1、已知 f（x）是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 x，都有 ff（x）+ ，则 f（log2sin） 二、选择题二、选择题 13 （3 分） “sin0”是“ 为第三、四象限角”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 14 （3 分） A 为三角形 ABC 的一个内角， 若 sinA+cosA， 则这个三角形的形状为 （ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形 15 （3 分） 已知函数 f （x） loga（6ax） 在 x2， 3） 上为减函数， 则 a 的取值范围是 （ ） A （1，2） B （1，2 C （1
2、，3） D （1，3 第 2 页（共 14 页） 16 （3 分）设 x1，x2分别是 f（x）xa x 与 g（x）xlogax1（a1）的零点，则 x1+9x2 的取值范围是（ ） A8，+） B （10，+） C6，+） D （8，+） 三、解答题三、解答题 17已知 （0，） ，（0，） ，sin，cos（+） （1）求 tan2 的值； （2）求 cos 的值 18已知函数 f（x）3xa3 x，其中 a 为实常数； （1）若 f（0）7，解关于 x 的方程 f（x）5； （2）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由 19高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为 400m，所在圆的半径
3、为 r，扇形的圆心角 的弧度数为 ，（0，2） （1）求绿化区域面积 S 关于 r 的函数关系式，并指数 r 的取值范围： （2）所在圆的半径为 r 取何值时，才能使绿化区域的面积 S 最大，并求出此最大值 20已知函数 yf（x）的定义域为（1，+） ，对于定义域内的任意实数 x，有 f（2x） 2f（x）成立，且 x（1，2时，f（x）log2x （1）当 x（1，23时，求函数 yf（x）的最大值； （2）当 x（1，23.7时，求函数 yf（x）的最大值； （3）已知 f（1200）f（b） （实数 b1） ，求实数 b 的最小值 21已知函数 f（x）loga（x+） x（1，+）
4、，a0 且 a1 （1）若 a 为整数，且 f（）2，试确定一个满足条件的 a 的值； （2）设 yf（x）的反函数为 yf 1（x） ，若 f1（n） （nN*） ，试确定 a 的取值范围； （3）若 a2，此时 yf（x）的反函数为 yf 1（x） ，令 g（x） ，若对 一切实数 x1，x2，x3，不等式 g（x1）+g（x2）g（x3）恒成立，试确定实数 k 的取值范 围 第 3 页（共 14 页） 2019-2020 学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）弧度数为 2
5、 的角的终边落在第 二 象限 【分析】根据题意，分析可得2，由象限角的定义分析可得答案 【解答】解：根据题意，2，则弧度数为 2 的角的终边落在第二象限， 故答案为：二 【点评】本题考查象限角，涉及弧度制的应用，属于基础题 2 （3 分）若幂函数 f（x）x图象过点，则 f（3） 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，再计算 f（3）的值 【解答】解：幂函数 f（x）x图象过点， 则 2，解得 1， f（x）x 1； f（3）3 1 故答案为： 【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题 3 （3 分）已知2，则 tan 的值为 5 【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知等式即可得解
6、 【解答】解：2， tan5 故答案为：5 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于 基础题 4 （3 分） 【分析】利用二倍角公式、诱导公式，求得所给式子的值 第 4 页（共 14 页） 【解答】解：coscos， 故答案为： 【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题 5 （3 分）已知 lg2a，10b3，则 log125 （用 a、b 表示） 【分析】化指数式为对数式，把要求解的式子利用对数的换底公式化为含有 lg2 和 lg3 的 代数式得答案 【解答】解：10b3， lg3b， 又 lg2a， log125 故答案为： 【点评】本
7、题考查了对数的换底公式，考查了对数的运算性质，是基础题 6 （3 分）若 tan；则 cos（2+） 【分析】利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即 可求解 【解答】解：tan， cos（2+）sin2 故答案为： 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式 在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 7 （3 分） 已知函数 f （x） 的值域为 R， 则实数 a 的取值范围是 0， ） 【分析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可 第 5 页（共 14 页） 【解答】解：当 x1 时，f（x）2x 11
8、， 当 x1 时，f（x）（12a）x+3a， 函数 f（x）的值域为 R， （12a）x+3a 必须到， 即满足：，解得 0a， 故答案为：0，） 【点评】本题考查了函数的性质，运用单调性得出不等式组即可，难度不大，属于中档 题 8 （3 分）已知 （0，） ，2sin21+cos2，则 tan 【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解 【解答】解：（0，） ， cos0， 2sin21+cos2， 4sincos2cos2，可得 tan 故答案为： 【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中 的应用，属于基础题 9 （3 分）已知 （，0
9、） ，sin（2），则 sincos 【分析】由已知利用诱导公式化简可得 sin2，进而根据同角三角函数基本关系式 即可化简求解 【解答】解：（，0） ，sin（2）sin2， sin0，cos0， sincos 故答案为： 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数 第 6 页（共 14 页） 化简求值中的应用，属于基础题 10 （3 分）已知锐角 ， 满足 sin（2+）3sin，则 tan（+）cot 2 【分析】由题意利用 2+（+）+，（+），结合三角恒等变换公式计算 即可 【解答】解：sin（2+）3sin， sin（+）cos+cos（+）sin
10、3sin（+）coscos（+）sin， 2sin（+）cos4cos（+）sin， 又 、 为锐角，所以 sin0，cos（+）0， 所以 tan（+）cot2 故答案为：2 【点评】本题考查了三角恒等变换应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题 11 （3 分）已知 ，（0，） ，且 tan（），tan，2 的值为 【分析】由题意配角：（）+，利用两角和的正切公式算出 tan 的值，再算出 tan（2）的值，根据 、 的范围与它们的正切值，推出 2（，0） ，即可算 出 2 的值 【解答】解：由 tan（），tan， tantan（）+， 由此可得 tan （2） tan （） + 又
11、 （0，） ，且 tan1， 0， 又 （0，） ，tan0， ， 因此 2（，0） ，可得20， 第 7 页（共 14 页） 所以 2 故答案为： 【点评】本题考查了两角和与差的正切公式、特殊角的三角函数值等知识，是中档题， 解题时注意在三角函数求值问题中“配角找思路”思想 12 （3 分）已知 f（x）是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 x，都有 ff（x）+ ，则 f（log2sin） 【分析】根据题意，分析可得 f（x）+为常数，设 f（x）+t，变形可得 f （x）+t，分析可得 f（t）+t，解可得 t 的值，即可得 f（x）的 解析式，将 xlog2sin代入可得答案 【解
12、答】解：根据题意，f（x）是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 x 都有 ff（x） +， 则 f（x）+为常数，设 f（x）+t，则 f（x）+t， 又由 ff（x）+，即 f（t）+t， 解可得 t1， 则 f（x）+1， sin，则 f（log2）f（1）+1； 故答案为： 【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，还考查了三角函数求值，诱导公式， 对数的运算，换元法的思想，关键是求出函数的解析式，属于中档题 二、选择题二、选择题 13 （3 分） “sin0”是“ 为第三、四象限角”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由
13、为第三、四象限角，可得 sin0反之不成立，即可判断出结论 【解答】解：由 为第三、四象限角，可得 sin0反之不成立，例如 第 8 页（共 14 页） 故选：B 【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 14 （3 分） A 为三角形 ABC 的一个内角， 若 sinA+cosA， 则这个三角形的形状为 （ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形 【分析】 将已知式平方并利用 sin2A+cos2A1， 算出 sinAcosA0， 结合 A （0， ）得到 A 为钝角，由此可得ABC 是钝角三角形 【解答】解：sinA
14、+cosA， 两边平方得（sinA+cosA）2，即 sin2A+2sinAcosA+cos2A， sin2A+cos2A1， 1+2sinAcosA，解得 sinAcosA（1）0， A（0，）且 sinAcosA0， A（，） ，可得ABC 是钝角三角形 故选：B 【点评】本题给出三角形的内角 A 的正弦、余弦的和，判断三角形的形状着重考查了 同角三角函数的基本关系、三角形的形状判断等知识，属于基础题 15 （3 分） 已知函数 f （x） loga（6ax） 在 x2， 3） 上为减函数， 则 a 的取值范围是 （ ） A （1，2） B （1，2 C （1，3） D （1，3 【分析】
15、由已知中 f（x）loga（6ax）在 x2，3）上为减函数，结合底数的范围，可 得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得 a 的取值范围 【解答】解：若函数 f（x）loga（6ax）在 x2，3）上为减函数， 则解得：a（1，2 故选：B 【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中根据已知分析出内函数为减函数， 则外函数必为增函数，是解答的关键 16 （3 分）设 x1，x2分别是 f（x）xa x 与 g（x）xlogax1（a1）的零点，则 x1+9x2 第 9 页（共 14 页） 的取值范围是（ ） A8，+） B （10，+） C6，+） D （8，+） 【
16、分析】函数的零点即方程的解，将其转化为图象交点问题，又有函数图象特点，得到 交点的对称问题，从而求解 【解答】解：由设 x1，x2分别是函数 f（x）xa x 和 g（x）xlogax1 的零点（其中 a1） ， 可知 x1 是方程 ax的解；x2 是方程logax 的解； 则 x1，x2 分别为函数 y的图象与函数 yyax 和函数 ylogax 的图象交点的横坐 标； 设交点分别为 A（x1，） ，B（x2，） 由 a1，知 0x11；x21； 又因为 yax 和 ylogax 以及 y的图象均关于直线 yx 对称， 所以两交点一定关于 yx 对称， 由于点 A（x1，） ，关于直线 yx
17、 的对称点坐标为（，x1） ， 所以 x1， 有 x1x21，而 x1x2 则 x1+9x2x1+x2+8x22+8x22+810， 即 x1+9x2（10，+） 故选：B 【点评】本题考查了函数的概念与性质、对数函数以及指数函数 三、解答题三、解答题 17已知 （0，） ，（0，） ，sin，cos（+） （1）求 tan2 的值； （2）求 cos 的值 【分析】 （1）利用同角三角函数基本关系式可求 cos，tan 的值，进而根据二倍角的正 切函数公式可求 tan2 的值 （2）利用同角三角函数基本关系式可求 sin（+）的值，根据两角差的余弦函数公式可 第 10 页（共 14 页） 求
18、 cos 的值 【解答】解： （1）（0，） ，sin， cos，tan4， tan2 （2）（0，） ，（0，） ，sin，cos（+）， +（0，） ，sin（+）， coscos （+） cos （+） cos+sin （+） sin （） + 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的 余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 18已知函数 f（x）3xa3 x，其中 a 为实常数； （1）若 f（0）7，解关于 x 的方程 f（x）5； （2）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由 【分析】 （1）根据 f（0）7，求解 a 的值，再解方程
19、 f（x）5 即可 （2）根据奇偶性定义判断即可 【解答】解： （1）由 f（0）7，即 1a7，可得 a6，那么 3x+63 x5， （3x2） （3x3）0， 解得 x1 或 xlog32 （2）由 f（x）a3x+3 x， 当 a1 时，可得 f（x）f（x） 此时 f（x）是偶函数， 当 a1 时，f（x）f（x） 此时 f（x）是奇函数， 当 a1 时，f（x）是非奇非偶函数 【点评】本题考查了奇偶性的定义判断和指数函数的化简运算，属于基础题 19高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为 400m，所在圆的半径为 r，扇形的圆心角 的弧度数为 ，（0，2） 第 11 页（共 14 页）
20、 （1）求绿化区域面积 S 关于 r 的函数关系式，并指数 r 的取值范围： （2）所在圆的半径为 r 取何值时，才能使绿化区域的面积 S 最大，并求出此最大值 【分析】 （1）由扇形的周长求出 的值，再根据题意求出 r 的取值范围，计算扇形的面 积； （2）利用函数解析式求出 S 的最大值以及 r 的值 【解答】解： （1）由题意知，扇形的周长为 2r+r400， 所以 ； 又 （0，2） ， 所以r200； 所以扇形的面积为 Sr2r2+200r， 其中 r 的取值范围是（，200） ； （2）S（r）r2+200r（r100）2+10000， 当 r100 时，S（r）取得最大值为 10
21、000， 即半径为 r100m 时，绿化区域的面积 S 最大，最大值 10000m2 【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型的应用问题，是基础题 20已知函数 yf（x）的定义域为（1，+） ，对于定义域内的任意实数 x，有 f（2x） 2f（x）成立，且 x（1，2时，f（x）log2x （1）当 x（1，23时，求函数 yf（x）的最大值； （2）当 x（1，23.7时，求函数 yf（x）的最大值； （3）已知 f（1200）f（b） （实数 b1） ，求实数 b 的最小值 【分析】 （1）根据条件，对任意的 x（1，+） ，恒有 f（2x）2f（x）成立，所以 f（x） 2f（） ；
22、且 x（1，2时，f（x）log2x（0，1；所以当 x（2，4时， （1，2，f（x）2f（）2log2（0，2；同理可以依次推出当 x（2n 1，2n 时，f（x）的解析式，即可得当 x（1，23时函数 yf（x）的最大值； （2）当 x（1，23.7时，2323.724，由（1）可得 f（x）的解析式，即可得函数值； （3）根据 f（1200）f（b） （实数 b1） ，解出 b 的值，进而求实数 b 的最小值即可 【解答】解： （1）对任意的 x（1，+） ，恒有 f（2x）2f（x）成立，所以 f（x）2f 第 12 页（共 14 页） （） ； 且 x（1，2时，f（x）log2x
23、（0，1； 所以当 x（2，4时，（1，2，f（x）2f（）2log2（0，2； 当 x（4，8时，（2，4，f（x）2f（）4log2（0，4； 当 x（8，16时，（4，8，f（x）2f（）8log2（0，8； ； 当 x（2n 1，2n时， （2n 2，2n1，f（x）2f（ ）2n 1log 2 （0，2n 1； 所以 x（2n 1，2n时，f（x）的最大值是 2n1； 所以 x（1，23时，f（x），的最大值为 f（23）4log2 4； （2）当 x（1，23.7时，2323.724， 所以 f（x）的最大值为 f（23.7）23log28（3.73）5.6； （3）由 f（120
24、0）f（b） （实数 b1） ， 且 1200210，210210211， 所以 f（1200）210log2210log2， f（b）f（2）2f（）22f（）2n 1f（ ） ； 当（1，2时，f（b）2n 1log 2 ； f（1200）f（b） ，则 210log22n 1log 2 ； b2n 1 ，1n11 当 n10 时，（）2（1，2；b29（）2； 第 13 页（共 14 页） 当 n9 时，（）4（1，2；b28（）4； 当 n8 时，（）8（1，2； 29（）228（）4； 实数 b 的最小值为 28（）4256（）4 【点评】本题考查了抽象函数及其应用，考查了计算能力，
25、分析解决问题的能力，转化 与化归的思想，属于中档题 21已知函数 f（x）loga（x+） x（1，+） ，a0 且 a1 （1）若 a 为整数，且 f（）2，试确定一个满足条件的 a 的值； （2）设 yf（x）的反函数为 yf 1（x） ，若 f1（n） （nN*） ，试确定 a 的取值范围； （3）若 a2，此时 yf（x）的反函数为 yf 1（x） ，令 g（x） ，若对 一切实数 x1，x2，x3，不等式 g（x1）+g（x2）g（x3）恒成立，试确定实数 k 的取值范 围 【分析】 （1）由对数和指数的运算性质，化简可得所求值； （2）由反函数的定义和求解步骤，可得 f 1（x）
26、（若 a1，x0；若 0a 1，x0） ，再由指数函数和对勾函数的单调性，对 a 讨论，可得所求范围； （3）求得 yf 1（x） （x0） ，g（x）1+，对 k 讨论，分 k 1，k1，k1，判断 g（x）的单调性可得 g（x）的值域，再由题意可得任意两个尽可 能小的函数值不小于另一个尽可能大的函数值，解不等式可得所求范围 【解答】解： （1）由 f（x）loga（x+） ，x1，a0 且 a1，可得 f（） loga（+） loga（+）loga2a2，即 a22a，可得整数 a2 或 4； 第 14 页（共 14 页） （2）由 yf（x）loga（x+） ，x1，可得 ayx+，即
27、ayx， 平方可得 a2y2xay+10，即有 x， 可得 f 1（x） （若 a1，x0；若 0a1，x0） ， f 1（n） （nN*） ，即为， 若 0a1，则 an+a n 单调递减，可得a1； 可得 a 的取值范围为（，1）（1，4） ； （3）若 a2，此时 yf（x）的反函数为 yf 1（x） （x0） ， g（x）1+， 当 k1 时，g（x）1，符合题意； 当 k1 时，g（x）在 x0 递减，可得 g（x）（1，1+） ， 对一切实数 x1，x2，x3，不等式 g（x1）+g（x2）g（x3）恒成立，可得 1+11+， 解得 1k4； 当 k1 时，g（x）在 x0 递增，可得 g（x）（1+，1） ， 对一切实数 x1，x2，x3，不等式 g（x1）+g（x2）g（x3）恒成立，可得 2（1+） 1， 解得k1 综上可得 k 的范围是，4 【点评】本题主要考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性和转化思想，考查 反函数的求法，化简整理的运算能力，是一道难题
