1、2020 年江苏高考考前押题读卷年江苏高考考前押题读卷 数学数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1本试卷分第卷（必做题）文科理科都做，和第卷（选做题）选修理科做文科不做，两部分。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4考试范围：高考全部内容。 第第卷（卷（必做必做题）题） 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 已知全集 U1，0，2，集合 A1，0，则UA_ 2. 设复数 z 满足 zi 3i(i 为虚数单位)，则|
2、z|_ 3. 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600 人、700 人、700 人，为了 解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为 100 的样本，则高 三年级应抽取的学生人数为_ 4. 若命题“tR R，t 22ta0”是假命题，则实数 a 的取值范围是_ 5. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为甲组：88，89，90；乙 组：87，88，92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之 差的绝对值不超过 3 的概率是_ i1 S0 While S20 S2S3 ii2 End While Print i (第 6 题)6
3、. 执行如图所示的伪代码，输出 i 的值为_ 7. 设抛物线 y 28x 的焦点与双曲线 x2y 2 b 21(b0)的右焦点重合， 则 b_ 8. 设 x，y 满足 y0， yx， |x|y|1， 则 zxy 的最大值为_ 9. 将函数 ysin 2x 3 的图象向左平移(0)个单位后，恰好得到函数 ysin 2x 的图象，则的最小值为_ 10. 已知直三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，点 P，Q 分别为棱 CC1，BC 的中点，则 四面体 A1B1PQ 的体积为_ 11. 设数列an的首项 a11， 且满足 a2n12a2n1与 a2na2n11， 则 S20_ 12. 若 a
4、，b 均为非负实数，且 ab1，则 1 a2b 4 2ab的最小值为_ 13. 已知 A，B，C，D 四点共面，BC2，AB 2AC220，CD3CA，则|BD|的最大值为 _ 14. 若实数 x，y 满足 2x3ln(xy1)ln(xy2)，则 xy_ 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤 15. (本小题满分 14 分) 如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，平面 A1ABB1底面 ABCD，且ABC 2 .求证： (1) B1C1平面 BCD1； (2) 平面 A1ABB1平面 BCD1. 16.(本小题满分 14 分)
5、 设ABC 面积的大小为 S，且 3AB AC2S. (1) 求 sin A 的值； (2) 若 C 4 ，AB AC16，求 AC. 17. (本小题满分 14 分) 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示ABCD 是等腰梯形，AB20 米，CBF(F 在 AB 的延长线上，为锐角)圆 E 与 AD，BC 都相切，且其半径长为(10080sin )米EO 是垂直于 AB 的一个立柱，则当 sin 的值设计为多少时，立柱 EO 最矮？ 18. (本小题满分 16 分) 已知 A，F 分别是椭圆 C：x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的左顶点、右焦点，点 P 为椭
6、圆 C 上 一动点，当 PFx 轴时，AF2PF. (1) 求椭圆 C 的离心率； (2) 若椭圆 C 上存在点 Q，使得四边形 AOPQ 是平行四边形(点 P 在第一象限)，求 直线 AP 与 OQ 的斜率之积； (3) 记圆 O：x 2y2 ab a 2b2为椭圆 C 的“关联圆” 若 b 3，过点 P 作椭圆 C 的 “关联圆”的两条切线，切点为 M，N，直线 MN 的横、纵截距分别为 m，n，求证： 3 m 2 4 n 2为定值 19. (本小题满分 16 分) 设函数 f(x)xe xax2(aR R) (1) 若函数 g(x)f（x） e x是奇函数，求实数 a 的值； (2) 若
7、对任意的实数 a，函数 h(x)kxb(k， b 为实常数)的图象与函数 f(x)的图 象总相切于一个定点 求 k 与 b 的值； 对(0，)上的任意实数 x1，x2，都有f(x1)h(x1)f(x2)h(x2)0，求 实数 a 的取值范围 20. (本小题满分 16 分) 已知数列an，bn都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排 成一列(相同的项视为一项)，则得到一个新数列cn (1) 设数列an， bn分别为等差、 等比数列， 若 a1b11， a2b3， a6b5， 求 c20； (2) 设an的首项为 1，各项为正整数，bn3 n，若新数列c n是等差数列，求数列 cn
8、的前 n 项和 Sn； (3) 设 bnq n1(q 是不小于 2 的正整数)，c 1b1，是否存在等差数列an，使得对 任意的 nN N *，在 b n与 bn1之间数列an的项数总是 bn？若存在，请给出一个满足题意 的等差数列an；若不存在，请说明理由. 第第卷（卷（选做选做题）题） 21. 【选做题】 在 A，B，C，三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分若多 做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 A. (选修 42：矩阵与变换) 已知矩阵A A 2 2 1 3 ，B B 1 0 0 1 ，设M MABAB. (1) 求矩阵M M；
9、(2) 求矩阵M M的特征值 B. (选修 44：坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的极坐标方程为2cos ，直线 l 的极坐标方程为sin 6 m.若直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求实数 m 的值 C. (选修 45：不等式选讲) 解不等式：|x1|2|x|4x. 【必做题】 第 22， 23 题， 每小题 10 分， 共 20 分 解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 22. 如图，在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，点 E 是线段 PC 的中点 (1) 求异面直线 AP 与 BE 所成角的大小； (2) 若点 F 在线段 P
10、B 上，使得二面角 FDEB 的正弦值为 3 3 ，求PF PB的值 23. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜投篮进行到有人获胜或 每人都已投球 3 次时结束设甲每次投篮命中的概率为2 5，乙每次投篮命中的概率为 2 3， 且各次投篮互不影响现由甲先投 (1) 求甲获胜的概率； (2) 求投篮结束时甲的投篮次数 X 的分布列与期望 2020 年江苏高考考前押题读卷(详细答案) 数学 第卷（必做题） 1.1. 2 解析：全集 U1，0，2，集合 A1，0，则UA2本题主要 考查补集及其运算等知识本题属于容易题 2.2. 2 解析：zi 3i，两边同时乘以i，得 z1 3i，则|
11、z|2.本题考 查了复数乘法运算，以及复数的模的计算本题属于容易题 3.3. 35 解析：100 700 2 00035.本题考查了分层抽样本题属于容易题 4.4. (，1 解析：原命题的否定为真命题，即“tR R，t 22ta0”是 真命题，即0，解得实数 a 的取值范围是(，1 5.5. 8 9 解析：如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，基本事件有 9 种，两名 同学的成绩之差的绝对值超过 3 的基本事件只有(88，92)这 1 种，则满足题意的事件有 8 种，所求的概率为8 9.本题考查了列举法求概率本题属于容易题 6.6. 7 解析：当 S0， 所以的最小值为5 6 . 本题考查了
12、三角函数图象的平移本题属于容易题 10.10. 3 2 解析：V1 3SB 1PQh1 3(222 1 221 1 211) 3 3 2 . 本题考查了三棱锥的体积本题属于容易题 11.11. 2 056 解析：由 a2n12a2n1知奇数项成等比数列，a2na2n11 知相邻奇偶 数项数值差值为 1， S20(a1a3a5a19)(a2a4a6a20)(a1a3a5 a19)(a1a3a5a1910)2(a1a3a5a19)10212 10 12 102 056.本题考查了等比数列求和、分组求和本题属于中等题 12.12. 3 解析：( 1 a2b 4 2ab)(a2b2ab) 1 3 1
13、31 2ab a2b 4（a2b） 2ab 4 1 3(54)3，当且仅当 2ab a2b 4（a2b） 2ab 时取到等号，此时 a1，b0.本题考查 了基本不等式、整体代换本题属于中等题 13.13. 10 解析：以 BC 中点为原点，BC 所在直线为 x 轴建立坐标轴设 A(x，y)， D(x0， y0)，则 B(1，0)， C(1，0)由 AB 2AC220，得(x1)2y2(x1)2y220， x 2y29.由3，得(x 01，y0)3(x1，y)，则 xx 02 3 ， yy 0 3 ， 则(x02) 2y2 081.令 x029cos ，y09sin ，| 2(x 01) 2y2
14、 0(9cos 1) 281sin282 18cos ，当 cos 1 时取到最大值 100，则|最大值为 10.本题考查了向量的坐 标运算，圆的轨迹求法本题属于中等题 14.14. 9 4 解析：设 xy1t 1，xy2t2，t1t22ln t1ln t2.因为 x 1ln x 恒成立(由 yx1ln x，y11 x x1 x 0，则 x1，可判断此函数 在 x1 处取最小值 0，得 x1ln x0，即 x1ln x)，所以 t11ln t1，t21 ln t2，即 t1t22ln t1ln t2，故 t1t22ln t1ln t2，此时 t1t21，即 xy11，xy21，得 x3 2，y
15、 3 2，xy 9 4.本题考查了导数的运用和代数 式的变形本题属于难题 15.15. 证明：(1) 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，有 B1C1BC.(4 分) 又 B1C1平面 BCD1，BC平面 BCD1， 所以 B1C1平面 BCD1.(6 分) (2) 因为平面 A1ABB1底面 ABCD，交线为 AB，BC底面 ABCD，且 BCAB，所以 BC 平面 A1ABB1.(12 分) 又 BC平面 BCD1，所以平面 A1ABB1平面 BCD1.(14 分) 16.16. 解：(1) 设ABC 的三边长分别为 a，b，c，由 32S， 得 3bccos A21 2bcsin A，
16、得 sin A3cos A(2 分) 即 sin 2A9cos2A9(1sin2A)，所以 sin2A9 10.(4 分) 又 A(0，)，所以 sin A0，故 sin A3 10 10 .(6 分) (2) 由 sin A3cos A 和 sin A3 10 10 ，得 cos A 10 10 ， 又16，所以 bccos A16，得 bc16 10 .(8 分) 又 C 4 ，所以 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C3 10 10 2 2 10 10 2 2 2 5 5 .(10 分) 在ABC 中，由正弦定理，得 b sin B c sin C，即 b 2
17、 5 5 c 2 2 ，得 c 10 4 b .(12 分) 联立，解得 b8，即 AC8.(14 分) 17.17. 解： (解法 1)如图， 以 AB 所在直线为 x 轴， 以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴， 建立平面直角坐标系 因为 B(10，0)，kBCtan ，所以直线 BC 的方程为 ytan (x10)， 即 xtan y10tan 0.(4 分) 设圆心 E(0，t)(t0)，由圆 E 与直线 BC 相切， 得 10080sin |t10tan | 1tan 2 t10tan 1 cos ， 所以 EOt10090sin cos .(8 分) 令 f()10090sin c
18、os ，(0， 2 )，则 f() 100 sin 9 10 cos 2.(10 分) 设 sin 0 9 10， 0 0， 2 .列表如下： (0，0) 0 0， 2 f() 0 f() 极小值 所以当0，即 sin 9 10时，f()取最小值(13 分) 答：当 sin 9 10时，立柱 EO 最矮(14 分) (解法 2)如图，延长 EO，CB 交于点 G，过点 E 作 EHBC 于 H， 则 EHR10080sin ，HEGOBGCBF. 在 RtEHG 中，EG R cos 10080sin cos .(4 分) 在 RtOBG 中，OGOBtan 10tan .(6 分) 所以 E
19、OEGOG10090sin cos .(8 分) (以下同解法 1) 18.18. (1) 解：由 PFx 轴知，xPc，代入椭圆 C 的方程， 得c 2 a 2y 2 P b 21，解得 yPb 2 a .(2 分) 又 AF2PF，所以 ac2b 2 a ，解得 e1 2.(4 分) (2) 解：因为四边形 AOPQ 是平行四边形，所以 PQa 且 PFx 轴， 所以 xPa 2，代入椭圆 C 的方程，解得 y P 3 2 b.(6 分) 因为点 P 在第一象限，所以 yP 3 2 b，同理可得 xQa 2，y Q 3 2 b，(7 分) 所以 kAPkOQ 3b 2 a 2（a） 3b
20、2 a 2 b 2 a 2. 由(1)知 ec a 1 2，得 b 2 a 23 4，所以 k APkOQ3 4.(9 分) (3) 证明：由(1)知 ec a 1 2，又 b 3，解得 a2，所以椭圆 C 的方程为 x 2 4 y 2 3 1，圆 O 的方程为 x 2y22 3 7 .(11 分) 连结 OM，ON，由题意可知，OMPM，ONPN， 所以四边形 OMPN 的外接圆是以 OP 为直径的圆 设 P(x0，y0)，则四边形 OMPN 的外接圆方程为 xx 0 2 2 yy 0 2 2 1 4(x 2 0y 2 0)， 即 x 2xx 0y 2yy 00 .(13 分) ，得直线 M
21、N 的方程为 xx0yy02 3 7 . 令 y0，则 m2 3 7x0 ；令 x0，则 n2 3 7y0 . 所以 3 m 2 4 n 249 x 2 0 4 y 2 0 3 . 因为点 P 在椭圆 C 上，所以x 2 0 4 y 2 0 3 1，所以 3 m 2 4 n 249.(16 分) 19.19. 解：(1) 函数 g(x)f（x） e x是奇函数， f（x） e xf（x） e x恒成立，(2 分) 即xe xa（x）2 e xxe xax2 e x， 得 ax 2(exex)0 恒成立， a0.(4 分) (2) f(x)e x(x1)2ax，设切点为(x 0，f(x0)， 则
22、切线的斜率为 f(x0)ex0(x01)2ax0， 据题意 f(x0)是与 a 无关的常数，故 x00，kf(x0)1，切点为(0，0)，(6 分) 由点斜式得切线的方程为 yx，即 h(x)x，故 k1，b0.(8 分) 当 f(x1)h(x1)0 时，对任意的 x2(0，)，都有 f(x2)h(x2)0； 当 f(x1)h(x1)0 时，对任意的 x2(0，)，都有 f(x2)h(x2)0； 故 f(x)h(x)0 对 x(0，)恒成立，或 f(x)h(x)0 对 x(0，)恒 成立 而 f(x)h(x)x(e xax1)，设函数 p(x)exax1，x0，) 则 p(x)0 对 x(0，
23、)恒成立，或 p(x)0 对 x(0，)恒成立，(10 分) p(x)e xa. 1 当 a1 时， x(0，)， e x1， p(x)0 恒成立， p(x)在 0，)上递增，p(0)0，故 p(x)0 在(0，)上恒成立，符合题意(12 分) 2 当 a1 时，令 p(x)0，得 xln a；令 p(x)0，得 0xln a，故 p(x)在(0，ln a)上递减， p(ln a)p(0)0. 而 p(a)e aa21，设函数(a)eaa21，a1，)， 则(a)e a2a. (a)ea20 恒成立， (a)在(1，)上递增， (a)(1)e20 恒成立， (a)在(1，)上递增， (a)(1
24、)e20 恒成立，即 p(a)0，而 p(ln a) 0，不合题意 综上 1 2知，实数 a 的取值范围是(，1(16 分) 20.20. 解：(1) 设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，由题意，得 1dq 2， 15dq 4，解得 d0 或 3. 因为数列an，bn单调递增， 所以 d0，q1，所以 d3，q2，所以 an3n2，bn2 n1.(2 分) 因为 b1a1，b3a2，b5a6，b7a20， 所以 c20a1749.(4 分) (2) 设等差数列cn的公差为 d，又 a11，且 bn3 n，所以 c 11，所以 cndn1 d. 因为 b13 是cn中的项，所以
25、设 b1cn，即 d(n1)2. 当 n4 时，解得 d 2 n11，不满足各项为正整数；(6 分) 当 b1c33 时，d1，此时 cnn，只需取 ann，而等比数列bn的项都是等差 数列an中的项，所以 Sn1 2n(n1)；(8 分) 当 b1c23 时，d2，此时 cn2n1，只需取 an2n1， 由 3 n2m1，得 m3 n1 2 ，3 n是奇数，3n1 是正偶数，m 有正整数解，所以等比 数列bn的项都是等差数列an中的项，所以 Snn 2.(10 分) 综上所述，数列cn的前 n 项和 Sn1 2n(n1)或 S nn 2.(11 分) (3) 存在等差数列an，只需首项 a1
26、(1，q)，公差 dq1.(13 分) 下证 bn与 bn1之间数列an的项数为 bn.即证对任意正整数 n，都有 b na（b1b2bn11）， bn1a（b1b2bn）， 即 b na（1qq2qn21）， bn1a（1qq2qn1） 成立 由 bna(1qq2qn21)q n1a 1(1qq 2qn2)(q1)1a 10， bn1a(1qq2qn1)q na 1(1qq 2qn2qn11)(q1)qa 10. 所以首项 a1(1，q)，公差 dq1 的等差数列an符合题意(16 分) 第卷（选做题）第卷（选做题） 21.21. A. 解：(1) M MABAB 2 2 1 3 1 0 0
27、 1 2 2 1 3 .(5 分) (2) 矩阵M M的特征多项式为 f() 22 13 (2)(3)2. 令 f()0，解得11，24， 所以矩阵M M的特征值为 1 或 4.(10 分) B B. 解：曲线 C 的极坐标方程为2cos ， 化为直角坐标方程为 x 2y22x. 即(x1) 2y21，表示以(1，0)为圆心，1 为半径的圆(3 分) 直线 l 的极坐标方程是sin 6 m，即1 2cos 3 2 sin m， 化为直角坐标方程为 x 3y2m0.(6 分) 因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点， 所以|12m| 2 1，解得 m1 2或 m 3 2. 所以，所求实数
28、m 的值为1 2或 3 2.(10 分) C. 解：原不等式等价于 x0， 1x2x4x或 0x1， 1x2x4x或 x1， x12x4x.(6 分) 解 x0， 1x2x4x，得 x； 解 0x1， 1x2x4x，得 1 3x1； 解 x1， x12x4x，得 x1. 所以原不等式的解集为 1 3， .(10 分) 22.22. 解：(1) 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形， 侧棱 PD底面 ABCD， 所以 DA，DC，DP 两两垂直，故以， ，为正交基底， 建立空间直角坐标系 Dxyz. 因为 PDDC，所以 DADCDP， 不妨设 DADCDP2， 则 D(0，0，0
29、)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0) 因为 E 是 PC 的中点，所以 E(0，1，1) 所以(2，0，2)，(2，1，1)， 所以 cos， 3 2 ， 从而， 6 . 因为异面直线 AP 与 BE 所成角的大小为 6 .(4 分) (2) 由(1)可知，(0，1，1)，(2，2，0)，(2，2，2) 设，则(2，2，2)，从而(2，2，22) 设m m(x1，y1，z1)为平面 DEF 的一个法向量， 则即 x 1y1（1）z10， y1z10， 取 z1，则 y1，x121. 所以m m(21，)为平面 DEF 的一个法向量(6 分) 设n n(x2
30、，y2，z2)为平面 DEB 的一个法向量， 则即 2x 22y20， y2z20， 取 x21，则 y21，z21. 所以n n(1，1，1)为平面 BDE 的一个法向量(8 分) 因为二面角 FDEB 的正弦值为 3 3 ， 所以二面角 FDEB 的余弦值为 6 3 ， 即|cosm m，n n| 6 3 ， 所以 |m|mn|n| |m|m|n|n| 6 3 ， |41| 3 （21） 222 6 3 ， 化简得 4 21. 因为点 F 在线段 PB 上，所以 01， 所以1 2，即 PF PB 1 2.(10 分) 23.23. 解：(1) 设甲第 i 次投中获胜的事件为 Ai(i1，
31、2，3)，则 A1，A2，A3彼此互斥 甲获胜的事件为 A1A2A3. P(A1)2 5； P(A2)3 5 1 3 2 5 2 25； P(A3) 3 5 2 1 3 2 2 5 2 125. 所以 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)2 5 2 25 2 125 62 125. 答：甲获胜的概率为 62 125.(4 分) (2) X 所有可能取的值为 1，2，3. 则 P(X1)2 5 3 5 2 3 4 5； P(X2) 2 25 3 5 1 3 3 5 2 3 4 25； P(X3) 3 5 2 1 3 2 1 1 25. 即 X 的概率分布列为 X 1 2 3 P 4 5 4 25 1 25 (8 分) 所以 X 的数学期望 E(X)14 52 4 253 1 25 31 25.(10 分)
