1、2020 年陕西省西安市高新一中中考数学四模试卷年陕西省西安市高新一中中考数学四模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 15 的相反数是（ ） A5 B C D5 2如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（ ） A正方体 B三棱柱 C三棱锥 D长方体 3如图，RtABC 中，ACB90，DE 过点 C 且平行于 AB，若BCE35，则A 的度数为（ ） A35 B45 C55 D65 4一个正比例函数的图象过点（2，3） ，它的表达式为（ ） A B C D 5下列计算正确的是（ ） Aa3+a32a6 B （x3）2x29 Ca3a3a6 D+ 6如图在 RtABC
2、中，A30，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D，E 是垂足，连 接 CD，若 BD1，则 AC 的长是（ ） A2 B2 C4 D4 7若直线 l1经过点（1，0） ，l2经过点（2，2） ，且 l1与 l2关于直线 x1 对称，则 l1和 l2的交点坐标为（ ） A （1，4） B （1，2） C （1，0） D （1，3） 8如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，将 AB、AD 分别 和 AE、AF 折叠，点 B、D 恰好都将在点 G 处，已知 BE1，则 EF 的长为（ ） A B C D3 9如图，点 A、B、C、D 在O 上，CAD3
3、0，ACD50，则ADB （ ） A30 B50 C70 D80 10已知 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是二次函数图象上 yax22ax+ac（a0）的两点， 若 x1x2且 y1y2，则当自变量 x 的值取 x1+x2时，函数值为（ ） Ac Bc Ca+c Dac 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11在、0.5、这五个数中，无理数有 12若一个正多边形的一个外角为 60，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是 13如图，点 A 在双曲线 y上，点 B 在双曲线 y（k0）上，ABx 轴，过点 A 作 ADx 轴于 D，连接 OB，与 AD 相交于点 C，若 AC2CD，则
4、k 的值为 14如图，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AB 边上一动点，连接 CE，过点 B 作 BG CE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，则 PD+PG 的最小值为 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 15计算： （） 2（3.14）0+ |2| 16先化简，再求值，其中 x3 17如图，已知O，用尺规作O 的内接正四边形 ABCD （写出结论，不写作法，保留作 图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 18如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，且BAEB求证：ACDE 19西安高新一中初中校区九年级有 2000 名学生，在体育中考前进
5、行一次模拟体测，从中 随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下 列问题： （）本次抽取到的学生人数为 ，图 2 中 m 的值为 ； （）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （）根据样本数据，估计我校九年级模拟体测中不低于 11 分的学生约有多少人？ 20为庆祝中华人民共和国成立 70 周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平 安金融中心” AB的高度， 他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角为32， 测得“平安中心”AB 的顶部 A 处的仰角为 44登上大厦 DE 的顶部 E 处后，测得“平 安中心” AB 的顶部 A 处的
6、仰角为 60， （如图） 已知 C、 D、 B 三点在同一水平直线上， 且 CD400 米， 求平安金融中心 AB 的高度（参考数据： sin320.53， cos320.85， tan320.62，tan440.99，1.41，） 21某演唱会购买门票的方式有两种 方式一：若单位赞助广告费 10 万元，则该单位所购门票的价格为每张 0.02 万元； 方式二：如图所示 设购买门票 x 张，总费用为 y 万元，方式一中：总费用广告赞助费+门票费 （1）求方式一中 y 与 x 的函数关系式 （2）若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共 400 张，且乙单 位购买超过 100 张
7、，两单位共花费 27.2 万元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 22图是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字 2，3，4，5图 是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子在桌面 掷出后，看骰子落在桌面上（即底面）的数字是几，就从图中的 A 点开始沿着顺时针方 向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续 （1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 C 处的概率是 （2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点 C 处的概率 23如图，P 为O 直径 AB 延长线上的一点，PC 切O 于点 C，过点 B 作 CP 的
8、垂线 BH 交O 于点 D，连结 AC，CD （1）求证：PBH2HDC； （2）若 sinP，BH3，求 BD 的长 24如图，抛物线 C1的图象与 x 轴交 A（3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0， 3）点 D 为抛物线的顶点 （1）求抛物线 C1的解析式； （2）将抛物线 C1关于直线 x1 对称后的抛物线记为 C2，将抛物线 C1关于点 B 对称后 的抛物线记为 C3，点 E 为抛物线 C3的顶点，在抛物线 C2的对称轴上是否存在点 F，使 得BEF 为等腰三角形？若存在请求出点 F 的坐标，若不存在请说明理由 25问题探究 （1）如图，在正方形 ABCD 内，请画
9、出使BPC90的所有点 P； （2）如图，已知矩形 ABCD，AB9，BC10，在矩形 ABCD 内画出使BPC60 的所有点 P，并求出APD 面积的最小值； （3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活某农业观光园的平面示意图如图 3 所示的四边形 ABCD，其中A120，BC90，ABkm，BC6km，观 光园的设计者想在园中找一点 P，使得点 P 与点 A、B、C、D 所连接的线段将整个观光 园分成四个区域， 用来进行不同的设计与规划， 从实用和美观的角度他们还要求在BPC 的区域内BPC120， 且APD 的区域面积最小， 试问在四边形 ABCD 内是否存在这 样的点 P，使得BP
10、C120，且APD 面积最小？若存在，请你在图中画出点 P 点的 位置，并求出APD 的最小面积若不存在，说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 15 的相反数是（ ） A5 B C D5 【分析】根据相反数的定义直接求得结果 【解答】解：5 的相反数是 5 故选：A 2如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（ ） A正方体 B三棱柱 C三棱锥 D长方体 【分析】根据三视图得出几何体为三棱柱即可 【解答】解：由主视图和俯视图可得几何体为三棱柱， 故选：B 3如图，RtABC 中，ACB90，DE 过点 C 且平行于 AB，若BCE
11、35，则A 的度数为（ ） A35 B45 C55 D65 【分析】题中有三个条件，图形为常见图形，可先由 ABDE，BCE35，根据两直 线平行，内错角相等求出B，然后根据三角形内角和为 180求出A 【解答】解：ABDE，BCE35， BBCE35（两直线平行，内错角相等） ， 又ACB90， A903555（在直角三角形中，两个锐角互余） 故选：C 4一个正比例函数的图象过点（2，3） ，它的表达式为（ ） A B C D 【分析】利用待定系数法即可求解 【解答】解：设函数的解析式是 ykx 根据题意得：2k3 解得：k 故函数的解析式是：yx 故选：A 5下列计算正确的是（ ） Aa3
12、+a32a6 B （x3）2x29 Ca3a3a6 D+ 【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则以及二次根式 的加减法法则逐一判断即可 【解答】解：Aa3+a32a3，故本选项不合题意； B （x3）2x26x+9，故本选项不合题意； Ca3a3a6，故本选项符合题意； D.与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意 故选：C 6如图在 RtABC 中，A30，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D，E 是垂足，连 接 CD，若 BD1，则 AC 的长是（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】求出ACB，根据线段垂直平分线求出 ADCD，求出ACD、DCB
13、，求出 CD、AD、AB，由勾股定理求出 BC，再求出 AC 即可 【解答】解：A30，B90， ACB180309060， DE 垂直平分斜边 AC， ADCD， AACD30， DCB603030， BD1， CD2AD， AB1+23， 在BCD 中，由勾股定理得：CB， 在ABC 中，由勾股定理得：AC2， 故选：A 7若直线 l1经过点（1，0） ，l2经过点（2，2） ，且 l1与 l2关于直线 x1 对称，则 l1和 l2的交点坐标为（ ） A （1，4） B （1，2） C （1，0） D （1，3） 【分析】根据对称的性质得出两个点关于 y 轴对称的对称点，再根据待定系数法确
14、定函 数关系式，求出交点坐标即可 【解答】解：直线 l1经过点（1，0） ，l2经过点（2，2） ，关于直线 x1 对称， 点（1，0）关于直线 x1 对称点为（3，0） ，点（2，2）关于直线 x1 对称点为（0， 2） 直线 l1经过点（1，0） ， （0，2） ，l2经过点（2，2） ， （3，0） ， 直线 l1的解析式为：y2x+2，直线 l2的解析式为：y2x+6， 解方程组得， l1和 l2的交点坐标为（1，4） ， 故选：A 8如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，将 AB、AD 分别 和 AE、AF 折叠，点 B、D 恰好都将在点 G
15、 处，已知 BE1，则 EF 的长为（ ） A B C D3 【分析】由正方形纸片 ABCD 的边长为 3，可得C90，BCCD3，由根据折叠的 性质得： EGBE1， GFDF， 然后设 DFx， 在 RtEFC 中， 由勾股定理 EF2EC2+FC2， 即可得方程，解方程即可求得答案 【解答】解：正方形纸片 ABCD 的边长为 3， C90，BCCD3， 根据折叠的性质得：EGBE1，GFDF， 设 DFx， 则 EFEG+GF1+x，FCDCDF3x，ECBCBE312， 在 RtEFC 中，EF2EC2+FC2， 即（x+1）222+（3x）2， 解得：x， DF，EF1+ 故选：B
16、9如图，点 A、B、C、D 在O 上，CAD30，ACD50，则ADB （ ） A30 B50 C70 D80 【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出ACBADB180 CABABC，进而得出答案 【解答】解：，CAD30， CADCAB30， DBCDAC30， ACD50， ABD50， ACBADB180CABABC18050303070 故选：C 10已知 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是二次函数图象上 yax22ax+ac（a0）的两点， 若 x1x2且 y1y2，则当自变量 x 的值取 x1+x2时，函数值为（ ） Ac Bc Ca+c Dac 【分析】先求出
17、抛物线的对称轴为直线 x1，则可判断 A（x1，y1）和 B（x2，y2）关于 直线 x1 对称，所以 x211x1，即 x1+x22，然后计算自变量为 2 对应的函数值即 可 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x1， x1x2且 y1y2， A（x1，y1）和 B（x2，y2）关于直线 x1 对称， x211x1， x1+x22， 当 x2 时，yax22ax+ac4a4a+acac 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11在、0.5、这五个数中，无理数有 ， 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数
18、和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数 【解答】解：是分数，属于有理数； 0.5 是有限小数，属于有理数； 在、0.5、这五个数中，无理数有 ， 故答案为：， 12 若一个正多边形的一个外角为 60， 则它的内切圆半径与外接圆半径之比是 ： 2 【分析】由一个正多边形的一个外角为 60，可得是正六边形，然后从内切圆的圆心和 外接圆的圆心向三角形的三边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可 【解答】解：一个正多边形的一个外角为 60， 360606， 这个正多边形是正六边形， 设这个正六边形的半径是 r， 则外接圆的半径 r， 内切圆的半径是正六边形的边心距，即是r， 它的内切圆半径与
19、外接圆半径之比是：2 故答案为：2 13如图，点 A 在双曲线 y上，点 B 在双曲线 y（k0）上，ABx 轴，过点 A 作 ADx 轴于 D，连接 OB，与 AD 相交于点 C，若 AC2CD，则 k 的值为 9 【分析】 过点 B 作 BEx 轴于 E， 延长线段 BA， 交 y 轴于 F， 得出四边形 AFOD 是矩形， 四边形 OEBF 是矩形，得出 S矩形AFOD3，S矩形OEBFk，根据平行线分线段成比例定理 证得 AB2OD，即 OE3OD，即可求得矩形 OEBF 的面积，根据反比例函数系数 k 的 几何意义即可求得 k 的值 【解答】解：过点 B 作 BEx 轴于 E，延长线
20、段 BA，交 y 轴于 F， ABx 轴， AFy 轴， 四边形 AFOD 是矩形，四边形 OEBF 是矩形， AFOD，BFOE， ABDE， 点 A 在双曲线 y上， S矩形AFOD3， 同理 S矩形OEBFk， ABOD， ， AB2OD， DE2OD， S矩形OEBF3S矩形AFOD9， k9， 故答案是：9 14如图，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AB 边上一动点，连接 CE，过点 B 作 BG CE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，则 PD+PG 的最小值为 2 【分析】作 DC 关于 AB 的对称点 DC，以 BC 中的 O 为圆心作半圆 O，连 DO
21、 分 别交 AB 及半圆 O 于 P、G将 PD+PG 转化为 DG 找到最小值 【解答】解：如图： 取点 D 关于直线 AB 的对称点 D以 BC 中点 O 为圆心，OB 为半径画半圆 连接 OD交 AB 于点 P，交半圆 O 于点 G，连 BG连 CG 并延长交 AB 于点 E 由以上作图可知，BGEC 于 G PD+PGPD+PGDG 由两点之间线段最短可知，此时 PD+PG 最小 DC4，OC6 DO DG2 PD+PG 的最小值为 2 故答案为：2 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 15计算： （） 2（3.14）0+ |2| 【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，
22、第二项利用零指数幂法则计算，第三 项化为最简二次根式，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 【解答】解：原式41+2+2+5 16先化简，再求值，其中 x3 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 x3 时，原式 17如图，已知O，用尺规作O 的内接正四边形 ABCD （写出结论，不写作法，保留作 图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【分析】画圆的一条直径 AC，作这条直径的中垂线交O 于点 BD，连结 ABCD 就是圆 内接正四边形 ABCD 【解答】解：如图所示，四边形 ABCD 即为所求： 18如图，在平
23、行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，且BAEB求证：ACDE 【分析】欲证明 ACDE，只要证明ABCEAD 即可解决问题 【解答】证明：四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，ADBC， DAEAEB， AEBB， ABAE， BDAE 在ABC 和AED 中， ， ABCEAD， ACDE 19西安高新一中初中校区九年级有 2000 名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中 随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下 列问题： （）本次抽取到的学生人数为 50 ，图 2 中 m 的值为 28 ； （）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众
24、数和中位数； （）根据样本数据，估计我校九年级模拟体测中不低于 11 分的学生约有多少人？ 【分析】 （）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计 算出 m 的值； （）根据条形统计图中的数据，可以得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和 中位数； （）根据条形统计图中的数据，可以计算出我校九年级模拟体测中不低于 11 分的学生 约有多少人 【解答】解： （）本次抽取到的学生人数为 4+5+11+14+1650， m%100%28%， 故答案为：50，28； （）平均数 10.66（分） ， 众数是 12 分，中位数是（10+11）210.5（分） ； （）20001
25、200（人） ， 答：我校九年级模拟体测中不低于 11 分的学生约有 1200 人 20为庆祝中华人民共和国成立 70 周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平 安金融中心” AB的高度， 他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角为32， 测得“平安中心”AB 的顶部 A 处的仰角为 44登上大厦 DE 的顶部 E 处后，测得“平 安中心” AB 的顶部 A 处的仰角为 60， （如图） 已知 C、 D、 B 三点在同一水平直线上， 且 CD400 米， 求平安金融中心 AB 的高度（参考数据： sin320.53， cos320.85， tan320.62，tan440.99
26、，1.41，） 【分析】作 EFAB 于 F在 RtDCE 中，根据正切函数的定义即可求出大厦 DE 的高 度；设 EFDBx 米，BFDE，AEF60在 RtABC 中，根据正切函数的定义 得出 ABBCtanACB， 在 RtAFE 中， 根据正切函数的定义得出 AFEFtanAEF， 由 ABBF+AF 列出方程求出 x，从而求解 【解答】解：如图，作 EFAB 于 F 在 RtDCE 中，CDE90，ECD32，CD400 米， DECDtanECD4000.62248（米） 设 EFDBx 米，BFDE248 米，AEF60 在 RtABC 中，ABC90， ABBCtanACB0.
27、99（400+x） （米） ， 在 RtAFE 中，AFE90， AFEFtanAEFx（米） ， ABBF+AF248+x0.99（400+x） ， 解得 x200， AB0.99（400+x）0.99（400+200）594 故平安金融中心 AB 的高度约为 594 米 21某演唱会购买门票的方式有两种 方式一：若单位赞助广告费 10 万元，则该单位所购门票的价格为每张 0.02 万元； 方式二：如图所示 设购买门票 x 张，总费用为 y 万元，方式一中：总费用广告赞助费+门票费 （1）求方式一中 y 与 x 的函数关系式 （2）若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共
28、400 张，且乙单 位购买超过 100 张，两单位共花费 27.2 万元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【分析】 （1）方案一中，总费用广告赞助费 10+门票单价 0.02票的张数； （2）方案二中，当 x100 时，设出一次函数解析式，把其中两点的坐标代入即可求得 相应的函数解析式； 设乙单位购买了 a 张门票，则甲单位购买了（400a）张门票，进而根据（ （1）得甲单 位的总费用，再根据两单位共花费 27.2 万元，列出方程解答便可 【解答】解： （1）方案一：单位赞助广告费 10 万元，该单位所购门票的价格为每张 0.02 万元，则 y10+0.02x； （2）方案二：当 x100
29、时，设解析式为 ykx+b 将（100，10） ， （200，16）代入， 得 ， 解得 ， 所以 y0.06x+4 设乙单位购买了 a 张门票，则甲单位购买了（400a）张门票，根据题意得 0.06a+4+10+0.02（400a）27.2， 解得，a130， 400a270， 答：甲、乙两单位购买门票分别为 270 张和 130 张 22图是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字 2，3，4，5图 是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子在桌面 掷出后，看骰子落在桌面上（即底面）的数字是几，就从图中的 A 点开始沿着顺时针方 向连续跳动几个顶点，
30、第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续 （1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 C 处的概率是 （2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点 C 处的概率 【分析】 （1）当底面数字为 2 时，可以到达点 C，根据概率公式计算即可； （2）利用列表法统计即可； 【解答】解： （1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 C 处的概率是， 故答案为； （2）列表如图： 共有 16 种可能，和为 8 可以到达点 C，有 3 种情形，所以棋子最终跳动到点 C 处的概率 为 23如图，P 为O 直径 AB 延长线上的一点，PC 切O 于点 C，过点 B 作 CP 的垂线 BH 交O
31、于点 D，连结 AC，CD （1）求证：PBH2HDC； （2）若 sinP，BH3，求 BD 的长 【分析】 （1）连接 OC，因为 PC 切O 于点 C，则 OCPC，因为过点 B 作 CP 的垂线 BH 交O 于点 D，可得 DHOC，进而得出PBHBOC2HDC； （2） 作 OMDH 于 H， 设O 的半径为 r， 可得四边形 OMHC 为矩形， 因为 sinP， BH3，所以 BP4，由PHBPCO，得，求得 r12，可得出 MH 的长， 从而求出 BD 的长 【解答】解： （1）如图，连接 OC， PC 切O 于点 C， OCPC， 过点 B 作 CP 的垂线 BH 交O 于点
32、D， DHOC， PBHBOC， BOC2HDC， PBH2HDC； （2）如图，作 OMDH 于 H，设O 的半径为 r， OCHOMHCHM90， 四边形 OMHC 为矩形， sinP，BH3， ， BP4， OCDH， PHBPCO， ， ，解得 r12， MHOC12， MBMHBH1239， BD2MB18 24如图，抛物线 C1的图象与 x 轴交 A（3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0， 3）点 D 为抛物线的顶点 （1）求抛物线 C1的解析式； （2）将抛物线 C1关于直线 x1 对称后的抛物线记为 C2，将抛物线 C1关于点 B 对称后 的抛物线记为 C3，
33、点 E 为抛物线 C3的顶点，在抛物线 C2的对称轴上是否存在点 F，使 得BEF 为等腰三角形？若存在请求出点 F 的坐标，若不存在请说明理由 【分析】 （1）将 A、B、C 三点代入一般式，即可求出解析式； （2）由折叠的性质和旋转的性质可求抛物线 C2解析式和抛物线 C3解析式，可得点 E 坐 标，由等腰三角形的性质可求点 F 坐标 【解答】解： （1）设解析式 ya（x1） （x+3） 将 C（0，3）代入得 a1 抛物线 C1的解析式为 yx22x+3； （2）抛物线 C1的解析式为 yx22x+3； 抛物线 C1的顶点为（1，4） 将抛物线 C1关于直线 x1 对称后的抛物线记为
34、C2，将抛物线 C1关于点 B 对称后的 抛物线记为 C3， 抛物线 C2解析式为：y（x3）2+4，抛物线 C3解析式为：y（x3）24， 点 E 为抛物线 C3的顶点， 点 E（3，4） ， BE2， 点 F 抛物线 C2的对称轴上， 点 F 横坐标为 3， 若 BEEF2，则点 F 坐标为（3，4+2）或（3，42） ， 若 BEBF 时，则点 F 与点 E 关于 x 轴对称， 点 F（3，4） ， 若 BFEF 时，则 22+（4EF）2BF2， BFEF， 点 F（3，） ， 综上所述：当点 F 为（3，4+2）或（3，42）或（3，4）或（3，）时， 使得BEF 为等腰三角形 25
35、问题探究 （1）如图，在正方形 ABCD 内，请画出使BPC90的所有点 P； （2）如图，已知矩形 ABCD，AB9，BC10，在矩形 ABCD 内画出使BPC60 的所有点 P，并求出APD 面积的最小值； （3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活某农业观光园的平面示意图如图 3 所示的四边形 ABCD，其中A120，BC90，ABkm，BC6km，观 光园的设计者想在园中找一点 P，使得点 P 与点 A、B、C、D 所连接的线段将整个观光 园分成四个区域， 用来进行不同的设计与规划， 从实用和美观的角度他们还要求在BPC 的区域内BPC120， 且APD 的区域面积最小， 试问在四
36、边形 ABCD 内是否存在这 样的点 P，使得BPC120，且APD 面积最小？若存在，请你在图中画出点 P 点的 位置，并求出APD 的最小面积若不存在，说明理由 【分析】 （1）如图 1 中，以 BC 为直径作O，点 P 的轨迹是（不包括 B，C） （2）如图 2 中，以 BC 为边向上作等边三角形BCP，作BCP 的外接圆，交 AB 于 E， 交 CD 于 F， 点 P 轨迹是（不包括 E， F） ， 当点 P 是的中点时， ADP 的面积最小 （3）如图 3 中，以 BC 为边向下作等边三角形BCE，作BCE 的外接圆，点 P 轨迹是 （不包括 B，C） ，作 OJBC 于 J，交 A
37、D 于 K，作 ATOK 于 T延长 OP 交 AD 于 H，当 OHAD 时，PH 的值最小，此时PAD 的面积最小 【解答】解： （1）如图 1 中，以 BC 为直径作O，点 P 的轨迹是（不包括 B，C） （2）如图 2 中，以 BC 为边向上作等边三角形BCP，作BCP 的外接圆，交 AB 于 E， 交 CD 于 F，点 P 轨迹是（不包括 E，F） ， 当点 P 是的中点时，ADP 的面积最小 此时 SAPD10（95）4525 （3）如图 3 中，以 BC 为边向下作等边三角形BCE，作BCE 的外接圆，点 P 轨迹是 （不包括 B，C） ， 作 OJBC 于 J，交 AD 于 K，作 ATOK 于 T延长 OP 交 AD 于 H，当 OHAD 时， PH 的值最小，此时PAD 的面积最小 由题意 BJJC3，OJ， 四边形 ABJT 是矩形， BAT90，ATBJ3，ABTJ， DAB120， KAT30， KT，AK2， OKOJ+JT+TK3， OKH60， OHOKsin60， PHOHOP2， ABJKCD，BJCJ， AKKD2， AD4， PAD 的面积的最小值（2）912
