1、为调查参加第七届世界军人运动会的 9000 名运动员的年龄情况，从中抽查了 100 名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ） A9000 名运动员是总体 B每个运动员是个体 C抽取的 100 名运动员是样本 D样本容量是 100 3 （5 分）双曲线y21 的右焦点到直线 xy0 的距离是（ ） A2 B2 C D1 4 （5 分）如果直线 l 的方向向量是，且直线 l 上有一点 P 不在平面 内， 平面 的法向量是，那么（ ） A直线 l 与平面 垂直 B直线 l 与平面 平行 C直线 l 在平面 内 D直线 l 与平面 相交但不垂直 5 （5 分）某小组有 3 名男生和 2
2、名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，事件“至少有 1 名男生”与事件“至少有 1 名女生” （ ） A是对立事件 B都是不可能事件 C是互斥事件但不是对立事件 D不是互斥事件 6 （5 分）mn0 是方程1 表示实轴在 x 轴上的双曲线的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 第 2 页（共 24 页） C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则（ ） AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 8 （5 分）以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分） 已知甲
3、组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x+y 的值为（ ） A7 B10 C13 D16 9 （5 分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 以下四种说法中正确的个数为（ ） 甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数大于乙的成绩的 中位数 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差等于乙的成绩的极 差 A1 B2 C3 D4 10 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1的侧面 ABB1A1内有一动点 P 到棱 A1B1和棱 BC 的 距离相等，则动点 P 所在曲线形状为（ ） A抛物线弧 B椭圆弧 C圆弧 D线
4、段 11 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是底面 ABCD 上（含边界）一动 点，满足 A1PAC1，则线段 A1P 长度的取值范围（ ） A B C D 12 （5 分）黄金分割比例具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学 第 3 页（共 24 页） 价值这一比值能够引起人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例我们把离 心率的椭圆称为“黄金椭圆” ，则以下四种说法中正确的个数为（ ） 椭圆是“黄金椭圆； 若椭圆， （ab0）的右焦点 F（c，0）且满足 b2ac，则该椭圆为“黄 金椭圆” ； 设椭圆， （ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B，右
5、顶点为 A，若ABF 90，则该椭圆为“黄金椭圆” ； 设椭圆， （ab0）的左右顶点分别 A，B，左右焦点分别是 F1，F2， 若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则该椭圆为“黄金椭圆” ； A1 B2 C3 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的 离心率为 14 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 BB1中点，G 是 DD1中点，F 是 BC 上一 点且，则 GB 与 EF 所成的角的正弦值为 15 （5 分）已知直线 yx4
6、与抛物线 y22px（p0）交于 A，B 两点，O 为坐标原点且 OAOB，P 16 （5 分）已知直线 ykx（k0）与双曲线交于 A，B 两 点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若ABF 的面积为 4a2，则双曲线的 离心率为 第 4 页（共 24 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17 （10 分）某高校在 2010 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按 成绩分组，得到的频率分布表如图所示 组号 分组 频数 频率 第 1 组 160，165） 5 0.050 第 2 组 165，170） 35 0.3
7、50 第 3 组 170，175） 30 0.300 第 4 组 175，180） 20 0.200 第 5 组 180，185 10 0.100 合计 100 1.00 （）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽 样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面 试？ （）在（I）的前提下，学校决定在这 6 名学生中，随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行 面试，求第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率？ 18 （12 分）已知抛物线 C 的顶点在原点，准线是，一条过点 M（0，1）的直线 l 与抛物线 C
8、交于 A，B 两点，O 为坐标原点若 OA 与 OB 的斜率之和为 2，求直线 l 的 方程 19 （12 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为直角梯形， ABCBAD90， AD2 且 PAABBC1，PA平面 ABCD （1）求 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值； 第 5 页（共 24 页） （2）棱 PD 上是否存在一点 E，满足AEC90？若存在，求 AE 的长；若不存在， 说明理由 20 （12 分）某公司在若干地区各投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分 布直方图（如图所示） 由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0
9、开始计数的 （）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度； （）根据频率分布直方图，估计投入 4 万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各 组的区间中点值代表该组的取值） ； （）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入 x（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y（单位：百万元） 2 3 2 7 表中的数据显示，x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算 y 关于 x 的回归方程 附公式：， 第 6 页（共 24 页） 21 （12 分）已知椭圆与抛物线 y24x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为， （）求该椭圆的标准方程： （
10、）求过点 p（0，1）的直线与该椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若， 求AOB 的面积 22 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA 丄底面 ABCD， AB 垂直于 AD 和 BC，SAABBC2，AD1M 是棱 SB 的中点 （1）求证：AM平面 SCD； （2）求平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值； （3）设点 N 是直线 CD 上的动点，MN 与平面 SAB 所成的角为 ，求 sin 的最大值 第 7 页（共 24 页） 2019-2020 学年湖北省武汉二十三中、 十二中、 汉铁高中高二 （上）学年湖北省武汉二十三中
11、、 十二中、 汉铁高中高二 （上） 期末数学试卷期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 1 （5 分）点 P（1，2，3）关于 xOz 平面对称的点的坐标是（ ） A （1，2，3） B （1，2，3） C （1，2，3） D （1，2，3） 【分析】点 P（1，2，3）关于 xOz 平面对称的点，即 x，z 不变，y 变为相反数 【解答】解：点 P（1，2，3）关于 xOz 平面对称的点， 即 x，z 不变，y 变为相反数， 点 P（1，2，3）关于 xOz 平面对称的点的坐
12、标是（1，2，3） 故选：B 【点评】本题考查空间中点的对称点的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 2 （5 分）为调查参加第七届世界军人运动会的 9000 名运动员的年龄情况，从中抽查了 100 名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ） A9000 名运动员是总体 B每个运动员是个体 C抽取的 100 名运动员是样本 D样本容量是 100 【分析】根据统计中的总体、个体、样本和样本容量的定义判断 【解答】解：因为 9000 名运动员的年龄情况是总体，故 A 错； 每个运动员的年龄情况是个体，故 B 错； 抽取的 100 名运动员的年龄情况是样
13、本，故 C 错； 样本容量是 100，D 对； 故选：D 【点评】本题主要考查对统计中的基本概念的理解，也容易出错的，是基础题目 3 （5 分）双曲线y21 的右焦点到直线 xy0 的距离是（ ） A2 B2 C D1 第 8 页（共 24 页） 【分析】先由题中条件求出右焦点坐标，再代入点到直线的距离公式即可求出结论 【解答】解：由题得：其右焦点坐标为（2，0） 所以右焦点到直线 xy0 的距离是 d1 故选：D 【点评】本题主要考查双曲线的基本性质，点到直线的距离公式，比较基础 4 （5 分）如果直线 l 的方向向量是，且直线 l 上有一点 P 不在平面 内， 平面 的法向量是，那么（ ）
14、 A直线 l 与平面 垂直 B直线 l 与平面 平行 C直线 l 在平面 内 D直线 l 与平面 相交但不垂直 【分析】由已知可得：0，进而判断出结论 【解答】 解： 因为直线l的方向向量是， 平面的法向量是， 又， 所以直线 l 在平面 内或与平面 平行，又直线 l 上有一点 P 不在平面 内， 所以直线 l 与平面 平行， 故选：B 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、线面位置关系，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 5 （5 分）某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，事件“至少有 1 名男生”与事件“至少有 1 名女生” （ ） A是对立事件 B
15、都是不可能事件 C是互斥事件但不是对立事件 D不是互斥事件 【分析】事件“至少有 1 名男生”与事件“至少有 1 名女生”能同时发生，故两事件既 不是对立事件也不是互斥事件 【解答】解：事件“至少有 1 名男生”与事件“至少有 1 名女生”能同时发生， 第 9 页（共 24 页） 即两名学生正好一名男生，一名女生， 故两事件既不是对立事件也不是互斥事件， 故选：D 【点评】本题考查互斥事件、对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 6 （5 分）mn0 是方程1 表示实轴在 x 轴上的双曲线的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要
16、条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 分 m0、 n0 和 m0、 n0 两种情况加以讨论， 可得 mn0 时， 方程 1 不一定表示实轴在 x 轴上的双曲线反之当方程1 表示实轴在 x 轴上的双 曲线时，必定有 mn0由此结合充要条件的定义，即可得到本题答案 【解答】解：当 mn0 时，分 m0、n0 和 m0、n0 两种情况 当 m0、n0 时，方程1 表示焦点在 y 轴上的双曲线； 当 m0、n0 时，方程1 表示焦点在 x 轴上的双曲线 因此，mn0 时，方程1 不一定表示实轴在 x 轴上的双曲线 而方程1 表示实轴在 x 轴上的双曲线时，m0、n0，必定有 mn0 由此可得：mn0
17、 是方程1 表示实轴在 x 轴上的双曲线的必要而不充分条件 故选：B 【点评】本题给出两个条件，判断方程表示焦点在 x 轴上双曲线的充要条件着重考查 了双曲线的标准方程与简单几何性质、充要条件的判断等知识，属于中档题 7 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则（ ） AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 第 10 页（共 24 页） 【分析】法一：连 B1C，推导出 BC1B1C，A1B1BC1，从而 BC1平面 A1ECB1，由此 得到 A1EBC1 法二：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间
18、直角坐标系，利用 向量法能求出结果 【解答】解：法一：连 B1C，由题意得 BC1B1C， A1B1平面 B1BCC1，且 BC1平面 B1BCC1， A1B1BC1， A1B1B1CB1， BC1平面 A1ECB1， A1E平面 A1ECB1， A1EBC1 故选：C 法二：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2， 则 A1（2，0，2） ，E（0，1，0） ，B（2，2，0） ，D（0，0，0） ，C1（0，2，2） ，A（2， 0，0） ，C（0，2，0） ， （2，1，2） ，（0，2，
19、2） ，（2，2，0） ， （2，0，2） ，（2，2，0） ， 2，2，0，6， A1EBC1 故选：C 【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理 运用 第 11 页（共 24 页） 8 （5 分）以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分） 已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x+y 的值为（ ） A7 B10 C13 D16 【分析】由甲组数据的中位数求出 y 的值，乙组数据的平均数求出 x 的值 【解答】解：甲组数据的中位数为 15，故 10+y15， y5； 又乙组数据的平均数为 16.8，
20、9+15+10+x+18+2416.85， x8 x+y13； 故选：C 【点评】本题考查了应用茎叶图求中位数与平均值的问题，是基础题 9 （5 分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 以下四种说法中正确的个数为（ ） 甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数大于乙的成绩的 中位数 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差等于乙的成绩的极 差 A1 B2 C3 D4 【分析】利用平均数、中位数、方差、频率分布条形图的性质直接求解 第 12 页（共 24 页） 【解答】解：在中， 故甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数，故正确； 在中
21、，甲的成绩的中位数为 6，乙的成绩的中位数为 5， 故甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数，故正确； 在中，甲的成绩的方差为， 乙的成绩的方差为， 故甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故正确； 在中，甲的成绩的极差为 4，乙的成绩的极差等于 4， 故甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差，故正确 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查频率分布条形图的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 10 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1的侧面 ABB1A1内有一动点 P 到棱 A1B1和棱 BC 的 距离相等，则动点 P 所在曲线形状为（ ） A抛物线弧 B椭圆弧 C圆弧 D线段 【
22、分析】点 P 到 BC 的距离就是当 P 点到 B 的距离，它等于到直线 A1B1的距离，满足抛 物线的定义，推断出 P 的轨迹是以 B 为焦点，以 A1B1为准线的抛物线的一部分从而得 出正确选项 【解答】解：依题意可知点 P 到 BC 的距离就是当 P 点 B 的距离， P 到点 B 的距离等于到直线 A1B1的距离， 根据抛物线的定义可知，动点 P 的轨迹是以 B 为焦点， 以 A1B1为准线的抛物线的一部分 故选：A 第 13 页（共 24 页） 【点评】本题是基础题，考查抛物线的定义和观察分析的能力，数形结合的思想的运用， 考查计算能力，转化思想 11 （5 分）在棱长为 1 的正方
23、体 ABCDA1B1C1D1中，P 是底面 ABCD 上（含边界）一动 点，满足 A1PAC1，则线段 A1P 长度的取值范围（ ） A B C D 【分析】画出图形，利用已知条件转化判断 P 的轨迹，然后求解最值即可 【解答】解：AC1平面 BDA1，所以点 P 的轨迹就是线段 BD，满足 A1PAC1， 所以 P 在 B 或 D 时 A1P 最长为，在 BD 中点时 A1P 最短为， 故选：A 【点评】本题考查空间点线面的位置关系的应用，距离的求法，直线与平面垂直的性质， 考查空间想象能力以及计算能力，是中档题 12 （5 分）黄金分割比例具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学
24、 价值这一比值能够引起人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例我们把离 心率的椭圆称为“黄金椭圆” ，则以下四种说法中正确的个数为（ ） 椭圆是“黄金椭圆； 第 14 页（共 24 页） 若椭圆， （ab0）的右焦点 F（c，0）且满足 b2ac，则该椭圆为“黄 金椭圆” ； 设椭圆， （ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B，右顶点为 A，若ABF 90，则该椭圆为“黄金椭圆” ； 设椭圆， （ab0）的左右顶点分别 A，B，左右焦点分别是 F1，F2， 若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则该椭圆为“黄金椭圆” ； A1 B2 C3 D4 【分析】 根据每个说法给出的条件，
25、 求出每个说法中椭圆的离心率， 看是否满足 即可 【解答】解：，b22，故是“黄金椭圆” ； b2ac，即 a2c2ac，故 e2+e10，则或（舍） ，是“黄金椭 圆” ； 由ABF90可得： （a+c）2a2+b2+b2+c2，化简可知 e2+e10，则或 （舍） ，是“黄金椭圆” ； 若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则（2c）2（ac） （a+c） ，则，不是“黄 金椭圆 故选：C 【点评】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆的顶点和焦点的定义及坐标，椭圆离心率的 计算公式，考查了计算能力，属于基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
26、 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的 离心率为 【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出 a，然后求解离心率即可 第 15 页（共 24 页） 【解答】解：渐近线方程为，所以， 故离心率为 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 14 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 BB1中点，G 是 DD1中点，F 是 BC 上一 点且，则 GB 与 EF 所成的角的正弦值为 1 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 正方 ABCDA1
27、B1C1D1的棱长为 2，利用向量夹角公式即可得出 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， 则 G（0，0，1） ，B（2，2，0） ，E（2，2，1） ， ， 设 GB 与 EF 所成的角为 ， 则，90GB 与 EF 所成的角为 90 故 GB 与 EF 所成的角的正弦值为 1 故答案为：1 【点评】本题考查了空间角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 15 （5 分）已知直线 yx4 与抛物线 y22px（p0）交于 A，B 两点，O 为坐标原
28、点且 第 16 页（共 24 页） OAOB，P 2 【分析】直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由 OAOB 可得数量积 0，求出 p 的值 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立方程组，可得 y22py8p0， 则， OAOB，所以数量积0，x1x2+y1y20， 所以， 16+（8p）0， p2， 故答案为：2 【点评】考查直线与抛物线的综合应用，属于基础题 16 （5 分）已知直线 ykx（k0）与双曲线交于 A，B 两 点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若ABF 的面积为 4a2，则双曲线的 离心率为 【分析】求出以 AB 为直径的圆的方
29、程为 x2+y2c2，设|AF|m，|BF|n，则 mn2a， ，且 m2+n2|AB|24c2，联立三式，即可求解双曲线的离心率 【解答】解：以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，以 AB 为直径的圆的方 第 17 页（共 24 页） 程为 x2+y2c2， 设|AF|m，|BF|n，则 mn2aABF 的面积，且 m2+n2|AB|2 4c2， 联立三式：，得， 故 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质以及圆的方程的应用，考查分析问题解决问题，是 中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17 （10 分）某高校在 2010 年的
30、自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按 成绩分组，得到的频率分布表如图所示 组号 分组 频数 频率 第 1 组 160，165） 5 0.050 第 2 组 165，170） 35 0.350 第 3 组 170，175） 30 0.300 第 4 组 175，180） 20 0.200 第 5 组 180，185 10 0.100 合计 100 1.00 （）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽 样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面 试？ （）在（I）的前提下，学校决定在这 6 名学生
31、中，随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行 面试，求第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率？ 【分析】 （I）根据三个组的总人数和要抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用 概率分别乘以三个组的人数，得到每一个组要抽取的人数，得到结果 （II）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有 C62种满 第 18 页（共 24 页） 足条件的事件是第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试有 C21C41+1 种结果， 根据古典概型 概率公式得到结果 【解答】解： （I）第 3、4、5 组共有 60 名学生， 利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生，每组分别为：
32、 第 3 组：人， 第 4 组：人， 第 5 组：人， 第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人 （II）由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有 C6215 种 满足条件的事件是第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试有 C21C41+19 种结果， 至少有一位同学入选的概率为 【点评】本题考查古典概型及其概率公式考查分层抽样方法，本题好似一个概率与统 计的综合题目，题目的运算量适中，是一个比较好的题目 18 （12 分）已知抛物线 C 的顶点在原点，准线是，一条过点 M（0，1）的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点若 OA
33、 与 OB 的斜率之和为 2，求直线 l 的 方程 【分析】由抛物线的准线方程求出抛物线的方程，联立直线 l 与抛物线的方程求出两根 之和及两根之积，再求直线 OA，OB 的斜率之和，由题意可得直线 l 的方程 【解答】解：由题意知抛物线方程为 x22y，设 l 斜率为 k，则 l 方程：ykx1 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由得：x2+2kx20， 由书达定理：x1+x22k，x1x22， 所以直线 l 的方程为：y2x1，即 2xy10 第 19 页（共 24 页） 【点评】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题 19 （12 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面
34、 ABCD 为直角梯形， ABCBAD90， AD2 且 PAABBC1，PA平面 ABCD （1）求 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值； （2）棱 PD 上是否存在一点 E，满足AEC90？若存在，求 AE 的长；若不存在， 说明理由 【分析】 （1）以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立 空间直角坐标系 Axyz，利用向量法能求出 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值 （2），则 E（0，2，1） ， ，由AEC90，得到，此 方程无解，从而在棱 PD 上不存在一点 E，满足AEC90 【解答】解： （1）BAD90，PA平面 ABCD，
35、 以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系 Axyz， 则，P（0，0，1） ，B（1，0，0） ，C（1，1，0） ，D（0，2，0） ， 从而， 设平面 PCD 的法向量为， 则，取 a1，得 b1，c2， 平面 PCD 的一个法向量， 设直线 PA 与平面 PCD 的夹角为 ， 则 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值为： 第 20 页（共 24 页） （2），则 E（0，2，1） ， ， 若AEC90， 则，此方程无解， 故在棱 PD 上不存在一点 E，满足AEC90 【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查角是
36、否为直角的判断与求法，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）某公司在若干地区各投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分 布直方图（如图所示） 由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的 （）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度； （）根据频率分布直方图，估计投入 4 万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各 组的区间中点值代表该组的取值） ； （）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入 x（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y（单位：百万元） 2
37、3 2 7 表中的数据显示，x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算 y 关于 x 的回归方程 附公式：， 第 21 页（共 24 页） 【分析】 （）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可计 算图中各小长方形的宽度； （）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值； （）求出回归系数，即可得出结论 【解答】解： （）设各小长方形的宽度为 m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02） m0.5m1，故 m2；（3 分） （）由（）知各小组依次是0，2） ，2，
38、4） ，4，6） ，6，8） ，8，10） ，10，12， 其中点分别为 1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为 0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04， 故可估计平均值为 10.16+30.2+50.28+70.24+90.08+110.045；（7 分） （）空白栏中填 5 由题意可知， ， 根据公式，可求得， 即回归直线的方程为（12 分） 【点评】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于 中档题 21 （12 分）已知椭圆与抛物线 y24x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为， （）求该椭圆的标准方程： （）求过点 p（0，1）的直
39、线与该椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若， 求AOB 的面积 第 22 页（共 24 页） 【分析】 （）设出椭圆方程，求得抛物线的焦点，可得所求椭圆方程； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，运用向量共线定理，联立直线方程和椭圆方程，运 用三角形的面积公式可得所求 【解答】解： （）由题意，设椭圆的标准方程为， 由题意可得 c1，又，a2，b2a2c23，所以椭圆的标准方程为 ； 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由得：， 验证易知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 ykx+1， 联立椭圆方程，得：，整理得： （4k2+3）x2+8kx80， 得：，
40、将x12x2代入得， 所以AOB的面积 【点评】本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题 22 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA 丄底面 ABCD， AB 垂直于 AD 和 BC，SAABBC2，AD1M 是棱 SB 的中点 （1）求证：AM平面 SCD； （2）求平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值； （3）设点 N 是直线 CD 上的动点，MN 与平面 SAB 所成的角为 ，求 sin 的最大值 第 23 页（共 24 页） 【分析】 （1）以点 A 为坐标原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，
41、AS 为 z 轴，建立空间直角坐 标系，利用向量法能证明 AM平面 SCD （2）求出平面 SAB 的一个法向量和平面 SCD 的一个法向量，由此利用向量法能求出平 面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值 （3）设 N（x，2x2，0） ，则（x，2x3，1） ，利用向量法能求出 sin 的得最大 值 【解答】证明： （1）在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA 丄底面 ABCD， AB 垂直于 AD 和 BC，SAABBC2，AD1M 是棱 SB 的中点， 以点 A 为坐标原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AS 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则
42、 A（0，0，0） ，B（0，2，0） ，C（2，2，0） ，D（1，0，0） ，S（0，0，2） ，M（0，1， 1） ， （0，1，1） ，（1，0，2） ，（1，2，0） ， 设平面 SCD 的一个法向量为 （x，y，z） ， 则，令 z1，得 （2，1，1） ， 0， AM平面 SCD，AM平面 SCD 解： （2）由题意平面 SAB 的一个法向量 （1，0，0） ， 设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ，由题意 0， 则 cos， 第 24 页（共 24 页） 平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值为 （3）设 N（x，2x2，0） ，则（x，2x3，1） ， 平面 SAB 的一个法向量 （1，0，0） ，MN 与平面 SAB 所成的角为 sin|cos| 当，即 x时，sin 取得最大值（sin）max 【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面所成的二面角的求法，考查线面角的正弦 值的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用
