1、已知集合 P1，0，1，Qx|1x1，则 PQ（ ） A0 B1，0 C1，0 D1，1） 2 （4 分）若一个幂函数的图象经过点，则它的单调增区间是（ ） A （，1） B （0，+） C （，0） DR 3 （4 分）下列函数既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的是（ ） Af（x）sinx Bf（x）|x+1| Cf（x） Df（x）ln 4 （4 分）函数 ylnx+2x6 零点的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 5 （4 分）已知函数 f（x）是奇函数，且当 x0 时，f（x）x2+，则 f（1）（ ） A2 B0 C1 D2 6 （4 分）已知，则（ ） Asincos Bco
2、ssin C（sincos） Dsin+cos 7 （ 4分 ） 在 下 列 函 数 y cos|2x|y|tanx|ysin|x|中周期为 的函数的个数为（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 8 （4 分）函数的大致图象是（ ） A B 第 2 页（共 18 页） C D 9 （4 分）已知函数 f（x）2sinx（其中 0） ，若对任意，存在 ，使得 f（x1）f（x2） ，则 的取值范围为（ ） A3 B03 C D0 10 （4 分）已知函数 f（x）是 R 上的增函数，且 f（sin）+f（cos）f（sin）+f （cos） ，其中 是锐角，并且使得 g（x）sin（x+
3、）在（，）上单调递减， 则 的取值范围是（ ） A （， B，） C，） D， 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分）分） 11 （6 分） ；，则 12 （6 分）函数的单调增区间为 ；奇偶性为 （填奇函数、偶 函数或者非奇非偶函数） 13 （6 分）若 lgxm，lgyn，则 ；若 am2，an6（a0， m，nR） ，则 14 （6 分）函数 ycosxsin2xcos2x+的值域为 ；函数 f（x）的值域 为 15 （4 分）设函数，则 f（f（4） ） 16 （4 分）若，则 sin
4、17（4 分） 已知函数 f （x） ， 若 f （x） 的值域为0， +） ， 则 a 的取值范围 三解答题（本大题有三解答题（本大题有 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18 （14 分）设全集为 R，Ax|3x7，Bx|4x10， 第 3 页（共 18 页） （1）求R（AB）及（RA）B； （2）Cx|a4xa+4，且 ACA，求 a 的取值范围 19 （15 分）如图是 f（x）Asin（x+） ，在区 间上的图象， （）求函数 f（x）的解析式； （）若把函数 f（x）图象向左平移 个单位（0）后，与函
5、数 g（x）cos2x 重合， 求 的最小值 20 （15 分）已知函数 （）求函数 f（x）在区间上的值域 （）把函数 f（x）图象所有点的上横坐标缩短为原来的倍，再把所得的图象向左平 移 个单位长度，再把所得的图象向下平移 1 个单位长度，得到函数 g （x） ，若函数 g（x）关于点对称 （i）求函数 g（x）的解析式； （ii）求函数 g（x）单调递增区间及对称轴方程 21 （15 分）已知 m0，函数 f（x）sinx+cosxmsinxcosx+1 （）当 m1 时，求函数 f（x）的最大值并求出相应 x 的值； （）若函数 f（x）在上有 6 个零点，求实数 m 的取值范围 22
6、 （15 分）已知 a 为正数，函数 f（x）ax2 （）解不等式 g（x）； （）若对任意的实数 t，总存在 x1，x2t1，t+1，使得|f（x1）f（x2）|g（x）对 第 4 页（共 18 页） 任意 x2，4恒成立，求实数 a 的最小值 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）已知集合 P1，0，1，Qx|1x1，则 PQ（ ） A0 B1，
7、0 C1，0 D1，1） 【分析】利用交集定义直接求解 【解答】解：集合 P1，0，1，Qx|1x1， PQ1，0 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运 用 2 （4 分）若一个幂函数的图象经过点，则它的单调增区间是（ ） A （，1） B （0，+） C （，0） DR 【分析】先求出幂函数的解析式，再得出其单调增区间 【解答】解：设幂函数 f（x）x， 函数 f（x）经过点， ，解得 2， ， 故它的单调递增区间为（，0） 故选：C 【点评】本题考查幂函数的定义及性质，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础 题 3 （4 分）下列函数既是
8、奇函数，又在区间1，1上单调递减的是（ ） Af（x）sinx Bf（x）|x+1| Cf（x） Df（x）ln 【分析】分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论 【解答】解：函数 f（x）sinx，是奇函数，在1，1上单调递增，不满足条件 第 6 页（共 18 页） 函数 f（x）|x+1|不是奇函数，不满足条件， 函数 f（x）是偶函数，不满足条件， 故选：D 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和 单调性的性质 4 （4 分）函数 ylnx+2x6 零点的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】可判断 ylnx+2x6 在其定
9、义域上连续且单调递增，从而再借助零点的判定定 理解得 【解答】解：ylnx+2x6 在其定义域上连续且单调递增， y|x2ln2+46ln220， y|x3ln3+66ln30， 故函数 ylnx+2x6 在（2，3）上有一个零点， 故函数 ylnx+2x6 零点的个数为 1， 故选：B 【点评】本题考查了函数的单调性的判断及零点的判定定理的应用 5 （4 分）已知函数 f（x）是奇函数，且当 x0 时，f（x）x2+，则 f（1）（ ） A2 B0 C1 D2 【分析】由奇函数定义得，f（1）f（1） ，根据 x0 的解析式，求出 f（1） ，从而 得到 f（1） 【解答】解：f（x）是定义
10、在 R 上的奇函数， f（x）f（x） ，f（1）f（1） ， 又当 x0 时，f（x）x2+， f（1）12+12，f（1）2， 故选：A 【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自 变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题 6 （4 分）已知，则（ ） 第 7 页（共 18 页） Asincos Bcossin C（sincos） Dsin+cos 【分析】直接由三角函数的诱导公式化简结合已知条件计算即可得答案 【 解 答 】 解 ： 由， |sincos|sincos， 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式的
11、运用，是基础 题 7 （ 4分 ） 在 下 列 函 数 y cos|2x|y|tanx|ysin|x|中周期为 的函数的个数为（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【分析】根据三角函数的周期公式分别进行计算判断即可 【解答】解：的周期 T，满足条件， 的周期 T， ycos|2x|cos2x，周期 T，满足条件， 的周期是不满足条件 y|tanx|的周期是 ，满足条件， ysin|x 是偶函数，不具备周期性 故正确的是 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数周期的计算，结合三角函数周期公式以及三角函数的图 象和性质是解决本题的关键比较基础 8 （4 分）函数的大致图象是（ ） 第 8
12、 页（共 18 页） A B C D 【分析】求出函数的零点，排除选项，求出函数的导数，判断函数的极值点排除选项即 可 【解答】解： ：由函数知有两个零点与 x0，排除 A，又 ， 由 f（x）0 知函数有两个极值点，排除 C，D， 故选：B 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的零点以及函数的极值的求法，考查转化思 想以及计算能力 9 （4 分）已知函数 f（x）2sinx（其中 0） ，若对任意，存在 ，使得 f（x1）f（x2） ，则 的取值范围为（ ） A3 B03 C D0 【分析】由函数的奇偶性的定义判断出函数 f（x）是奇函数，再由题意和函数的周期公 式列出不等式，求出 的取值
13、范围 【解答】解：由题意知，函数 f（x）2sinx 是奇函数， 因为对任意 x1，0，都存在 x2（0， 使得 f（x1）f（x2） ， （0，至少是个周期， 得到函数 f（x）的周期T2， 第 9 页（共 18 页） 解得 ， 则 的取值范围为，+） ； 故选：C 【点评】本题考查正弦函数的周期性，以及函数的奇偶性的定义，属于中档题 10 （4 分）已知函数 f（x）是 R 上的增函数，且 f（sin）+f（cos）f（sin）+f （cos） ，其中 是锐角，并且使得 g（x）sin（x+）在（，）上单调递减， 则 的取值范围是（ ） A （， B，） C，） D， 【分析】 根据函数的
14、基本性质， sin 与 cos 的关系要么 sincos， 要么 sincos， 根据已知条件容易判断出 sincos，由 为锐角便得到，而由 g（x）在 （，）单调递减便得到 g（x）cos（x+）0 在（，）内恒成立，所 以得到 cos（x+） ）0 在（，）内恒成立，所以函数 cos（x+）的周期 ，所以，根据此时的 范围可得到 只需再满足 +，即可得到 的范围 【解答】解：若 sincos，则cossin； f（x）是 R 上的增函数；f（sin）f（cos） ，f（cos）f（sin） ； 符合 f（sin）+f（cos）f（cos）+f（sin） ； 是锐角； 若 sincos，则
15、cossin； f（sin）+f（cos）f（cos）+f（sin） ，显然与已知矛盾，即这种情况不存在； 由 g（x）cos（x+） ； 由已知条件知，cos（x+）0 在 x（，）上恒成立； 函数 cos（x+）的周期； 2；2； 第 10 页（共 18 页） 由得， 联立： 解得： 的取值范围为（ 故选：A 【点评】考查了函数的基本性质中的增函数的定义，x 是锐角时，满足 sinxcosx 的 x 的 范围的求解，三角函数函数周期的定义及求法，以及函数单调性以及导函数符号的关 系属于中档题 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，
16、单空题每题 4 分，共分，共 36 分）分） 11 （6 分） ；，则 +2k，+2k，kZ 【分析】根据三角函数的定义和性质进行求解即可 【解答】解：， 由，知在一个周期内， 则在 R 上 的范围是+2k+2k，kZ，即 +2k，+2k，kZ， 故答案为：，+2k，+2k，kZ 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的图象和性质是解决本题的关 键比较基础 12 （6 分）函数的单调增区间为 0，+） ；奇偶性为 偶函数 （填 奇函数、偶函数或者非奇非偶函数） 【分析】 求出内层函数 t|x|+1 的减区间， 结合复合函数的单调性即可得到原函数的增 区间；直接利用定义判断原函数的奇
17、偶性 【解答】解：令 t|x|+1，该函数的减区间为0，+） ， 而外层函数 y为减函数， 函数的单调增区间为0，+） ； 第 11 页（共 18 页） 函数的定义域为 R，且 f（x）f（x） ， 函数为偶函数 故答案为：0，+） ；偶函数 【点评】本题考查复合函数单调性的求法，训练了利用定义判断函数的奇偶性，是基础 题 13 （6 分）若 lgxm，lgyn，则 ；若 am2，an6 （a0，m，nR） ，则 【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解 【解答】解：lgxm，lgyn， ； am2，an6（a0，m，nR） ， 故答案为：， 【点评】本题考查指数式、对数式化简、求值，考
18、查指数、对数的性质、运算法则等基 础知识，考查运用求解能力，是基础题 14 （6 分）函数 ycosxsin2xcos2x+的值域为 ；函数 f（x） 的值域为 【分析】首先把函数的关系式，变形成二次函数的形式，进一步利用二次函数的性质 的应用求出结果 利用关系式的变换的应用， 把函数的 sinx的关系式， 进一步利用正弦函数的值 域求出结果 【解答】解：函数 ycosxsin2xcos2x+cosxsin2xcos2x+sin2x+ ， 当 cosx时，ymax2， 第 12 页（共 18 页） 当 cosx1 时， 故函数的值域为 函数 f（x），整理得 y，转换为 2y+ysinx3si
19、nx， 整理得 sinx， 由于1sinx1， 故， 整理得，解不等式组得：， 故函数的值域为 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，二次函数的性质的应用， 不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 型 15 （4 分）设函数，则 f（f（4） ） 4 【分析】根据分段函数解析式，由内往外逐层计算求解即可 【解答】解：f（4）16，f（f（4） ）f（16）4， 故答案为：4 【点评】本题考查分段函数的求值，要注意自变量的取值范围 16 （4 分）若，则 sin 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos（+）的值，进而
20、根据两角差 的正弦函数公式即可求解 sin 的值 【解答】解：， + （，） ， cos （+） ， 第 13 页（共 18 页） sinsin（+）sin（+）coscos（+）sin（ ） 故答案为： 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数 化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 17 （4 分）已知函数 f（x），若 f（x）的值域为0，+） ，则 a 的取值范围 （， 【分析】设 g（x）x2+9，可得 g（x）的值域0，+） ，继而分类讨论，求出 a 的范围 【解答】解：f（x）的值域为0，+） ， 设 g（x）x2+9， g（x）的值域0
21、，+） ， 当 a0 时，g（x）x2+929，因此 290，解得 a， 当 a0 时，g（x）为增函数，适合， 综上所述 a 的取值范围（， 故答案为： （， 【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合幂函数数的性质和基本不等式是解 决本题的关键 三解答题（本大题有三解答题（本大题有 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18 （14 分）设全集为 R，Ax|3x7，Bx|4x10， （1）求R（AB）及（RA）B； （2）Cx|a4xa+4，且 ACA，求 a 的取值范围 【分析】 （1）由全集为 R，Ax|3
22、x7，Bx|4x10，先求出 AB，RA，由 此能求出R（AB）和（RA）B （2）由 Ax|3x7，Cx|a4xa+4，且 ACA，得 AC，由此列出方程 组，能求出 a 的取值范围 第 14 页（共 18 页） 【解答】解： （1）全集为 R，Ax|3x7，Bx|4x10， ABx|3x10，RAx|x3 或 x7， R（AB）x|x3 或 x10， （RA）Bx|7x10 （2）Ax|3x7，Cx|a4xa+4，且 ACA， AC， ，解得 3a7 a 的取值范围是3，7 【点评】本题考查交集、并集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数
23、与方程思想，是基础题 19 （15 分）如图是 f（x）Asin（x+） ，在区 间上的图象， （）求函数 f（x）的解析式； （）若把函数 f（x）图象向左平移 个单位（0）后，与函数 g（x）cos2x 重合， 求 的最小值 【分析】 （）由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的 值，可得函数的解析式 （）由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，求得 的最小值 【解答】解： （） 根据 f（x）Asin（x+） ， 在区间上的图象， 可得 A1，（） ，2 第 15 页（共 18 页） 再根据五点法作图，可得 2+，f（x）sin（2x+） （）把函数
24、f（x）图象向左平移 个单位（0）后，可得 ysin（2x+2+）的 图象， 由于所得图象与函数 g（x）cos2xsin（2x+）的图象重合， 2+2k+，kZ， 故 的最小值为 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的 顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，函数 yAsin（x+）的 图象变换规律，属于基础题 20 （15 分）已知函数 （）求函数 f（x）在区间上的值域 （）把函数 f（x）图象所有点的上横坐标缩短为原来的倍，再把所得的图象向左平 移 个单位长度，再把所得的图象向下平移 1 个单位长度，得到函数 g （x） ，若函
25、数 g（x）关于点对称 （i）求函数 g（x）的解析式； （ii）求函数 g（x）单调递增区间及对称轴方程 【分析】 （）利用三角恒等变换花简函数 f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和 值域，求得 f（x）在区间上的值域 （）由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，再利 用余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论 【解答】解： （）函数cosx+sinx+2 sinxcox+1sin（x）+1， 在区间上，x， 故当 x时，f（x）取得最小值为 0；当 x时，f（x）取得最大值 第 16 页（共 18 页） 为+1， 故函数 f（x）在区间上的值域
26、为0，+1 （） （i）把函数 f（x）sin（x）+1 图象所有点的上横坐标缩短为原来的倍， 可得 ysin（2x）+1 的图象； 再把所得的图象向左平移 个单位长度，可得 ysin（2x+2）+1 的图象； 再把所得的图象向下平移 1 个单位长度，得到函数 g（x）sin（2x+2） 的图象 若函数 g（x）关于点对称，则 2+2k，kZ， ，g（x）sin（2x）cos2x （ii）对于函数 g（x）cos2x，令 2k2x2k，求得 kxk， 可得函数 g（x）的单调递增区间为k，k，kZ 令 2xk，求得 x，可得函数 g（x）的图象的对称轴方程为 x，kZ 【点评】本题主要考查三角
27、恒等变换，正弦函数的定义域和值域，函数 yAsin（x+） 的图象变换规律，余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于中档题 21 （15 分）已知 m0，函数 f（x）sinx+cosxmsinxcosx+1 （）当 m1 时，求函数 f（x）的最大值并求出相应 x 的值； （）若函数 f（x）在上有 6 个零点，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）将 m1 代入，通过换元即可求解； （）依题意，显然有解 t1 及，而有 三个解， 则也需三个解， 由此得到关于 m 的不等式， 解出即可 【解答】解： （）当 m1 时，f（x）sinx+cosxsinxcosx+1， 令 tsinx+cos
28、xsin（x+）， 且 t21+2sinxcosx，所以 sinxcosx， 则 f（t）t+1（t1）2+2， 第 17 页（共 18 页） 因为 t，所以当 t1 时，函数 f（x）取最大值为 2， 此时sin（x+）1，解得 x2k 或+2k（kZ） ； （）x， ，则 tsinx+cosxsin（x+）， 令，故， 易知 t1是方程g （t） 0 的一个解， 且在 有三个 x 与之对应， 当 t1 时，由可得， 故在也需有三个 x 与之对应， 故，解得 m1， 所以实数 m 的取值范围为（，1） 【点评】本题主要考查三角函数的图象及性质，考查换元思想及对应思想，考查化简变 形及逻辑推理
29、能力，属于中档题 22 （15 分）已知 a 为正数，函数 f（x）ax2 （）解不等式 g（x）； （）若对任意的实数 t，总存在 x1，x2t1，t+1，使得|f（x1）f（x2）|g（x）对 任意 x2，4恒成立，求实数 a 的最小值 【分析】 （）令 log2xu（uR） ，不等式 g（x）u22u+，然后解出 u，再解对数不等式即可得到 x 的范围； （）不等式恒成立，说明t1，t+1上函数 f（x）的最大值与最小值之差的最小值大 于等于 g（x）的最大值，然后分情况求出 a 的值 【解答】解： （I）令 log2xu（uR） ，则不等式 g（x）u22u+， 4u28u+30，u，
30、log2x，x2 不等式 g（x）的解集为，2 第 18 页（共 18 页） （II）令 mlog2x，则 1m2， 对任意的实数 t，总存在 x1，x2t1，t+1，使得|f（x1）f（x2）| 设在t1，t+1上最大值为 M（t） ，最小值为 m（t） ，f（x）的对称 轴为直线 x 令 h（t）M（t）m（t） ，则对任意的实数 t， 当时，M（t）f（t+1） ，m（t）f（t1） ， 则 h（t）M（t）m（t）4at1，此时，； 当时 ， M （ t ） f （ t+1 ）， ， 当时，M（t）f（t1） ， ，； 当时，M（t）f（t1） ，m（t）f（t+1） ，则 h（t）M（t）m（t） 4at+1， 此时， 综上，实数 a 的最小值为 【点评】本题考查了对数不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转 化思想，属难题
