意取等号的条件 的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是 解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法 知识点 4：应用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： （1）设变量时一般把要求最值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； （3）在定义域内，求出函数的最
4、值； （4）回到实际问题中去，写出实际问题的答案 考点考点 1、利用基本不等式求函数的最值、利用基本不等式求函数的最值 例 1函数的最小值为_ 考点考点 2、变形技巧：“变形技巧：“1”的代换”的代换 例 2若正数满足，则的最小值为（ ） 2 P 2 2 ab ab ababab 2 1 4 S 1 (2) 2 yxx x , a b 1 21a b 2 b a 知 识 拓 展知 识 拓 展 A B C8 D9 考点考点 3、不等式的证明技巧不等式的证明技巧字母轮换不等式的证法字母轮换不等式的证法 例 3已知是全不相等的正实数，证明： 考点考点 4、求参数的取值范围问题求参数的取值范围问题 例
5、 4已知，若不等式对已知的，及 任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B C D 4 28 2 , ,a b c3 bcaacbabc abc 0m0n 14 1 mn 2 2mnxxa mn xa 8,3,3,8 思 维 导 图思 维 导 图 1若是正数，且 ，则有（ ） A最大值 B最小值 C最小值 D最大值 2已知，且，那么下列结论一定成立的是（ ） A B C D 3已知，且 ，则的最小值为（ ） A16 B32 C64 D128 4已知，若不等式 恒成立，则的最大值为（ ） A9 B12 C16 D20 5当时，函数 的最小值为（ ） A B C D 6已知都是正数，且 ，则
6、的最小值等于（ ） A B C D 7函数的最小值为_ 8若正数满足，则 的最大值为_ 9已知， （1）求的最小值； （2）求的最小值 , x y 91 1 xy xy 36 1 36 36 1 36 , a b R2ab 4ab 4a b 22 4ab 22 4ab , a b R216ababab 0,0ab 21 2 n abab n 1x 2 4 1 xx y x 456 7 , x y 21 1 xy xy 6 4 232 242 2 4 20yxx x , x y 20 xyxy 3 2xy 0 x 0y 280 xyxy xy xy 知识知识拓展拓展： 例 1【答案】4 【解析】
7、， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为4 考点点睛：1利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则， 即（1）一正：符合基本不等式成立的前提条件，； （2）二定：化不等式的一边为定值； （3）三相等：必须存在取“”号的条件，即“”号成立 以上三点缺一不可 2若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用) 和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式 例 2【答案】D 【解析】，且， 则， 当且仅当，即，时取等号，故选 D 考点点睛：1应用基本不等式求最值时，经常要对所给式子进行变形，配凑，变形的目标 是能配凑出“和”或“积”为定值
8、的条件 2若条件式是都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)如 2x 20 x 111 (2)22 (2)24 222 yxxx xxx 1 2 2 x x 3x 1 (2) 2 yxx x 2 ab ab 0a 0b 0a0b 1 21a b 2212 252549bbaab aabab 2 2ab ab 1 3 a 3b ( , ,axbyc a b c ，求的最值时，可以将代入，也可以变 形，两种方法本质相同 3求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保 留下的变量的范围加以限制 例 3【答案】证明见解析 【解析】（方法一）全不相等，全不相等， ，
9、三式相加得， ， 即 （方法二）要证， 只需证明， 即证， 而事实上，由是全不相等的正实数， ， ， 得证 1(0,0)xyxy 12 xy 1,22()xyxy 121212 () 1() ()xy xyxyxy , ,a b c ba ab 与 ca ac 与 cb bc 与 2 ba ab 2 ca ac 2 cb bc 6 bccaab aabbcc (1)(1)(1)3 bccaab aabbcc 3 bcaacbabc abc 3 bcaacbabc abc 1113 bccaab aabbcc 6 bccaab aabbcc , ,a b c 2 ba ab 2 ca ac 2
10、cb bc 6 bccaab aabbcc 3 bcaacbabc abc 考点点睛：证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法若不等式中字 母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证 例 4【答案】D 【解析】， 当且仅当时等号成立， ，即， 故选 D 考点点睛：1 恒成立问题求参数的取值范围， 常用“分离参数” 转化为函数最值问题求解； 2 解题思路来源于细致的观察， 丰富的联想和充分的知识、 技能的储备， 要注意总结记忆 先先学后练学后练： 1【答案】C 【解析】，当，即，时等号成立 故选 C 2【答案】C 【解析】因为，且，所以， 当且仅当时取等号
11、，故选 C 3【答案】B 【解析】，当且仅当时等号成立 令，则， 故，即最小值为 32，故选 B 4【答案】A 【解析】因为，所以， 1444 5529 nmnm mnmn mnmnmn 4nm mn 2 29xxa 2 2 2918axxx8a 919 12 xyxy 36xy 91 xy 18x 2y ab R，2ab 22 24abab 2ab 1622 2abababab abt 2 2 272 2 21604 2 2 ttt 32abab 0,0ab 20ab2 2121 ( 2 )ab n n ababab （当且仅当时，取等号）， 要想不等式恒成立，只需，即的最大值为，故选 A
12、5【答案】B 【解析】依题意， 由于，所以， 当且仅当，时，等号成立，故选 B 6【答案】C 【解析】，故选 C 7【答案】 【解析】，函数， 当且仅当，即时，上式取等号， 故答案为 8【答案】 【解析】由，得， 所以， 当且仅当，即时，取得最大值为， 故答案为 222122 ()5522)(9 bb abb aa ab ab a ab 21 2 n abab 9n n 9 2 4 1 xx y x 4 11 1 x x 1x 10 x 44 112115 11 xx xx 4 1 1 x x 3x 2122 3232 23 yxyx xy xyxyxy 6 0 x 44 2222 226yx
13、x xx 4 0 xx x ，2x 6 1 3 20 xyxy 212 1 xy xyyx 333331 22 2931222 5 252 xy xyxy xy yx yxyx 22xy yx 3xy 3 2xy 1 3 1 3 9【答案】（1）64；（2）18 【解析】（1）由，得， 又，故， 故，当且仅当，即时等号成立， （2）由，得， 则 当且仅当，即时等号成立， 280 xyxy 82 1 xy 0 x 0y 828 28 12 xyx yxy 64xy 82 1 82 xy xy 16 4 x y min64xy 280 xyxy 82 1 xy 82 xyxy xy 2828 =1010218 xyxy yxyx 82 1 28 xy xy yx 12 6 x y min18xy
