1、将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的 概率是 5 （5 分）如图是一个算法流程图，若输出 y 的值为2，则输入 x 的值是 6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线1（a0）的一条渐近线方程为 yx，则该双曲线的离心率是 7 （5 分）已知 yf（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）x，则 f（8）的值是 8 （5 分）已知 sin2（+），则 sin2 的值是 9 （5 分）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面 正六边形边长为 2cm，高为 2cm，内孔半径为 0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3
2、第 2 页（共 23 页） 10 （5 分）将函数 y3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中 与 y 轴最近的对称轴的方程是 11 （5 分）设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn 的前 n 项和 Snn2n+2n1（nN*） ，则 d+q 的值是 12 （5 分）已知 5x2y2+y41（x，yR） ，则 x2+y2的最小值是 13 （5 分）在ABC 中，AB4，AC3，BAC90，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P， 使得 AP9若m+（m）（m 为常数） ，则 CD 的长度是 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中
3、，已知 P（，0） ，A、B 是圆 C：x2+（y）2 36 上的两个动点，满足 PAPB，则PAB 面积的最大值是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. 15 （14 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点 （1）求证：EF平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C平面 ABB1 第 3 页（共 23 页） 16 （14 分）在ABC 中，角 A、
4、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 a3，c，B45 （1）求 sinC 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 cosADC，求 tanDAC 的值 17 （14 分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水 平线 MN 上，桥 AB 与 MN 平行，OO为铅垂线（O在 AB 上） 经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 h1（米） 与 D 到 OO的距离 a （米） 之间满足关系式 h1a2； 右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 h2（米）与 F 到 OO的距离 b（米）之间满足关 系式 h2b3+6b已知点 B 到 OO
5、的距离为 40 米 （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 OO的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上 （不包括端点） 桥墩 EF 每米造价 k （万元） ， 桥墩 CD 每米造价k （万元） （k0） ， 问 OE 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低？ 第 4 页（共 23 页） 18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E 相交于另一点 B （1）求AF1F2的周长； （2） 在 x 轴上任取
6、一点 P， 直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q， 求的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E 上，记OAB 与MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S23S1，求点 M 的坐标 19 （16 分）已知关于 x 的函数 yf（x） ，yg（x）与 h（x）kx+b（k，bR）在区间 D 上恒有 f（x）h（x）g（x） （1）若 f（x）x2+2x，g（x）x2+2x，D（，+） ，求 h（x）的表达式； （2）若 f（x）x2x+1，g（x）klnx，h（x）kxk，D（0，+） ，求 k 的取值 范围； （3）若 f（x）x42x2，g（x）4x28，h（x）4（t3t）x3t4+2
7、t2（0|t|） ， Dm，n，求证：nm 20 （16 分）已知数列an（nN*）的首项 a11，前 n 项和为 Sn设 和 k 为常数，若对 第 5 页（共 23 页） 一切正整数 n，均有 Sn+1Snan+1成立，则称此数列为“k”数列 （1）若等差数列an是“1”数列，求 的值； （2）若数列an是“2”数列，且 an0，求数列an的通项公式； （3）对于给定的 ，是否存在三个不同的数列an为“3”数列，且 an0？若存在， 求出 的取值范围；若不存在，说明理由 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答三小题，请选定其中两小
8、题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按作答的前两小题评分若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 21 （10 分）系统找不到该试题 B.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）系统找不到该试题 C.选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23系统找不到该试题 【必做题】第【必做题】第 24 题、第题、第 25 题，每题题
9、，每题 10 分，共计分，共计 20 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24 （10 分）系统找不到该试题 25 （10 分）系统找不到该试题 第 6 页（共 23 页） 2020 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本题共一、填空题：本题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上. 1 （5 分）已知集合 A1，0，1，2，B0，2，3，则 AB
10、 0，2 【分析】运用集合的交集运算，可得所求集合 【解答】解：集合 B0，2，3，A1，0，1，2， 则 AB0，2， 故答案为：0，2 【点评】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，则复数 z（1+i） （2i）的实部是 3 【分析】利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可 【解答】解：复数 z（1+i） （2i）3+i， 所以复数 z（1+i） （2i）的实部是：3 故答案为：3 【点评】本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考 查 3 （5 分）已知一组数据 4，2a，3a，5，6 的平均数为 4，则 a 的值是
11、 2 【分析】运用平均数的定义，解方程可得 a 的值 【解答】解：一组数据 4，2a，3a，5，6 的平均数为 4， 则 4+2a+（3a）+5+645， 解得 a2 故答案为：2 【点评】本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题 4 （5 分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的 概率是 【分析】分别求得基本事件的总数和点数和为 5 的事件数，由古典概率的计算公式可得 所求值 【解答】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，可得基本事件的总数为 66 第 7 页（共 23 页） 36 种， 而点数和为 5 的事件为（1，4
12、） ， （2，3） ， （3，2） ， （4，1） ，共 4 种， 则点数和为 5 的概率为 P 故答案为： 【点评】本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题 5 （5 分）如图是一个算法流程图，若输出 y 的值为2，则输入 x 的值是 3 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计 算并输出变量 y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答 案 【解答】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数 y， 若输出 y 值为2 时，由于 2x0， 所以解 x+12， 即 x3， 故答案为：3， 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时
13、应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线1（a0）的一条渐近线方程为 第 8 页（共 23 页） yx，则该双曲线的离心率是 【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出 a，然后求解双曲线的离心率即可 【解答】解：双曲线1（a0）的一条渐近线方程为 yx，可得， 所以 a2， 所以双曲线的离心率为：e， 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 7 （5 分）已知 yf（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）x，则 f（8）的值是 4 【分析】由奇函数的定义可得 f（x）f（x） ，由已知可得 f（8）
14、，进而得到 f（8） 【解答】解：yf（x）是奇函数，可得 f（x）f（x） ， 当 x0 时，f（x）x，可得 f（8）84， 则 f（8）f（8）4， 故答案为：4 【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力， 属于基础题 8 （5 分）已知 sin2（+），则 sin2 的值是 【分析】根据二倍角公式即可求出 【解答】 解： 因为 sin2（+） ， 则 sin2（+） ， 解得 sin2， 故答案为： 【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题 9 （5 分）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面 正六边形边长为 2cm，高为
15、 2cm，内孔半径为 0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 第 9 页（共 23 页） 12 cm3 【分析】通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果 【解答】解：六棱柱的体积为：， 圆柱的体积为：（0.5）22， 所以此六角螺帽毛坯的体积是： （12）cm3， 故答案为：12 【点评】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基本知识的考查 10 （5 分）将函数 y3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中 与 y 轴最近的对称轴的方程是 x 【分析】利用三角函数的平移可得新函数 g（x）f（x） ，求 g（x）的所有对称轴 x+，kZ，从而可判断平移后的图象
16、中与 y 轴最近的对称轴的方程， 【解答】解：因为函数 y3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得 g（x）f（x）3sin（2x+）3sin（2x） ， 则 yg（x）的对称轴为 2x+k，kZ， 即 x+，kZ， 当 k0 时，x， 当 k1 时，x， 所以平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 x， 故答案为：x， 第 10 页（共 23 页） 【点评】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题 11 （5 分）设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn 的前 n 项和 Snn2n+2n1（nN*） ，则 d+q 的值是 4 【分析
17、】 由an+bn的前 n 项和 Snn2n+2n1 （nN*） ， 由an是公差为 d 的等差数列， 设首项为 a1；求出等差数列的前 n 项和的表达式；bn是公比为 q 的等比数列，设首项 为 b1，讨论当 q 为 1 和不为 1 时的前 n 项和的表达式，由题意可得 q1，由对应项的系 数相等可得 d，q 的值，进而求出 d+q 的值 【解答】解：因为an+bn的前 n 项和 Snn2n+2n1（nN*） ， 因为an是公差为 d 的等差数列，设首项为 a1；bn是公比为 q 的等比数列，设首项为 b1， 所以an的通项公式 ana1+（n1）d，所以其前 n 项和 S n2+（a1）n，
18、 当bn中，当公比 q1 时，其前 n 项和 Snb1， 所以an+bn的前 n 项和 SnS+Sn2+（a1）n+nb1n2n+2n1（nN*） ， 显然没有出现 2n，所以 q1， 则bn的前 n 项和为 S+， 所以 SnS+Sn2+（a1）n+n2n+2n1（nN*） ， 由两边对应项相等可得：解得：d2，a10，q2，b11， 所以 d+q4， 故答案为：4 【点评】本题考查等差数列及等比数列的综合及由前 n 项和求通项的性质，属于中档题 12 （5 分）已知 5x2y2+y41（x，yR） ，则 x2+y2的最小值是 第 11 页（共 23 页） 【分析】方法一、由已知求得 x2，
19、代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最 小值； 方法二、由 4（5x2+y2） 4y2，运用基本不等式，计算可得所求最小值 【解答】解：方法一、由 5x2y2+y41，可得 x2， 由 x20，可得 y2（0，1， 则 x2+y2+y2（4y2+） 2，当且仅当 y2，x2， 可得 x2+y2的最小值为； 方法二、4（5x2+y2） 4y2（）2（x2+y2）2， 故 x2+y2， 当且仅当 5x2+y24y22，即 y2，x2时取得等号， 可得 x2+y2的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中 档题 13 （5 分）在AB
20、C 中，AB4，AC3，BAC90，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P， 使得 AP9若m+（m）（m 为常数） ，则 CD 的长度是 0 或 【分析】以 A 为坐标原点，分别以 AB，AC 所在直线为 x，y 轴建立平面直角坐标系，求 得 B 与 C 的坐标，再把的坐标用 m 表示由 AP9 列式求得 m 值，然后分类求得 D 第 12 页（共 23 页） 的坐标，则 CD 的长度可求 【解答】解：如图，以 A 为坐标原点，分别以 AB，AC 所在直线为 x，y 轴建立平面直角 坐标系， 则 B（4，0） ，C（0，3） ， 由m+（m），得， 整理得： 2m（4，0）+（2m3） （0
21、，3）（8m，6m9） 由 AP9，得 64m2+（6m9）281，解得 m或 m0 当 m0 时，此时 C 与 D 重合，|CD|0； 当 m时，直线 PA 的方程为 yx， 直线 BC 的方程为， 联立两直线方程可得 xm，y32m 即 D（，） ， |CD| CD 的长度是 0 或 故答案为：0 或 【点评】本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键， 是中档题 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P（，0） ，A、B 是圆 C：x2+（y）2 第 13 页（共 23 页） 36 上的两个动点，满足 PAPB，则PAB 面积的最大值是 10 【分
22、析】求得圆的圆心 C 和半径，作 PC 所在直径 EF，交 AB 于点 D，运用垂径定理和 勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计 算可得所求最大值 【解答】解：圆 C：x2+（y）236 的圆心 C（0，） ，半径为 6， 如图，作 PC 所在直径 EF，交 AB 于点 D， 因为 PAPB，CACBR6，所以 PCAB，EF 为垂径， 要使面积 SPAB最大，则 P，D 位于 C 的两侧， 并设 CDx，可得 PC1，故 PD1+x，AB2BD2， 可令 x6cos， SPAB|AB|PD|（1+x）（1+6cos） 6sin6sin+18sin2，0
23、， 设函数 f（）6sin+18sin2，0， f（）6cos+36cos26（12cos2+cos6） ， 由 f（）6（12cos2+cos6）0，解得 cos（cos0 舍去） ， 显然，当 0cos，f（）0，f（）递减；当cos1 时，f（）0，f （）递增， 结合 cos 在 （0，） 递减， 故 cos时， f （） 最大， 此时 sin， 故 f（）max6+3610， 则PAB 面积的最大值为 10 故答案为：10 【点评】本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考 第 14 页（共 23 页） 查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题 二、
24、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. 15 （14 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点 （1）求证：EF平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C平面 ABB1 【分析】 （1） 证明 EFAB1， 然后利用直线与平面平行的判断定理证明 EF平面 AB1C1； （2）证明 B1CAB，结合 ABAC，证明 AB平面 AB1C，然后证明平面 AB1C平
25、面 ABB1 【解答】证明： （1）E，F 分别是 AC，B1C 的中点 所以 EFAB1，因为 EF平面 AB1C1，AB1平面 AB1C1， 所以 EF平面 AB1C1； （2）因为 B1C平面 ABC，AB平面 ABB1， 所以 B1CAB， 又因为 ABAC，ACB1CC，AC平面 AB1C，B1C平面 AB1C， 所以 AB平面 AB1C， 因为 AB平面 ABB1， 所以平面 AB1C平面 ABB1 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用， 直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题 16 （14 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a
26、、b、c已知 a3，c，B45 （1）求 sinC 的值； 第 15 页（共 23 页） （2）在边 BC 上取一点 D，使得 cosADC，求 tanDAC 的值 【分析】 （1）由题意及余弦定理求出 b 边，再由正弦定理求出 sinC 的值； （2）三角形的内角和为 180，cosADC，可得ADC 为钝角，可得DAC 与 ADC+C 互为补角，所以 sinDACsin（ADC+C）展开可得 sinDAC 及 cos DAC，进而求出 tanDAC 的值 【解答】 解：（1） 因为 a3， c， B45 ， 由余弦定理可得： b ， 由正弦定理可得，所以 sinCsin45， 所以 sin
27、C； （2）因为 cosADC，所以 sinADC， 在三角形 ADC 中，易知 C 为锐角，由（1）可得 cosC， 所以在三角形 ADC 中，sinDACsin（ADC+C）sinADCcosC+cosADCsin C， 因为DAC，所以 cosDAC， 所以 tanDAC 【点评】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用， 属于中档题 17 （14 分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水 平线 MN 上，桥 AB 与 MN 平行，OO为铅垂线（O在 AB 上） 经测量，左侧曲线 AO 第 16 页（共 23 页） 上任一点
28、D 到 MN 的距离 h1（米） 与 D 到 OO的距离 a （米） 之间满足关系式 h1a2； 右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 h2（米）与 F 到 OO的距离 b（米）之间满足关 系式 h2b3+6b已知点 B 到 OO的距离为 40 米 （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 OO的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上 （不包括端点） 桥墩 EF 每米造价 k （万元） ， 桥墩 CD 每米造价k （万元） （k0） ， 问 OE 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低？ 【分析】 （1）由题意可令 b40，
29、求得 h2，即 OO 的长，再令 h1|OO|，求得 a，可得|AB| a+b； （2）可设 OEx，则 CO80x，0x40，求得总造价 yk160（80x） 2+k160（6x x3），化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值 【解答】解： （1）h2b3+6b， 点 B 到 OO的距离为 40 米，可令 b40， 可得 h2403+640160， 即为|OO|160，由题意可设 h1160， 由a2160，解得 a80， 则|AB|80+40120 米； （2）可设 OEx，则 CO80x，由，可得 0x40， 第 17 页（共 23 页） 总造价为 yk160（80x）2+k160
30、（6xx3） （x330x2+160800） ， y（3x260x）x（x20） ，由 k0，当 0x20 时，y0，函数 y 递 减； 当 20x40 时，y0，函数 y 递增，所以当 x20 时，y 取得最小值，即总造价最低 答： （1）桥|AB|长为 120 米； （2）OE 为 20 米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低 【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力 和分析问题与解决问题的能力，属于中档题 18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F
31、1F2，直线 AF1与椭圆 E 相交于另一点 B （1）求AF1F2的周长； （2） 在 x 轴上任取一点 P， 直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q， 求的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E 上，记OAB 与MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S23S1，求点 M 的坐标 【分析】 （1）由椭圆标准方程可知 a，b，c 的值，根据椭圆的定义可得AF1F2的周长 2a+2c，代入计算即可 （2）由椭圆方程得 A（1，） ，设 P（t，0） ，进而由点斜式写出直线 AP 方程，再结合 椭圆的右准线为：x4，得点 Q 为（4，） ，再由向量数量积计算最小值即可 （3）在计算OAB 与M
32、AB 的面积时，AB 可以最为同底，所以若 S23S1，则 O 到直 线 AB 距离 d1与 M 到直线 AB 距离 d2， 之间的关系为 d23d1， 根据点到直线距离公式可 第 18 页（共 23 页） 得 d1，d2，所以题意可以转化为 M 点应为与直线 AB 平行且距离为的直线与 椭圆的交点，设平行于 AB 的直线 l 为 3x4y+m0，与直线 AB 的距离为，根据两平 行直线距离公式可得，m6 或 12，然后在分两种情况算出 M 点的坐标即可 【解答】解： （1）由椭圆的标准方程可知，a24，b23，c2a2b21， 所以AF1F2的周长2a+2c6 （2）由椭圆方程得 A（1，）
33、 ，设 P（t，0） ，则直线 AP 方程为 y， 椭圆的右准线为：x4， 所以直线 AP 与右准线的交点为 Q（4，） ， （t，0） （t4，0）t24t（t2）244， 当 t2 时， （）min4 （3）若 S23S1，设 O 到直线 AB 距离 d1，M 到直线 AB 距离 d2，则|AB|d2 |AB|d1，即 d23d1， A（1，） ，F1（1，0） ，可得直线 AB 方程为 y（x+1） ，即 3x4y+30，所以 d1 ，d2， 由题意得，M 点应为与直线 AB 平行且距离为的直线与椭圆的交点， 设平行于 AB 的直线 l 为 3x4y+m0，与直线 AB 的距离为， 所以
34、，即 m6 或 12， 当 m6 时，直线 l 为 3x4y60，即 y（x2） ， 联立，可得（x2） （7x+2）0，即或， 所以 M（2，0）或（，） 当 m12 时，直线 l 为 3x4y+120，即 y（x+4） ， 第 19 页（共 23 页） 联立，可得+18x+240，9（3656）0，所以无解， 综上所述，M 点坐标为（2，0）或（，） 【点评】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意 转化思想的应用，属于中档题 19 （16 分）已知关于 x 的函数 yf（x） ，yg（x）与 h（x）kx+b（k，bR）在区间 D 上恒有 f（x）h（x）g（
35、x） （1）若 f（x）x2+2x，g（x）x2+2x，D（，+） ，求 h（x）的表达式； （2）若 f（x）x2x+1，g（x）klnx，h（x）kxk，D（0，+） ，求 k 的取值 范围； （3）若 f（x）x42x2，g（x）4x28，h（x）4（t3t）x3t4+2t2（0|t|） ， Dm，n，求证：nm 【分析】 （1）由 f（x）g（x）得 x0，求导可得 f（0）g（0）2，能推出函数 h（x）的图象为过原点，斜率为 2 的直线，进而可得 h（x）2x，再进行检验即可 （2）由题可知 h（x）g（x）k（x1lnx） ，设 （x）x1lnx，求导分析单调 性可得，（x）（1
36、）0，那么要使的 h（x）g（x）0，则 k0；令 p（x）f （x）h（x）为二次函数，则要使得 p（x）0，分两种情况，当 xk+10 时，当 k+1 0 时进行讨论，进而得出答案 （3）因为 f（x）x42x2，求导，分析 f（x）单调性及图象得函数 yf（x）的图象在 xx0处的切线为：y（4x034x0）x3x04+2x02，可推出直线 yh（x）为函数 yf（x） 的图象在 xt（0|t|）处的切线进而 f（x）h（x）在区间 D 上恒成立；在分析 g（x）h（x）0，设 4x24（t3t）x+3t42t280，两根为 x1，x2，由韦达定理可 得 x1+x2，x1x2，所以 nm
37、|x1x2|，再求最值即可得出结论 【解答】解： （1）由 f（x）g（x）得 x0， 又 f（x）2x+2，g（x）2x+2，所以 f（0）g（0）2， 所以，函数 h（x）的图象为过原点，斜率为 2 的直线，所以 h（x）2x， 经检验：h（x）2x，符合任意， （2）h（x）g（x）k（x1lnx） ， 第 20 页（共 23 页） 设 （x）x1lnx，设 （x）1， 在（1，+）上，（x）0，（x）单调递增， 在（0，1）上，（x）0，（x）单调递减， 所以 （x）（1）0， 所以当 h（x）g（x）0 时，k0， 令 p（x）f（x）h（x） 所以 p（x）x2x+1（kxk）x2
38、（k+1）x+（1+k）0，得， 当 xk+10 时，即 k1 时，f（x）在（0，+）上单调递增， 所以 p（x）p（0）1+k0，k1， 所以 k1， 当 k+10 时，即 k1 时， 0，即（k+1）24（k+1）0， 解得1k3， 综上，k0，3 （3）因为 f（x）x42x2，所以 f（x）4x34x4x（x+1） （x1） ， x （ ， 1） 1 （1， 0） 0 （0，1） 1 （1， ） f（x） 0 + 0 0 + f（x） 0 1 0 1 0 所以函数 yf（x）的图象在 xx0处的切线为： y（4x034x0） （xx0）+（x042x03）（4x034x0）x3x04
39、+2x02， 可见直线 yh（x）为函数 yf（x）的图象在 xt（0|t|）处的切线 由函数 yf（x）的图象可知，当 f（x）h（x）在区间 D 上恒成立时，|t|1， 又由 g（x）h（x）0，得 4x24（t3t）x+3t42t280， 设方程 g（x）h（x）0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2t3t，x1x2， 所 以 |x1 x2| ， 第 21 页（共 23 页） t2，则 1，2，由图象可知，nm|x1x2|， 设 （）352+3+8，则 （）3210+3（3） （31） ， 所以当 1，2时，（）0，（）单调递减， 所以 （）max（1）7， 故（nm）max|x1x2
40、|max，即 nm 【点评】本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数 形结合思想的应用，属于中档题 20 （16 分）已知数列an（nN*）的首项 a11，前 n 项和为 Sn设 和 k 为常数，若对 一切正整数 n，均有 Sn+1Snan+1成立，则称此数列为“k”数列 （1）若等差数列an是“1”数列，求 的值； （2）若数列an是“2”数列，且 an0，求数列an的通项公式； （3）对于给定的 ，是否存在三个不同的数列an为“3”数列，且 an0？若存在， 求出 的取值范围；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由“1”数列可得 k1，结合数列的递推式，以及等差
41、数列的定义，可 得 的值； （2）运用“2”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求 通项公式； （3）若存在三个不同的数列an为“3”数列，则 Sn+1Snan+1，由两边立 方，结合数列的递推式，以及 t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是 否存在 ，并可得取值范围 【解答】解： （1）k1 时，an+1Sn+1Snan+1，由 n 为任意正整数，且 a11，an0， 可得 1； （2），则 an+1Sn+1Sn（） （+） （+） ， 因此+，即，Sn+1an+1（Sn+1Sn） ， 从而 Sn+14Sn，又 S1a11，可得 Sn4n 1， anSnSn
42、134n 2，n2， 第 22 页（共 23 页） 综上可得 an，nN*； （3）若存在三个不同的数列an为“3”数列， 则 Sn+1Snan+1， 则 Sn+13Sn+1Sn+3Sn+1SnSn3an+13（Sn+1Sn） ， 由 a11，an0，且 Sn0，令 pn（）0， 则（13）pn33pn2+3pn（13）0， 1 时，pnpn2， 由 pn0，可得 pn1，则 Sn+1Sn， 即 an+10， 此时an唯一，不存在三个不同的数列an， 1 时，令 t，则 pn3tpn2+tpn10，则（pn1）pn2+（1t）pn+10， t1 时，pn2+（1t）pn+10，则 pn1，同上
43、分析不存在三个不同的数列an； 1t3 时，（1t）240，pn2+（1t）pn+10 无解， 则 pn1，同上分析不存在三个不同的数列an； t3 时， （pn1）30，则 pn1，同上分析不存在三个不同的数列an t3 时，即 01 时，（1t）240，pn2+（1t）pn+10 有两解 ， 设 ，+t12，10，则 01， 则对任意 nN*，1 或3或3，此时 Sn1，Sn， Sn均符合条件 对应 an，an，an， 则存在三个不同的数列an为“3”数列，且 an0， 综上可得 01 【点评】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的 第 23 页（共 23 页） 运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力， 是一道难题 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按作答的前两小题评分若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 21 （10 分）系统找不到该试题 B.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程
