1、已知全集 UR，集合 Ax|0，Bx|x1，则集合x|x0等于（ ） AAB BAB CU（AB） DU（AB） 2 （5 分）若 zsin+（cos）i 是纯虚数，则 tan（）的值为（ ） A7 B C7 D7 或 3 （5 分）已知| |2，向量 在向量 上的投影为，则 与 的夹角为（ ） A B C D 4 （5 分）下列命题中为真命题的是（ ） A若 B直线 a，b 为异面直线的充要条件是直线 a，b 不相交 C “a1 是“直线 xay0 与直线 x+ay0 互相垂直”的充要条件 D若命题 p： ”xR，x2x10” ，则命题 p 的否定为： ”xR，x2x10” 5 （5 分）从
2、抛物线 y24x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|5，设抛物 线的焦点为 F，则MPF 的面积为（ ） A6 B8 C10 D15 6 （5 分）已知函数 g（x）f（x）+x2是奇函数，当 x0 时，函数 f（x）的图象与函数 y log2x 的图象关于 yx 对称，则 g（1）+g（2）（ ） A7 B9 C11 D13 7 （5 分）将函数 f（x）2sin（2x+）的图象向右平移 个单位，再将图象上每一点的 横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线 x对称，则 的最小正值为（ ） A B C D 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ） 第
3、2 页（共 24 页） A B2 C （2） D （2） 9 （5 分）若 log4（3a+4b）log2，则 a+b 的最小值是（ ） A6+2 B7+2 C6+4 D7+4 10 （5 分）如图，棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E、F 分别为 AB、A1B1的中 点，则三棱锥 FECD 的外接球体积为（ ） A B C D 11 （5 分）椭圆 C：l（ab0）与抛物线 E：y24x 相交于点 M，N，过点 P （1，0）的直线与抛物线 E 相切于 M，N 点，设椭圆的右顶点为 A，若四边形 PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 12 （5
4、分）已知函数 f（x）ln+，g（x）ex 2，若 g（m）f（n）成立，则 nm 的最小值为（ ） A1ln2 Bln2 C23 De23 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）当直线 l： （2m+1）x+（m+1）y7m40（mR）被圆 C： （x1）2+（y2） 225 截得的弦最短时，m 的值为 第 3 页（共 24 页） 14 （5 分）若，tan（2）1，则 tan（） 15 （5 分）已知双曲线的左右焦点分别为 F1，F2，若 C 上 一点 P 满足，且，则双曲线 C 的渐近线方程 为 16 （5 分）如图，矩形 AB
5、CD 中，AB2AD4，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻转成A1DE，构成四棱锥 A1BCDE，若 M 为线段 A1C 的中点，在翻转过程中有如下 四个命题： MB平面 A1DE；存在某个位置，使 DEA1C；存在某个位置，使 A1DCE； 点 A1在半径为的圆周上运动，其中正确的命题是 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，cosC+ （）求 A； （）若 a，求ABC 周长的取值范围 18 （12 分）已知在等比数列an中，a22，a
6、4a5128，数列bn满足 b11，b22，且 为等差数列 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列bn的前 n 项和 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，AD 2，ADC60，E，F 分别为 AD，PC 的中点 （1）求证：EF平面 PAB； （2）点 G 是线段 PD 上一动点，若 CG 与平面 PAD 所成最大角的正切值为，求二面 角 GECF 的余弦值 第 4 页（共 24 页） 20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+y2r2（r0）与直线 l0：相 切，点 A 为圆 C1上一动点，ANx 轴
7、于点 N，且动点满足，设动点 M 的轨 迹为曲线 C （）求曲线 C 的方程； （）设 P，Q 是曲线 C 上两动点，线段 PQ 的中点为 T，OP，OQ 的斜率分别为 k1，k2， 且，求|OT|的取值范围 21 （12 分）设函数 f（x）x2mlnx，h（x）x2x+a （）当 a0 时，f（x）h（x）在（1，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围； （）当 m2 时，若函数 g（x）f（x）h（x）在1，3上恰有两个不同零点，求实 数 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
8、答时用答时用 2B 铅铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos2+32sin212，且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上 （）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点求|FA|FB|的值； （）设曲线 C 的内接矩形的周长为 P，求 P 的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）若不等式 f（x）6 的解
9、集为x|2x3，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立，求实数 m 的取值范 围 第 5 页（共 24 页） 2019-2020 学年宁夏六盘山高中高三（上）期末数学试卷（理科）学年宁夏六盘山高中高三（上）期末数学试卷（理科） （B 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|0，Bx|x1，则集合x|x0等于（ ） AAB BAB CU（AB） DU（AB） 【分析】先解分式不等式化简
10、集合 A，求出集合 A 与集合 B 的并集，观察得到集合x|x 0是集合（AB）在实数集中的补集 【解答】解：由，得 x（x1）0，解得：0x1 所以 Ax|0x|0x1， 又 Bx|x1， 则 ABx|0x1x|x1x|x0， 所以，集合x|x0U（AB） 故选：D 【点评】本题考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，可以转化为不等式组或整 式不等式求解，考查了交、并、补集的混合运算此题是基础题 2 （5 分）若 zsin+（cos）i 是纯虚数，则 tan（）的值为（ ） A7 B C7 D7 或 【分析】由题意求得 sin，cos，可得 tan再由 ，运算求得结果 【解答】解：由于是纯
11、虚数，故 sin，cos， 故 tan 第 6 页（共 24 页） 7， 故选：A 【点评】本题主要考查复数的基本概念，同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式 的应用，属于中档题 3 （5 分）已知| |2，向量 在向量 上的投影为，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【分析】利用平面向量投影的定义，列出方程求出 与 夹角的余弦值，即可得出夹角大 小 【解答】解：记向量 与向量 的夹角为 ， 在 上的投影为| |cos2cos 在 上的投影为， cos， 0， 故选：B 【点评】本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，基础题目 4 （5 分）下列命题中为真命题的是（ ） A若 B直线 a
12、，b 为异面直线的充要条件是直线 a，b 不相交 C “a1 是“直线 xay0 与直线 x+ay0 互相垂直”的充要条件 D若命题 p： ”xR，x2x10” ，则命题 p 的否定为： ”xR，x2x10” 【分析】对于 A，B，找出其反例；对于 C，可求出直线 xay0 与直线 x+ay0 互相垂 直的充要条件；对于 D，利用命题的否定方法即可 【解答】解：对于 A，只有当 x0 时，结论成立；对于 B，直线 a，b 不相交，直线 a， b 有可能平行；对于 C，直线 xay0 与直线 x+ay0 互相垂直时，a1；对于 D， 第 7 页（共 24 页） 显然成立 故选：D 【点评】本题考
13、查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解 答 5 （5 分）从抛物线 y24x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|5，设抛物 线的焦点为 F，则MPF 的面积为（ ） A6 B8 C10 D15 【分析】根据抛物线方程设出点 P 的坐标，根据|PM|5 求得|y0|，最后利用三角形面积 公式求得答案 【解答】解：设 P（，y0） 则|PM|+15 所以|y0|4 所以MPF 的面积4510 故选：C 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对基础知识的灵活运用和数形 结合的数学思想的运用 6 （5 分）已知函数 g（x）f（x）+x2是奇函数，
14、当 x0 时，函数 f（x）的图象与函数 y log2x 的图象关于 yx 对称，则 g（1）+g（2）（ ） A7 B9 C11 D13 【分析】由 x0 时，函数 f（x）的图象与函数 ylog2x 的图象关于 yx 对称可得出，x 0 时，f（x）2x，从而得出 x0 时，g（x）2x+x2，再根据 g（x）是奇函数即可求 出 g（1）+g（2）的值 【解答】解：x0 时，f（x）的图象与函数 ylog2x 的图象关于 yx 对称； x0 时，f（x）2x； x0 时，g（x）2x+x2，又 g（x）是奇函数； g（1）+g（2）g（1）+g（2）（2+1+4+4）11 故选：C 第 8
15、 页（共 24 页） 【点评】考查奇函数的定义，以及互为反函数的两函数图象关于直线 yx 对称，指数函 数和对数函数互为反函数 7 （5 分）将函数 f（x）2sin（2x+）的图象向右平移 个单位，再将图象上每一点的 横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线 x对称，则 的最小正值为（ ） A B C D 【分析】根据三角函数图象的变换规律得出图象的解析式 f（x）， 再根据三角函数的性质，当时函数取得最值，列出关于 的不等式，讨论求解即 可 【解答】解：将函数的图象向右平移 个单位所得图象的解析式 ，再将图象上每一点的横坐标缩短到 原来的倍所得图象的解析式 f（x） 因为所得图象关于直线对称
16、， 所以当时函数取得最值， 所以 k+，kZ 整理得出 ，kZ 当 k0 时， 取得最小正值为 故选：B 【点评】本题考查三角函数图象的变换规律，三角函数的图象与性质在三角函数图象 的平移变换中注意是对单个的 x 或 y 来运作的，如本题中，向右平移 个单位后相位应 变为，而非 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ） 第 9 页（共 24 页） A B2 C （2） D （2） 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体， 从而求出它的表面积 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体； 该圆锥的底
17、面半径为 1，高为 1； 该几何体的表面积为 S212 故选：B 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目 9 （5 分）若 log4（3a+4b）log2，则 a+b 的最小值是（ ） A6+2 B7+2 C6+4 D7+4 【分析】利用对数的运算法则可得0，a4，再利用基本不等式即可得出 【解答】解：3a+4b0，ab0， a0b0 log4（3a+4b）log2， log4（3a+4b）log4（ab） 3a+4bab，a4，a0b0 0， a4， 则 a+ba+a+a+3+（a4）+7+7 4+7，当且仅当 a4+2取等号 故选：D 【点评】本题考查了对数的运算法则、
18、基本不等式的性质，属于中档题 10 （5 分）如图，棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E、F 分别为 AB、A1B1的中 点，则三棱锥 FECD 的外接球体积为（ ） 第 10 页（共 24 页） A B C D 【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出 球的体积 【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，连接 FC1，FD1，三棱锥 FECD 的外接 球即为三棱柱 FC1D1ECD 的外接球，在ECD 中，取 CD 中点 H，连接 EH，则 EH 为边 CD 的垂直平分线， 所以ECD 的外心在 EH 上， 设为点 M，同理可得
19、FC1D1的外心 N， 连接 MN，则三棱柱外接球的球心为 MN 的中点 设为点 O，由图可得，EM2CM2CH2+MH2，又 MH2EM，CH1， 如右图所示： ， 可得， 所以， 解得， 所以 故选：D 第 11 页（共 24 页） 【点评】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 11 （5 分）椭圆 C：l（ab0）与抛物线 E：y24x 相交于点 M，N，过点 P （1，0）的直线与抛物线 E 相切于 M，N 点，设椭圆的右顶点为 A，若四边形 PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为（ ） A B C
20、D 【分析】设过点 P 的直线方程为 xmy1，将该直线的方程与抛物线的方程联立，由 0， 得出 m 的值， 并代入方程求出切点 M、 N 的坐标， 求出点 A 的坐标， 由四边形 PMAN 为平 行四边形，得出直线 AM 和 PN 的斜率相等，求出 a 的值，由切点 M 在椭圆上，将点 M 的坐标代入椭圆方程求出 b 的值，进而求出 c 的值，最终可求出椭圆的离心率 【解答】解：设过点 P（1，0）的直线方程为 xmy1，联立直线与抛物线的方程组 可得，得 y24my+40， 因为直线与抛物线相切，则16m2160，得 m1，所以切线方程为 xy1 或 x y1 此时，或，即切点为 M（1，
21、2）或 N（1，2） ， 又椭圆的右顶点为 A（a，0） ，因为四边形 PMAN 为平行四边形，所以，kPMkAN，即得 ，解得 a3， 又交点（1，2）在椭圆上，所以，得， 所以， 因此，椭圆的离心率为 故选：B 【点评】本题考查圆锥曲线的综合问题，解决本题的关键在于将平行四边形这个条件进 行转化，同时也考查了计算能力，属于难题 第 12 页（共 24 页） 12 （5 分）已知函数 f（x）ln+，g（x）ex 2，若 g（m）f（n）成立，则 nm 的最小值为（ ） A1ln2 Bln2 C23 De23 【分析】根据 g（m）f（n）t 得到 m，n 的关系，利用消元法转化为关于 t
22、的函数， 构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论 【解答】解：不妨设 g（m）f（n）t， em 2ln +t， （t0） m2lnt，m2+lnt，n2 故 nm22lnt， （t0） 令 h（t）22lnt， （t0） ， h（t）2，易知 h（t）在（0，+）上是增函数，且 h（）0， 当 t时，h（t）0， 当 0t时，h（t）0， 即当 t时，h（t）取得极小值同时也是最小值， 此时 h（）22ln22+ln2ln2，即 nm 的最小值为 ln2； 故选：B 【点评】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数， 利用导数研究函数的极值和最值
23、是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 第 13 页（共 24 页） 13 （5 分）当直线 l： （2m+1）x+（m+1）y7m40（mR）被圆 C： （x1）2+（y2） 225 截得的弦最短时，m 的值为 【分析】由题意可得直线 l 经过定点 A（3，1） 要使直线 l 被圆 C 截得的弦长最短，需 CA 和直线 l 垂直，故有 KCAKl1，再利用斜率公式求得 m 的值 【解答】解：直线 l： （2m+1）x+（m+1）y7m40，即 m（2x+y7）+（x+y4） 0， 圆 C： （x1）2+（y2
24、）225 的圆心 C（1，2） 、半径为 5， 由，解得，故直线 l 经过定点 A（3，1） 要使直线 l 被圆 C 截得的弦长最短，需 CA 和直线 l 垂直， 故有 KCAKl1，即 （）1， 解得 m 故答案为： 【点评】本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，属于 基础题 14 （5 分）若，tan（2）1，则 tan（） 2 【分析】由已知求得 tan，再由 tan（）tan（2）tan+（2） 展开两角和的正切求解 【解答】解：由，得，即 tan3 又 tan（2）1， tan（）tan（2）tan+（2） 故答案为：2 【点评】本题考查三角函数的化简求值，
25、考查倍角公式及两角和的正切，是基础题 15 （5 分）已知双曲线的左右焦点分别为 F1，F2，若 C 上 一点 P 满足，且，则双曲线 C 的渐近线方程 为 y2x 第 14 页（共 24 页） 【分析】点 P 满足，可得EPF90，令|PF2|m，则 2m，2mm2a，m2a 由勾股定理得：4a2+162|F1F2|24c2，b 2a，可得双曲线 C 的渐近线方程 【解答】解：点 P 满足，|PO|c 可得EPF90， 令|PF2|m，则2m，2mm2a，m2a 由勾股定理得：4a2+16a2|F1F2|24c2，cc25a2，b24a2 b2a，则双曲线 C 的渐近线方程为 y 故答案为：
26、y2x 【点评】本题主要考查了双曲线的方程与性质，考查双曲线的定义考查学生的计算能 力，属于中档题 16 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB2AD4，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻转成A1DE，构成四棱锥 A1BCDE，若 M 为线段 A1C 的中点，在翻转过程中有如下 四个命题： MB平面 A1DE；存在某个位置，使 DEA1C；存在某个位置，使 A1DCE； 点 A1在半径为的圆周上运动，其中正确的命题是 第 15 页（共 24 页） 【分析】取 CD 中点 F，连接 MF，BF，运用面面平行的性质定理，可判断； 若存在某个位置，使 DEA1C，运用线面垂直的判断
27、和性质，即可判断； 运用面面垂直的性质定理，即可判断；DE 的中点 O 是定点，OA1，即可判断 【解答】解：取 CD 中点 F，连接 MF，BF， 则 MFDA，1，BFDE， 平面 MBF平面 A1DE， MB平面 A1DE，故正确； 若存在某个位置，使 DEA1C， 由 CEDE2，CD4，可得 CEDE， 则 DE平面 A1CE，即 DEA1C， 显然不正确，故不正确 由 CEDE，可得平面 A1DE平面 ABCD 时， A1DCE，故正确 DE 的中点 O 是定点，OA1， A1是在以 O 为圆心，为半径的圆上，故正确， 故答案为： 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了线
28、面、面面平行与垂直的判定和 性质定理，难度中档 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 第 16 页（共 24 页） 17 （12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，cosC+ （）求 A； （）若 a，求ABC 周长的取值范围 【分析】 （）由正弦定理及两角和的正弦公式可得 sinAcosC+sinAsinCsinB+sinC， 利用 sinBsin（A+C）代入整理可求得 A 的值； （）通过余弦定理以及基本不等式求出 b+c 的取值范围，再利用三角形三边关系求出 周长的取值范围 【解答】解： （）A
29、BC 中，cosC+， 由正弦定理得，cosC+sinC 所以 sinAcosC+sinAsinCsinB+sinC， 所以 sinAcosC+sinAsinCsin（A+C）+sinCsinAcosC+sinCcosA+sinC， 所以sinAsinCsinCcosA+sinC； 又 C（0，） ，所以 sinC0， 所以sinAcosA1， 所以 sin（A）， 所以 A， 所以 A； （）由余弦定理得，a2b2+c22bccosA， 则 3b2+c2bc， （b+c）23bc3， 即 3bc（b+c）233（b+c）2， 化简得， （b+c）212（当且仅当 bc 时取等号） ， 则 b
30、+c2，又 b+ca， 所以ABC 的周长 a+b+c 的取值范围是（2，3 【点评】本题考查了正弦、余弦定理和基本不等式的应用问题，也考查了诱导公式与辅 助角公式应用问题，是中档题 18 （12 分）已知在等比数列an中，a22，a4a5128，数列bn满足 b11，b22，且 第 17 页（共 24 页） 为等差数列 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列bn的前 n 项和 【分析】 （1）根据等比数列的性质得到 a764，a22，进而求出公比，得到数列an的 通项，再由等差数列的公式得到结果； （2）根据第一问得到通项，分组求和即可 【解答】解： （1）设等比数列an的公比为
31、q 由等比数列的性质得 a4a5a2a7128，又 a22，所以 a764 所以公比 所以数列an的通项公式为 ana2qn 222n22n1 设等差数列的公差为 d 由题意得，公差， 所以等差数列的通项公式为 所以数列bn的通项公式为（n1，2，） （2）设数列bn的前 n 项和为 Tn 由（1）知，（n1，2，） 记数列的前 n 项和为 A， 数列2n 2的前 n 项和为 B， 则 ， 所以数列bn的前 n 项和为 【点评】这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求 和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，
32、PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，AD 2，ADC60，E，F 分别为 AD，PC 的中点 第 18 页（共 24 页） （1）求证：EF平面 PAB； （2）点 G 是线段 PD 上一动点，若 CG 与平面 PAD 所成最大角的正切值为，求二面 角 GECF 的余弦值 【分析】 （1）取 PB 的中点 H，连结 FH，AH，推导出四边形 AEFH 为平行四边形，从而 EFAH，由此能证明 EF平面 PAB （2）连结 CE，EG，CG，推导出CGE 为 CG 与平面 PAD 所成角的平面角，当 EG 最 短时，CGE 最大，EGPD，以 A 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法
33、能求出 二面角 GECF 的余弦值 【解答】证明： （1）取 PB 的中点 H，连结 FH，AH， E，F 分别为 AD，PC 的中点，FHBC，FHBC， 由题知 AEBC，AEBC，AEFH，AEFH， 四边形 AEFH 为平行四边形， EFAH， EF平面 PAB，且 AH平面 PAB， EF平面 PAB 解： （2）连结 CE，EG，CG， 四边形 ABCD 为菱形，AD2，ADC60， ADC 是等边三角形，E 为 AD 中点， CEAD，且 CE， PA平面 ABCD，CE平面 ABCD，CEPA，ADPA， CE平面 PAD， EG平面 PAD，CEEG， CGE 为 CG 与平
34、面 PAD 所成角的平面角， 第 19 页（共 24 页） 在 RtCEG 中，tan， 当 EG 最短时，CGE 最大，EGPD， tan，EG， 在 RtDEG 中，ED1，EG，GDE45，PA2， 以 A 为原点，如图建立空间直角坐标系， 则 P（0，0，2） ，D（0，2，0） ，E（0，1，0） ，C（，1，0） ，F（，） ， 则（0，2，2） ，（，0，0） ，（，1） ， EGPD，CEPD，PD平面 CGE， 平面 CGE 的一个法向量为（0，1，1） ， 平面 ECF 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （0，2，1） ， 设二面角 GECF 的平面角为 ，
35、则 cos， 二面角 GECF 的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+y2r2（r0）与直线 l0：相 切，点 A 为圆 C1上一动点，ANx 轴于点 N，且动点满足，设动点 M 的轨 迹为曲线 C 第 20 页（共 24 页） （）求曲线 C 的方程； （）设 P，Q 是曲线 C 上两动点，线段 PQ 的中点为 T，OP，OQ 的斜率分别为 k1，k2， 且，求|OT|的取值范围 【分析】 （）设动点 M（x，
36、y） ，A（x0，y0） ，由于 ANx 轴于点 N，得 N（x0，0） ，由 圆 C1：x2+y2r2（r0）与直线 l0：相切求得 r 值，得到圆的方程，再由向量 等式得到 M，A 的坐标关系把点 A 的坐标代入圆 C1，即可求得曲线 C 的方程； （）当 PQ 的斜率不存在时，设直线 OP：y，求得|OT|；当 PQ 的斜率存在 时，设直线 PQ：ykx+m，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，联立直线方程与椭圆方程利用根 与系数的关系结合得： 2m21+4k2， 则， 进一步求得|OT|） ， 则|OT|的取值范围可求 【解答】解： （）设动点 M（x，y） ，A（x0，y0） ，
37、由于 ANx 轴于点 N， N（x0，0） ，又圆 C1：x2+y2r2（r0）与直线 l0：相切， r2，则圆 C1：x2+y24 由题意，得（x，y）+（xx0，yy0）（x0，0） ， ，即， 又点 A 为圆 C1上的动点，x2+4y24，即； （）当 PQ 的斜率不存在时，设直线 OP：y， 不妨取点 P（） ，则 Q（） ，T（） ，|OT| 当 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ：ykx+m，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m240 ， ，4y1y2+x1x20 4（kx1+m） （kx2+m）+x1x2 第 21 页（共 24 页
38、） 化简得：2m21+4k2， 64k2m24（4k2+1） （4m24）16（4k2+1m2）16m20 设 T（x3，y3） ，则， ，2） ， |OT|） 综上，|OT|的取值范围是 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 属难题 21 （12 分）设函数 f（x）x2mlnx，h（x）x2x+a （）当 a0 时，f（x）h（x）在（1，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围； （）当 m2 时，若函数 g（x）f（x）h（x）在1，3上恰有两个不同零点，求实 数 a 的取值范围 【分析】 （I）由 a0，我们可以由 f（x）h（x）在（1，+）上恒
39、成立，得到mlnx x，即在（1，+）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即 可得到实数 m 的取值范围； （） 当 m2 时，我们易求出函数 g（x）f（x）h（x）的解析式，由方程的根与 对应函数零点的关系，易转化为 x2lnxa，在1，3上恰有两个相异实根，利用导数分 析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于 a 的不等式组，解不等式组即可得 到答案 【解答】解： （I）由 a0，f（x）h（x）可得mlnxx，即 记，则 f（x）h（x）在（1，+）上恒成立等价于 m（x）min （3 分） 求得（4 分） 当 x（1，e）时；（x）0；当 x（e，+）时，（x）0（5 分）
40、故 （x）在 xe 处取得极小值，也是最小值， 第 22 页（共 24 页） 即 （x）min（e）e，故 me （6 分） （II）函数 k（x）f（x）h（x）在1，3上恰有两个不同的零点等价于方程 x2lnx a， 在1，3上恰有两个相异实根 （7 分） 令 g（x）x2lnx，则（8 分） 当 x1，2）时，g（x）0，当 x（2，3时，g（x）0 g（x）在1，2上是单调递减函数，在（2，3上是单调递增函数 故 g（x）ming（2）22ln2（10 分） 又 g（1）1，g（3）32ln3 g（1）g（3） ， 只需 g（2）ag（3） ， （12 分） 故 a 的取值范围是（22
41、ln2，32ln3（13 分） 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，其中（I）的关键 是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题， （II）的关键是利用导数分析函数的单调性 后，进而构造关于 a 的不等式组 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用答时用 2B 铅铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的
42、 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos2+32sin212，且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上 （）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点求|FA|FB|的值； （）设曲线 C 的内接矩形的周长为 P，求 P 的最大值 【分析】 （I）求出曲线 C 的普通方程和焦点坐标，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普 通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出； （II）设矩形的顶点坐标为（x，y） ，则根据 x，y 的关系消元得出 P 关于 x（或 y）的函 数，求出此函数的最大值 【解答】解： （I）曲线 C 的直角坐标方程为 x2+3y212，即 第 23
43、页（共 24 页） 曲线 C 的左焦点 F 的坐标为 F（2，0） F（2，0）在直线 l 上， 直线 l 的参数方程为（t 为参数） 将直线 l 的参数方程代入 x2+3y212 得：t22t20， |FA|FB|t1t2|2 （II）设曲线 C 的内接矩形的第一象限内的顶点为 M（x，y） （0，0y2） ， 则 x2+3y212，x P4x+4y4+4y 令 f（y）4+4y，则 f（y） 令 f（y）0 得 y1， 当 0y1 时，f（y）0，当 1y2 时，f（y）0 当 y1 时，f（y）取得最大值 16 P 的最大值为 16 【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化
44、，函数的最值，参数方程 的几何意义，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）若不等式 f（x）6 的解集为x|2x3，求实数 a 的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数 n 使 f（n）mf（n）成立，求实数 m 的取值范 围 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求得 a3x3再根据不等式的解集为x|2x 3，可得 a32，从而求得实数 a 的值 （2）在（1）的条件下，f（n）|2n1|+1，即 f（n）+f（n）m，即|2n1|+|2n+1|+2 m求得|2n1|+|2n+1|的最小值为 2，可得 m 的范围 【解答】解： （1）函数 f（x）|2xa|+a， 故不等式 f（x）6， 第 24 页（共 24 页） 即 ， 求得 a3x3 再根据不等式的解集为x|2x3， 可得 a32， 实数 a1 （2）在（1）的条件下，f（x）|2x1|+1， f（n）
