1、已知 i 是虚数单位，则复数 z的虚部是（ ） A0 Bi Ci D1 2 （5 分）右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图 中的数构成的规律，a 所表示的数是（ ） A2 B4 C6 D8 3 （5 分）点 P 的极坐标是，则在以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴的平面直角 坐标系中，点 P 的直角坐标是（ ） A B C D 4 （5 分）已知数列an满足 an+1，若 a4+a52，则 a3+a4（ ） A B1 C4 D8 5 （5 分）已知命题 p 为xR，5x22x+20，则命题 p 的否定为（ ） AxR，5x22x+20 BxR，5x22x+20
2、CxR，5x22x+20 DxR，5x22x+20 6 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAPBPC2，且 PA，PB，PC 两两互相垂直，则三棱 锥 PABC 的外接球的体积为（ ） A4 B8 C16 D2 7 （5 分）阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入 n 的值为 6，则输出 S 的值为（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 8 （5 分）已知 P 是ABC 所在平面内点，现将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是（ ） A B C D 9 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，若 A，B 两点的横坐 标之和为
3、 3，则|AB|（ ） A B C5 D 10 （5 分）已知偶函数 f（x）的定义域为，其导函数为 f（x） ，当 时，有 f（x）cosx+f（x）sinx0 成立，则关于 x 的不等式的解集 为（ ） A B C D 11 （5 分）已知离心率为 2 的双曲线 C：的左右焦点分别为 F1 第 3 页（共 25 页） （c，0） ，F2（c，0） ，直线与双曲线 C 在第一象限的交点为 P，PF1F2 的角平分线与 PF2交于点 Q，若|PF2|PQ|，则 的值是（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）ex，若 xR 时，恒有 f（x）3x2+ax+b，则 ab+b 的最
4、大值为（ ） A B C De 二二、填空题（每小题、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）从 1，2，3，9 这 9 个正整数中选择两个，使其和为奇数，则不同的选择方 法种数是 14 （5 分）函数 f（x）alnxx 的图象在 x1 处的切线方程为 yxb，则 a ， b 15 （5 分）已知 P 是直线 kx+4y100（k0）上的动点，PA，PB 是圆 C：x2+y22x+4y+4 0 的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，若四边形 PACB 的面积的最小值为，则 k 的值为 16 （5 分）已知 f（x）（xR） ，若关于 x 的方程 f2（x）kf（x
5、）+k10 恰好有 4 个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）命题 p：不等式 x2（a+1）x+10 的解集是 R命题 q：函数 f（x）（a+1） x 在定义域内是增函数若 pq 为假命题，pq 为真命题，求 a 的取值范围 18 （12 分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取 有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区 500 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息， 数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率） 潜伏期不高于平 均数的患者，称为“短潜伏者” ，潜伏期高于平均数
6、的患者，称为“长潜伏者” （1）求这 500 名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ， 并计算出这 500 名患者中“长潜伏者”的人数； （2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样， 从上述 500 名患者中抽取 300 人，得到如表表格 （i）请将表格补充完整； 第 4 页（共 25 页） 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上 90 60 岁以下 140 合计 300 （ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中 60 岁以下的 140 名患者中按分层抽样方法抽取 7 人做 I 期临床试验，再从选取的 7 人
7、中随机抽取两人做 期临床试验，求两人中恰有 1 人为“长潜伏者”的概率 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，M 为 PD 的中点，PA底 面 ABCD，PAAD4，AB2 （1）求证：AM平面 MCD； （2）求钝二面角 BPCD 的余弦值 20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 过点 P（2，2） 以坐标原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0 （1）求 C 的直角坐标方程； （2）若 l 与 C 交于 A，B 两点，求的最大值 第 5 页（共 25 页） 21 （12 分）已知椭圆 C
8、：+1（ab0）经过（1，1）与（，）两点 （）求椭圆 C 的方程； （）过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，椭圆 C 上一点 M 满足|MA|MB|求 证：+为定值 22 （12 分）已知函数 h（x）alnx+x2（a+2）x，g（x）（a1）lnx+（1+a）x24x （1）讨论 h（x）的单调性； （2）设函数 f（x）h（x）g（x） ，若 yf（x）有两个零点 x1，x2， （i）求 a 的取值范围； （ii）证明：x1+x2 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年四川省南充高中高二（下）期中数学试卷（理科）学年四川省南充高中高二（下）期中数学试卷（理科
9、） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知 i 是虚数单位，则复数 z的虚部是（ ） A0 Bi Ci D1 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】解：复数 zi 的虚部是 1 故选：D 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题 2 （5 分）右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图 中的数构成的规律，a 所表示的数是（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】由杨辉三角形中的已知数据，知：每一行的第一个数和最后一个数都是 1，其余 的数总是上一
10、行对应的两个数的和，从而求得 a 的值 【解答】解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是 1，首尾之间的数总是 上一行对应的两个数的和， a3+36； 故选：C 【点评】本题考查了杨辉三角中数的排列规律，解题时应通过观察、分析和归纳，发现 其中的规律，从而解决问题 3 （5 分）点 P 的极坐标是，则在以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴的平面直角 坐标系中，点 P 的直角坐标是（ ） A B C D 【分析】直接利用极坐标和直角坐标之间的转换公式求出结果 第 7 页（共 25 页） 【解答】解：直接利用，解得 x，y4， 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标之间的转
11、换，主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题型 4 （5 分）已知数列an满足 an+1，若 a4+a52，则 a3+a4（ ） A B1 C4 D8 【分析】判断数列是等比数列，求出公比，然后利用等比数列的性质求解即可 【解答】解：数列an满足 an+1，所以数列是等比数列，公比为， a4+a52， 则 a3+a4（a4+a5）428 故选：D 【点评】本题考查等比数列的判断，等比数列的性质的应用，是基本知识的考查 5 （5 分）已知命题 p 为xR，5x22x+20，则命题 p 的否定为（ ） AxR，5x22x+20 BxR，5x22x+20 CxR，5x22x+20 D
12、xR，5x22x+20 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p 为xR，5x22x+20，则 命题 p 的否定为：xR，5x22x+20 故选：C 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 6 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAPBPC2，且 PA，PB，PC 两两互相垂直，则三棱 锥 PABC 的外接球的体积为（ ） A4 B8 C16 D2 【分析】以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱，作正方体如图，则正方体的外接球同 时也是三棱锥 PABC 外接球算出长方体的对角线即为球直径，结
13、合球的表面积公式， 可算出三棱锥 PABC 外接球的表面积 【解答】解：以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱，作正方体如图， 则正方体的外接球同时也是三棱锥 PABC 外接球 第 8 页（共 25 页） 正方体的对角线长为 2， 球直径为 2，半径 R， 因此，三棱锥 PABC 外接球的体积为：R3（）34 故选：A 【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的体积，着重考查了正方 体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题 7 （5 分）阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入 n 的值为 6，则输出 S 的值为（ ） A B C D 【分析】由图知，每次进入循环体后，S
14、 的值被施加的运算是 SS+，故由此运算 规律进行计算，当 i8 时不满足条件 i6，退出循环，输出 S 的值即可 【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得： 第 9 页（共 25 页） n6，i2，S0 满足条件 i6，S0+，i4 满足条件 i6，S+，i6 满足条件 i6，S+，i8 不满足条件 i6，退出循环，输出 S 的值为+ 故选：A 【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果，是算法中一 种常见的题型，属于基础题 8 （5 分）已知 P 是ABC 所在平面内点，现将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是（ ） A B C D 【分析】推导出
15、点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的从而 SPBCSABC由 此能求出将一粒黄豆随机撒在ABC 内，黄豆落在PBC 内的概率 【解答】解：以 PB、PC 为邻边作平行四边形 PBDC， 则， ， ，P 是ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点， 点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 SPBCSABC 将一粒黄豆随机撒在ABC 内，黄豆落在PBC 内的概率为： P 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查几何概率型等基础知识，考运算求解能力，考查化 归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题 9 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 的
16、直线交该抛物线于 A，B 两点，若 A，B 两点的横坐 第 10 页（共 25 页） 标之和为 3，则|AB|（ ） A B C5 D 【分析】利用抛物线的性质得出：|AB|AF|+|BF|xA+xB+p求解即可 【解答】解：抛物线的准线方程为 x1， 设 A，B 的横坐标分别为 xA，xB，则 xA+xB3 |AF|xA+1，|BF|xB+1 |AB|AF|+|BF|xA+xB+25 故选：C 【点评】本题考查了抛物线的性质的应用，属于基础题 10 （5 分）已知偶函数 f（x）的定义域为，其导函数为 f（x） ，当 时，有 f（x）cosx+f（x）sinx0 成立，则关于 x 的不等式的
17、解集 为（ ） A B C D 【分析】令 g（x），结合题意求导分析可得函数 g（x）在（0，）上为减函 数，判断函数 g（x）为偶函数，进而将不等式 f（x）2f（）cosx 转化为 g（x）g （） ，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得|x|，求解得答案 【解答】解：令 g（x）， 则 g（x），可得 g（x）为偶函数， 其导数为 g（x）， 又由 0x时，有 f（x）cosx+f（x）sinx0，则有 g（x）0， 则函数 g（x）在（0，）上为减函数， 又偶函数 f（x）为定义在上的函数， 第 11 页（共 25 页） 2f（）， 即有 g（x）g（） ， 又由 g（x）为偶函数且
18、在（0，）上为减函数， 且其定义域为（，） ， 则有|x|， 解得x或x， 不等式的解集为 故选：D 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数 g（x）是关键，是中 档题 11 （5 分）已知离心率为 2 的双曲线 C：的左右焦点分别为 F1 （c，0） ，F2（c，0） ，直线与双曲线 C 在第一象限的交点为 P，PF1F2 的角平分线与 PF2交于点 Q，若|PF2|PQ|，则 的值是（ ） A B C D 【分析】先根据角平分线性质以及双曲线的定义求出三角形 PF1F2的三边长，再结合余 弦定理即可求解 【解答】解：直线； 所以其过左焦点，且PF1F230； 如图： PF1F2
19、的角平分线与 PF2交于点 Q，且|PF2|PQ|， |PF1|2c； 离心率为 2c2a|PF2|PF1|2a； 第 12 页（共 25 页） cosPF1F2 ； 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查三角形内角平分线定理的应用，考查计算能 力，是中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）ex，若 xR 时，恒有 f（x）3x2+ax+b，则 ab+b 的最大值为（ ） A B C De 【分析】求得 f（x）的导数，可得 exxax+b 恒成立，即 bexxax 恒成立，设 g （x）exxax，求得 g（x）的导数，讨论 a 的范围，求得 g（x）的最小值，可得 b 的范围，
20、再由不等式的性质，可得 ab+b（1+a）2（1+a）2ln（1+a） ，设 m1+a，m 0，h（m）m2m2lnm，求得导数和单调性、极值和最值，即可得到所求最大值 【解答】解：f（x）ex的导数为 f（x）exx+3x2， xR 时，恒有 f（x）3x2+ax+b， 即为 exxax+b 恒成立， 可得 bexxax 恒成立， 设 g（x）exxax， 可得 bg（x）min恒成立， 由 g（x）ex（1+a） ，当 1+a0，即 a1 时，g（x）0，g（x）递增，g（x） 第 13 页（共 25 页） 无最小值； 当 1+a0，即 a1 时，xln（1+a）时，g（x）0，g（x）递
21、增；当 xln（1+a） 时，g（x）0，g（x）递减， 可得 g（x）在 xln（1+a）处取得极小值，且为最小值 1+a（1+a）ln（1+a） ， 可得 b1+a（1+a）ln（1+a） ， 由 1+a0，可得 ab+b（1+a）2（1+a）2ln（1+a） ， 设 m1+a，m0，h（m）m2m2lnm， h（m）2m2mlnmmm2mlnmm（12lnm） ， 当 m时，h（m）0，h（m）递减；0m时，h（m）0，h（m）递增， 可得 m处 h（m）取得极大值，且为最大值e， 则 ab+be，即 ab+b 的最大值为e 故选：C 【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用参数分离
22、和构造函数法，考查导数的 运用：求单调性和极值、最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）从 1，2，3，9 这 9 个正整数中选择两个，使其和为奇数，则不同的选择方 法种数是 20 【分析】显然，要使和为奇数，只需两个数一奇一偶，由此利用分步计数原理可求解 【解答】解：奇数数字为 1，3，5，7，9，共 5 个；偶数数字为 2，4，6，8 所以要使选出的两数之和为奇数，只需奇数、偶数各有一个： 共有种 故答案为：20 【点评】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题 14 （5 分）函数 f（x）aln
23、xx 的图象在 x1 处的切线方程为 yxb，则 a 2 ，b 2 【分析】求出函数 f（x）在 x1 时的导数 ya1，利用切线方程得到 a11，进而 求出 a，将切点（1，1）代入切线方程可得 b 【解答】解：由题意得 y1，当 x1 时，y1，y1a1， 第 14 页（共 25 页） 因为切线方程为 yxb，所以 a11，则 a2， 又因为切点为（1，1） ，代入 yxb，得 b2， 故答案为：2，2 【点评】本题考查利用导数求曲线切线，考查方程思想，属于中档题 15 （5 分）已知 P 是直线 kx+4y100（k0）上的动点，PA，PB 是圆 C：x2+y22x+4y+4 0 的两条
24、切线，A，B 是切点，C 是圆心，若四边形 PACB 的面积的最小值为，则 k 的值为 3 【分析】由 S四边形PACBSPAC+SPBC，当|PC|取最小值时，|PA|PB|取最小值，即 SPAC SPBC取最小值，此时 CPl，点到直线的距离公式列式求得 k 值 【解答】解：圆的标准方程为（x1）2+（y+2）21， 则圆心为 C（1，2） ，半径为 1， 则直线与圆相离，如图，S 四边形PACBSPAC+SPBC， 而 SPAC|PA|CA|PA|， SPBC|PB|CB|PB|， 又|PA|PB|， 当|PC|取最小值时，|PA|PB|取最小值， 即 SPACSPBC取最小值，此时，C
25、Pl， 四边形 PACB 面积的最小值为 2，SPACSPBC， |PA|2，则|CP|3，得， k0，k3 故答案为：3 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想 第 15 页（共 25 页） 方法，考查计算能力，是中档题 16 （5 分）已知 f（x）（xR） ，若关于 x 的方程 f2（x）kf（x）+k10 恰好有 4 个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围为 【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设 mf（x） ，利用换元法，将方程转化 为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论 【解答】解：化简可得 f（x）， 当 x0 时，f（
26、x）， 当 0x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0 f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减； 当 x0 时，f（x）0，f（x）为减函数， 函数 f（x）在（0，+）上有一个最大值为 f（1），作出函数 f（x）的草 图如图： 设 mf（x） ，当 m时，方程 mf（x）有 1 个解， 当 m时，方程 mf（x）有 2 个解， 当 0m时，方程 mf（x）有 3 个解， 当 m0 时，方程 mf（x） ，有 1 个解， 当 m0 时，方程 mf（x）有 0 个解， 则方程 f2（x）tf（x）+t10 等价为 m2tm+t10， 要使关于 x 的方程 f2（x）tf（x
27、）+t10 恰好有 4 个不相等的实数根， 等价为方程 m2tm+t10 有两个不同的根 m1且 0m2， 设 g（m）m2tm+t1， 第 16 页（共 25 页） 则， 解得 1t1+， 故选答案为： 【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数 的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程， 是解决本题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）命题 p：不等式 x2（a+1）x+10 的解集是 R命题 q：函数 f（x）（a+1） x 在定义域内是增函数若 pq 为假命题，pq 为真命题，求 a
28、的取值范围 【分析】 由命题 p： 不等式 x2 （a+1） x+10 的解集是 R， 可得： 0， 解得 a 范围 由 命题 q：函数 f（x）（a+1）x在定义域内是增函数可得 a+11，解得 a 范围由 p q 为假命题，pq 为真命题，可知 p，q 一真一假 【解答】解：命题 p：不等式 x2（a+1）x+10 的解集是 R， （a+1）240，解得3a1； 命题 q：函数 f（x）（a+1）x在定义域内是增函数 a+11，解得 a0 由 pq 为假命题，pq 为真命题，可知 p，q 一真一假， 当 p 真 q 假时，由a|3a1a|a0a|3a0； 当 p 假 q 真时，由a|a3，
29、或 a1a|a0a|a1； 第 17 页（共 25 页） 综上可知 a 的取值范围为：a|3a0，或 a1 【点评】本题考查了不等式的解法、函数的单调性、简易逻辑的判定，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 18 （12 分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取 有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区 500 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息， 数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率） 潜伏期不高于平 均数的患者，称为“短潜伏者” ，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者” （1）求这 500 名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区
30、间的中点值作代表） ， 并计算出这 500 名患者中“长潜伏者”的人数； （2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样， 从上述 500 名患者中抽取 300 人，得到如表表格 （i）请将表格补充完整； 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上 90 60 岁以下 140 合计 300 （ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中 60 岁以下的 140 名患者中按分层抽样方法抽取 7 人做 I 期临床试验，再从选取的 7 人中随机抽取两人做 期临床试验，求两人中恰有 1 人为“长潜伏者”的概率 【分析】 （1）由频率分布直方图的性质能求出平
31、均数和 500 人中“长潜伏者”的人数 （2） （i）由题意能补充完整表格 （ii）由分层抽样知 7 人中， “短潜伏者”有 3 人，记为 a，b，c， “长潜伏者”有 4 人， 第 18 页（共 25 页） 记为 D，E，F，G，从中抽取 2 人，利用列举法能求出两人中恰有 1 人为“长潜伏者” 的概率 【解答】解： （1）平均数 x（0.021+0.083+0.155+0.187+0.039+0.0311+0.01 13）26， “长潜伏者”即潜伏期时间不低于 6 天的频率为 0.5， 所以 500 人中“长潜伏者”的人数为 5000.5250 人； （2） （i）由题意补充后的表格如图：
32、 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上 90 70 160 60 岁以下 60 80 140 合计 150 150 300 （ii）由分层抽样知 7 人中， “短潜伏者”有 3 人，记为 a，b，c， “长潜伏者”有 4 人， 记为 D，E，F，G， 从中抽取 2 人，共有 21 种不同结果，分别为： （a，b） ， （a，c） ， （a，D） ， （a，E） ， （a，F） ， （a，G） ， （b，c） ， （b，D） ， （b，E） ， （b， F） ， （b，G） ， （c，D） ， （c，E） ， （c，F） ， （c，G） ， （D，E） ， （D，F） ， （D，G） ， （
33、E，F） ， （E，G） ， （F，G） ， 两人中恰好有 1 人为“长潜伏者”包含了 12 种结果 所以两人中恰有 1 人为“长潜伏者”的概率为 【点评】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，M 为 PD 的中点，PA底 面 ABCD，PAAD4，AB2 （1）求证：AM平面 MCD； （2）求钝二面角 BPCD 的余弦值 第 19 页（共 25 页） 【分析】 （1）推导出 PACDADCD，从而 CD平面 PAD，CDAMAMMD， 由此能证明 AM平面
34、 MCD （2）分别以射线 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系利用向量法能 求出钝二面角 BPCD 的余弦值 【解答】解： （1）证明：PA平面 ABCD，PACD 四边形 ABCD 是矩形，所以 ADCD， 由， CDAMPAAD，M 为 PD 的中点，AMMD 由 故 AM平面 MCD （2）解：由已知 PA，AB，AD 三条直线两两垂直， 于是可以分别以射线 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则 B（2，0，0） ，P（0，0，4） ，C（2，4，0） ，D（0，4，0） ， 所以， 设平面 BPC 的法向量为， 则，令 z1，则
35、 设平面 PCD 的法向量为， 则， 令z 1 ， 则 第 20 页（共 25 页） 设二面角 BPCD 的平面角为 ，由已知 为钝角， 钝二面角 BPCD 的余弦值 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 过点 P（2，2） 以坐标原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0 （1）求 C 的直角坐标方程； （2）若 l 与 C 交于 A，B 两点，求的最大值 【分析】 （1） 曲线 C 的极
36、坐标方程为 cos24cos0 即 22cos24cos0， 把互化公式代入可得普通方程 （2）设直线 l 的倾斜角为 ，0可得参数方程为：（t 为参数） ，代 入抛物线方程可得：t2sin2+（4sin4cos）t40，把根与系数的关系代入可得 进而得出最大值 第 21 页（共 25 页） 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0即 22cos24cos 0，把互化公式代入可得：x2+y2x24x0，即 y24x （2）设直线 l 的倾斜角为 ，0可得参数方程为：（t 为参数） ，代 入抛物线方程可得：t2sin2+（4sin4cos）t40， 则 t1+t2，t1t
37、20， |cossin|cos （+） | 当且仅当 时，等号成立 的最大值为 【点评】本题考查了极坐标参数方程普通方程的互化、参数方程的应用、一元二次方程 的根与系数的关系、三角函数的和差公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）经过（1，1）与（，）两点 （）求椭圆 C 的方程； （）过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，椭圆 C 上一点 M 满足|MA|MB|求 证：+为定值 【分析】 （I）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可 （II）由|MA|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知
38、 A、B 关于原 第 22 页（共 25 页） 点对称 若点 A、B 是椭圆的短轴顶点，则点 M 是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点 A、B 是 椭圆的长轴顶点，则点 M 在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可 若点 A、B、M 不是椭圆的顶点，设直线 l 的方程为 ykx（k0） ，则直线 OM 的方程 为，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到 ， 同理， 代入要求的式子即可 【解答】解析（）将（1，1）与（，）两点代入椭圆 C 的方程， 得解得 椭圆 PM2的方程为 （）由|MA|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知 A、B
39、 关于原 点对称 若点 A、B 是椭圆的短轴顶点，则点 M 是椭圆的一个长轴顶点，此时 同理，若点 A、B 是椭圆的长轴顶点，则点 M 在椭圆的一个短轴顶点，此时 若点 A、B、M 不是椭圆的顶点，设直线 l 的方程为 ykx（k0） ， 则直线 OM 的方程为，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由解得， ，同理， 所以2+2， 第 23 页（共 25 页） 故2 为定值 【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联 立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想、 数形结合思想等 22 （12 分）已知函数 h（x）al
40、nx+x2（a+2）x，g（x）（a1）lnx+（1+a）x24x （1）讨论 h（x）的单调性； （2）设函数 f（x）h（x）g（x） ，若 yf（x）有两个零点 x1，x2， （i）求 a 的取值范围； （ii）证明：x1+x2 【分析】 （1）求出函数的导数，通过当 a0 时，当 a2 时，当 0a2 时， 当 a2 时，判断导函数的符号，得到函数的单调区间即可 （2）f（x）lnxax2（a2）x，求出导函数，通过（i）若 a0，判断已知不符合， 故 a0判断函数的单调性，求出函数的极值，通过设，利 用函数的导数推出 a（0，1） （ii） 结合（i）的分析，不妨设，构造函数， ，判
41、断函数的单调性，求出最值，然后转化求解 【解答】解： （1）， 当 a0 时，h（x）0x1，h（x）00x1； h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增； 当 a2 时，h（x）在（0，+）上单调递增； 当0 a 2时 ， ， 上单调递增，在上单调递减； 当 a2 时， 上单调递增，在上单调递减； （ 2 ） f （ x ） h （ x ） g （ x ） lnx ax2 （ a 2 ） x ， 第 24 页（共 25 页） （i）若 a0，则 f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上递增，所以 f（x）至多一个 零点，与已知不符合， 故 a0 a0 时， f（x）在上单调递增，在上单调递减， 所以 f（x）在处取得极大值，为， 当 x+时，f（x），当 x0+时，f（x）， f（x）有两个零点，所以只需极大值，即， 设， 则，所以 （a）在（0，+）上单调递减， 又 （1）0，所以使得 （a）0 的 a（0，1） （ii） 结合（i）的分析，不妨设， 设， 所以 当时，F（x）0，F（x）在上单调递增 ，且，F（x1）0， 又 f（x1）f（x2） ， 由，可知 x2与均属于， 又 f（x）在上单调递减， 由，即 第 25 页（共 25 页） 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性，构造法的应用， 考查转化思想以及计算能力，是难题
