2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、已知点 A（2，1）在角 的终边上，则 sin 2 （3 分）函数 ysin（x+2）的最小正周期是 3 （3 分）设扇形半径为 2cm，圆心角的弧度数为 2，则扇形的面积为 4 （3 分）已知函数 f（x）sinx（x0，）和函数 g（x）tanx 的图象交于 A，B，C 三点，则ABC 的面积为 5 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对 称，若 sin，则 cos（） 6 （3 分）已知 sin（x），则 sin2x 的值为 7 （3 分）设 x，y（0，） ，且满足， 则 xy 8 （3 分）我国古代数学家秦九韶在数学九章中记述了

2、“三斜求积术” ，用现代式子表 示即为：在ABC 中，A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，则ABC 的面积 根据此公式若 acosB+（b+3c）cosA0，且 a2b2 c22，则ABC 的面积为 9 （3 分）若函数在区间上有两个不同的零点 x1，x2，则 x1+x2a 的取值范围是 10 （3 分）已知函数在上单调递减，则实数 m 的取值范围 是 二、选择题二、选择题 11 （3 分）已知 cosk，kR，（，） ，则 sin（+）（ ） A B C Dk 12 （3 分）对任意的锐角 ，下列不等关系中正确的是（ ） Asin（+）sin+sin Bsin（+）cos+cos 第

3、2 页（共 18 页） Ccos（+）sin+sin Dcos（+）cos+cos 13 （3 分）设函数 f（x）Asin（x+） （A， 是常数，A0，0，|） ，为 了得到 f（x）的图象，则只需将 g（x）cos2x 的图象（ ） A向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向左平移个单位 14 （3 分）若涵数 f（x）sin（2x）与 g（x）cosxsinx 都在区间（a，b） （0a b）上单调递减，则 ba 的最大值为（ ） A B C D 15 （3 分） 已知 ， 为锐角且， 下列说法正确的是（ ） Af（x）在定义域上为递增函数 Bf（x）在定义域上为递减函

4、数 Cf（x）在（，0上为增函数，在（0，+）上为减函数 Df（x）在（，0上为减函数，在（0，+）上为增函数 16 （3 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边的长，若 a2+b22020c2，则 的值为（ ） A1 B2018 C2019 D2020 三、解答题三、解答题 17化简： 18已知函数 （1）用五点法作出 f（x）在一个周期内的图象，并写出 f（x）的值域，最小正周期，对 第 3 页（共 18 页） 称轴方程（只需写出答案即可） ； （2）将 f（x）的图象向左平移一个单位得到函数 yg（x）的图象，求 yg（x）的 单调递增区间 19如图，矩形 ABCD

5、中，E，F 两点分别在边 AB，BC 上，DEF90，设ADE， EDF （1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式； （2）若，且 sin（+x），cos（y）， 求 cos（xy）的值 20某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱 AB 与地面垂直，灯杆 BC 与灯柱 AB 所在的平面与道路走向垂，路灯 C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面 ABC 的部分截面如 图中阴影部分所示已知ABC，ACD，路宽 AD24 米设BAC （1）求灯柱 AB 的高 h（用 表示） ； （2）此公司应该如何设置 的值才能使制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度 最小？最小值为多少？（结果

6、精确到 0.01 米） 21设函数 f（x）5cossinx5sin（x）+（4tan3）sinx5sin 为偶函数 （1）求 tan 的值； （2）若 f（x）的最小值为6，求 f（x）的最大值及此时 x 的取值； 第 4 页（共 18 页） （3）在（2）的条件下，设函数，其中 0，0已 知 yg（x）在处取得最小值并且点是其图象的一个对称中心， 试求 + 的最小值 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年上海中学高一（下）期中数学试卷学年上海中学高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）已知点 A（2，1）在角 的终边上

7、，则 sin 【分析】根据三角函数的坐标法定义，直接计算即可 【解答】解：设 O 为坐标原点，因为 A（2，1） 由已知得， 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的坐标法定义，以及学生的运算能力，属于基础题 2 （3 分）函数 ysin（x+2）的最小正周期是 2 【分析】由题意利用正弦函数的周期性，得出结论 【解答】解：函数 ysin（x+2）的最小正周期是2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题 3 （3 分）设扇形半径为 2cm，圆心角的弧度数为 2，则扇形的面积为 4cm2 【分析】由已知利用扇形的面积公式即可计算得解 【解答】解：由已知可得：半径 r 为

8、2cm，圆心角 的弧度数为 2， 则扇形的面积 Sr24cm2 故答案为：4cm2 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题 4 （3 分）已知函数 f（x）sinx（x0，）和函数 g（x）tanx 的图象交于 A，B，C 三点，则ABC 的面积为 【分析】画出两个函数的图象，求出三个点的坐标，然后求解三角形面积 【解答】解：函数 f（x）sinx（x0，）和函数 g（x）tanx 的图象，可得 A（0， 第 6 页（共 18 页） 0） ， B （， 0） ， 令 sinxtanx， 解得 C （，） ， 所以 SABC 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的图象以及三角形的

9、面积的求法，考查转化思想以及计算能 力 5 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对 称，若 sin，则 cos（） 【分析】方法一：根据教的对称得到 sinsin，coscos，以及两角差的余弦 公式即可求出 方法二：分 在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦 公式即可求出 【解答】解：方法一：角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称， sinsin，coscos， cos（）coscos+sinsincos2+sin22sin211 方法二：sin， 当 在第一象限时，cos， ， 角的终边关于

10、 y 轴对称， 在第二象限时，sinsin，coscos， cos（）coscos+sinsin+ ：sin， 当 在第二象限时，cos， 第 7 页（共 18 页） ， 角的终边关于 y 轴对称， 在第一象限时，sinsin，coscos， cos（）coscos+sinsin+ 综上所述 cos（）， 故答案为： 【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论， 属于基础题 6 （3 分）已知 sin（x），则 sin2x 的值为 【分析】利用二倍角的正弦可求得，从而可得 sin2x 的 值 【解答】解：sin（x）， ， 1sin2x， sin2x 故答案为：

11、 【点评】本题考查二倍角的正弦，考查诱导公式的应用，考查转化思想与运算能力，属 于中档题 7 （3 分）设 x，y（0，） ，且满足， 则 xy 【分析】结合已知条件，利用和差角公式，平方关系化简可得 sin（xy）1，进而得 到答案 【解答】解：x，y（0，） ，且xy， 第 8 页（共 18 页） （由于xy） ， 故答案为： 【点评】本题主要考查三角函数的化简求值，考查和差角公式以及同角三角函数基本关 系的运用，考查运算能力，属于基础题 8 （3 分）我国古代数学家秦九韶在数学九章中记述了“三斜求积术” ，用现代式子表 示即为：在ABC 中，A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，则A

12、BC 的面积 根据此公式若 acosB+（b+3c）cosA0，且 a2b2 c22，则ABC 的面积为 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果 【解答】解：由于 acosB+（b+3c）cosA0， 整理得：acosB+bcosA3ccosA， 所以 c3ccosA， 故 由余弦定理得：b2+c2a22bccosA2， 整理得 bc3， 所以： 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 9 （3 分）若函数在区间上有两个不同的零点 x1，x2，则 x1+x2a 的取值

13、范围是 第 9 页（共 18 页） 【分析】 由题意将问题转化为与 y1a 在区间上有两个不 同的交点的问题，作出两个函数的图象，可求解 【解答】解：若函数在区间上有两个不同 的零点 x1，x2， 即在区间上有两个不同的零点 x1，x2， 也就是与 y1a 区间上有两个不同的交点， 横坐标分别为 x1，x2， 数形结合可知， 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的图象与性质，以及利用数形结合思想解决问题的能力，同 时考查了学生的运算能力，属于中档题 10 （3 分）已知函数在上单调递减，则实数 m 的取值范围是 （，1 【分析】根据题意，任取，由函数单调性的定义分析可得 f（）f（） ，据此变

14、形可得 m，分析 第 10 页（共 18 页） 的最小值，即可得答案 【解答】解：根据题意，任取， 若函数在上单调递减，则有 f（）f（）0，即 f（） f（） 则有 可得， 又由，则 从而，变形可得 ， 必有 m1，即 m 的取值范围为（，1； 故答案为（，1 【点评】本题函数的单调性的性质，涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用，属 于基础题 二、选择题二、选择题 11 （3 分）已知 cosk，kR，（，） ，则 sin（+）（ ） A B C Dk 【分析】由已知及同角三角函数基本关系的运用可求 sin，从而由诱导公式即可得解 【解答】解：cosk，kR，（，） ， sin， sin

15、（+）sin 故选：A 第 11 页（共 18 页） 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于 基本知识的考查 12 （3 分）对任意的锐角 ，下列不等关系中正确的是（ ） Asin（+）sin+sin Bsin（+）cos+cos Ccos（+）sin+sin Dcos（+）cos+cos 【分析】对于 A，B 中的 ， 可以分别令为 30，60验证即可，对于 C 中的 ， 可 以令他们都等于15， 验证即可， 对于D我们可以用放缩法给出证明cos （+） coscos sinsincos1+cos1cos+cos 【解答】解：对于 AB 中的 ， 可以分

16、别令为 30，60则知道 A，B 均不成立 对于 C 中的 ， 可以令他们都等于 15，则知道 C 不成立 cos（+）coscossinsincos1+cos1cos+cos 故选：D 【点评】本题考查了两角和与差的正余弦公式，同时也考查了放缩法对命题的证明，属 于基础题 13 （3 分）设函数 f（x）Asin（x+） （A， 是常数，A0，0，|） ，为 了得到 f（x）的图象，则只需将 g（x）cos2x 的图象（ ） A向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向左平移个单位 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值， 可得 f（x）的

17、解析式，再根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：利用函数 f（x）Asin（x+） （A， 是常数，A0，0，|） 的图象， 第 12 页（共 18 页） 可得 A1，2 再根据五点法作图，可得 2+，故 f（x）sin（2x+） 将 g（x）cos2xsin（2x+）的图象向右平移个单位， 可得 ysin（2x+）sin（2x+）f（x）的图象， 故选：A 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的 顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，函数 yAsin（x+）的 图象变换规律，属于基础题 14 （3 分）若

18、涵数 f（x）sin（2x）与 g（x）cosxsinx 都在区间（a，b） （0a b）上单调递减，则 ba 的最大值为（ ） A B C D 【分析】求出涵数 f（x） 、g（x）在（0，）上的单调递减区间，从而求得 ba 的最大 值 【解答】解：涵数 f（x）sin（2x）在（0，）上单调递增， 在（，）上单调递减，在（，）上单调递减； 函数 g（x）cosxsinxcos（x+）在（0，）上单调递减， 在（，）上单调递增； f（x） 、g（x）都在区间（，）上单调递减， ba 的最大值为 故选：B 【点评】本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题，是中档题 15 （3 分） 已知 ，

19、 为锐角且， 下列说法正确的是（ ） Af（x）在定义域上为递增函数 Bf（x）在定义域上为递减函数 第 13 页（共 18 页） Cf（x）在（，0上为增函数，在（0，+）上为减函数 Df（x）在（，0上为减函数，在（0，+）上为增函数 【分析】先利用 ， 为锐角且 +结合三角函数的单调性得出，的 取值范围，再对 x 的值分类讨论，结合指数函数的单调性即可得出答案 【解答】解：， 为锐角且 +，0， coscos（） ，sinsin（） ， 即 0cossin，sincos0， 01，01 在（，0上，为增函数， 在（0，+）上，为减函数 故选：C 【点评】本题主要考查了指数函数的单调性与特

20、殊点，考查了三角函数的性质，属于基 础题 16 （3 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边的长，若 a2+b22020c2，则 的值为（ ） A1 B2018 C2019 D2020 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果 【解答】解：由于ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边的长，若 a2+b22020c2， 所以 a2+b2c22019c2， 则：， ， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角 第 14 页（共 18 页） 形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力

21、及思维能力，属于基础题型 三、解答题三、解答题 17化简： 【分析】利用诱导公式化简要求的式子，再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形 式 【解答】解： 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，要特别注意公式中的符 号 18已知函数 （1）用五点法作出 f（x）在一个周期内的图象，并写出 f（x）的值域，最小正周期，对 称轴方程（只需写出答案即可） ； （2）将 f（x）的图象向左平移一个单位得到函数 yg（x）的图象，求 yg（x）的 单调递增区间 【分析】 （1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象，利用余弦函数的性质即 可求解其值域，最小正周期，对称轴方程 （2）

22、由条件利用 yAsin（x+）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解 y g（x）的单调递增区间 【解答】解： （1）2cos（2x+） ， 列表如下： 2x+ 0 2 x y 2 0 2 0 2 作图： 第 15 页（共 18 页） 可得：f（x）的值域为2，2，最小正周期为 ，对称轴方程为 （2）将 f（x）2cos（2x+）的图象向左平移一个单位得到函数 yg（x）2cos （2x+）2sin（2x+）的图象， 令 2k+2x+2k+，kZ，解得 k+xk+，kZ，可得函数的 单调递增区间为： 【点评】本题主要考查用五点法作函数 yAsin（x+）在一个周期上的图象，yAsin （

23、x+）的图象变换规律，考查正弦函数的性质，属于基础题 19如图，矩形 ABCD 中，E，F 两点分别在边 AB，BC 上，DEF90，设ADE， EDF （1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式； （2）若，且 sin（+x），cos（y）， 求 cos（xy）的值 【分析】 （1）根据题意利用直角三角形的边角关系，即可证明 cos（+）coscos sinsin； （2）利用三角恒等变换化简求值即可 第 16 页（共 18 页） 【解答】解： （1）由已知ADEBEF， 所以 cos（+）cosDFC coscossinsin； （2）由已知， 从而， ， 所以 【点评】本题考查了直角

24、三角形边角关系应用问题，也考查了三角函数化简求值问题， 是中档题 20某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱 AB 与地面垂直，灯杆 BC 与灯柱 AB 所在的平面与道路走向垂，路灯 C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面 ABC 的部分截面如 图中阴影部分所示已知ABC，ACD，路宽 AD24 米设BAC （1）求灯柱 AB 的高 h（用 表示） ； （2）此公司应该如何设置 的值才能使制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度 最小？最小值为多少？（结果精确到 0.01 米） 【分析】 （1）在ACD 中与在ABC 中，分别利用正弦定理即可得出； （2）ABC 中，利用正弦定理可

25、得：BC，再利用和差公式即可得出 第 17 页（共 18 页） 【解答】解： （1）在ACD 中， 由，得， 在ABC 中， 由，得 （2）ABC 中， 由，得， ， ， 当时，AB+BC 取得最小值 故制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度最小，最小值约为 21.86 米 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 21设函数 f（x）5cossinx5sin（x）+（4tan3）sinx5sin 为偶函数 （1）求 tan 的值； （2）若 f（x）的最小值为6，求 f（x）的最大值及此时 x 的取值； （3）在（2）的条

26、件下，设函数，其中 0，0已 知 yg（x）在处取得最小值并且点是其图象的一个对称中心， 试求 + 的最小值 【分析】 （1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果 （2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果 （3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值 【解答】解： （1）f（x）5cosxsin+（4tan3）sinx5sin，f（x）是偶函数， （4tan3）sinx0 对一切 xR 恒成立， 第 18 页（共 18 页） （2）f（x）5sin（cosx1） ，其最小值为6，此时， f（x）3（cosx1） ，从而 f（x）的最大值为 0

27、，此时 x 的取值为 x2k，kZ； （3）3cosx 3+3sinx+3 由 g（x）在处取最小值，知 g（x）的图象关于对称， 有 故， 且， 从而， 则，即 k（kZ） 又 0，则 是正整数，0， 是正整数， ， 当 1 时，显然，g（x）在处有最大值，而不 是最小值，矛盾 当 4 时，显然，g（x）在处有最大值， 而不是最小值，矛盾 当 7 时， 显然，g（x）g（x）在处有最小值，且 yg（x）的图象关于点中 心对称， + 的最小值为 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 分类讨论思想的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型