1、若全集 UR， 集合 Ax|x+10， Bx|2x80， 则集合 （UA） B 2 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知是双曲线的一条渐近线方程， 则此双曲线的离心率为 3 （5 分）如果复数 z（bR）的实部和虚部相等，则|z| 4 （5 分）样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示根据样本的频率分布直方图估计， 样本数据落在6，10）内的频数为 5 （5 分）如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为 6（5 分） 函数 f （x） sin （x+） 的部分图象如图所示， 则 f （x） 的单调递减区间为 第 2 页（共 26 页） 7 （5 分）甲乙丙丁 4 人入住宾馆
2、中的 4 个房间，其中的房号 101 与 102 对门，103 与 104 对门，若每人随机地拿了这 4 个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概 率为 8 （5 分）设正三棱锥 ABCD 的底面边长和侧棱长均为 4，点 E，F，G，H 分别为棱 AB， BC，CD，BD 的中点，则三棱锥 EFGH 的体积为 9 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，3，2， 则的值是 10 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，f（x）f（x+4） ，且当 x （1，0）时 f（x）2x+，则 f（log220） 11 （5 分）已知点 A（
3、1，1） ，B（1，3） ，圆 C： （xa）2+（y+a2）24 上存在点 P 使 得 PB2PA2+32，则实数 a 的取值范围是 12 （5 分）等差数列an的首项 a18，且存在唯一的 k 使得点（k，ak）在圆 x2+y2144 上，则这样的等差数列共有 个 13 （5 分）已知函数的图象上存在点关于 y 轴对称，则 实数 a 的取值范围是 14 （5 分）已知实数 x，y，z 满足 x+y+z0，xyz3，则|x|+|y|+|z|的最小值是 二、解答题二、解答题 15 （14 分）如图，平行四边形 ABCD 中， BDCD， 正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂直，H
4、是 BE 的中点，G 是 AE，DF 的交点 （1）求证：GH平面 CDE； 第 3 页（共 26 页） （2）求证：BD平面 CDE 16 （14 分）已知 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，满足 （1）求 b+c2a 的值； （2）若函数 f（x）sinx（0）在区间0，上单调递增，在区间，上 调递减且 f（）cosA，求角 B 的大小 17 （14 分）为了保护环境，2018 年起国家加大了对工厂废气污水的检查力度，并已经对废 气污水处理的企业给予适当补偿，某医药企业引进污水处理设备，经测算 2019 年月处理 污 水 成 本 y （ 元 ） 与 月 处 理 量 x
5、（ 吨 ） 之 间 的 函 数 关 系 可 近 似 地 表 示 为 且每处理一吨污水， 可得到价值为 100 元的 可利用资源，若污水处理不获利，国家将给予补偿 （1）当 x（200，500时，企业是否需要国家补贴，什么情况下企业需要申请国家补贴？ （2）每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：1（ab0）长轴长为 4，P （1，）为椭圆 E 上一点，且 P1，P2为椭圆 E 上的两个动点 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）求 P1点到直线 OP 距离的最大值，及取最大值时 P1的坐标； （3）椭圆 E 上是否存在 P
6、1、P2，使得直线 OP 与 P1P2平行且直线 PP1，PP2斜率互为相 反数？并说明理由 第 4 页（共 26 页） 19 （16 分）设集合 W 由满足下列两个条件的数列an构成：；存 在实数 M，使 anM（n 为正整数） （）在只有 5 项的有限数列an、bn中，其中 a11，a22，a33，a44，a55， b11，b24，b35，b44，b51，试判断数列an、bn是否为集合 W 中的元素； （）设cn是等差数列，sn是其前 n 项和，c34，s318，证明数列snW，并写出 M 的取值范围； （）设数列dnW，对于满足条件的 M 的最小值 M0，都有 dnM0（nN*）求证：数
7、 列dn单调递增 20 （16 分）已知 f（x） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若 ln（x+1）kx2x0，x（0，+）恒成立，求 k 的取值范围； （3）证明：ln（x+1），x（0，+）恒成立 理科附加题理科附加题 21 （10 分）选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 M （1）求矩阵 M 的逆矩阵； （2）求矩阵 M 的特征值及特征向量 22在极坐标中，已知圆 C 经过点 P（，） ，圆心为直线 sin（）与 极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程 23 （10 分）某物理老师准备从 3 道经典题和 5 道原创题中随机选择 4 道题组成一份物理竞 赛试卷 （1）求该试卷至少有
8、1 道经典题的概率； 第 5 页（共 26 页） （2）根据以往对试卷的评价分析，经典题评价指数一般为 a（a 为常数） ，原创题评价指 数一般为 2a试卷的评价指数为每道题的评价指数之和，求这份物理竞赛试卷评价指数 的概率分布及数学期望 24已知抛物线 y22px 的准线 l，直角梯形 ABCD 的顶点 A，B 在抛物线上，C，D 在 l 上， CD90，A 在第一象限 （）若B45，求 AB 中点的轨迹方程； （）AB 过焦点 F，AB 不垂直 X 轴， （1）CD 的中点为 E，问四边形 AFCE 是否为梯形？说明理由； （2）若 ABm，试求梯形 ABCD 的面积 第 6 页（共 26
9、 页） 2018-2019 学年江苏省江都中学、省扬高中、溧水高中高三（下）学年江苏省江都中学、省扬高中、溧水高中高三（下） 期初数学试卷（期初数学试卷（2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 5 分）分） 1 （5 分）若全集 UR，集合 Ax|x+10，Bx|2x80，则集合（UA）B 1，3） 【分析】求出集合的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可 【解答】解：Ax|x+10x|x1，Bx|2x80x|x3， 则UAx|x1， 则（UA）Bx|1x3， 故答案为：1，3） 【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，解
10、集合的运算是解决本 题的关键比较基础 2 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知是双曲线的一条渐近线方程， 则此双曲线的离心率为 2 【分析】双曲线1 的渐近线方程为 yx，依题意，可求得，从而 可求得此双曲线的离心率 【解答】解：双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为 yx， yx 是其中一条渐近线， ，又 b2c2a2， 3， e24， e2 第 7 页（共 26 页） 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的简单性质，求得是关键，属于中档题 3 （5 分）如果复数 z（bR）的实部和虚部相等，则|z| 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出 zi，由复数 z （bR）的实部和虚部相
11、等，得 b9从而 z3+3i，由此能求出|z| 【解答】解：zi， 复数 z（bR）的实部和虚部相等， ，解得 b9， z3+3i， |z|3 故答案为： 【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的乘除运算、复数的模等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 4 （5 分）样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示根据样本的频率分布直方图估计， 样本数据落在6，10）内的频数为 64 【分析】由已知中的频率分布直方图，利用（6，10）的纵坐标（矩形的高）乘以组距得 到（6，10）的频率；利用频率乘以样本容量即可求出频数； 【解答】解：样本数据落在（6，10）内的频率
12、为 0.0840.32 样本数据落在（6，10）内的频数为 0.3220064 故答案为：64 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中频率（分布直方图中小长方形的面 第 8 页（共 26 页） 积）组距矩形的纵坐标（矩形的高），是解答本题的关键 5 （5 分）如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序 的作用是利用循环计算并输出值模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各 变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果 【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 x y z 循环前/1
13、1 2 第一圈 是 1 2 3 第二圈 是 2 3 5 第三圈 是 3 5 8 第四圈 否 故最终的输出结果为： 故答案为： 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型， 属于基础题 6 （5 分）函数 f（x）sin（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间为 （2k ，2k+） ，kZ 第 9 页（共 26 页） 【分析】根据图象先求出函数的解析式，然后根据图象，求出在一个周期内的两个对称 轴，结合单调递减的性质进行求解即可 【解答】解：由图象知函数的周期 T2（）2， 和的中点为， y 轴左侧的第一个最大值点为T2， 即 f（x）的单调递减区间
14、为（2k，2k+） ，kZ， 故答案为： （2k，2k+） ，kZ 【点评】本题主要考查是函数的图象和性质，根据条件求出函数的周期和对称轴是解决 本题的关键 7 （5 分）甲乙丙丁 4 人入住宾馆中的 4 个房间，其中的房号 101 与 102 对门，103 与 104 对门，若每人随机地拿了这 4 个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概 率为 【分析】每人随机地拿了这 4 个房间中的一把钥匙，基本事件总数 n24，其中的 甲、乙两人恰好对门包含的基本事件个数 m8，由此能求出其中的甲、乙两 人恰好对门的概率 【解答】解：甲乙丙丁 4 人入住宾馆中的 4 个房间，其中的房号 101
15、 与 102 对门，103 与 104 对门， 每人随机地拿了这 4 个房间中的一把钥匙， 基本事件总数 n24， 其中的甲、乙两人恰好对门包含的基本事件个数 m8， 第 10 页（共 26 页） 则其中的甲、乙两人恰好对门的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 8 （5 分）设正三棱锥 ABCD 的底面边长和侧棱长均为 4，点 E，F，G，H 分别为棱 AB， BC，CD，BD 的中点，则三棱锥 EFGH 的体积为 【分析】连结 DF，则 DF2，过 A 作 AO平面 BCD，交 DF 于 O，则 DO ，AO，求出
16、正三棱锥的 ABCD 的体积为：VABCD ，再由三棱锥 EFGH 的底面积是正三棱锥 ABCD 的底面积的，三棱锥 E FGH 的高是正三棱锥 ABCD 的高的，能求出三棱锥 EFGH 的体积 【解答】解：正三棱锥 ABCD 的底面边长和侧棱长均为 4， 点 E，F，G，H 分别为棱 AB，BC，CD，BD 的中点， 连结 DF，则 DF2， 过 A 作 AO平面 BCD，交 DF 于 O，则 DO， AO， 正三棱锥的 ABCD 的体积为： VABCD， 三棱锥 EFGH 的底面积是正三棱锥 ABCD 的底面积的， 三棱锥 EFGH 的高是正三棱锥 ABCD 的高的， 三棱锥 EFGH 的
17、体积： VEFGH 故答案为： 第 11 页（共 26 页） 【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题 9 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，3，2， 则的值是 22 【分析】由3，可得+，进而由 AB8，AD5， 3，2，构造方程，进而可得答案 【解答】解：3， +， 又AB8，AD5， （+） （）|2|225 122， 故22， 故答案为：22 【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据 第 12 页（共 26 页） 已知得到+，是解答的关键 10
18、（5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，f（x）f（x+4） ，且当 x （1，0）时 f（x）2x+，则 f（log220） 1 【分析】根据题意，由对数的运算性质可得 4log216log220log2325，进而可得 f （log220）f（log2204）f（log2204）f（log2）f（log2） ，结合函数 的解析式分析可得答案 【解答】解： 根据题意， 函数 f（x）满足 f（x）f（x+4） ，又由 4log216log220log232 5， 则 f（log220）f（log2204）f（log2204）f（log2） ， 又由函数 f（x）满足
19、 f（x）f（x） ，则 f（log2）f（log2） ， 又由当 x（1，0）时 f（x）2x+，则 f（log2）+1， 则 f（log220）f（log2）f（log2）1； 故答案为：1 【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的分析，关键是分析函数的周期性，属于基础 题 11 （5 分）已知点 A（1，1） ，B（1，3） ，圆 C： （xa）2+（y+a2）24 上存在点 P 使 得 PB2PA2+32，则实数 a 的取值范围是 6，10 【分析】写出圆的参数方程，得到 P 的坐标，代入 PB2PA232，得到 sin，然 后利用正弦函数的有界性得到关于 a 的不等式得答案 【解答】解
20、：由圆 C： （xa）2+（y+a2）24， 设 xa2cos，y+a22sin，则 xa+2cos，y2a+2sin， 得 P（a+2cos，2a+2sin） ， A（1，1） ，B（1，3） ，又 PB2PA232， 得（a+2cos1）2+（a+2sin1）2（a+2cos1）2（a+2sin+1）232， 即 4（a2sin）32，得 a2sin8， sin 第 13 页（共 26 页） 得11， 6a10 圆心横坐标 a 的取值范围为6，10 故答案为：6，10 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的参数方程的运用，训练了利用正弦函 数的有界性求字母的范围，是中档题 12 （5
21、 分）等差数列an的首项 a18，且存在唯一的 k 使得点（k，ak）在圆 x2+y2144 上，则这样的等差数列共有 21 个 【分析】设等差数列的公差为 d，运用等差数列的通项公式和分类讨论思想，考虑 k1， 2，3，12，求得公差 d，即可得到所求等差数列的个数 【解答】解：设等差数列的公差为 d，可得 ak8+（k1）d， 由题意可得 k2+ak2144， 若 k1，a18，显然不成立； 若 k12，a120，可得 d，成立，满足题意； 若 k2，a22，解得 d28， 则 an8+（n1） （28） ，或 an8+（n1） （28） ， 检验满足题意的 k 有且只有一个，此时有两个等
22、差数列； 同样可得 k3，4，11 时，满足题意的等差数列都有两个， 综上可得，这样的等差数列共有 1+21021 个 故答案为：21 【点评】本题考查数列与解析几何的综合，考查等差数列的通项公式的运用，以及分类 讨论思想和化简运算能力，属于难题 13 （5 分）已知函数的图象上存在点关于 y 轴对称，则 实数 a 的取值范围是 a0 或 【分析】当 x0 时，f（x）aln（x） ，其关于原点对称的函数解析式为 yalnx，故 只需方程 alnx有正实根即可，即（2ex）lnx， （x0，x2e） ， 令 g（x）（2ex）lnx，利用导数求解 第 14 页（共 26 页） 【解答】解：当
23、x0 时，f（x）aln（x） ，其关于原点对称的函数解析式为 yalnx 故只需方程 alnx有正实根即可， （2ex）lnx， （x0，x2e） 令 g（x）（2ex）lnx g（x）lnx+ g（x）0； g（x）在（0，2e） ， （2e，+）递减， x2e 时，g（x）0，g（e）0， 函数 g（x）在（0，e）递增，在（e，2e）递减，在（2e，+）递减 g（x）的图象如下： 故 g（x）g（1）e，a0 或 故答案为：a0 或 【点评】本题考查了函数的零点，考查了函数与方程思想，属于中档题 14 （5 分）已知实数 x，y，z 满足 x+y+z0，xyz3，则|x|+|y|+|z
24、|的最小值是 2 【分析】根据题意可设 x0，y0，z0，然后根据|x|+|y|+|z|2x 及不等式的性质可 得出 z 的范围，继而可得出答案 【解答】解：由条件知 x，y，z 中恰有一个负数，两个正数，不妨设 x0，y0，z0 则 ， 第 15 页（共 26 页） 故答案为： 【点评】本题考查了绝对值及不等式的性质，难度较大，技巧性也较强，关键是根据不 等式的性质得出 z 的范围 二、解答题二、解答题 15 （14 分）如图，平行四边形 ABCD 中， BDCD， 正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂直，H 是 BE 的中点，G 是 AE，DF 的交点 （1）求证：GH平面 C
25、DE； （2）求证：BD平面 CDE 【分析】 （1）欲证 GH平面 CDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 GH 与 平面 CDE 内一直线平行，而 G 是 AE，DF 的交点，G 是 AE 中点，又 H 是 BE 的中点， 则 GHAB，而 ABCD，则 GHCD，CD平面 CDE，GH平面 CDE，满足定理所需 条件 （2）欲证 BD平面 CDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 BD 与平面 CDE 内两相交直线垂直， 根据平面 ADEF平面 ABCD， 交线为 AD， EDAD， ED平面 ADEF， 则 ED平面 ABCD，从而 EDBD，BDCD，CDEDD，满足定
26、理所需条件 【解答】证明： （1）G 是 AE，DF 的交点，G 是 AE 中点，又 H 是 BE 的中点， EAB 中，GHAB， （3 分）ABCD，GHCD， 又CD平面 CDE，GH平面 CDE GH平面 CDE（7 分） （2）平面 ADEF平面 ABCD，交线为 AD， EDAD，ED平面 ADEF ED平面 ABCD， （10 分） EDBD， 第 16 页（共 26 页） 又BDCD，CDEDD BD平面 CDE （14 分） 【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理考查对基础知识的 综合应用能力和基本定理的掌握能力 16 （14 分）已知 a，b，c 分别为
27、ABC 的内角 A，B，C 的对边，满足 （1）求 b+c2a 的值； （2）若函数 f（x）sinx（0）在区间0，上单调递增，在区间，上 调递减且 f（）cosA，求角 B 的大小 【分析】 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简即可求解 b+c2a0 （2）由正弦函数的单调性，周期公式可求 ，由已知可求 A 的值，由余弦定理及 b+c 2a，可求 bc，进而可求 B 的值 【解答】解： （1）由正弦定理得：， sinBcosA+sinCcosA2sinAcosBsinAcosCsinA， sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA2sinA， 可得 si
28、n（A+B）+sin（A+C）2sinA，即 sinC+sinB2sinA， 所以 b+c2a0 （2）由题 f（x）的单调性知：，解得：， 因为 f（）sincosA，A（0，） ， 所以 A， 由余弦定理知：cosA， 所以 b2+c2a2bc， 第 17 页（共 26 页） 因为 b+c2a， 所以 b2+c2（）2bc， 即：b2+c22bc0， 所以 bc， 又 A， 所以 B 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性及周 期公式以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档 题 17 （14 分）为了保护环境，2018 年起国
29、家加大了对工厂废气污水的检查力度，并已经对废 气污水处理的企业给予适当补偿，某医药企业引进污水处理设备，经测算 2019 年月处理 污 水 成 本 y （ 元 ） 与 月 处 理 量 x （ 吨 ） 之 间 的 函 数 关 系 可 近 似 地 表 示 为 且每处理一吨污水， 可得到价值为 100 元的 可利用资源，若污水处理不获利，国家将给予补偿 （1）当 x（200，500时，企业是否需要国家补贴，什么情况下企业需要申请国家补贴？ （2）每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【分析】 （1）根据已知可建立 s 关于 x 的函数，然后结合二次函数的性质即可求解， （2）先表示出
30、污水的每吨处理成本为，根 据分段函数的性质即可求解 【解答】解： （1）当 x（200，500时，设污水处理项目获利为 s，则 s100x （） ， ， 0， 解可得，x200 或 x40， 第 18 页（共 26 页） 故 400x500 时企业需要申请国家补贴， （2）由题意可知，污水的每吨处理成本为 当 x120，200时， 当 x120 时，取得最小值 240， 当 x（200，500时，200（） 当且仅当即 x200时取得等号，此时取得最小值 200（） ， 而 200（）240， 所以当每月的处理量为 200时，才能使每吨的平巨处理成本最低 【点评】本题考查函数模型的运用，考查学
31、生的计算能力，属于中档试题 18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：1（ab0）长轴长为 4，P （1，）为椭圆 E 上一点，且 P1，P2为椭圆 E 上的两个动点 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）求 P1点到直线 OP 距离的最大值，及取最大值时 P1的坐标； （3）椭圆 E 上是否存在 P1、P2，使得直线 OP 与 P1P2平行且直线 PP1，PP2斜率互为相 反数？并说明理由 【分析】 （1）由题意知 a，及点的坐标和 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （2）由题意写出直线 OP 的方程，用参数法设 P1的坐标，代入直线 OP 的方程，由角的 范围求出 P
32、1点到直线 OP 距离的最大值时的坐标； （3） 假设存在由线 OP 与 P1P2平行且直线 PP1， PP2斜率互为相反数， 得两个斜率不等， 第 19 页（共 26 页） 得出不存在 【解答】解： （1）由题意知 2a4，a2b2+c2，解得：a24，b23， 所以椭圆的标准方程为：； （2）由题意 OP 的直线方程：yx，即 3x2y0，设 P1（2cos，） 所以 P1到直线 OP 的距离为 d， 因为 02， 所以，或，即或 ， 所以当，这时 P1（，） ， 当，P1（，） （3）若存在 P1，P2满足条件，设直线 P1P 的方程为：yk（x1）即 ykx+k， 设 P1（x，y）
33、，P2（x，y） ， 联立直线 P1P 与椭圆的方程整理得： （3+4k2）x2+（12k8k2）x+4k212k30，又因 为 xP1， 所以 x1，x2， k，而 kOP， 所以椭圆上不存在 P1，P2满足条件 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题 19 （16 分）设集合 W 由满足下列两个条件的数列an构成：；存 在实数 M，使 anM（n 为正整数） （）在只有 5 项的有限数列an、bn中，其中 a11，a22，a33，a44，a55， b11，b24，b35，b44，b51，试判断数列an、bn是否为集合 W 中的元素； （）设cn是等差数列，sn是其前 n 项和，c34
34、，s318，证明数列snW，并写出 第 20 页（共 26 页） M 的取值范围； （）设数列dnW，对于满足条件的 M 的最小值 M0，都有 dnM0（nN*）求证：数 列dn单调递增 【分析】 （）对于an，检验 n1，即可判断是否是集合 W 中的元素；对于bn，分 别检验 n1，2，3，即可判断是否是集合 W 中的元素； （）设公差为 d， 运用等差数列的通项公式和求和公式，对照新定义， 检验， 即可得证； （）若dn为非单调递增，一定存在整数 k，使得 dkdk+1，易证对于任意 nk，都有 dndn+1，运用反证法证明，假设 nm（mk） ，dmdm+1，运用作差法，结合新定义和 不
35、等式的性质，即可得到矛盾，进而得到原命题成立 【解答】解： （）a11，a22，a33，a44，a55， 当 n1 时，a2，显然不满足集合 W 的条件，故an不是集合 W 中的元素； b11，b24，b35，b44，b51， 有3b2，4b3，3b4，而且有 bn5，显然满足集合 W 中的条件， 故bn是集合 W 中的元素； （）证明：cn是等差数列，sn是其前 n 项和，c34，s318， 设公差为 d，S3c32d+c3d+c3123d18，解得 d2， 可得 cnc3+（n3）d42（n3）102n，Snn（8+102n）n（9n） ， 由Sn+1（n+1） （8n）10， 可得Sn+
36、1， 由 Sn（n）2+，可得 Sn的最大值为 S4S520，即 Sn20， 则数列snW，M 的取值范围为20，+） ； （）证明：若dn为非单调递增，一定存在整数 k，使得 dkdk+1， 即证对于任意 nk，都有 dndn+1， 证明如下：假设 nm（mk） ，dmdm+1， nm+1 时，dm+1，得 dm+22dm+1dm， 有 dm+1dm+2dm+1（2dm+1dm）dmdm+10，可得 dm+1dm+2， 第 21 页（共 26 页） 则对于任意 nk，都有 dndn+1，显然在 d1，d2，dk中这 k 项中一定存在一个最大 值，记为 d， 则 ddn（nN*） ，从而 dM
37、0，这与题设矛盾，所以假设不成立， 故原命题成立 【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式，以及反 证法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题 20 （16 分）已知 f（x） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若 ln（x+1）kx2x0，x（0，+）恒成立，求 k 的取值范围； （3）证明：ln（x+1），x（0，+）恒成立 【分析】 （1）求出函数的定义域，求导，研究导函数在定义域上与 0 的大小，即可得到 单调区间； （2）运用洛必达法则可知，再以为分界点，从，以及 三个方面讨论得出结论； （3）原不等式可变形为，观察不等式两边式子结构，进一
38、步构造函数，再利用（1）的结论即可得证 【解答】解： （1）函数的定义域为x|x1 且 x0， 令，则， 当 x（1，0）时，g（x）0，g（x）在（1，0）上递增， g（x）g（0）0，即 f（x）0， f（x）在（1，0）上为减函数； 当 x（0，+）时，g（x）0，g（x）在（0，+）上递减， g（x）g（0）0，即 f（x）0， f（x）在（0，+）上为减函数； 综上，函数 f（x）的减区间为（1，0） ， （0，+） ； 第 22 页（共 26 页） （2）令 h（x）ln（x+1）kx2x，则， 当时，对任意 x（0，+）恒成立， h（x）在（0，+）上递增， h（x）h（0）0
39、对任意 x（0，+）恒成立， h（x）在（0，+）上为增函数， h（x）h（0）0 对任意 x（0，+）恒成立， 符合题意； 当时，由 h（x）0 得，由 h（x）0 得， 记，则函数 h（x）在（0，t）上为减函数，在（t，+）上为增函数， 当 x（0，t）时，h（x）h（0）0， h（x）在（0，t）上为减函数， 存在 x0（0，t） ，使得 h（x0）h（0）0， 故不符合题意； 当 k0 时，ln（x+1）kx2xln（x+1）x0， 故 k0 不符合题意； 综上，实数 k 的取值范围为； （ 3 ） 证 明 ： 因 为 x 0 ， 则等 价 于， 即 ， 由（1）知在（0，+）上为减
40、函数， 原命题等价于 xex1， 令 p（x）exx1，则 p（x）ex10 对任意 x（0，+）恒成立， p（x）在（0，+）上为增函数， p（x）p（0）1，即 xex1，故原命题得证 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查洛必达法则的变形运 用以及同构函数的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题第二问的背 第 23 页（共 26 页） 景知识是洛必达法则，但高中没有学习，可以采用先用洛必达法则确定参数的取值范围， 再以此为分界点讨论的方式解答；第三问的解题关键是通过变形得到同构函数，再运用 前问的结论得证 理科附加题理科附加题 21 （10 分）选修 42：
41、矩阵与变换 已知矩阵 M （1）求矩阵 M 的逆矩阵； （2）求矩阵 M 的特征值及特征向量 【分析】 （1）先求矩阵 M 的行列式，进而可求其逆矩阵， （2）令矩阵 M 的特征多项式等于 0，即可求得矩阵 M 的特征值，再由特征值列出方程 组即可解得相应的特征向量 【解答】解： （1）矩阵的行列式为835， 求矩阵 M 的逆矩阵 M 1 （4 分） （2）矩阵 A 的特征多项式为矩阵 M 的特征多项式为 f（）265， 令 f（）0，得矩阵 M 的特征值为 1 或 5，（6 分） 当 1 时 由二元一次方程得 x+y0，令 x1，则 y1， 所以特征值 1 对应的特征向量为（8 分） 当 5
42、 时 由二元一次方程得 3xy0， 令 x1，则 y3， 所以特征值 5 对应的特征向量为（10 分） 【点评】本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵 M 的特征值及特征向量，关 键是求其行列式，正确写出矩阵 M 的特征多项式 22在极坐标中，已知圆 C 经过点 P（，） ，圆心为直线 sin（）与 极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程 【分析】先把极坐标方程化为普通方程，写出圆 C 的普通方程，再化为极坐标方程即可 第 24 页（共 26 页） 【解答】解：点 P，x1，y1， 点 P（1，1） 直线 sin，展开为， ， 令 y0，则 x1，直线与 x 轴的交点为 C（1，0） 圆 C
43、 的半径 r|PC|1 圆 C 的方程为：（x1） 2+y21， 展开为： x22x+1+y21， 化为极坐标方程： 22cos 0，即 2cos 圆 C 的极坐标方程为：2cos 【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，灵活利用极坐标方程与普通方程的互 化公式是解决问题的关键 23 （10 分）某物理老师准备从 3 道经典题和 5 道原创题中随机选择 4 道题组成一份物理竞 赛试卷 （1）求该试卷至少有 1 道经典题的概率； （2）根据以往对试卷的评价分析，经典题评价指数一般为 a（a 为常数） ，原创题评价指 数一般为 2a试卷的评价指数为每道题的评价指数之和，求这份物理竞赛试卷评价指
44、数 的概率分布及数学期望 【分析】 （1）设“至少有 1 道经典题”为事件 A，则事件 A 的对立事件 为“随机选择 4 道题中没有经典题” ， 利用对立事件概率计算公式能求出该试卷至少有1道经典题的概率 （2）设随机变量 X 表示这份物理竞赛试卷评价指数，x 表示选用经典题的条数，则 x 的 所有可能取值为 0，1，2，3，依题意 Xax+2a（4x）8aax，故 X 的可能取值为 8a，7a，6a，5a，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X） 【解答】解： （1）设“至少有 1 道经典题”为事件 A， 则事件 A 的对立事件 为“随机选择 4 道题中没有经典题” ， 则 P（A）1P（ ）1 该试卷至少有 1 道经典题的概率为 （2）设随机变量 X 表示这份物理竞赛试卷评价指数， 第 25 页（共 26 页） x 表示选用经典题的条数，则 x 的所有可能取值为 0，1，2，3， 依题意 Xax+2a（4x）8aax，故 X 的可能取值为 8a，7a，6a，5a， P（X8a）P（x0）， P（X7a）P（x1）， P（X6a）P（x2）， P（X5a）P（x3）， X 的分布列为： X 8a 7a 6a 5a P E（X） 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考
