1、2020 年广东省东莞市狮山镇中考数学一模试卷年广东省东莞市狮山镇中考数学一模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 2 经研究发现， 2019 新型冠状病毒 （2019nCoV） ， 它的单细胞的直径范围在 60 纳米140 纳米（1 纳米10 9 米）之间，则最大直径 140 纳米用科学记数法表示为（ ） A14010 9 米 B1410 8 米 C1.410 7 米 D1.4107米 3如图所示，立体图形的俯视图是（ ） A B C D 4如图，数轴上顺次有 A，B，C 三个整数点（即各点均表示整数）且 BC2AB若 A，C
2、 两点所表示的数分别是3 和 3，则点 B 所表示的数是（ ） A2 B1 C0 D1 5不透明袋子中有红球 10 个，黄球 20 个，还有一些蓝球，这些球除颜色外无其他差别， 从袋子里随机摸出一个恰好是黄球的概率为，则蓝球有（ ） A30 个 B60 个 C40 个 D20 个 6因式分解 x2y2xy+y 的结果为（ ） A （xy1）2 By（x1）2 Cy（x22x+1） Dy（x1） 7下列计算正确的是（ ） A3a2+2a35a5 B （4a2）364a6 C3a 1 Da5a3a2 8如图，在O 中，半径为 5，弦 AB6，点 C 在 AB 上移动，连接 OC，则 OC 的最小值
3、 为（ ） A3 B4 C5 D6 9在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，且 ADBC，给出下列条件：ABCD； ABCD；DABDCB；ADBC；OADODA从中选 1 个作为条 件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A2 种 B3 种 C4 种 D5 种 10如图，在边长为 2cm 的等边ABC 中，ADBC 于 D，点 M、N 同时从 A 点出发，分 别沿 ABD、 AD 运动， 速度都是 1cm/s， 直到两点都到达点 D 即停止运动 设点 M、 N 运动的时间为 x（s） ，AMN 的面积为 y（cm2） ，则 y 与 x 的函数图象大致是（ ） A
4、 B C D 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11已知正多边形的一个外角为 40，则这个正多边形的内角和为 12已知 a，b 满足方程组，则 ab 的值为 132020 年 3 月，某公司在疫情缓和期间为了恢复工作，用 30600 元为公司员工采购了医 用防护口罩和 KN95 型防护口罩共 10000 个，其中购买医用防护口罩花费 14400 元，已 知 KN95 型防护口罩单价是医用防护口罩单价的 4.5 倍，设医用防护口罩单价为 x 元，则 可列方程 14已知 x2+x30，则代数式 152x22x 的值为 15如图，在ABC 中，已知 D，E，F 分别为 BC，AD，BE 的
5、中点，且 SABC32cm2， 则图中阴影部分DEF 的面积为 cm2 16如图，在直角坐标系 xOy 中，边长为 1 的正方形 A1B1C1D1（称为第 1 个正方形）的顶 点 A1在原点处，点 B1在 y 轴上，点 D1在 x 轴上，点 C1在第一象限内，现以点 C1为顶 点做等边三角形 C1A2B2，使得点 A2落在 x 轴上，且 A2B2x 轴；以 A2B2为边做正方形 A2B2C2D2（称为第 2 个正方形） ，且正方形的边 A2D2落在 x 轴上如此类推，则第 2020 个正方形的边长为 17如图，含 30角的直角三角形 ABC（BAC30）斜边 AC 在 y 轴上，直角顶点 B
6、在 x 轴的负半轴上，直角边 AB 与反比例函数 y（k0）交于点 D，F，过点 D 作 DE y 轴交 BC 于点 E， 过点 F 作 FGx 轴于点 G 已知 CE2， BE6， 则 FG 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 18计算： （2ab）2+（a+b） （ab）+2a3b 19先化简，再求值：，从2，1，2 中选取一个合适的数作为 a 的值代入求值 20如图，在ABC 中，点 E 是 AB 延长线上一点，且 BEAB （1）尺规作图：在CBE 内作射线 BD，使 BDAC （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在 BD 上取点 F，使 BFAC，连接 EF，求证ABCBE
7、F 21某校九年级（3）班甲、乙两名同学在 5 次引体向上测试中的有效次数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 甲、乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 m 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中 a ，b ，c ，m （填数值） （2）年级举行引体向上比赛，根据这 5 次的成绩，在甲、乙两人中选择一个代表班级参 加比赛，如选择甲同学，其理由是 ；如选择乙同学，其理由是 22如图，在东西方向的海面线 MN 上，有 A，B 两艘巡逻船，两船同时收到渔船 C 在海面 停滞点发出的求救信号， 测
8、得渔船分别在巡逻船 A， B 的北偏西 30和北偏东 45方向， 巡逻船 A 和渔船 C 相距 120 海里 （结果取整数，参考数据：1.41，1.73， 2.45） （1）求巡逻船 B 与渔船 C 间的距离； （2）已知在 A，B 两艘巡逻船间有一观测点 D（A，B，D 在直线 MN 上） ，测得渔船 C 在观测点 D 的北偏东 15方向，观测点 D 的 45 海里范围内有暗礁若巡逻船 B 沿 BC 方向去营救渔船 C，问有没有触礁的危险？并说明理由 23国内猪肉价格不断上涨，已知今年 10 月的猪肉价格比今年年初上涨了 80%，李奶奶 10 月在某超市购买 1 千克猪肉花了 72 元钱 （
9、1）今年年初猪肉的价格为每千克多少元？ （2）某超市将进货价为每千克 55 元的猪肉按 10 月价格出售，平均一天能销售出 100 千 克，随着国家对猪肉价格的调控，超市发现猪肉的售价每千克下降 1 元，其日销售量就 增加 10 千克，超市为了实现销售猪肉每天有 1800 元的利润，并且尽可能让顾客得到实 惠，猪肉的售价应该下降多少元？ 24如图，A 是以 BC 为直径的圆 O 上一点，ADBC 于点 D，过点 B 作圆 O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E，G 是 AD 的中点，连接并延长 CG 与 BE 相交于点 F，连接并延 长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P （1）求证：B
10、FEF； （2）求证：PA 是圆 O 的切线； （3）若 FGEF3，求圆 O 的半径和 BD 的长度 25如图，抛物线 ya（x22mx3m2） （a，m 为正的常数）与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴 交于点 C（0，3） ，顶点为 F，CDAB 交抛物线于点 D （1）当 a1 时，求点 D 的坐标 （2）若点 E 是第一象限抛物线上的点，过点 E 作 EMx 轴于点 M，当 OM2CD 时， 求证：EABADC （3）在（2）的条件下，试探究：在 x 轴上是否存在点 P，使得以 PF，AD，AE 为边长 构成的三角形是以 AE 为斜边的直角三角形？如果存在，请用含 m 的代数式表示点
11、 P 的 横坐标；如果不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的相反数是（ ） A2020 B C2020 D 【分析】根据相反数的意义即可求解 【解答】解：的相反数是； 故选：B 2 经研究发现， 2019 新型冠状病毒 （2019nCoV） ， 它的单细胞的直径范围在 60 纳米140 纳米（1 纳米10 9 米）之间，则最大直径 140 纳米用科学记数法表示为（ ） A14010 9 米 B1410 8 米 C1.410 7 米 D1.4107米 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10
12、n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：140 纳米14010 9 米1.410 7 米 故选：C 3如图所示，立体图形的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可 【解答】解：从上面看有三列三层，从左到右第一列有 3 个正方形，第二列顶层是 1 个 正方形，第三列有 3 个正方形 故选：C 4如图，数轴上顺次有 A，B，C 三个整数点（即各点均表示整数）且 BC2AB若 A，C 两点所表示的数分别是3 和 3，则点 B 所表示的数是（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】求出
13、AC、AB 的长，再根据 A、B 的位置，可求得点 B 所表示的数 【解答】解：AC3（3）6， BC2AB， ABAC2， 又点 B 在点 A 的右边，且点 A 所表示的数是3， 点 B 所表示的数为3+21， 故选：D 5不透明袋子中有红球 10 个，黄球 20 个，还有一些蓝球，这些球除颜色外无其他差别， 从袋子里随机摸出一个恰好是黄球的概率为，则蓝球有（ ） A30 个 B60 个 C40 个 D20 个 【分析】设蓝球有 x 个，根据随机摸出一个恰好是黄球的概率为，利用概率公式可得 关于 x 的方程，解之可得 【解答】解：设蓝球有 x 个， 根据题意，得：， 解得 x30， 经检验：
14、x30 是分式方程的解， 袋子中蓝球有 30 个， 故选：A 6因式分解 x2y2xy+y 的结果为（ ） A （xy1）2 By（x1）2 Cy（x22x+1） Dy（x1） 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式y（x22x+1） y（x1）2 故选：B 7下列计算正确的是（ ） A3a2+2a35a5 B （4a2）364a6 C3a 1 Da5a3a2 【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘法运算法则，负整数指数幂的定义以及同底 数幂的除法法则逐一判断即可 【解答】解：A.3a2与 2a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B （4a2）364a
15、6，故本选项不合题意； C.3a 1 ，故本选项不合题意； Da5a3a2，故本选项符合题意 故选：D 8如图，在O 中，半径为 5，弦 AB6，点 C 在 AB 上移动，连接 OC，则 OC 的最小值 为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】连接 OA，过点 O 作 OHAB 于 H求出 OH 的长即可判断 【解答】解：连接 OA，过点 O 作 OHAB 于 H OHAB， AHHB3，AHO90， OA5， OH4， 根据垂线段最短可知 OC 的最小值4， 故选：B 9在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，且 ADBC，给出下列条件：ABCD； ABCD；DABDCB；A
16、DBC；OADODA从中选 1 个作为条 件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A2 种 B3 种 C4 种 D5 种 【分析】根据平行四边形的判定定理结合题目所给条件进行分析即可 【解答】解：已知 ADBC， 加上ABCD 可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定； 加上ABCD 不能判定是平行四边形； 加上DABDCB 可证明 ABCD，可根据两组对边平行的四边形是平行四边形进 行判定； 加上ACBC 可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定； 加上OADODA 不能判定是平行四边形； 故选：B 10如图，在边长为 2cm 的等边ABC 中，ADBC
17、于 D，点 M、N 同时从 A 点出发，分 别沿 ABD、 AD 运动， 速度都是 1cm/s， 直到两点都到达点 D 即停止运动 设点 M、 N 运动的时间为 x（s） ，AMN 的面积为 y（cm2） ，则 y 与 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 【分析】分 0t时、2、2t3，三种情况分别求解即可 【解答】解：ADABsin60， 当 0t时， 过点 M 作 MHAD 于点 H， yANMHtAMsinBADt2，为开口向上的抛物线； 当2 时， 同理可得：ytsin30t，为一次函数； 2t3 时， 同理可得：y（3t）（3t） ，为一次函数； 故选：C 二填空题（共二填空
18、题（共 7 小题）小题） 11已知正多边形的一个外角为 40，则这个正多边形的内角和为 1260 【分析】 利用任意凸多边形的外角和均为 360， 正多边形的每个外角相等即可求出它的 边数，再根据多边形的内角和公式计算即可 【解答】解：正多边形的每个外角相等，且其和为 360， 据此可得， 解得 n9 （92）1801260， 即这个正多边形的内角和为 1260 故答案为：1260 12已知 a，b 满足方程组，则 ab 的值为 2 【分析】方程组两方程相减即可求出所求 【解答】解：， 得：ab2， 则 ab 的值为 2 故答案为：2 132020 年 3 月，某公司在疫情缓和期间为了恢复工作
19、，用 30600 元为公司员工采购了医 用防护口罩和 KN95 型防护口罩共 10000 个，其中购买医用防护口罩花费 14400 元，已 知 KN95 型防护口罩单价是医用防护口罩单价的 4.5 倍，设医用防护口罩单价为 x 元，则 可列方程 +10000 【分析】直接根据题意分别表示出采购的医用防护口罩和 KN95 型防护口罩的数量 100000，进而得出等式 【解答】解：设医用防护口罩单价为 x 元，则可列方程： +10000 故答案为：+10000 14已知 x2+x30，则代数式 152x22x 的值为 9 【分析】先求得 x2+x3，依据等式的性质得到 2x2+2x6 即可得到结论
20、 【解答】解：x2+x30， x2+x3， 2x2+2x6， 原式1569 故答案为：9 15如图，在ABC 中，已知 D，E，F 分别为 BC，AD，BE 的中点，且 SABC32cm2， 则图中阴影部分DEF 的面积为 4 cm2 【分析】根据三角形的中线把三角形的面积相等的两部分，进行解答便可得结果 【解答】解：D 是 BC 的中点，SABC32cm2， SABDSABC16cm2， E 是 AD 的中点， SEBDSABD8cm2， F 是 BE 的中点， SDEFSEBD4cm2， 故答案为：4 16如图，在直角坐标系 xOy 中，边长为 1 的正方形 A1B1C1D1（称为第 1
21、个正方形）的顶 点 A1在原点处，点 B1在 y 轴上，点 D1在 x 轴上，点 C1在第一象限内，现以点 C1为顶 点做等边三角形 C1A2B2，使得点 A2落在 x 轴上，且 A2B2x 轴；以 A2B2为边做正方形 A2B2C2D2（称为第 2 个正方形） ，且正方形的边 A2D2落在 x 轴上如此类推，则第 2020 个正方形的边长为 22019 【分析】 通过正方形和等边三角形的性质和直角三角形的性质， 依次求得第 2 个正方形、 第 3 个正方形、第 4 个正方形的边长，再总结规律求得第 2020 个正方形的边长 【解答】解：正方形 A1B1C1D1（称为第 1 个正方形）的边长为
22、 1， C1D11， C1A2B2为等边三角形， B2A2C160， A2B2x 轴， C1A2D130， A2B22C1D1222 1， 同理得 A3B3423 1， A4B4824 1， 由上可知第 n 个正方形的边长为：2n 1， 第 2020 个正方形的边长为：22020 122019 故答案为：22019 17如图，含 30角的直角三角形 ABC（BAC30）斜边 AC 在 y 轴上，直角顶点 B 在 x 轴的负半轴上，直角边 AB 与反比例函数 y（k0）交于点 D，F，过点 D 作 DE y 轴交 BC 于点 E，过点 F 作 FGx 轴于点 G已知 CE2，BE6，则 FG 3
23、 【分析】根据垂直的定义得到FGBAOBABCDHBBHE90，根据 直角三角形的性质得到 COBC4，OB4，EHBE3，BH3，DE2BE 12，求得 OHOBBH，DHBH9，由于点 D，F 在反比例函数 y（k 0）图象上，得到 k9，设 FGa，得到 a（a4）9，解方程即 可得到结论 【解答】解：DEy 轴，FGx 轴， FGBAOBABCDHBBHE90， BAC30， ABOACB60， OBCBDE30， CE2，BE6， BC8， COBC4，OB4，EHBE3，BH3，DE2BE12， OHOBBH，DHBH9， 点 D，F 在反比例函数 y（k0）图象上， k9， 设
24、FGa， BGa， OGOBBG4a， a（a4）9， 解得：a9（不合题意舍去） ，a3， FG3， 故答案为：3 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 18计算： （2ab）2+（a+b） （ab）+2a3b 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式及单项式乘单项式法则计算，再合并同类项 即可得 【解答】解：原式4a24ab+b2+a2b2+6ab 5a2+2ab 19先化简，再求值：，从2，1，2 中选取一个合适的数作为 a 的值代入求值 【分析】 直接将括号里面通分运算以及利用分式的混合运算法则化简， 再把符合题意的 a 的值代入即可 【解答】解：原式 ， 当 a2，2 时，分式无
25、意义， 当 a1 时，原式 20如图，在ABC 中，点 E 是 AB 延长线上一点，且 BEAB （1）尺规作图：在CBE 内作射线 BD，使 BDAC （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在 BD 上取点 F，使 BFAC，连接 EF，求证ABCBEF 【分析】 （1）利用尺规作CBDC 即可 （2）根据 SAS 证明三角形全等即可 【解答】解： （1）如图，射线 BD 即为所求 （2）BDAC， EBDA， BEAB，BFAC， EBFBAC（SAS） 21某校九年级（3）班甲、乙两名同学在 5 次引体向上测试中的有效次数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 甲、乙两
26、同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 b 8 m 乙 a 9 c 3.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中 a 8 ，b 8 ，c 9 ，m 0.4 （填数值） （2）年级举行引体向上比赛，根据这 5 次的成绩，在甲、乙两人中选择一个代表班级参 加比赛，如选择甲同学，其理由是 甲的方差较小，比较稳定 ；如选择乙同学，其理 由是 乙的中位数是 9，众数是 9，获奖可能性较大 【分析】 （1）根据平均数，众数，中位数，方差的定义的计算方法分别计算结果，得出 答案， （2） 选择甲， 只要看甲的方差较小， 发挥稳定， 选择乙由于乙的众数较大，
27、中位数较大， 成绩在中位数以上的占一半，获奖的次数较多 【解答】解： （1）甲的成绩中，8 出现的次数最多，因此甲的众数是 8，即 b8， 甲的方差 s23（88）2+（78）2+（98）20.4，即 m0.4， 乙的平均数： （5+9+7+10+9）58，即 a8， 将乙的成绩从小到大排列为 5，7，9，9，10，处在第 3 位的数是 9，因此中位数是 9，即 c9 故答案为 8，8，9，0.4； （2）年级举行引体向上比赛，根据这 5 次的成绩，在甲、乙两人中选择一个代表班级参 加比赛，如选择甲同学，其理由是甲的方差较小，比较稳定；如选择乙同学，其理由是 乙的中位数是 9，众数是 9，获奖
28、可能性较大 故答案为甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是 9，众数是 9，获奖可能性较大 22如图，在东西方向的海面线 MN 上，有 A，B 两艘巡逻船，两船同时收到渔船 C 在海面 停滞点发出的求救信号， 测得渔船分别在巡逻船 A， B 的北偏西 30和北偏东 45方向， 巡逻船 A 和渔船 C 相距 120 海里 （结果取整数，参考数据：1.41，1.73， 2.45） （1）求巡逻船 B 与渔船 C 间的距离； （2）已知在 A，B 两艘巡逻船间有一观测点 D（A，B，D 在直线 MN 上） ，测得渔船 C 在观测点 D 的北偏东 15方向，观测点 D 的 45 海里范围内有暗礁若巡逻船
29、 B 沿 BC 方向去营救渔船 C，问有没有触礁的危险？并说明理由 【分析】 （1）作 CEMN 于 E，由直角三角形的性质得 AEAC60，CEBEAE 60，ABC45，证BCE 是等腰直角三角形，得出 BCCE60即可； （2） 作 DFBC 于 F， 由ABC45， 得出BDF 是等腰直角三角形， 则 DFBD 54 海里，由 5445，即可得出没有触礁的危险 【解答】解： （1）作 CEMN 于 E，如图 1 所示： 则ACE30，BCE45，DCE15，ABC45， AEAC60，CEAE60，BCE 是等腰直角三角形， BECE60，BCCE60， 答：巡逻船 B 与渔船 C 间
30、的距离为 60海里； （2）没有触礁的危险；理由如下： 由题意得：ABBE+AE60+60， ACDACE+DCE30+1545， ACDABC， CADBAC， CADBAC， ，即， 解得：AD120（1） ， BDABAD60+60120（1）18060（海里） ； 作 DFBC 于 F，如图 2 所示： ABC45， BDF 是等腰直角三角形， DFBD903054（海里） ， 5445， 没有触礁的危险 23国内猪肉价格不断上涨，已知今年 10 月的猪肉价格比今年年初上涨了 80%，李奶奶 10 月在某超市购买 1 千克猪肉花了 72 元钱 （1）今年年初猪肉的价格为每千克多少元？
31、（2）某超市将进货价为每千克 55 元的猪肉按 10 月价格出售，平均一天能销售出 100 千 克，随着国家对猪肉价格的调控，超市发现猪肉的售价每千克下降 1 元，其日销售量就 增加 10 千克，超市为了实现销售猪肉每天有 1800 元的利润，并且尽可能让顾客得到实 惠，猪肉的售价应该下降多少元？ 【分析】 （1）设今年年初猪肉的价格为每千克 x 元，根据“年初价格（1+增长的百分 比）10 月份的单价”列方程求解可得； （2）设猪肉的售价应该下降 y 元，则每日可售出（100+10y）千克，根据“每千克利润 销售量总利润”列方程，解之求得 y 的值，继而结合题意取舍即可得 【解答】解： （1
32、）设今年年初猪肉的价格为每千克 x 元， 依题意，得（1+80%）x72， 解得 x40 答：今年年初猪肉的价格为每千克 40 元 （2）设猪肉的售价应该下降 y 元，则每日可售出（100+10y）千克， 依题意，得（7255y） （100+10y）1800， 整理，得 y27y+100， 解得 y12，y25 让顾客得到实惠， y5 答：猪肉的售价应该下降 5 元 24如图，A 是以 BC 为直径的圆 O 上一点，ADBC 于点 D，过点 B 作圆 O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E，G 是 AD 的中点，连接并延长 CG 与 BE 相交于点 F，连接并延 长 AF 与 CB 的延长
33、线相交于点 P （1）求证：BFEF； （2）求证：PA 是圆 O 的切线； （3）若 FGEF3，求圆 O 的半径和 BD 的长度 【分析】 （1）根据已知条件得到EBCADC90，根据平行线分线段成比例定理 得出，等量代换即可得到结论； （2）证明PAO90连接 AO，AB，根根据直角三角形斜边中线的性质，切线的性质 和等量代换，就可得出结论； （3） 连接 AB， 根据圆周角定理得到BACBAE90， 推出 FAFBFEFG3， 过点 F 作 FHAG 交 AG 于点 H，推出四边形 FBDH 是矩形，得到 FBDH3，根据勾 股定理得到 FH2；设半径为 r，根据勾股定理列方程即可得到
34、结论 【解答】解： （1）EB 是切线，ADBC， EBCADC90， ADEB， ， G 是 AD 的中点， AGGD， EFFB； （2）证明：连接 AO，AB， BC 是O 的直径， BAC90 在 RtBAE 中，由（1）知，F 是斜边 BE 的中点， AFFBEF FBAFAB 又OAOB， ABOBAO BE 是O 的切线， EBO90 EBOFBA+ABOFAB+BAOFAO90， PA 是O 的切线 （3）如图 2，连接 AB，AO， BC 是直径， BACBAE90， EFFB， FAFBFEFG3， 过点 F 作 FHAG 交 AG 于点 H， FAFG，FHAG， AHH
35、G， FBDBDHFHD90， 四边形 FBDH 是矩形， FBDH3， AGGD， AHHG1，GD2，FH2， BD2， 设半径为 r，在 RtADO 中， AO2AD2+OD2， r242+（r2）2， r3 25如图，抛物线 ya（x22mx3m2） （a，m 为正的常数）与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴 交于点 C（0，3） ，顶点为 F，CDAB 交抛物线于点 D （1）当 a1 时，求点 D 的坐标 （2）若点 E 是第一象限抛物线上的点，过点 E 作 EMx 轴于点 M，当 OM2CD 时， 求证：EABADC （3）在（2）的条件下，试探究：在 x 轴上是否存在点 P，使
36、得以 PF，AD，AE 为边长 构成的三角形是以 AE 为斜边的直角三角形？如果存在，请用含 m 的代数式表示点 P 的 横坐标；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据题意，将 a1，C（0，3）代入 ya（x22mx3m2） ，进而求出 m 的值，即可得出 D 的坐标； （2）先求出点 A，点 B，点 C，点 D，点 E 坐标，可求 AM5m，EM5am2，DN3m， AN3am2，由锐角三角函数可求 tanEABtanADC，可得结论； （3）由题意可得 F（m，4am2） ，由两点距离公式可求 PF2（mb）2+16（am2）2， AD29m2+9（am2）2，AE225m2+25
37、（am2）2，再由勾股定理可求解 【解答】解： （1）当 a1 时，ya（x22mx3m2）x22mx3m2， 与 y 轴交于点 C（0，3） ， 3m23， 解得：m1， m0， m1， 抛物线解析式为：yx22x3（x1）24， CDAB， C，D 关于直线 x1 对称， D 点坐标为： （2，3） ； （2）如图，过点 A 作 ANCD 交 CD 的延长线于 N， 对于 ya（x22mx3m2） ， 当 y0，则 0a（x22mx3m2） ， 解得：x1m，x23m， 当 x0，y3am2， 可得：A（m，0） ，B（3m，0） ，C（0，3am2） ， 点 C，点 D 关于对称轴直线
38、xm 对称， 点 D（2m，3am2） CD2m， OM2CD4m， 点 E 横坐标为 4m， 点 E 坐标（4m，5am2） ， A（m，0） ，B（3m，0） ，C（0，3am2） ，点 E 坐标（4m，5am2） ，点 D（2m， 3am2） ， AM5m，EM5am2，DN3m，AN3am2， tanEABam，tanADCam， tanEABtanADC EABADC； （3）存在，理由： 当 xm 时，ya（m22m23m2）4am2， F（m，4am2） ， A（m，0） ，点 E 坐标（4m，5am2） ，点 D（2m，3am2） ， 设 P（b，0） ， PF2（mb）2+16（am2）2，AD29m2+9（am2）2，AE225m2+25（am2）2， （mb）2+9m225m2， 解得：b13m，b25m P（3m，0）或（5m，0）
