1、设 i 是虚数单位，则复数（1i） （1+2i）（ ） A3+3i B1+3i C3+i D1+i 2 （5 分）已知集合 Ax|2x4，Bx|1x3，则 AB（ ） A （1，3） B （1，4） C （2，3） D （2，4） 3 （5 分）函数 f（x）的部分图象大致为（ ） A B C D 4 （5 分）设 （1，2） ， （1，1） ，若（ +k ） ，则实数 k 的值为（ ） A B C D 5 （5 分）某小组有 2 名男生和 3 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，那么至多一名 女生参加的概率是（ ） A B C D 6 （5 分）已知双曲线的一条渐近线平行于
2、直线 l：yx+2，一 个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ） A B C Dx2y21 第 2 页（共 22 页） 7 （5 分） 设ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c 若 a2， c2， cosA 且 bc，则 b（ ） A B2 C2 D3 8 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数学九章中提出的多项式求值 的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法 求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 v 的值为（ ） A66 B33 C16 D8 9 （5 分）如图所示，在正三棱
3、柱 ABCA1B1C1中，D 是 AC 的中点，AA1，则异 面直线 AB1与 BD 所成的角为（ ） A30 B45 C60 D90 10 （5 分） 若 f （x） sinx+cosx 在m， m （m0） 上是增函数， 则 m 的最大值为 （ ） A B C D 第 3 页（共 22 页） 11 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 yf（x）满足 f（x）f（4x） ，且 f（3）2， 则 f（2019）（ ） A2 B0 C2 D4 12 （5 分）如图，已知 F1，F2是椭圆（ab0）的左、右焦点，点 P 在 椭圆 C 上，线段 PF2与圆 x2+y2b2相切于点 Q，
4、且点 Q 为线段 PF2的中点，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 yx+lnx 在 x1 处的切线方程是 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+3y 的最小值是 ，最大值 是 15 （5 分）已知 sin+sin，cos+cos，则 cos（） 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，ABC 是等边三角形，PB底面 ABC，AB2，PB 2，则该三棱锥的外接球的表面积为 三
5、、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤 17 （12 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a220，S945 （）求an的通项公式； （）求 Sn，并求当 Sn取得最大值时 n 的值 18 （12 分）根据中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定：机动车行经人 行道时， 应当减速慢行， 遇行人正在通过人行道， 应当停止让行， 俗称 “礼让斑马线” 中 华人民共和国道路交通安全法第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚，如表是银川市一主干路口监控抓拍的 5 个月内驾驶员“礼让斑马线
6、”行为 第 4 页（共 22 页） 统计数据： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人 数 120 105 100 90 85 （）请利用所给数据求违章人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程 x+ ； （）预测该路口 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数 附：线性回归方程x+中， 其中 ， 为样本的平均值 19 （12 分）如图，在三棱锥 VABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，AC BC，且 ACBC，O，M 分别为 AB，VA 的中点 （）求证：平面 MOC平面 VAB； （）求三棱锥 BVAC 的高 20 （12 分）已知抛物线 C：y24x，过点（1，0）的
7、直线与抛物线 C 相切，设第一象限 的切点为 P （I）求点 P 的坐标； （）若过点（2，0）的直线 l 与抛物线 C 相交于两点 A，B，圆 M 是以线段 AB 为直径 的圆过点 P，求直线 l 的方程 21 （12 分）设函数 f（x）xex+a（1ex）+1 （）求函数 f（x）的单调区间； （）若函数 f（x）在（0，+）有零点，证明：a2 选做题： （本小题满分选做题： （本小题满分 10 分）请考生在第分）请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所两题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题记分答题时用做的第一题记分答题时用 2B 铅笔在答铅笔在答题卡上把所
8、选的题号涂黑题卡上把所选的题号涂黑选修选修 4-4：极坐标系与：极坐标系与 第 5 页（共 22 页） 参数方程参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 曲线 C 的极坐标方程为 24cos+10，直线 l 的参数方程为：（t 为参 数） ，点 A 的极坐标为（2，） ，设直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点 （） 写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （） 求|AP|AQ|OP|OQ|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|2x1| （1）当 a2 时，求 f（x）+30
9、 的解集； （2）当 x1，3时，f（x）3 恒成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2019 年宁夏六盘山高中高考数学一模试卷（文科）年宁夏六盘山高中高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设 i 是虚数单位，则复数（1i） （1+2i）（ ） A3+3i B1+3i C3+i D1+i 【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解
10、即可 【解答】解：复数（1i） （1+2i）1+2i+2i3+i 故选：C 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查 2 （5 分）已知集合 Ax|2x4，Bx|1x3，则 AB（ ） A （1，3） B （1，4） C （2，3） D （2，4） 【分析】直接根据并集的定义即可求出 【解答】解：集合 Ax|2x4，Bx|1x3，则 ABx|1x4（1，4） ， 故选：B 【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础题 3 （5 分）函数 f（x）的部分图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用函数为奇函数排除 A；再由当 x+时，y+，排除 B；利用
11、导数判断 单调性且求极值得答案 【解答】解：函数的定义域为（，0）（0，+） ，且 f（x）f（x） ，函数为 奇函数，排除 A； 第 7 页（共 22 页） 又当 x+时，y+，排除 B； 而 x0 时，f（x），f（x） 可得 x1 为函数的极小值点，结合图象可知，函数 f（x）的部分图象大致为 C 故选：C 【点评】本题考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等基础知识，考查逻辑推 理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与 一般思想等，是中档题 4 （5 分）设 （1，2） ， （1，1） ，若（ +k ） ，则实数 k 的值为（ ） A
12、 B C D 【分析】可求出，根据即可得出，进 行数量积的坐标运算即可求出 k 的值 【解答】解：； ； ； 故选：B 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的坐标运算 5 （5 分）某小组有 2 名男生和 3 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，那么至多一名 女生参加的概率是（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n10，至多一名女生参加包含的基本事件个数 m 7，由此能求出至多一名女生参加的概率 【解答】解：某小组有 2 名男生和 3 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛， 基本事件总数 n10， 第 8 页（共 22 页） 至多一名女生参加包含的基本事件个
13、数 m7， 至多一名女生参加的概率是 p 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 6 （5 分）已知双曲线的一条渐近线平行于直线 l：yx+2，一 个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ） A B C Dx2y21 【分析】由双曲线的渐近线方程和平行直线的关系可得 ab，由题意可得 c2，结合 a， b，c 的关系，可得 a，b，进而得到双曲线的方程 【解答】解：双曲线的一条渐近线 平行于直线 l：yx+2，一个焦点在直线 l 上， 可得一条渐近线方程 yx，且一个焦点为（2，0） ， 即有1，c2，又 c2a2+
14、b2， 解得 ab， 则双曲线的方程为1 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程，考查方程思想和运算能 力，属于较易题 7 （5 分） 设ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c 若 a2， c2， cosA 且 bc，则 b（ ） A B2 C2 D3 第 9 页（共 22 页） 【分析】运用余弦定理：a2b2+c22bccosA，解关于 b 的方程，结合 bc，即可得到 b 2 【解答】解：a2，c2，cosA且 bc， 由余弦定理可得， a2b2+c22bccosA， 即有 4b2+124b， 解得 b2 或 4， 由 bc，可得 b2 故选
15、：B 【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题 8 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数学九章中提出的多项式求值 的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法 求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 v 的值为（ ） A66 B33 C16 D8 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i，v 的值，当 i1 时， 不满足条件 i0，跳出循环，输出 v 的值为 66 第 10 页（共 22 页） 【解答】解：初始值 n4，x2，程序运行过程如下表所示： v
16、2， i4，v，22+37， i2，v14+216， i1，v162+133， i0，v332+066， i1 跳出循环，输出 v 的值为 66， 故选：A 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 i， v 的值是解题的关键，属于基础题 9 （5 分）如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 是 AC 的中点，AA1，则异 面直线 AB1与 BD 所成的角为（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】 （几何法） 设 AA1，AB1，取 A1C1的中点 E，连结 B1E，AE，则 B1EBD，AB1E 是异面 直线 AB1与 BD 所成的角（或所成
17、角的补角） ，由此利用余弦定理能求出异面直线 AB1与 BD 所成的角 （向量法） 设 AA1，AB1，以 A 为原点，过 A 在平面 ABC 内作 AC 的垂线为 x 轴，以 AC 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AB1与 BD 所成的 角 【解答】解： （几何法） 在正棱柱 ABCA1B1C1中，D 是 AC 的中点，AA1：AB：1， 设 AA1，AB1， 取 A1C1的中点 E，连结 B1E，AE，则 B1EBD， AB1E 是异面直线 AB1与 BD 所成的角（或所成角的补角） ， 第 11 页（共 22 页） B1E，AB1，AE， co
18、sAB1E， AB1E60， 异面直线 AB1与 BD 所成的角为 60 故选：C （向量法） 在正棱柱 ABCA1B1C1中，D 是 AC 的中点，AA1：AB：1， 设 AA1，AB1， 以 A 为原点，过 A 在平面 ABC 内作 AC 的垂线为 x 轴，以 AC 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立 空间直角坐标系， A（0，0，0） ，B1（，） ，B（，0） ，D（0，0） ， （，） ，（，0，0） ， 设异面直线 AB1与 BD 所成的角为 ， 则 cos， 60， 异面直线 AB1与 BD 所成的角为 60 故选：C 第 12 页（共 22 页） 【点评】本题考查异面直线所成角
19、的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思 维能力的培养 10 （5 分） 若 f （x） sinx+cosx 在m， m （m0） 上是增函数， 则 m 的最大值为 （ ） A B C D 【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得 m 的最 大值 【解答】解：若 f（x）sinx+cosx2（sinx+cosx）2sin（x+） 在m， m（m0）上是增函数， m+，且 m+ 求得 m，且 m，m，故 m 的最大值为， 故选：C 【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，属于中档题 11 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 yf（x）满
20、足 f（x）f（4x） ，且 f（3）2， 则 f（2019）（ ） A2 B0 C2 D4 【分析】由已知以及偶函数性质推出周期为 4，所以 f（2019）f（3） 【解答】解：因为 f（x）为偶函数，所以 f（x）f（4x）f（x4） ，所以 f（x）的 周期为 4， 又 20194504+3，所以 f（2019）f（3）f（3）2 故选：C 【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题 12 （5 分）如图，已知 F1，F2是椭圆（ab0）的左、右焦点，点 P 在 椭圆 C 上，线段 PF2与圆 x2+y2b2相切于点 Q，且点 Q 为线段 PF2的中点，则椭圆 C 的离心率为（
21、） 第 13 页（共 22 页） A B C D 【分析】连接 OQ，PF1，先利用三角形中位线定理证明 OQPF1，OQPF1，而 OQ 即为圆的半径 b，从而得焦半径 PF12b，再利用椭圆的定义，得 PF22a2b，最后利 用直线与圆相切的几何性质，证明 PF1PF2，从而在三角形中利用勾股定理得到 a、b、 c 间的等式，进而计算离心率即可 【解答】 解： 如图： 连接 OQ， PF1， 点 Q 为线段 PF2的中点， OQPF1， OQPF1， PF12OQ2b， 由椭圆定义，PF1+PF22a，PF22a2b 线段 PF2与圆 x2+y2b2相切于点 Q， OQPF2，
22、 PF1PF2，且|F1F2|2c， （2b）2+（2a2b）2（2c）2 即 3b2a，5a29c2， e 故选：B 【点评】本题主要考查了椭圆的定义及其运用，直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质 及其离心率的求法，属基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 yx+lnx 在 x1 处的切线方程是 2xy10 第 14 页（共 22 页） 【分析】由 yx+1nx，知 y1+，由此能求出函数 yx+1nx 在点（1，1）处的切线 方程 【解答】解：yx+1nx， y1+， ky|x11+12， 函数
23、yx+1nx 在点（1，1）处的切线方程为 y12（x1） ， 整理，得 2xy10 故答案为：2xy10 【点评】本题考查函数的切线方程的求法，考查导数的几何意义，正确求导是关键 14（5 分） 若 x， y 满足约束条件， 则 zx+3y 的最小值是 2 ， 最大值是 8 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，再将目标函 数 zx+3y 对应的直线进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化，然后求解最优解得到 结果 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件表示的平面区域， 如图： 其中 B（4，2） ，A（2，2） 设 zF（x，y）x+3y， 将直线
24、 l：zx+3y 进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化， 可得当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值 z最小值F（4，2）2 可得当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最最大值： z最大值F（2，2）8 故答案为：2；8 第 15 页（共 22 页） 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等 式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题 15 （5 分）已知 sin+sin，cos+cos，则 cos（） 【分析】把已知的两等式两边分别平方后得到新的等式，然后两等式相加，利用同角三 角函数的基本关系及两角差的余弦函数公式即可求出 c
25、os（）的值 【解答】解：由 sin+sin，cos+cos， 2+2得：1+2sinsin+1+2coscos， 则 coscos+sinsin 所以 cos（）coscos+sinsin 故答案为： 【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式的应用，是一 道基础题也是高考中常考的题型 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，ABC 是等边三角形，PB底面 ABC，AB2，PB 2，则该三棱锥的外接球的表面积为 20 【分析】设底面中心为 M，PB 中点为 N，作图找到球心 O 的位置，OM平面 ABC，ON PB，利用直角三角形建立方程求得半径，面积 第 16 页（共
26、 22 页） 【解答】解： 如图，M 为底面中心，N 为 PB 中点， OM平面 ABC ONPB， 在 RtBMO 中， BM2，OM1，OBR， 可得 R， 故外接球表面积为：20 故答案为：20 【点评】此题考查了三棱锥外接球问题，难度适中 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a220，S945 （）求an的通项公式； （）求 Sn，并求当 Sn取得最大值时 n 的值 【分析】 （I）设等差数列an的公差为 d，由 a220，S945可得 a1+d20，9a1+
27、36d 45，联立解得：a1，d，利用通项公式即可得出 an （）利用求和公式、二次函数的单调性即可得出 【解答】解： （I）设等差数列an的公差为 d，a220，S945 a1+d20，9a1+36d45， 联立解得：a125，d5， an255（n1）305n （）Sn+， 可得：n5，或 6 时，Sn取得最大值 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能 第 17 页（共 22 页） 力与计算能力，属于中档题 18 （12 分）根据中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定：机动车行经人 行道时， 应当减速慢行， 遇行人正在通过人行道， 应当停止
28、让行， 俗称 “礼让斑马线” 中 华人民共和国道路交通安全法第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚，如表是银川市一主干路口监控抓拍的 5 个月内驾驶员“礼让斑马线”行为 统计数据： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人 数 120 105 100 90 85 （）请利用所给数据求违章人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程 x+ ； （）预测该路口 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数 附：线性回归方程x+中， 其中 ， 为样本的平均值 【分析】 （）根据数求出 ， 的值，结合公式求出 ， 的值即可 （）令 x9，即可预测 9 月份的不“礼让斑马线”违
29、章驾驶员人数 【解答】解： （）由表中数据得 （1+2+3+4+5）3， （120+105+100+90+85） 100， 则 8.5， 100（8.5）3125.5， 即所求回归直线方程为 8.5x+125.5； （）令 x9，则 8.59+125.549 人， 即预测该路口 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为 49 人 第 18 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，根据数据分别求出 ， ， ， 的值是解 决本题的关键 19 （12 分）如图，在三棱锥 VABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，AC BC，且 ACBC，O，M 分别为 AB
30、，VA 的中点 （）求证：平面 MOC平面 VAB； （）求三棱锥 BVAC 的高 【分析】 （）由题意得出 OCAB，利用平面 VAB平面 ABC 证得 OC平面 VAB，从 而证明平面 MOC平面 VAB； （）由题意求出VAB 的面积和 OC 的值，再计算AMC 和AVC 的值，根据等体积 法求出三棱锥 CVAB 的体积，从而求得三棱锥 BVAC 的高 【解答】 （）证明：ACBC，O 为 AB 的中点， OCAB， 平面 VAB平面 ABC，OC平面 ABC， OC平面 VAB， OC平面 MOC， 平面 MOC平面 VAB； （）解：在等腰直角ACB 中，ACBC，AB2，OC1，
31、等边VAB 的面积为 SVAB22sin60， 又OC平面 VAB，OCOM， AMC 中，AM1，AC，MC， SAMC1， SVAC2SMAC， 由三棱锥 VABC 的体积与三棱锥 CVAB 的体积相等， 第 19 页（共 22 页） 即SVAChSVABOC， h， 即三棱锥 BVAC 的高为 【点评】本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了三棱锥体积的计算问题，是 中档题 20 （12 分）已知抛物线 C：y24x，过点（1，0）的直线与抛物线 C 相切，设第一象限 的切点为 P （I）求点 P 的坐标； （）若过点（2，0）的直线 l 与抛物线 C 相交于两点 A，B，圆 M 是
32、以线段 AB 为直径 的圆过点 P，求直线 l 的方程 【分析】 （）由题意知可设过点（1，0）的直线方程为 xty1，与抛物线方程联立， 化为关于 y 的一元二次方程，利用判别式等于 0 求得 t，进一步求解 P 的坐标； （）设直线 l 的方程为：xmy+2，与抛物线方程联立，化为关于 y 的一元二次方程， 由根与系数的关系结合求得 m 值，则直线方程可求 【解答】解： （）由题意知可设过点（1，0）的直线方程为 xty1， 联立，得：y24ty+40 直线与抛物线相切，16t2160，即 t1 P 为第一象限的切点，t1， 则化为 y24y+40，解得 y2，此时 x1， 则点 P 坐标
33、为（1，2） ； （）设直线 l 的方程为：xmy+2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立，得 y24my80， 则16m2+320 恒成立， y1y28，y1+y24m， 则， 第 20 页（共 22 页） 由题意可得：， 即 x1x2（x1+x2）+1+y1y22（y1+y2）+40， 4m2+8m+30，解得：或 则直线 l 的方程为 y2x+4 或 【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查计算能力，是中档题 21 （12 分）设函数 f（x）xex+a（1ex）+1 （）求函数 f（x）的单调区间； （）若函数 f（x）在（0，+）有零点，证明：a2 【分析】 （I）f（x
34、）x（a1）ex，对 a 分类讨论即可得出单调性 （II） 函数 f （x） 在 （0， +） 有零点， 可得方程 f （x） 0 有解 可得 ax+， 有解令 g（x）x+，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出 a 的取值范围 【解答】 （I）解：f（x）x（a1）ex，xa1 时，f（x）0，函数 f（x） 在（a1，+）上单调递增；xa1 时，f（x）0，函数 f（x）在（，a1） 上单调递减 （II）证明：函数 f（x）在（0，+）有零点，可得方程 f（x）0 有解 ax+，有解 令 g（x）x+，g（x）1+ 设函数 h（x）exx2，h（x）ex10， 函数 h（x）
35、在（0，+）上单调递增， 又 h（1）e30，h（2）e240 函数 h（x）在（0，+）上单调递增 存在 x0（1，2） ， 当 x（0，x0）时，g（x）0；当 x（x0，+）时，g（x）0 函数 g（x）存在唯一最小值 x0，满足x0+2 第 21 页（共 22 页） g（x0）x0+x0+1（2，3） ag（x）x+，有解 ag（x0）2 a2 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化问题、分类讨论 方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 选做题： （本小题满分选做题： （本小题满分 10 分）请考生在第分）请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，
36、则按所两题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题记分答题时用做的第一题记分答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑选修选修 4-4：极坐标系与：极坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 曲线 C 的极坐标方程为 24cos+10，直线 l 的参数方程为：（t 为参 数） ，点 A 的极坐标为（2，） ，设直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点 （） 写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （） 求|AP|AQ|OP|OQ|的值 【分析】 （） 利用极坐标
37、与直角坐标互化直接写出曲线 C 的直角坐标方程，消去参数 即可得到直线 l 的普通方程； （） 点 A 的直角坐标为（3，） ，设点 P，Q 对应的参数分别为 t1，t2，点 P，Q 的 极坐标分别为（） ， （） 将（t 为参数）与（x2）2+y2 3 联立，得：t1t21，|AP|AQ|1，转化求解|AP|AQ|OP|OQ|的值 【解答】解： （）曲线 C 的直角坐标方程为：x2+y24x+10，即 （x2）2+y23（2 分） 直线 l 的普通方程为 xy0 （4 分） （）点 A 的直角坐标为（3，） ，设点 P，Q
38、 对应的参数分别为 t1，t2，点 P，Q 的 极坐标分别为（） ， （） 第 22 页（共 22 页） 将（t 为参数）与（x2）2+y23 联立得：t2+2t+10， 由韦达定理得：t1t21，|AP|AQ|1 （6 分） 将直线的极坐标方程 （R）与圆的极坐标方程 24cos+10 联立得： ，由韦达定理得：121，即|OP|OQ|1 （8 分） 所以，|AP|AQ|OP|OQ|t1t2|12|1（10 分） 【点评】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能 力 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲
39、23已知函数 f（x）|xa|2x1| （1）当 a2 时，求 f（x）+30 的解集； （2）当 x1，3时，f（x）3 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）问题转化为解关于 x 的不等式组，求出不等式的解集即可； （2）根据 x 的范围，去掉绝对值号，从而求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）当 a2 时，由 f（x）3，可得|x2|2x1|3， 或或， 解得4x；解得x2；解得 x2， 综上所述，不等式的解集为x|4x2； （2）若当 x1，3时，f（x）3 成立， 即|xa|3+|2x1|2x+2， 故2x2xa2x+2， 即：3x2ax+2， x2a3x+2 对 x1，3时成立， a3，5 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题
