1、已知集合 Mx|x23x0，Nx|1x3，则（RM）N（ ） A0，1） B （0，3 C （1，3） D1，3 2 （5 分）设 z+2i1，则 z 的虛部是（ ） Ai B1 C1 Di 3 （5 分）已知 alog113，blog0.50.2，c0.50.3，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Babc Cbca Dcab 4 （5 分）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三 维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙从外观上看，是严丝合 缝的十字立方体， 其上下、 左右、前后完全对称；六根等长的正四棱柱分成三组， 经 90 榫卯起来
2、如图所示，正四棱柱的高为 8，底面正方形的边长为 1，将这个鲁班锁放进一 个球形容器内，则该球形容器半径的最小值为（容器壁的厚度忽略不计） （ ） A B C D 5 （5 分）设 ab，函数 y（xb）2（xa）的图象可能是（ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D 6 （5 分）2019 年 4 月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作为了进 一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的 5 名专家对石柱 县的 3 个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安 排在同一乡镇的概率为（ ） A B C D 7 （5 分）已知非
3、零向 ， 满足| | |，且（ ） ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 t25，则输出的 n 的值为（ ） A3 B4 C5 D6 第 3 页（共 24 页） 9 （5 分）已知数列an为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 SnS13n（nN*且 n13） ，有 以下结论： Sl30；a70；an为递增数列；aI30 则正确的结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 10 （5 分）过抛物线 C：x22py（p0）的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，若 3|AF| |BF|，O 为坐标原点，则（ ） A B C4 D 11 （
4、5 分）已知函数 f（x）在 R 上都存在导函数 f（x） ，对于任意的实数 x 都有 e2x当 x0 时，f（x）+f（x）0，若 eaf（3a+1）f（2a+1） ，则实数 a 的取值范围 是（ ） A0， B，0 C0，+） D （，0 12 （5 分）在四面体 ABCD 中，ADDBACCB2，则当四面体 ABCD 的体积最大时， 其外接球表面积为（ ） A B C4 D8 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分分 13 （5 分）已知数列an满足 a11，anan+12anan+1（nN*） ，则 a10的值 14 （5 分）
5、“三个臭皮匠，赛过诸葛亮” ，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强 大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目 M 的概率为 p10.95；同时，有 n 个水平 相同的人也在相互独立地研究项目 M，他们各自独立地解决项目 M 的概率都是 0.5，这 个人的团队解决项目 M 的概率为 p2，若 p2p1，则 n 的最小值是 15 （5 分）已知函数 f（x）1+x+，若 h（x）f（x2020）的零点都在（a，b） 内，其中 a，b 均为整数，当 ba 取最小值时，则 b+a 的值为 16 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分別为 F1，F2，点 A 是 双曲线左支上的一点，直
6、线 AF1与直线 yx 平行，AF1F2的周长为 8a，则双曲线的 离心率为 第 4 页（共 24 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）已知 a、b、c 是ABC 中内角 A，B，C 的对边，a2，b3，cosA （1）求 c； （2）求 cos（B）的值 18 （12 分）如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA
7、底面 ABCD，PA AB2，ABC60，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 PC 上的动点 （1）求证：AE平面 PAD； （2）若锐二面角 EAFC 的正弦值为，求点 F 的位置 19 （12 分）已知椭圆 M：+1 的左、石顶点分别为 A、B，设 P 是曲线 M 上的任 意一点 （1）当点 P 异于 A、B 时，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2是否为定值？请 说明理由； （2）已知点 C 在椭圆 M 的长轴上（异于 A、B 两点） ，且|PC|的最大值为 3，求点 C 的 坐标 20 （12 分）十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020 年底全面脱贫现有扶贫工作
8、组 到某山区贫困村实施脱贫工作经摸底排查，该村现有贫困农户 100 家，他们均从事水 果种植，2017 年底该村平均每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水 果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人 数必须小于种植的人数从 2018 年初开始，若该村抽出 5x 户（xZ，1x9）从事水 果包装、销售经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高， 第 5 页（共 24 页） 而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 （3x）万元（参考数据：1.131.331， 1.1531.521，1.231.728） （1）至 2020 年底，为
9、使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1 万 6 千元） ，至少抽出多少户从事包装、销售工作？ （2）至 2018 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、 销售的户数；若不能，请说明理由 21 （12 分）已知 f（x）cosx+mx21（x0） （）若 f（x）0 在0，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围； （）证明：当 x0 时，ex2sinxcosx 请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程（10 分
10、）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为（ 为参数） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 0 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2） 设直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 P1， P2， 指出 0的范围， 并求+ 的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|2x+1|+|4x5|的最小值为 M （1）求 M； （2）若正实数 a，b，c 满足 a+b+c2M，求： （a+1）2+（b2）2+（c3）2的最小值 第 6 页（共 24 页） 2019-2
11、020 学年湖北省襄阳市优质高中高三（上）期末数学试卷学年湖北省襄阳市优质高中高三（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Mx|x23x0，Nx|1x3，则（RM）N（ ） A0，1） B （0，3 C （1，3） D1，3 【分析】化简集合 M，根据交集与补集的定义进行计算即可 【解答】解：集合 Mx|x23x0x|x0 或 x3
12、， Nx|1x3， RMx|0x3， （RM）Nx|1x3（1，3） 故选：C 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目 2 （5 分）设 z+2i1，则 z 的虛部是（ ） Ai B1 C1 Di 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数虚部的概念得答案 【解答】解：z+2i1+2i1， i+2i11+i， 则虚部为 1、 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，是基础题 3 （5 分）已知 alog113，blog0.50.2，c0.50.3，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Babc Cbca Dcab 【分析】由指数函
13、数与对数函数的单调性即可得出大小关系 【解答】解：alog113， blog0.50.2log0.50.51， 第 7 页（共 24 页） 1c0.50.30.50.5， acb 故选：A 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 4 （5 分）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三 维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙从外观上看，是严丝合 缝的十字立方体， 其上下、 左右、前后完全对称；六根等长的正四棱柱分成三组， 经 90 榫卯起来如图所示，正四棱柱的高为 8，底面正方形的边长为 1，将这个鲁班锁
14、放进一 个球形容器内，则该球形容器半径的最小值为（容器壁的厚度忽略不计） （ ） A B C D 【分析】根据题意与球的对称性，分析出该几何体是同样处于对称的状态时，其外接球 半径最小 【解答】解：由球的对称性可知，当三个正四棱柱都处于正中间契合的时候，其外接球 半径最小， 所以，此时该球为底面边长为 2、1，高为 8 的长方体的外接球时，设球的半径为 R， 所以 2R， 第 8 页（共 24 页） 所以该球型容器的最小半径为 R 故选：C 【点评】本题考查了几何体外接球的应用问题，也考查了对实际问题的理解能力，是创 新题 5 （5 分）设 ab，函数 y（xb）2（xa）的图象可能是（ ）
15、A B C D 【分析】判断 xb 及 axb 时，函数值与 0 的大小关系，即可得到答案 【解答】解：当 xb 时， （xb）20， （xa）0，故 y0，故排除 AB； 当 axb 时， （xb）20， （xa）0，故 y0，故排除 C； 故选：D 【点评】本题考查函数图象的确定，也可从不等式的角度解答，属于基础题 6 （5 分）2019 年 4 月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作为了进 一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的 5 名专家对石柱 县的 3 个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安 排在同一乡镇的概率为
16、（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n（）150甲、乙两名专家安排在 同一乡镇包含的基本事件个数 m36，由此能求出甲、乙两名专家安排 在同一乡镇的概率 【解答】解：当地安排包括甲、乙在内的 5 名专家对石柱县的 3 个不同的乡镇进行调研， 第 9 页（共 24 页） 要求每个乡镇至少安排一名专家， 基本事件总数 n（）150 甲、乙两名专家安排在同一乡镇包含的基本事件个数： m36， 则甲、乙两名专家安排在同一乡镇的概率为 p 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 7 （5 分）已知非零向 ， 满足| | |，且（ ）
17、 ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【分析】根据平面向量的数量积与模长公式，列出等式即可求出 与 夹角 【解答】解：设 与 的夹角为 ； 因为| | |，且（ ） ， （ ） 0， | | |cos| |20； cos； 0，； 故选：B 【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 t25，则输出的 n 的值为（ ） 第 10 页（共 24 页） A3 B4 C5 D6 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出变 量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，
18、可得答案 【解答】解：由循环图 S1，n0，m1； SSm110，m2m212，nn+10+11；符合 St； SSm022，m2m224，nn+11+12；符合 St； SSm246，m2m248，nn+12+13；符合 St； SSm6814，m2m2816，nn+1314；符合 St； SSm141630，m2m21632，nn+14+15；不符合 St，跳出 循环，输出结果，这时 n5， 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 9 （5 分）已知数列an为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 SnS13n（nN*且
19、 n13） ，有 以下结论： Sl30；a70；an为递增数列；aI30 则正确的结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 第 11 页（共 24 页） 【分析】取特殊值 n6，则 S6S7，即可得到 a70；利用 Sn与等差中项的关系即可得 到 Sl30；利用等差数列的通项公式得出 a1与 d 的关系，进而得解 【解答】解：令 n6，则 S6S136S7，又 S7S6+a7，所以 a70，即正确； 对于，所以正确； 设等差数列an的公差为 d，则 a7a1+6d0，所以 a10 时，d0；a10 时，d0； a10 时，d0， 所以均不正确 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、
20、等差中项性质、前 n 项和公式等，属于基础 题 10 （5 分）过抛物线 C：x22py（p0）的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，若 3|AF| |BF|，O 为坐标原点，则（ ） A B C4 D 【分析】根据条件画出示意图，设|AF|x，则|BF|3x，利用，求出 x，进而求 出比值 【解答】解：过 A 作 AE准线，过 B 作 BG准线，过 A 作 ADBG 交 BG 于点 D，交 y 轴于点 C 设|AF|x，则|BF|3x，F（0，） ，准线：y， 根据抛物线性质得：|AE|AF|x，|BG|BF|3x，|AB|x+3x4x， |BD|3xx2x，|FC|px， 由图可知
21、：，即，解得 xp， 则 故选：A 第 12 页（共 24 页） 【点评】本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考 查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 11 （5 分）已知函数 f（x）在 R 上都存在导函数 f（x） ，对于任意的实数 x 都有 e2x当 x0 时，f（x）+f（x）0，若 eaf（3a+1）f（2a+1） ，则实数 a 的取值范围 是（ ） A0， B，0 C0，+） D （，0 【分析】构造函数 g（x）exf（x） ，结合已知可判断函数的奇偶性及单调性，然后即可 求解不等式 【解答】解：令 g（x）exf（x） ， 当 x0 时，f
22、（x）+f（x）0， 则 g（x）exf（x）+f（x）0，x0， 因为对于任意的实数 x 都有e2x， 又 g（x）e xf（x）exf（x）e2xf（x） exg（x）即 g（x）为偶函数， 根据偶函数的对称性可知，当 x0 时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越小， 由 eaf（3a+1）f（2a+1） ，可得 e3a+1f（3a+1）e2a+1f（2a+1） ， 即 g（3a+1）g（2a+1） ， 所以|3a+1|2a+1|， 解可得， 第 13 页（共 24 页） 故选：B 【点评】本题主要考查利用单调性求解不等式，解题的关键是构造函数 g（x）并判断出 单调性及奇偶性 12
23、（5 分）在四面体 ABCD 中，ADDBACCB2，则当四面体 ABCD 的体积最大时， 其外接球表面积为（ ） A B C4 D8 【分析】由题意如图，当面 ABC面 ABD 时四面体的体积最大，由题知四面体的高，可 得ABC 和ABD 都是等腰三角形，可得外接圆的半径相等，进而求出外接球的半径， 再求外接球的表面积 【解答】解：取 AB 的中点 E，连接 DE，CE，ADDBACCB2，所以 CEAB， DEAB，DECEE，AB面 CED， 设 AB2x，x（0，2） ，所以 BEAEx， 则 CEDE， 所以当面 ABC面 ABD 时，四面体的体积最大，面 ABC面 ABDAB，CE
24、 在面 ABC， 所以 CE面 ABD， VSCEDAB2xsinCEDx （4x2）sinCED +x，令 f（x）+，x（0，2） ， f（x）x2+，令 f（x）0，则 x， x（0，） ，f（x）0，f（x）单调递增；x，f（x）0，f（x） 单调递减， 所以当 x，f（x）最大，即四面体的体积最大， 即 AEBE，DECE， 设底面 ABD， 侧面 ABC 的外接圆圆心分别为 M， N， 则 MDCN 为外接圆的半径， 过 M， N 分别做外接圆的垂线交于 O，则 O 为外接球的球心，连接 OD，则 OD 为外接球的半径 R， 由题意可得 sinEDB， cosEDB， 所以 sin
25、ADB2sinEDB 第 14 页（共 24 页） cosEDB， 所以 2MD，所以 MD，EMENOMDEMD ， 在ODM 中，R2DO2DM2+MO2（）2+（）2， 所以外接球的表面积 S4R2 故选：A 【点评】考查四面体的体积最大时外接球的半径与棱长的关系及球的表面积公式，属于 中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知数列an满足 a11，anan+12anan+1（nN*） ，则 a10的值 【分析】依题意可得2，又1，利用等差数列的通项公式即可求得 a10 的值 【解答】解：anan+12a
26、nan+1（nN*） ， 2，又1 数列是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 1+2（n1）2n1， 第 15 页（共 24 页） a10 故答案为： 【点评】本题考查数列递推式，转化得到数列是首项为 1，公差为 2 的等差数列是 关键，考查等差数列的通项公式的应用，属于中档题 14 （5 分） “三个臭皮匠，赛过诸葛亮” ，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强 大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目 M 的概率为 p10.95；同时，有 n 个水平 相同的人也在相互独立地研究项目 M，他们各自独立地解决项目 M 的概率都是 0.5，这 个人的团队解决项目 M 的概率为 p2，若 p
27、2p1，则 n 的最小值是 5 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式直接求解 【解答】解：李某智商较高，他独自一人解决项目 M 的概率为 p10.95， 同时，有 n 个水平相同的人也在相互独立地研究项目 M，他们各自独立地解决项目 M 的 概率都是 0.5， 这个人的团队解决项目 M 的概率为 p2，若 p2p1， 则 10.5n0.95，解得 n5 n 的最小值是 5 故答案为：5 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公 式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 15 （5 分）已知函数 f（x）1+x+，若 h（x）f（x202
28、0）的零点都在（a，b） 内，其中 a，b 均为整数，当 ba 取最小值时，则 b+a 的值为 4039 【分析】求导数，确定 f（x）是 R 上的增函数，函数 f（x）在（1，0）上有一个零点， 即可得出结论 【解答】解：因为 f（x）1x+x2（x）2+0，所以 f（x）时 R 上的增函数， 又因为 f（1）0，f（0）10，所以 f（x）在（1，0）上存在唯一零点， 则 h（x）f（x2020）在（2019，2020）上存在唯一零点， 则 a2019，b2020，所以 ba 的最小值在 b2020，a2019 时取到， 则 a+b2020+20194039， 故答案为：4039 第 16
29、 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查函数零点的判断和应用，求出函数的导数，判断函数的单调性， 以及利用函数零点的性质判断函数的零点所在的区间是解决本题的关键，综合性较强， 有一定的难度 16 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分別为 F1，F2，点 A 是 双曲线左支上的一点，直线 AF1与直线 yx 平行，AF1F2的周长为 8a，则双曲线的 离心率为 21 【分析】利用已知条件设 AF1|m，|AF2|n，通过双曲线的定义和解三角形，列出 a、b、 c 的关系，转化求解双曲线的离心率即可 【解答】解：双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 是 双曲
30、线左支上的一点， 若直线 AF1与直线 yx 平行， 设|AF1|m，|AF2|n，tanAF1F2，cosAF1F2 可得， 可得 m3ac，n5ac， 代入 n2m2+4c24am， 化简得 7a22acc20，由 e，可得 e2+2e70， （e1） ， 解得 e21 故答案为：21 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和简单性质的应用，考查三角形的余弦定理和两 直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第
31、题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）已知 a、b、c 是ABC 中内角 A，B，C 的对边，a2，b3，cosA （1）求 c； 第 17 页（共 24 页） （2）求 cos（B）的值 【分析】 （1）由已知结合余弦定理即可求解 c， （2）结合直角三角形的三角函数值及两角差的余弦公式即可求解 【解答】解： （1）因为 a2，b3，cosA， 由余弦定理可得，cosA， 即， 解可得 c3 或 c1（舍） （2）由（1）可得 bc，由 A 向 BC 作垂线，垂足为 D，则易得 BD， 所以 cosB，sinB， 故
32、 cos（B） 【点评】本题主要考查了余弦定理及差角余弦公式的简单应用，属于基础试题 18 （12 分）如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，PA AB2，ABC60，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 PC 上的动点 （1）求证：AE平面 PAD； （2）若锐二面角 EAFC 的正弦值为，求点 F 的位置 【分析】 （1）推导出 AEPA，AEBC，BCAD，AEAD，由此能证明 AE平面 PAD （2）以 A 为原点，AE 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法求出点 F 是 PC 中点 【解答】解： （1）证
33、明：底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD， AEPA， ABC60，E 为棱 BC 的中点， AEBC，BCAD，AEAD， 第 18 页（共 24 页） PAADA，AE平面 PAD （2）解：以 A 为原点，AE 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， PAAB2，设 F（a，b，c） ，01， 则 A（0，0，0） ，E（，0，0） ，C（，1，0） ，P（0，0，2） ， （，0，0） ，（，1，0） ， （a，b，c2）（，2） ， F（） ，（） ， 设平面 AEF 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （0，1，） ， 设平面 ACF
34、 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，0） ， 锐二面角 EAFC 的正弦值为， |cos|， 解得，点 F 是 PC 中点 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点的位置的判断与求法，考查空 间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）已知椭圆 M：+1 的左、石顶点分别为 A、B，设 P 是曲线 M 上的任 第 19 页（共 24 页） 意一点 （1）当点 P 异于 A、B 时，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2是否为定值？请 说明理由； （2）已知点 C 在椭圆 M 的长轴上（异于 A、B 两
35、点） ，且|PC|的最大值为 3，求点 C 的 坐标 【分析】 （1）由题意可得 A，B 的坐标，设 P 的坐标求出直线 PA，PB 的斜率，求出斜率 之积，由于 P 在椭圆上，满足椭圆的方程，可得为定值； （2）设 M 的坐标及 P 的坐标，由于椭圆的对称性先设 M 在 y 轴右侧，可得最大值时 P 为左顶点，讨论求出 M 在 y 轴左侧时 P 为右顶点，求出 M 的坐标 【解答】解： （1）由椭圆的方程及题意可得：A（2，0） ，B（2，0）设 P（x，y） ，y 0， 因为 P 在椭圆上，所以，所以 y23（1）3 则 kPAkPB3， 所以由题意可得 k1k2是为定值，且定值为； （2
36、）设 P（x，y） ，C（m，0） ，由题意可得 m（2，2）由于椭圆的对称性，设 m0， 即 0m2， 这时|PC|， 因为 m0，所以 x2 时|PC|的值最大，即3，即 m2+4m5 0，m（0，2） ，解得：m1， 即这时 M（1，0） ，此时的 P 为左顶点（2，0） ， 同理可得 M（1，0）时，P 为右顶点（2，0） ， 综上所述 M（1，0） ，或 M（1，0） 【点评】考查椭圆的性质对称性，属于中档题 20 （12 分）十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020 年底全面脱贫现有扶贫工作组 到某山区贫困村实施脱贫工作经摸底排查，该村现有贫困农户 100 家，他们均从事水 第
37、 20 页（共 24 页） 果种植，2017 年底该村平均每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水 果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人 数必须小于种植的人数从 2018 年初开始，若该村抽出 5x 户（xZ，1x9）从事水 果包装、销售经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高， 而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 （3x）万元（参考数据：1.131.331， 1.1531.521，1.231.728） （1）至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1 万 6 千元） ，至少抽出多少
38、户从事包装、销售工作？ （2）至 2018 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、 销售的户数；若不能，请说明理由 【分析】 （1 设至 2020 年底，种植户平均收入16，解不等式得 x，即可求出答案； （2）设至 2018 年底，每户平均收入为 f（x）万元，1.35，解不等式 得 x，即可求出答案 【解答】解： （1）设至 2020 年底，种植户平均收入16， 设其解为 xx020（1） ， 由题意所给数据知 1.151+1.2，解得 3x04， 又 xZ，1x9， 则 x4， 即至少抽取 20 户， 答：至少抽出 20 户从事包装、销售工作， （2）设
39、至 2018 年底，每户平均收入为 f（x）万元， 则 f（x）， 假设能达到 1.35 万元，则 f（x）1.35，xZ，1x9， 第 21 页（共 24 页） 则1.35， 即 3x230x+700，xZ，1x9， 解得 x4，5，6， 答：当抽出从事包装、销售的户数不少于 20 户且不超过 30 户时，能达到，否则，不能 【点评】本题主要考查函数在实际生活中的应用、也是高考的热点，它可以综合地考查 中学数学思想与方法，体现知识的交汇 21 （12 分）已知 f（x）cosx+mx21（x0） （）若 f（x）0 在0，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围； （）证明：当 x0 时，ex2
40、sinxcosx 【分析】 （）连续求导，分 2m1，12m1 及 2m1 讨论即可； （）由（）可得即证，构造函数，只需其 恒大于等于 0 即可 【解答】解： （）由题意 f（x）sinx+2mx，f（x）cosx+2m， 若 2m1，即时，f（x）0，则 f（x）在0，+）单调递增， 则 f（x）f（0）0，则 f（x）在0，+）单调递增，故 f（x）f（0）0，满 足题意； 若12m1，即时，存在 x00，使得 f（x0）0，且当 x（0，x0） 时，f（x）0， 则 f（x）在（0，x0）上单调递减，则 f（x）f（0）0，则 f（x）在（0，x0） 单调递减，此时 f（x）f（0）0
41、，舍去； 若 2m1，即时，f（x）0，则 f（x）在0，+）上单调递减，则 f （x）f（0）0，则 f（x）在0，+）单调递减，f（x）f（0）0，舍去； 故 （） 证明： 由 （） 知， 当时， f （x） cosx+mx210， 取， 则， 由（）f（x）sinx+x0，则 xsinx，故， 要证 ex2sinxcosx，只需证， 第 22 页（共 24 页） 令，则 g（x）exx1，g（x）ex1， 当 x0 时，g（x）0，则 g（x）在0，+）上单调递增，有 g（x）g（0） 0， 故 g（x）在0，+）调递增，故 g（x）g（0）0， 故，得证 【点评】本题考查导数的综合运用
42、，考查不等式恒成立求参数的取值范围及不等式的证 明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题 请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程（10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为（ 为参数） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 0 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2） 设直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 P1， P2， 指出 0的范围， 并求+ 的取
43、值范围 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （2） 利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的 应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） 转换为直角坐标方 程为整理得， 化简得：， 转换为极坐标方程为 （2）直线 l 的极坐标方程为 0转换为直角坐标方程为 ytan0x，整理得 tan0xy 0， 则利用圆心（）到直线的距离 d1，解得 0tan0， 第 23 页（共 24 页） 所以 0的范围为（0，） 由于与 0相交于 1和 2， 则：， 所以，12
44、3， 所以+ ， 由于 0的范围为（0，） ， 所以： 所以， 故 故：+的取值范围为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|2x+1|+|4x5|的最小值为 M （1）求 M； （2）若正实数 a，b，c 满足 a+b+c2M，求： （a+1）2+（b2）2+（c3）2的最小值 【分析】 （1）作出分段函数的图象，数形结合即可求得函数 f（x）|2x+1|+|4x5|的最 小值为 M； （2）由 a+b+c7，得（a+b+c）42（a+1）+（b2）+（c3）2，把等式右侧展 开平方，然后利用基本不等式求最值 第 24 页（共 24 页） 【解答】解： （1）f（x），函数图象如图所示： 由图可知，M； （2）由（1）可知，a+b+c7 （a+b+c）42（a+1）+（b2）+（c3）2 （a+1）2+（b2）2+
