1、设集合 AxN|x|2，Bx|x2，则 AB 中元素的个数为（ ） A3 B2 C1 D0 2 （5 分）满足i（i 为虚数单位）的复数 z（ ） A+i Bi C+i Di 3 （5 分）函数 f（x）的部分图象大致为（ ） A B C D 4 （5 分）已知向量 ， 满足| |1，| |2， （ 2 ）0，|（ ） A6 B4 C D 5 （5 分） 设ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c， 若 a2， c2， cos， 则 b（ ） A1 B C2 D4 6 （5 分）已知双曲线 my2x21（mR）与抛物线 x28y 有相同的焦点，则该双曲线的 渐近
2、线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dy3x 7 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数学九章中提出的多项式求值 的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法 求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 v 的值为（ ） 第 2 页（共 24 页） A66 B33 C16 D8 8 （5 分）已知定义在（0，+）上的函数 f（x）x2+m，g（x）6lnx4x，设两曲线 y f（x）与 yg（x）在公共点处的切线相同，则 m 值等于（ ） A5 B3 C3 D5 9 （5 分）中国古代数学名著九章算术中记载： “圆周与其
3、直径之比被定为 3，圆中弓形 面积为（c 为弦长，a 为半径长与圆心到弦的距离之差） ”据此计算，已知一 个圆中弓形所对应的弦长 c6，a1，质点 M 随机投入此圆中，则质点 M 落在该弓形 内的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE、 SD 所成的角的余弦值为（ ） A B C D 11 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时，f（x） ，则函数 g（x）f（x）在区间4，8上所有零点之和为（ ） A8 B6 C4 D2 第 3 页（共 24 页） 1
4、2 （5 分）已知点 P（x0，y0）是抛物线 y24x 上的一个动点，Q 是圆 C： （x+2）2+（y4） 21 上的一个动点，则 x0+|PQ|的最小值为（ ） A B C3 D4 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设 x 是函数 f（x）sinx+2cosx 的一个极值点，则 tan2 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+3y 的最小值是 ，最大值 是 15（5 分） 函数 f （x） cosxsinx （0） 的最小正周期为 ，
5、 则函数在 内的值域为 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，ABC 是等边三角形，PB底面 ABC，AB2，PB 2，则该三棱锥的外接球的表面积为 三、解答题： （解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题： （解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知正项等比数列an满足 S26，S430 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog2an，已知数列的前 n 项和为 Tn，试证明 Tn1 恒成立 18 （12 分）某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为 4 元，售价为 8 元受保质期 的影响，当天没有销售完的部分只能销毁
6、经过长期的调研，统计了一下该新品的日需 求量现将近期一个月（30 天）的需求量展示如下： 日需求量 x（个） 20 30 40 50 天数 5 10 10 5 （1）从这 30 天中任取两天，求两天的日需求量均为 40 个的概率； （2）以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作 35 个该类蛋糕时，对 应的利润的期望值 E（X）；现有员工建议扩大生产一天 45 个，试列出生产 45 个 时，利润 Y 的分布列并求出期望 E（Y） ，并以此判断此建议该不该被采纳 19 （12 分）已知椭圆的右焦点 F 与抛物线 y28x 焦点重合，且椭 第 4 页（共 24 页） 圆的离心率为，过
7、x 轴正半轴一点（m，0）且斜率为的直线 l 交椭圆于 A，B 两 点 （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在实数 m 使以线段 AB 为直径的圆经过点 F，若存在，求出实数 m 的值；若 不存在说明理由 20 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 A1BC侧面 A1ABB1，且 AA1AB 2 （1）求证：ABBC； （2）若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为，求锐二面角 AA1CB 的大小 21 （12 分）已知函数 f（x）exa（x+1） ，aR （1）求函数 f（x）的单调区间和极值； （2）设 g（x）f（x）+，且 A（x1，y1） 、B（x2，y2）
8、 （x1x2）是曲线 yg（x）上 的任意两点，若对任意的 a1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围 选做题： （本小题满分选做题： （本小题满分 10 分）请考生在第分）请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所两题中任选一题做答，如果多做，则按所 做的第一题记分答题时用做的第一题记分答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑选修选修 44：极坐标参数：极坐标参数 方程方程 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 第 5 页（共 24 页） 曲线 C 的极坐标方程为 2
9、4cos+10，直线 l 的参数方程为：（t 为参 数） ，点 A 的极坐标为（2，） ，设直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点 （） 写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （） 求|AP|AQ|OP|OQ|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|2x1| （1）当 a2 时，求 f（x）+30 的解集； （2）当 x1，3时，f（x）3 恒成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2019 年宁夏六盘山高中高考数学一模试卷年宁夏六盘山高中高考数学一模试卷（理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（
10、本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ）只有一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）设集合 AxN|x|2，Bx|x2，则 AB 中元素的个数为（ ） A3 B2 C1 D0 【分析】可求出集合 A，然后进行交集的运算即可求出 AB，从而得出 AB 元素的个 数 【解答】解：A0，1，2； AB0，1； AB 中元素的个数为 2 故选：B 【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，集合元素的概念 2 （5 分）满足i（i 为虚数单位）的复数 z（
11、） A+i Bi C+i Di 【分析】根据复数的基本运算即可得到结论 【解答】解：i， z+izi， 即 zi， 故选：B 【点评】本题主要考查复数的计算，比较基础 3 （5 分）函数 f（x）的部分图象大致为（ ） A B 第 7 页（共 24 页） C D 【分析】利用函数为奇函数排除 A；再由当 x+时，y+，排除 B；利用导数判断 单调性且求极值得答案 【解答】解：函数的定义域为（，0）（0，+） ，且 f（x）f（x） ，函数为 奇函数，排除 A； 又当 x+时，y+，排除 B； 而 x0 时，f（x），f（x） 可得 x1 为函数的极小值点，结合图象可知，函数 f（x
12、）的部分图象大致为 C 故选：C 【点评】本题考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等基础知识，考查逻辑推 理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与 一般思想等，是中档题 4 （5 分）已知向量 ， 满足| |1，| |2， （ 2 ）0，|（ ） A6 B4 C D 【分析】由已知可求，然后由|，代入即可求解 【解答】解： （ 2 ）0， ， | |1，| |2， ， |， 故选：C 【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质 的简单应用，属于基础试题 第 8 页（共 24 页） 5 （5 分） 设ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别是
13、 a、 b、 c， 若 a2， c2， cos， 则 b（ ） A1 B C2 D4 【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求 cosA 的值，根据余弦定理即可解得 b 的 值 【解答】解：a2，c2，cos， cosA2cos212（）21， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得： （2）2b2+222b2，可得：b2 3b40， 解得：b4，或1（舍去） 故选：D 【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用， 考查了计算能力和转化思想，属于基础题 6 （5 分）已知双曲线 my2x21（mR）与抛物线 x28y 有相同的焦点，则该双曲线的 渐近线
14、方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dy3x 【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（0，2） ，可得关于 m 的方程，求出 m，由 此能求出双曲线的渐近线方程 【解答】解：抛物线 x28y 的焦点为（0，2） ， 双曲线的一个焦点为（0，2） ， +14， m， 双曲线的渐近线方程为 yx 故选：A 【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应 知识也进行了综合性考查 7 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数学九章中提出的多项式求值 第 9 页（共 24 页） 的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法 求
15、某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 v 的值为（ ） A66 B33 C16 D8 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i，v 的值，当 i1 时， 不满足条件 i0，跳出循环，输出 v 的值为 66 【解答】解：初始值 n4，x2，程序运行过程如下表所示： v2， i4，v，22+37， i2，v14+216， i1，v162+133， i0，v332+066， i1 跳出循环，输出 v 的值为 66， 故选：A 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 i， v 的值是解题的关键，属于基础题 8 （5 分）
16、已知定义在（0，+）上的函数 f（x）x2+m，g（x）6lnx4x，设两曲线 y 第 10 页（共 24 页） f（x）与 yg（x）在公共点处的切线相同，则 m 值等于（ ） A5 B3 C3 D5 【分析】根据题意，设两曲线 yf（x）与 yg（x）的公共点（a，b） ，求出两个函数的 导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，分析可得 2a4，解可得 a 的值，将 a 的值代入 g（x）的解析式可得 b 的值，即可得公共点（a，b）的坐标，将（a，b）代入 f（x）的解析式，计算可得 m 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，设两曲线 yf（x）与 yg（x）的公共点（a，b） ， f（
17、x）x2+m，其导数 f（x）2x，则切线的斜率 kf（a）2a， g（x）6lnx4x，其导数 g（x）4，则切线的斜率 kf（a）4， 则有 2a4，解可得 a1 或3（舍） ， 则 b6ln144， 则公共点为（1，4） ，则有（4）1+m，解可得 m5； 故选：D 【点评】本题考查利用导数分析函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基 础题 9 （5 分）中国古代数学名著九章算术中记载： “圆周与其直径之比被定为 3，圆中弓形 面积为（c 为弦长，a 为半径长与圆心到弦的距离之差） ”据此计算，已知一 个圆中弓形所对应的弦长 c6，a1，质点 M 随机投入此圆中，则质点 M 落在
18、该弓形 内的概率为（ ） A B C D 【分析】由即时定义可知：弓形的面积由勾股定理及圆的面积 公式可得：圆的面积， 由几何概型中的面积型问题得：质点落在弓形内的概率为 【解答】解：由题意已知一个圆中弓形所对应的弦长 c6，a1，且圆中弓形面积为 ，可求得：弓形的面积 设圆的半径为 r，则 r2（r1）2+32，解得 r5，所以圆的面积， 第 11 页（共 24 页） 由几何概型中的面积型得： 即质点落在弓形内的概率为 故选：C 【点评】本题考查几何概型中的面积型问题、数据处理能力及阅读理解能力，属简单题 10 （5 分）已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是
19、 SB 的中点，则 AE、 SD 所成的角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系， 先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解 【解答】解：建立如图所示坐标系， 令正四棱锥的棱长为 2，则 A（1，1，0） ，D（1，1，0） ， S（0，0，） ，E， ， （1，1，） cos 故选：C 【点评】本题主要考查多面体的结构特征和空间角的求法，同时，还考查了转化思想和 运算能力，属中档题 11 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时，f（x） ，则函
20、数 g（x）f（x）在区间4，8上所有零点之和为（ ） A8 B6 C4 D2 【分析】根据的奇偶性和对称性，推出函数的周期性，根据函数与方程之间的关系，转 第 12 页（共 24 页） 化为两个函数交点问题，利用对称性进行求解即可 【解答】解：奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ， f（x+4）f（x+2）f（x） ，即 f（x）是周期为 4 的周期函数， 同时函数 f（x）关于 x1 对称， 若1x0，则 0x1， f（x）f（x） 即 f（x），1x0， 若 1x2，则1x20，02x1 此时 f（x）f（2x），1x2， 若 2x3，则 0x21，12x0 此时 f（x）f（2
21、x），2x3， 由 g（x）f（x）0 得 f（x）， 作出函数 f（x）与 y，在3，6上的图象， 由图象知两个函数图象有 4 个交点， 且四个交点，两两关于点（2，0）对称， 设彼此对称的交点横坐标为 a，b，c，d， 则2，得 a+b4，c+d4， 即 a+b+c+c4+48， 函数 g（x）f（x）在区间4，8上所有零点之和为 8， 故选：A 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数的周期，利用数形结合转 化为两个函数的交点问题是解决本题的关键 第 13 页（共 24 页） 12 （5 分）已知点 P（x0，y0）是抛物线 y24x 上的一个动点，Q 是圆 C： （x+2
22、）2+（y4） 21 上的一个动点，则 x0+|PQ|的最小值为（ ） A B C3 D4 【分析】求得抛物线的焦点坐标及准线方程，根据抛物线的性质求得 x0+|PQ|丨+ 丨2，根据向量数量积的坐标运算，即可求得 x0+|PQ|的最小值 【解答】解：由题意可知圆 C 的圆心坐标 C（2，4） ，半径为 1， 抛物线 y24x 的焦点 F（1，0） ，准线方程 x1，丨 PM 丨为点 P 到准线的距离， 由抛物线的定义可知：丨 PF 丨丨 PM 丨x0+1， 故可知 x0+|PQ|丨 PC 丨1+丨 PF 丨1丨+丨2丨丨2 23， 即当 C 与 F 共线时，x0+|PQ|取最小值，最小值为
23、3 故选：C 【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，抛物线的定义，考查点到直线的距离公式， 向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，属于中档题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设 x 是函数 f（x）sinx+2cosx 的一个极值点，则 tan2 【分析】求函数的导数，利用 x 是函数的一个极值点，建立方程关系求出 tan，然后 利用两角和差的正切公式进行求解即可 【解答】解：函数的导数 f（x）cosx2sinx， 第 14 页（共 24 页） x 是函数 f（x）sinx+2cosx 的
24、一个极值点， f（）cos2sin0，得 cos2sin， 即 tan， 则 tan2， 故答案为： 【点评】本题主要考查三角函数值的求解，利用极值的定义以及两角和差的正切公式是 解决本题的关键 14（5 分） 若 x， y 满足约束条件， 则 zx+3y 的最小值是 2 ， 最大值是 8 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，再将目标函 数 zx+3y 对应的直线进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化，然后求解最优解得到 结果 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件表示的平面区域， 如图： 其中 B（4，2） ，A（2，2） 设 zF（x，y）x+
25、3y， 将直线 l：zx+3y 进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化， 可得当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值 z最小值F（4，2）2 可得当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最最大值： z最大值F（2，2）8 故答案为：2；8 第 15 页（共 24 页） 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等 式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题 15（5 分） 函数 f （x） cosxsinx （0） 的最小正周期为 ， 则函数在 内的值域为 【分析】利用两角和的差的三角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性、定 义域
26、和值域，得出结论 【解答】解：函数 f（x）cosxsinxcos（x+） （0）的最小正周 期为， 2，f（x）cos（2x+） ， 则在内，2x+，cos（2x+），1， 故答案为：，1 【点评】本题主要考查两角和的差的三角公式，余弦函数的周期性、定义域和值域，属 于基础题 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，ABC 是等边三角形，PB底面 ABC，AB2，PB 2，则该三棱锥的外接球的表面积为 20 【分析】设底面中心为 M，PB 中点为 N，作图找到球心 O 的位置，OM平面 ABC，ON PB，利用直角三角形建立方程求得半径，面积 第 16 页（共 24 页） 【解答】解： 如图
27、，M 为底面中心，N 为 PB 中点， OM平面 ABC ONPB， 在 RtBMO 中， BM2，OM1，OBR， 可得 R， 故外接球表面积为：20 故答案为：20 【点评】此题考查了三棱锥外接球问题，难度适中 三、解答题： （解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）三、解答题： （解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知正项等比数列an满足 S26，S430 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog2an，已知数列的前 n 项和为 Tn，试证明 Tn1 恒成立 【分析】 （1）设等比数列的公比为 q，q0，且 q1，运用等比数列的求和公式，解方 程可得首
28、项和公比，即可得到所求通项公式； （2）求得 bnlog2an，运用数列的裂项相消求和和不等 式的性质即可得证 【解答】解： （1）正项等比数列an的公比设为 q，q0，且 q1， S26，S430，可得6，30， 解得 q2，a12， 数列an的通项公式为 an2n，nN*； （2）证明：bnlog2anlog22nn， 第 17 页（共 24 页） ， Tn1+ 11 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和， 以及化简运算能力，属于中档题 18 （12 分）某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为 4 元，售价为 8 元受保质期 的影响，当天没有销售完
29、的部分只能销毁经过长期的调研，统计了一下该新品的日需 求量现将近期一个月（30 天）的需求量展示如下： 日需求量 x（个） 20 30 40 50 天数 5 10 10 5 （1）从这 30 天中任取两天，求两天的日需求量均为 40 个的概率； （2）以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作 35 个该类蛋糕时，对 应的利润的期望值 E（X）；现有员工建议扩大生产一天 45 个，试列出生产 45 个 时，利润 Y 的分布列并求出期望 E（Y） ，并以此判断此建议该不该被采纳 【分析】 （1）从这 30 天中任取 2 天，基本事件总数 n，2 天的日需求量均为 40 个 包含的基本事
30、件个数 m，由此能求出两天的日需求量均为 40 个的概率 （2）设该糕点房制作 45 个蛋糕对应的利润为 y，分虽求出相应的概率，能求出 y 的分布 列和 E（y），由，得到此建议不该被采纳 【解答】解： （1）从这 30 天中任取 2 天， 基本事件总数 n， 2 天的日需求量均为 40 个包含的基本事件个数 m， 两天的日需求量均为 40 个的概率 P （2）设该糕点房制作 45 个蛋糕对应的利润为 y， P（y20）， 第 18 页（共 24 页） P（y60）， P（y140）， P（y180）， y 的分布列为： y 20 60 140 180 P E（y）， 该糕点房一天制作 35
31、 个该类蛋糕时，对应的利润的期望值 E（X）， ， 此建议不该被采纳 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用， 考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）已知椭圆的右焦点 F 与抛物线 y28x 焦点重合，且椭 圆的离心率为，过 x 轴正半轴一点（m，0）且斜率为的直线 l 交椭圆于 A，B 两 点 （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在实数 m 使以线段 AB 为直径的圆经过点 F，若存在，求出实数 m 的值；若 不存在说明理由 【分析】 （1）由抛物线 y28x 得焦点坐标，结合已知条件及椭圆的离心率可求出 c，
32、a 的值，由 b2a2c2，求出 b，则椭圆的方程可求； 第 19 页（共 24 页） （2）由题意得直线 l 的方程为，联立，消去 y 得 2x22mx+m260，由0，解得 m 的范围，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2 m，求出 y1y2，由，求出 ，若存在 m 使以线段 AB 为直径的圆经过点 F，则必有，求出实数 m 的值即可 【解答】解： （1）抛物线 y28x 的焦点是（2，0） ， F（2，0） ，c2，又椭圆的离心率为，即， ，则 b2a2c22 故椭圆的方程为；（4 分） （2）由题意得直线 l 的方程为， 由，消去 y 得 2x22mx+m260，
33、 由4m28（m26）0，解得 又 m0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2m， （6 分） ，（7 分） （10 分） 第 20 页（共 24 页） 若存在 m 使以线段 AB 为直径的圆经过点 F，则必有， 即，（11 分） 解得 m0 或 m3又，m3 即存在 m3 使以线段 AB 为直径的圆经过点 F （12 分） 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得 到根与系数的关系、数量积运算，考查了推理能力和计算能力，是中档题 20 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 A1BC侧面 A1ABB1，
34、且 AA1AB 2 （1）求证：ABBC； （2）若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为，求锐二面角 AA1CB 的大小 【分析】 （1）取 A1B 的中点 D，连接 AD，由已知条件推导出 AD平面 A1BC，从而 AD BC，由线面垂直得 AA1BC由此能证明 ABBC （2）连接 CD，由已知条件得ACD 即为直线 AC 与平面 A1BC 所成的角，AED 即为 二面角 AA1CB 的一个平面角，由此能求出二面角 AA1CB 的大小 【解答】 （本小题满分 14 分） （1）证明：如右图，取 A1B 的中点 D，连接 AD，（1 分） 因 AA1AB，则 ADA1B（2 分） 由平面
35、 A1BC侧面 A1ABB1， 且平面 A1BC侧面 A1ABB1A1B，（3 分） 得 AD平面 A1BC，又 BC平面 A1BC， 所以 ADBC（4 分） 因为三棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱， 则 AA1底面 ABC， 第 21 页（共 24 页） 所以 AA1BC 又 AA1ADA，从而 BC侧面 A1ABB1， 又 AB侧面 A1ABB1，故 ABBC（7 分） （2）解：连接 CD，由（1）可知 AD平面 A1BC， 则 CD 是 AC 在平面 A1BC 内的射影 ACD 即为直线 AC 与平面 A1BC 所成的角，则（8 分） 在等腰直角A1AB 中，AA1AB2，且点 D
36、 是 A1B 中点 ，且， （9 分） 过点 A 作 AEA1C 于点 E，连 DE 由（1）知 AD平面 A1BC，则 ADA1C，且 AEADA AED 即为二面角 AA1CB 的一个平面角，（10 分） 且直角A1AC 中： 又， ， 且二面角 AA1CB 为锐二面角 ，即二面角 AA1CB 的大小为（14 分） 【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题， 注意空间思维能力的培养 21 （12 分）已知函数 f（x）exa（x+1） ，aR 第 22 页（共 24 页） （1）求函数 f（x）的单调区间和极值； （2）设 g（x）f（x）+，且 A（x
37、1，y1） 、B（x2，y2） （x1x2）是曲线 yg（x）上 的任意两点，若对任意的 a1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围 【分析】 （1）由题意求出函数的定义域，并且求出原函数的导函数，可得当 a0 时，f （x）0，f（x）在（，+）上单调递增；当 a0 时，求出导函数的零点，由导函 数的零点对函数的定义域分段，得到函数的单调性，从而得到函数的极值； （2） 设 x1， x2是任意的两实数， 且 x1x2， 由题设知， 得到 g （x2） mx2g（x1）mx1，构造函数 F（x）g（x）mx，可得 F（x）在（，+）上 单调递增，得到 F（x）g（x）m0 恒成
38、立，分离参数后利用基本不等式求出 g（x） 的最小值，则 m 的取值范围可求 【解答】解： （1）由题知定义域为（，+） ，f（x）exa，aR， （1 分） 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（，+）上单调递增，即增区间为（， +） ； 则 f（x）无极值；（2 分） 当 a0 时，f（x）exa0 的解为 xlna， 当 x（，lna）时，f（x）0，f（x）的减区间为（，lna） ； 当 x（lna，+）时，f（x）0，f（x）的增区间为（lna，+） （4 分） 则 f（x）极小值为 f（lna）aa（lna+1）alna，无极大值； （5 分） （2）设 x1，x2是任意的两实数，
39、且 x1x2， 由题设知，故 g（x2）mx2g（x1）mx1， 不妨令函数 F（x）g（x）mx，（8 分） 则 F（x）在（，+）上单调递增，F（x）g（x）m0 恒成立， 对任意的 a1， xR， m （g （x） ）min恒成立， m （g （x） ）min （10 分） 第 23 页（共 24 页） 又当a1时， ， 故 m3（12 分） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学 转化思想方法，是中档题 选做题： （本小题满分选做题： （本小题满分 10 分）请考生在第分）请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所两题中任选一题做
40、答，如果多做，则按所 做的第一题记分答题时用做的第一题记分答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑选修选修 44：极坐标参数：极坐标参数 方程方程 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 曲线 C 的极坐标方程为 24cos+10，直线 l 的参数方程为：（t 为参 数） ，点 A 的极坐标为（2，） ，设直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点 （） 写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （） 求|AP|AQ|OP|OQ|的值 【分析】 （） 利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线 C
41、的直角坐标方程，消去参数 即可得到直线 l 的普通方程； （） 点 A 的直角坐标为（3，） ，设点 P，Q 对应的参数分别为 t1，t2，点 P，Q 的 极坐标分别为（） ， （） 将（t 为参数）与（x2）2+y2 3 联立，得：t1t21，|AP|AQ|1，转化求解|AP|AQ|OP|OQ|的值 【解答】解： （）曲线 C 的直角坐标方程为：x2+y24x+10，即 （x2）2+y23（2 分） 直线 l 的普通方程为 xy0 （4 分） （）点 A 的直角坐标为（3，） ，设点 P，Q 对应的参数分别为 t1，t2，
42、点 P，Q 的 极坐标分别为（） ， （） 第 24 页（共 24 页） 将（t 为参数）与（x2）2+y23 联立得：t2+2t+10， 由韦达定理得：t1t21，|AP|AQ|1 （6 分） 将直线的极坐标方程 （R）与圆的极坐标方程 24cos+10 联立得： ，由韦达定理得：121，即|OP|OQ|1 （8 分） 所以，|AP|AQ|OP|OQ|t1t2|12|1（10 分） 【点评】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能 力 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|2
43、x1| （1）当 a2 时，求 f（x）+30 的解集； （2）当 x1，3时，f（x）3 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）问题转化为解关于 x 的不等式组，求出不等式的解集即可； （2）根据 x 的范围，去掉绝对值号，从而求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）当 a2 时，由 f（x）3，可得|x2|2x1|3， 或或， 解得4x；解得x2；解得 x2， 综上所述，不等式的解集为x|4x2； （2）若当 x1，3时，f（x）3 成立， 即|xa|3+|2x1|2x+2， 故2x2xa2x+2， 即：3x2ax+2， x2a3x+2 对 x1，3时成立， a3，5 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题
