1、已知全集 UR，集合 Ax|0，Bx|x1，则集合x|x0等于（ ） AAB BAB CU（AB） DU（AB） 2 （5 分）若 zsin+（cos）i 是纯虚数，则 tan（）的值为（ ） A7 B C7 D7 或 3 （5 分）已知等比数列an的公比大于 1，a3a772，a2+a827，则 a12（ ） A48 B64 C72 D96 4 （5 分） ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a，b，c，若cosA，则ABC 为 （ ） A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 5 （5 分）下列命题中为真命题的是（ ） A若 B直线 a，b 为异面直线的充要条件是
2、直线 a，b 不相交 C “a1 是“直线 xay0 与直线 x+ay0 互相垂直”的充要条件 D若命题 p： ”xR，x2x10” ，则命题 p 的否定为： ”xR，x2x10” 6 （5 分）方程 log3x+x3 的解所在的区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，+） 7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ） A B2 C （2） D （2） 8 （5 分）已知函数在区间内单调递减，则 的最大值是（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C D 9 （5 分）如图，棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E、F 分别
3、为 AB、A1B1的中 点，则三棱锥 FECD 的外接球体积为（ ） A B C D 10 （5 分）现有四个函数：yxsinx；yxcosx；yx|cosx|；yx2x的图象 （部分）如图： 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A B C D 11 （5 分）设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 r 上存在点 P 满足|PF1|：|F1F2|： |PF2|4：3：2，则曲线 r 的离心率等于（ ） A B或 2 C2 D 12 （5 分）若函数 f（x）aexx2a 有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C （，0） D （0，+） 二、填空
4、题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）公元一世纪的我国经典数学著作九章算术中有这样一道名题，就是“引葭 赴岸”问题，题目是： “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适马岸齐， 问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈（10 尺） ，有棵芦苇长在 它的正中央，高出水面部分有 1 尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到沿岸（池塘一边的中 点） ，则水深为 尺，葭长 尺 第 3 页（共 22 页） 14 （5 分）若 （0，） ，且 3cos2sin（） ，则 sin2 的值为 15 （5 分）从抛物线 x24y 上一点 P 引抛
5、物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|5，设抛 物线的焦点为 F，则三角形 MPF 的面积为 16 （5 分）直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，2） ，N（l，0） 若动点 M 满足， 则的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 （12 分）ABC，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 （1）求角 C 的大小； （2）若，a4，求 c 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和 （）证明：数列an是等比数列； （）设 bn（2n1）an求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）如图，在四棱锥
6、 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADCD，ADBC，PAAD CD2，BC3E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 （）求证：CD平面 PAD； （）求二面角 FAEP 的余弦值； （）设点 G 在 PB 上，且判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由 20 （12 分）设椭圆的左焦点为 F，离心率为，过点 F 且与 x 轴 垂直的直线被椭圆截得的线段长为 （1）求椭圆的方程； 第 4 页（共 22 页） （2）设 A，B 分别为椭圆的左右顶点过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点， 若+8，求 k 的值 21 （12 分）设 a 为实数，函数 f（x）e
7、x2x+2a，xR （1）求 f（x）的单调区间及极值； （2）求证：当 aln21 且 x0 时，exx22ax+1 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用答时用 2B 铅铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos2+32sin212，且曲线 C 的左焦点 F
8、在直线 l 上 （）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点求|FA|FB|的值； （）设曲线 C 的内接矩形的周长为 P，求 P 的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）若不等式 f（x）6 的解集为x|2x3，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立，求实数 m 的取值范 围 第 5 页（共 22 页） 2019-2020 学年宁夏六盘山高中高三（上）期末数学试卷（理科）学年宁夏六盘山高中高三（上）期末数学试卷（理科） （A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：
9、（本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|0，Bx|x1，则集合x|x0等于（ ） AAB BAB CU（AB） DU（AB） 【分析】先解分式不等式化简集合 A，求出集合 A 与集合 B 的并集，观察得到集合x|x 0是集合（AB）在实数集中的补集 【解答】解：由，得 x（x1）0，解得：0x1 所以 Ax|0x|0x1， 又 Bx|x1， 则 ABx|0x1x|x1x|x0， 所以，集合x|x0U（AB） 故选：D 【点评】本题考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，可以转化为不等式组或
10、整 式不等式求解，考查了交、并、补集的混合运算此题是基础题 2 （5 分）若 zsin+（cos）i 是纯虚数，则 tan（）的值为（ ） A7 B C7 D7 或 【分析】由题意求得 sin，cos，可得 tan再由 ，运算求得结果 【解答】解：由于是纯虚数，故 sin，cos， 故 tan 第 6 页（共 22 页） 7， 故选：A 【点评】本题主要考查复数的基本概念，同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式 的应用，属于中档题 3 （5 分）已知等比数列an的公比大于 1，a3a772，a2+a827，则 a12（ ） A48 B64 C72 D96 【分析】根据题意，由已知条件推导出
11、a2a872，a2+a827，且 a2a8，由此求得 a2 3，a824，进而得到 q22，由此能求出 a12 【解答】解：在公比大于 1 的等比数列an中， a3a772a2a8，a2+a827， 等比数列an的公比大于 1，且 a2a8， 解得 a23，a824， 则有 q68，则 q22， a12a2q1032596 故选：D 【点评】本题考查等比数列的通项公式，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列 的通项公式的灵活运用 4 （5 分） ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a，b，c，若cosA，则ABC 为 （ ） A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形
12、 【分析】 由已知结合正弦定理可得 sinCsinBcosA 利用三角形的内角和及诱导公式可得， sin （A+B） sinBcosA 整理可得 sinAcosB+sinBcosA0 从而有 sinAcosB0 结合三角形的 性质可求 【解答】解：A 是ABC 的一个内角，0A， sinA0 cosA， 由正弦定理可得，sinCsinBcosA 第 7 页（共 22 页） sin（A+B）sinBcosA sinAcosB+sinBcosAsinBcosA sinAcosB0 又 sinA0 cosB0 即 B 为钝角 故选：A 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和
13、的正弦公式， 属于基础试题 5 （5 分）下列命题中为真命题的是（ ） A若 B直线 a，b 为异面直线的充要条件是直线 a，b 不相交 C “a1 是“直线 xay0 与直线 x+ay0 互相垂直”的充要条件 D若命题 p： ”xR，x2x10” ，则命题 p 的否定为： ”xR，x2x10” 【分析】对于 A，B，找出其反例；对于 C，可求出直线 xay0 与直线 x+ay0 互相垂 直的充要条件；对于 D，利用命题的否定方法即可 【解答】解：对于 A，只有当 x0 时，结论成立；对于 B，直线 a，b 不相交，直线 a， b 有可能平行；对于 C，直线 xay0 与直线 x+ay0 互相
14、垂直时，a1；对于 D， 显然成立 故选：D 【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解 答 6 （5 分）方程 log3x+x3 的解所在的区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，+） 【分析】可构造函数 f（x）log3x+x3，方程 log3x+x3 的解所在的区间是函数 f（x） log3x+x3 零点所在的区间，由零点存在的定理对四个选项中的区间进行验证即可 【解答】解：构造函数 f（x）log3x+x3，方程 log3x+x3 的解所在的区间是函数 f（x） log3x+x3 零点所在的区间， 由于 f（0）不存在，
15、f（1）2，f（2）log3210，f（3）10 故零点存在于区间（2，3） 方程 log3x+x3 的解所在的区间是（2，3） 第 8 页（共 22 页） 故选：C 【点评】本题考查函数零点的判定定理，求解本题的关键是将方程有根的问题转化为函 数有零点的问题从而利用零点存在性定理判断函数的零点所在的区间，即得函数的解所 在的区间解题时根据题设条件灵活转化，可以降低解题的难度转化的过程就是换新 的高级解题工具的过程 7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ） A B2 C （2） D （2） 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体， 从
16、而求出它的表面积 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体； 该圆锥的底面半径为 1，高为 1； 该几何体的表面积为 S212 故选：B 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目 8 （5 分）已知函数在区间内单调递减，则 的最大值是（ ） A B C D 【分析】利用二倍角公式化简，结合三角函数的单调性，在区间内单调递减， 建立不等式关系，即可求解 的最大值 【解答】解：函数cos（2x） 第 9 页（共 22 页） 区间内单调递减， ，kZ 可得， 0 当 k0 时，可得 故选：C 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角
17、函数公式将函数进行化简是解 决本题的关键 9 （5 分）如图，棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E、F 分别为 AB、A1B1的中 点，则三棱锥 FECD 的外接球体积为（ ） A B C D 【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出 球的体积 【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，连接 FC1，FD1，三棱锥 FECD 的外接 球即为三棱柱 FC1D1ECD 的外接球，在ECD 中，取 CD 中点 H，连接 EH，则 EH 为边 CD 的垂直平分线， 所以ECD 的外心在 EH 上， 设为点 M，同理可得FC1D1的外心 N
18、， 连接 MN，则三棱柱外接球的球心为 MN 的中点 设为点 O，由图可得，EM2CM2CH2+MH2，又 MH2EM，CH1， 如右图所示： 第 10 页（共 22 页） ， 可得， 所以， 解得， 所以 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10 （5 分）现有四个函数：yxsinx；yxcosx；yx|cosx|；yx2x的图象 （部分）如图： 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A B C D 【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到
19、 【解答】解：根据yxsinx 为偶函数，它的图象关于 y 轴对称，故第一个图象即是； 根据yxcosx 为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，）上的值为正数， 在（，）上的值为负数，故第三个图象满足； 根据yx|cosx|为奇函数，当 x0 时，f（x）0，故第四个图象满足； yx2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第 2 个图象满足， 第 11 页（共 22 页） 故选：D 【点评】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题 11 （5 分）设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 r 上存在点 P 满足|PF1|：|F1F2|： |PF2|
20、4：3：2，则曲线 r 的离心率等于（ ） A B或 2 C2 D 【分析】根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分 别利用定义表示出 a 和 c，则离心率可得 【解答】解：依题意设|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t， 若曲线为椭圆则 2a|PF1|+|PF2|6t，ct 则 e， 若曲线为双曲线则，2a4t2t2t，at，ct e 故选：A 【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征关键是利用圆锥曲线的定义来解决 12 （5 分）若函数 f（x）aexx2a 有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C （，0） D （0
21、，+） 【分析】函数 f（x）aexx2a 的导函数 f（x）aex1， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，函数 f（x）在 R 上单调，不可能有两个零点； 当 a0 时，令 f（x）0，得 xln，函数在（，ln）递减，在（ln，+） 递增， f（x）的最小值为 f（ln）1ln2a1+lna2a0 即可， 【解答】解：函数 f（x）aexx2a 的导函数 f（x）aex1， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，函数 f（x）在 R 上单调，不可能有两个零点； 当 a0 时，令 f（x）0，得 xln，函数在（，ln）递减，在（ln，+） 递增， 所以 f（x）的最小值为 f（ln）1ln2a
22、1+lna2a， 第 12 页（共 22 页） 令 g （a） 1+lna2a，（a0） ， g （a） ， a， g （a） 递增， a 递减， f（x）的最小值为 f（ln）0，函数 f（x）aexx2a 有两个零点； 综上实数 a 的取值范围是： （0，+） ， 故选：D 【点评】本题考查了函数零点的个数与函数图象和横轴交点的转换，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）公元一世纪的我国经典数学著作九章算术中有这样一道名题，就是“引葭 赴岸”问题，题目是： “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适马岸齐， 问
23、水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈（10 尺） ，有棵芦苇长在 它的正中央，高出水面部分有 1 尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到沿岸（池塘一边的中 点） ，则水深为 12 尺，葭长 13 尺 【分析】如图所示，OAOB，AC1，BCOA，BC5设水深 OCx 尺，则葭长为 x+1 尺在 RTOBC 中，利用勾股定理即可得出 【解答】解：如图所示，OAOB，AC1，BCOA，BC5 设水深 OCx 尺，则葭长为 x+1 尺 在 RTOBC 中，x2+52（x+1）2， 解得 x12 水深 OC12，则葭长为 13 尺 故答案为：12，13 【点评】本题考查了勾股定理的应用、方程
24、思想方法，考查了推理能力与计算能力，属 第 13 页（共 22 页） 于基础题 14 （5 分）若 （0，） ，且 3cos2sin（） ，则 sin2 的值为 1，或 【分析】由题意可得 3cos23sin2cossin，求得 cossin0，或 3 （cos+sin），分类讨论求得 sin2 的值 【解答】解：（0，） ，且 3cos2sin（） ， 3cos23sin2cossin， cossin0，或 3（cos+sin） 若 cossin0，则 ，sin21； 若 3（cos+sin），平方求得 sin2， 故答案为：1，或 【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式的应用，
25、属于中档题 15 （5 分）从抛物线 x24y 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|5，设抛 物线的焦点为 F，则三角形 MPF 的面积为 10 【分析】先设处 P 点坐标，求出抛物线的准线方程，求得 P 点横坐标，代入抛物线方程 求得 P 的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案 【解答】解：抛物线 x24y 上一点 P 引抛物线准线的垂线， 设 P（x0，y0） 依题意可知抛物线准线 y1， y0514 |x0|4， MPF 的面积为：5410 故答案为：10 【点评】本题主要考查了抛物线的应用抛物线的简单性质，解题的关键是灵活利用了 抛物线的定义 16 （5 分）直角坐
26、标系 xOy 中，已知点 A（0，2） ，N（l，0） 若动点 M 满足， 则的取值范围是 第 14 页（共 22 页） 【分析】 可设 M （x， y） ， 从而可以根据条件得出 x2+ （y2） 28， 并得出 ， 然后进行数量积的坐标运算即可求出，从而得出的取值范围 【解答】解：设 M（x，y） ，则根据得， 整理得，x2+（y2）28，其中， ， ， 的取值范围是 故答案为： 【点评】本题考查了两点间的距离公式，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标 的数量积运算，圆的标准方程，考查了计算能力，属于基础题 三、解答题：解答应写出文字说明三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
27、证明过程或演算步骤 17 （12 分）ABC，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 （1）求角 C 的大小； （2）若，a4，求 c 【分析】 （1）根据正弦定理可得和两角和正弦公式即可求出答案， （2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出 【解答】解： （1） acosB+bcosA2ccosC， 由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA2sinCcosC， 即 sin（A+B）2sinCcosC， 0c， sinC0， ， （2）由（1）知， 第 15 页（共 22 页） ， abb2， 解得 b2 ， 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式以及两角和
28、的正弦公式， 考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和 （）证明：数列an是等比数列； （）设 bn（2n1）an求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）由数列的递推式和等比数列的定义，即可得证； （）求得 bn（2n1）an（2n1） （）n，运用数列的求和方法：错位相减法求 和，结合等比数列的求和公式可得所求和 【解答】解： （）证明：， 当 n1 时，当 n2， n1 也满足上式， 所以，所以an是等比数列，公比是； （）bn（2n1）an（2n1） （）n， 前 n 项和 Tn1+3+5+（2n1） （）n， Tn1+3+5+（2n
29、1） （）n+1， 相减可得Tn+2（+（）n）（2n1） （）n+1 +2（2n1） （）n+1， 化简可得 第 16 页（共 22 页） 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位 相减法求和，化简运算能力，属于中档题 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADCD，ADBC，PAAD CD2，BC3E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 （）求证：CD平面 PAD； （）求二面角 FAEP 的余弦值； （）设点 G 在 PB 上，且判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由 【分析】 （）推导出 PACD，A
30、DCD，由此能证明 CD平面 PAD （）以 A 为原点，在平面 ABCD 内过 A 作 CD 的平行线为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 FAEP 的余弦值 （）求出（，0，） ，平面 AEF 的法向量 （1，1，1） ，0，从而 直线 AG 在平面 AEF 内 【解答】证明： （）PA平面 ABCD，PACD， ADCD，PAADA， CD平面 PAD 解： （）以 A 为原点，在平面 ABCD 内过 A 作 CD 的平行线为 x 轴， AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， A（0，0，0） ，E（0，1，1） ，
31、F（，） ， P（0，0，2） ，B（2，1，0） ， （0，1，1） ，（） ， 平面 AEP 的法向量 （1，0，0） ， 设平面 AEF 的法向量 （x，y，z） ， 第 17 页（共 22 页） 则，取 x1，得 （1，1，1） ， 设二面角 FAEP 的平面角为 ， 则 cos 二面角 FAEP 的余弦值为 （）直线 AG 在平面 AEF 内，理由如下： 点 G 在 PB 上，且G（，） ， （，） ， 平面 AEF 的法向量 （1，1，1） ， 0， 故直线 AG 在平面 AEF 内 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知 平面内的判断与求法，
32、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推 理能力与计算能力，属于中档题 20 （12 分）设椭圆的左焦点为 F，离心率为，过点 F 且与 x 轴 垂直的直线被椭圆截得的线段长为 （1）求椭圆的方程； （2）设 A，B 分别为椭圆的左右顶点过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点， 第 18 页（共 22 页） 若+8，求 k 的值 【分析】 （1）先根据椭圆方程的一般形式，令 xc 代入求出弦长使其等于，再由离 心率为，可求出 a，b，c 的关系，进而得到椭圆的方程 （2）直线 CD：yk（x+1） ，设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，由直线与椭圆消去
33、y 得， （2+3k2） x2+6k2x+3k260，再由韦达定理进行求解求得+，利用+ 8，即可求得 k 的值 【解答】解： （1）过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 ， 离心率为， 解得 b，c1，a 椭圆的方程为 ； （2）直线 CD：yk（x+1） ， 设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ， 由直线与椭圆消去 y 得， （2+3k2）x2+6k2x+3k260， x1+x2，x1x2， 又 A（，0） ，B（，0） ， + （x1+，y1） （x2y2）+（x2+，y2） （x1y1） 6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2， 6+8，解得 k，验证满足题意
34、 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想在椭圆中 一定要熟练掌握 a，b，c 之间的关系、离心率、准线方程等基本性质 21 （12 分）设 a 为实数，函数 f（x）ex2x+2a，xR （1）求 f（x）的单调区间及极值； 第 19 页（共 22 页） （2）求证：当 aln21 且 x0 时，exx22ax+1 【分析】 （1）由 f（x）ex2x+2a，xR，知 f（x）ex2，xR令 f（x）0， 得 xln2列表讨论能求出 f（x）的单调区间区间及极值 （2）设 g（x）exx2+2ax1，xR，于是 g（x）ex2x+2a，xR由（1）知当 aln21
35、时，g（x）最小值为 g（ln2）2（1ln2+a）0于是对任意 xR，都 有 g（x）0，所以 g（x）在 R 内单调递增由此能够证明 exx22ax+1 【解答】 （1）解：f（x）ex2x+2a，xR， f（x）ex2，xR 令 f（x）0，得 xln2 于是当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化情况如下表： x （，ln2） ln2 （ln2，+） f（x） 0 + f（x） 单调递减 2（1ln2+a） 单调递增 故 f（x）的单调递减区间是（，ln2） ， 单调递增区间是（ln2，+） ， f（x）在 xln2 处取得极小值， 极小值为 f（ln2）eln22ln2+2a2（1
36、ln2+a） ，无极大值 （2）证明：设 g（x）exx2+2ax1，xR， 于是 g（x）ex2x+2a，xR 由（1）知当 aln21 时， g（x）最小值为 g（ln2）2（1ln2+a）0 于是对任意 xR，都有 g（x）0，所以 g（x）在 R 内单调递增 于是当 aln21 时，对任意 x（0，+） ，都有 g（x）g（0） 而 g（0）0，从而对任意 x（0，+） ，g（x）0 即 exx2+2ax10， 故 exx22ax+1 【点评】本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性 质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用解题时要认真审题，仔细
37、 解答 第 20 页（共 22 页） 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用答时用 2B 铅铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos2+32sin212，且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上 （）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点求|FA|FB|的值
38、； （）设曲线 C 的内接矩形的周长为 P，求 P 的最大值 【分析】 （I）求出曲线 C 的普通方程和焦点坐标，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普 通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出； （II）设矩形的顶点坐标为（x，y） ，则根据 x，y 的关系消元得出 P 关于 x（或 y）的函 数，求出此函数的最大值 【解答】解： （I）曲线 C 的直角坐标方程为 x2+3y212，即 曲线 C 的左焦点 F 的坐标为 F（2，0） F（2，0）在直线 l 上， 直线 l 的参数方程为（t 为参数） 将直线 l 的参数方程代入 x2+3y212 得：t22t20， |FA|FB|t1t
39、2|2 （II）设曲线 C 的内接矩形的第一象限内的顶点为 M（x，y） （0，0y2） ， 则 x2+3y212，x P4x+4y4+4y 令 f（y）4+4y，则 f（y） 令 f（y）0 得 y1， 当 0y1 时，f（y）0，当 1y2 时，f（y）0 当 y1 时，f（y）取得最大值 16 第 21 页（共 22 页） P 的最大值为 16 【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程 的几何意义，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）若不等式 f（x）6 的解集为x|2x3，求实数 a 的值
40、； （2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立，求实数 m 的取值范 围 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求得 a3x3再根据不等式的解集为x|2x 3，可得 a32，从而求得实数 a 的值 （2）在（1）的条件下，f（n）|2n1|+1，即 f（n）+f（n）m，即|2n1|+|2n+1|+2 m求得|2n1|+|2n+1|的最小值为 2，可得 m 的范围 【解答】解： （1）函数 f（x）|2xa|+a， 故不等式 f（x）6， 即 ， 求得 a3x3 再根据不等式的解集为x|2x3， 可得 a32， 实数 a1 （2）在（1）的条件下，f（x）|2x1|+1， f（n）|2n1|+1，存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立， 即 f（n）+f（n）m，即|2n1|+|2n+1|+2m 由于|2n1|+|2n+1|（2n1）（2n+1）|2， |2n1|+|2n+1|的最小值为 2， m4， 故实数 m 的取值范围是4，+） 【点评】本题主要考查分式不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了等价转化 的数学思想，属于中档题
