1、下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（ ） A B C D 3 （3 分）计算（a2）3，正确结果是（ ） Aa5 Ba6 Ca8 Da9 4 （3 分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“” 所示区域内的概率是（ ） A B C D 5 （3 分）要使二次根式有意义，则 x 的值可以为（ ） A0 B1 C2 D4 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C 第 2 页（共 30 页） D 7 （3 分）某厂家 2020 年 15 月份的口罩产量统计如图所示设从 2 月份到 4 月份，该厂 家口罩产量的平均月增长率为 x，根据题意可得方程（
2、 ） A180（1x）2461 B180（1+x）2461 C368（1x）2442 D368（1+x）2442 8 （3 分）过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ） A B C D 9 （3 分）二次函数 yx2的图象平移后经过点（2，0） ，则下列平移方法正确的是（ ） A向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位 D向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位 10 （3 分）如图，把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 BEF，若
3、BC1，则 AB 的长度为（ ） 第 3 页（共 30 页） A B C D 二、填空题（本题共有二、填空题（本题共有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）一元一次方程 2x+13 的解是 x 12 （4 分）定义 aba（b+1） ，例如 232（3+1）248则（x1）x 的结 果为 13 （4 分）某班五个兴趣小组的人数分别为 4，4，5，x，6已知这组数据的平均数是 5， 则这组数据的中位数是 14 （4 分）小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图” ，已知正方形 ABCD 的 边长为 4dm，则图 2 中 h 的值为 dm
4、 15 （4 分）如图，将一把矩形直尺 ABCD 和一块含 30角的三角板 EFG 摆放在平面直角 坐标系中，AB 在 x 轴上，点 G 与点 A 重合，点 F 在 AD 上，三角板的直角边 EF 交 BC 于点 M，反比例函数 y（x0）的图象恰好经过点 F，M若直尺的宽 CD3，三角 板的斜边 FG8，则 k 16 （4 分）图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置，图 2 是其示意图已知 O，P 两点固 定，连杆 PAPC140cm，ABBCCQQA60cm，OQ50cm，O，P 两点间距与 OQ 长度相等当 OQ 绕点 O 转动时，点 A，B，C 的位置随之改变，点 B 恰好在线段 第
5、4 页（共 30 页） MN 上来回运动当点 B 运动至点 M 或 N 时，点 A，C 重合，点 P，Q，A，B 在同一直 线上（如图 3） （1）点 P 到 MN 的距离为 cm （2）当点 P，O，A 在同一直线上时，点 Q 到 MN 的距离为 cm 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 8 小题，第小题，第 1719 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 2021 小题每小题小题每小题 6 分，分， 第第 2223 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 24 小题小题 12 分，共分，共 66 分请务必写出解答过程）分请务必写出解答过程） 17 （6 分）计算：|2|+（）0+2
6、sin30 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 a3 19 （6 分）如图，在 55 的网格中，ABC 的三个顶点都在格点上 （1）在图 1 中画出一个以 AB 为边的ABDE，使顶点 D，E 在格点上 （2）在图 2 中画出一条恰好平分ABC 周长的直线 l（至少经过两个格点） 20 （8 分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生 进行视力检测根据检测结果，制成下面不完整的统计图表 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 5.1x5.3 25 第 5 页（共 30 页） B 4.8x5.0 115 C 4.4x4.7 m D 4.0x4.3 5
7、2 （1）求组别 C 的频数 m 的值 （2）求组别 A 的圆心角度数 （3）如果视力值 4.8 及以上属于“视力良好” ，请估计该市 25000 名九年级学生达到“视 力良好”的人数根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？ 21 （8 分）如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AB10，AC6，连结 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点 （1）求证：CADCBA （2）求 OE 的长 22 （10 分）2020 年 5 月 16 日， “钱塘江诗路”航道全线开通一艘游轮从杭州出发前往衢 州，线路如图 1 所示当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景
8、点时，一艘货轮沿着同样 的线路从杭州出发前往衢州已知游轮的速度为 20km/h，游轮行驶的时间记为 t（h） ，两 艘轮船距离杭州的路程 s（km）关于 t（h）的图象如图 2 所示（游轮在停靠前后的行驶 速度不变） （1）写出图 2 中 C 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长 （2）若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州问： 货轮出发后几小时追上游轮？ 游轮与货轮何时相距 12km？ 第 6 页（共 30 页） 23 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A，C 分別是直线 yx+4 与 坐标轴的交点，点 B 的坐标为（2，0） ，点 D 是边 AC 上的
9、一点，DEBC 于点 E，点 F 在边 AB 上，且 D，F 两点关于 y 轴上的某点成中心对称，连结 DF，EF设点 D 的横 坐标为 m，EF2为 l，请探究： 线段 EF 长度是否有最小值 BEF 能否成为直角三角形 小明尝试用“观察猜想验证应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题 （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 l 随 m 变化的一组对应值，并在 平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图 2） 请你在图 2 中连线，观察图象特征 并猜想 l 与 m 可能满足的函数类别 （2）小明结合图 1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 l 关于 m 的函
10、数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 EF 长度的最小值 （3）小明通过观察，推理，发现BEF 能成为直角三角形，请你求出当BEF 为直角三 角形时 m 的值 24 （12 分） 【性质探究】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 平分BAC，交 BC 于点 E作 第 7 页（共 30 页） DFAE 于点 H，分别交 AB，AC 于点 F，G （1）判断AFG 的形状并说明理由 （2）求证：BF2OG 【迁移应用】 （3）记DGO 的面积为 S1，DBF 的面积为 S2，当时，求的值 【拓展延伸】 （4）若 DF 交射线 AB 于点 F， 【性质探究】中的其余
11、条件不变，连结 EF，当BEF 的 面积为矩形 ABCD 面积的时，请直接写出 tanBAE 的值 第 8 页（共 30 页） 2020 年浙江省衢州市中考数学试卷年浙江省衢州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共有一、选择题（本题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）比 0 小 1 的数是（ ） A0 B1 C1 D1 【分析】根据题意列式计算即可得出结果 【解答】解：011， 即比 0 小 1 的数是1 故选：B 【点评】本题主要考查了有理数的减法，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键 2 （3 分）下列几
12、何体中，俯视图是圆的几何体是（ ） A B C D 【分析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可 【解答】解：A、俯视图是圆，故此选项正确； B、俯视图是正方形，故此选项错误； C、俯视图是长方形，故此选项错误； D、俯视图是长方形，故此选项错误 故选：A 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的上面看 所得到的图形 3 （3 分）计算（a2）3，正确结果是（ ） Aa5 Ba6 Ca8 Da9 【分析】根据幂的乘方法则进行计算即可 第 9 页（共 30 页） 【解答】解：由幂的乘方与积的乘方法则可知， （a2）3a2 3a6 故选：B 【点评】本题考查的是幂的
13、乘方法则，即底数不变，指数相乘 4 （3 分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“” 所示区域内的概率是（ ） A B C D 【分析】直接利用“”所示区域所占圆周角除以 360，进而得出答案 【解答】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“”所示区域内的概率是： 故选：A 【点评】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键 5 （3 分）要使二次根式有意义，则 x 的值可以为（ ） A0 B1 C2 D4 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x30，再解即可 【解答】解：由题意得：x30， 解得：x3， 故选：D 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条
14、件，关键是掌握二次根式中的被开方数是 非负数 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C 第 10 页（共 30 页） D 【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在 数轴上表示出来即可求解 【解答】解：， 由得 x1； 由得 x1； 故不等式组的解集为1x1， 在数轴上表示出来为： 故选：C 【点评】本题考查了解一元一次不等式组的方法：分别解几个不等式，它们解的公共部 分即为不等式组的解；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小 的小于大的为空集”得到公共部分 7 （3 分）某厂家 2020 年 15 月份的口罩产量统
15、计如图所示设从 2 月份到 4 月份，该厂 家口罩产量的平均月增长率为 x，根据题意可得方程（ ） A180（1x）2461 B180（1+x）2461 C368（1x）2442 D368（1+x）2442 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，如果设这 个增长率为 x， 根据 “2 月份的 180 万只， 4 月份的利润将达到 461 万只” ， 即可得出方程 【解答】解：从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为 x，根据题意可得方 程：180（1+x）2461， 故选：B 【点评】 考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 本题为增长率问题， 一
16、般形式为 a （1+x） 第 11 页（共 30 页） 2b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量 8 （3 分）过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ） A B C D 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可 【解答】解：A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意 B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意 C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意， D、无法判断两直线平行， 故选：D 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息， 属于中考常考题型 9 （3 分）
17、二次函数 yx2的图象平移后经过点（2，0） ，则下列平移方法正确的是（ ） A向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位 D向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位 【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可 【解答】解：A、平移后的解析式为 y（x+2）22，当 x2 时，y14，本选项不符合 题意 B、平移后的解析式为 y（x+1）2+2，当 x2 时，y11，本选项不符合题意 C、平移后的解析式为 y（x1）21，当 x2 时，y0，函数图象经过（2，0） ，本 选项符合题
18、意 D、平移后的解析式为 y（x2）2+1，当 x2 时，y1，本选项不符合题意 第 12 页（共 30 页） 故选：C 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是 熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 10 （3 分）如图，把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 BEF，若 BC1，则 AB 的长度为（ ） A B C D 【分析】先判断出ADE45，进而判断出 AEAD，利用勾股定理即可得出结论 【解答】解： 由折叠补全图形如图所示， 四边形 ABCD 是矩形， ADABCA90，ADBC1，CDAB， 由第一次折叠得：DAEA
19、90，ADEADC45， AEDADE45， AEAD1， 在 RtADE 中，根据勾股定理得，DEAD， 故选：A 【点评】此题主要考查了折叠问题，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关 键 二、填空题（本题共有二、填空题（本题共有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）一元一次方程 2x+13 的解是 x 1 【分析】将方程移项，然后再将系数化为 1 即可求得一元一次方程的解 【解答】解；将方程移项得， 第 13 页（共 30 页） 2x2， 系数化为 1 得， x1 故答案为：1 【点评】此题主要考查学生对解一元一次方程这一知识点的理解和掌
20、握，此题比较简单， 属于基础题 12 （4 分）定义 aba（b+1） ，例如 232（3+1）248则（x1）x 的结 果为 x21 【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可 【解答】解：根据题意得： （x1）x（x1） （x+1）x21 故答案为：x21 【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是理解新定义的运用 13 （4 分）某班五个兴趣小组的人数分别为 4，4，5，x，6已知这组数据的平均数是 5， 则这组数据的中位数是 5 【分析】先根据平均数的定义计算出 x 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最 中间的数，即为中位数 【解答】解：某班五个兴趣小组的人数分
21、别为 4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数 是 5， x5544566， 这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6， 这组数据的中位数是 5 故答案为：5 【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排 列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数 据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数也考查了平均数的 定义 14 （4 分）小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图” ，已知正方形 ABCD 的 边长为 4dm，则图 2 中 h 的值为 （4+） dm 第 14 页（共 30 页） 【分析】
22、根据七巧板的特征，依次得到的高，再相加即可求解 【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 4dm， 的斜边上的高是 2dm，的高是 1dm，的斜边上的高是 1dm，的斜边上的高是 dm， 图 2 中 h 的值为（4+）dm 故答案为： （4+） 【点评】本题考查正方形的性质，七巧板知识，解题的关键是得到的高解决 问题 15 （4 分）如图，将一把矩形直尺 ABCD 和一块含 30角的三角板 EFG 摆放在平面直角 坐标系中，AB 在 x 轴上，点 G 与点 A 重合，点 F 在 AD 上，三角板的直角边 EF 交 BC 于点 M，反比例函数 y（x0）的图象恰好经过点 F，M若直尺的宽 CD3，
23、三角 板的斜边 FG8，则 k 40 【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出 MN，FN，进而求出 AN、MB，表示出 点 F、点 M 的坐标，利用反比例函数 k 的意义，确定点 F 的坐标，进而确定 k 的值即可 【解答】解：过点 M 作 MNAD，垂足为 N，则 MNCD3， 在 RtFMN 中，MFN30， 第 15 页（共 30 页） FNMN3， ANMB835， 设 OAx，则 OBx+3， F（x，8） ，M（x+3，5） ， 8x（x+3）5， 解得，x5， F（5，8） ， k5840 故答案为：40 【点评】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是
24、常用的 方法 16 （4 分）图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置，图 2 是其示意图已知 O，P 两点固 定，连杆 PAPC140cm，ABBCCQQA60cm，OQ50cm，O，P 两点间距与 OQ 长度相等当 OQ 绕点 O 转动时，点 A，B，C 的位置随之改变，点 B 恰好在线段 MN 上来回运动当点 B 运动至点 M 或 N 时，点 A，C 重合，点 P，Q，A，B 在同一直 线上（如图 3） （1）点 P 到 MN 的距离为 160 cm （2）当点 P，O，A 在同一直线上时，点 Q 到 MN 的距离为 cm 第 16 页（共 30 页） 【分析】 （1）如图 3 中，延长
25、PO 交 MN 于 T，过点 O 作 OHPQ 于 H解直角三角形 求出 PT 即可 （2）如图 4 中，当 O，P，A 共线时，过 Q 作 QHPT 于 H设 HAxcm解直角三角 形求出 HT 即可 【解答】解： （1）如图 3 中，延长 PO 交 MN 于 T，过点 O 作 OHPQ 于 H 由题意：OPOQ50cm，PQPAAQ146080（cm） ，PMPA+BC140+60 200（cm） ，PTMN， OHPQ， PHHQ40（cm） ， cosP， ， PT160（cm） ， 点 P 到 MN 的距离为 160cm， 第 17 页（共 30 页） 故答案为 160 （2）如图
26、4 中，当 O，P，A 共线时，过 Q 作 QHPT 于 H设 HAxcm 由题意ATPTPA16014020 （cm） ， OAPAOP1405090 （cm） ， OQ50cm， AQ60cm， QHOA， QH2AQ2AH2OQ2OH2， 602x2502（90x）2， 解得 x， HTAH+AT（cm） ， 点 Q 到 MN 的距离为cm 故答案为 【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题 的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构 建方程解决问题 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 8 小题，第小题，第 17
27、19 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 2021 小题每小题小题每小题 6 分，分， 第第 2223 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 24 小题小题 12 分，共分，共 66 分请务必写出解答过程）分请务必写出解答过程） 17 （6 分）计算：|2|+（）0+2sin30 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简 得出答案 【解答】解：原式2+13+2 第 18 页（共 30 页） 2+13+1 1 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 a3 【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代
28、入数据求出答案 【解答】解：原式 （a1） ， 当 a3 时，原式 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键 19 （6 分）如图，在 55 的网格中，ABC 的三个顶点都在格点上 （1）在图 1 中画出一个以 AB 为边的ABDE，使顶点 D，E 在格点上 （2）在图 2 中画出一条恰好平分ABC 周长的直线 l（至少经过两个格点） 【分析】 （1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一） （2）利用数形结合的思想解决问题即可 【解答】解： （1）如图平行四边形 ABDE 即为所求（点 D 的位置还有 6 种情形可取） （2）如图，直线 l 即为所求、 【点评】本题
29、考查作图应用与设计，平行四边形的性质，三角形的周长等知识，解题 的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 20 （8 分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生 第 19 页（共 30 页） 进行视力检测根据检测结果，制成下面不完整的统计图表 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 5.1x5.3 25 B 4.8x5.0 115 C 4.4x4.7 m D 4.0x4.3 52 （1）求组别 C 的频数 m 的值 （2）求组别 A 的圆心角度数 （3）如果视力值 4.8 及以上属于“视力良好” ，请估计该市 25000 名九年级学生达到“视 力良好
30、”的人数根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？ 【分析】 （1）根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到 m 的值； （2）根据（1）中的结果和频数分布表，可以得到组别 A 的圆心角度数； （3）根据统计图中的数据，可以得到该市 25000 名九年级学生达到“视力良好”的人数， 并提出合理化建议，建议答案不唯一，只要对保护眼睛好即可 【解答】解： （1）本次抽查的人数为：11523%500， m50061.6%308， 即 m 的值是 308； （2）组别 A 的圆心角度数是：36018， 即组别 A 的圆心角度数是 18； （3）250007000（人） ， 答：该市 2
31、5000 名九年级学生达到“视力良好”的有 7000 人， 建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护 【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确 第 20 页（共 30 页） 题意，利用数形结合的思想解答 21 （8 分）如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AB10，AC6，连结 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点 （1）求证：CADCBA （2）求 OE 的长 【分析】 （1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可 （2）证明AECBCA，推出，求出 EC 即可解决问题 【解答】 （1）证明：AEDE，O
32、C 是半径， ， CADCBA （2）解：AB 是直径， ACB90， AEDE， OCAD， AEC90， AECACB， AECBCA， ， ， CE3.6， OCAB5， OEOCEC53.61.4 第 21 页（共 30 页） 【点评】本题考查三角形的外心，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关 键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 22 （10 分）2020 年 5 月 16 日， “钱塘江诗路”航道全线开通一艘游轮从杭州出发前往衢 州，线路如图 1 所示当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样 的线路从杭州出发前往衢州已知游轮的速度为 20km/h，游轮行
33、驶的时间记为 t（h） ，两 艘轮船距离杭州的路程 s（km）关于 t（h）的图象如图 2 所示（游轮在停靠前后的行驶 速度不变） （1）写出图 2 中 C 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长 （2）若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州问： 货轮出发后几小时追上游轮？ 游轮与货轮何时相距 12km？ 【分析】 （1）根据图中信息解答即可 （2）求出 B，C，D，E 的坐标，利用待定系数法求解即可 （3）分两种情形分别构建方程求解即可 【解答】解： （1）C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了 23h 游轮在“七里扬帆”停靠的时长23（42020）23212（h）
34、 （2）2802014h， 点 A（14，280） ，点 B（16，280） ， 第 22 页（共 30 页） 36600.6（h） ，230.622.4， 点 E（22.4，420） ， 设 BC 的解析式为 s20t+b，把 B（16，280）代入 s20t+b，可得 b40， s20t40（16t23） ， 同理由 D（14，0） ，E（22，4，420）可得 DE 的解析式为 s50t700（14t22.4） ， 由题意：20t4050t700， 解得 t22， 22148（h） ， 货轮出发后 8 小时追上游轮 相遇之前相距 12km 时，20t4（50t700）12，解得 t21.
35、6 相遇之后相距 12km 时，50t700（20t40）12，解得 t22.4， 21.6h 或 22.4h 时游轮与货轮何时相距 12km 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，熟练运用待定系数法 解决问题，属于中考常考题型 23 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A，C 分別是直线 yx+4 与 坐标轴的交点，点 B 的坐标为（2，0） ，点 D 是边 AC 上的一点，DEBC 于点 E，点 F 在边 AB 上，且 D，F 两点关于 y 轴上的某点成中心对称，连结 DF，EF设点 D 的横 坐标为 m，EF2为 l，请探究： 线段 EF 长度是
36、否有最小值 BEF 能否成为直角三角形 小明尝试用“观察猜想验证应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题 （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 l 随 m 变化的一组对应值，并在 平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图 2） 请你在图 2 中连线，观察图象特征 并猜想 l 与 m 可能满足的函数类别 （2）小明结合图 1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 l 关于 m 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 EF 长度的最小值 （3）小明通过观察，推理，发现BEF 能成为直角三角形，请你求出当BEF 为直角三 角形时 m 的值 第 23 页（共 30
37、 页） 【分析】 （1）根据描点法画图即可； （2）过点 F，D 分别作 FG，DH 垂直于 y 轴，垂足分别为 G，H，证明 RtFGKRt DHK（AAS） ，由全等三角形的性质得出 FGDH，可求出 F（m，2m+4） ，根据勾股 定理得出 lEF28m216m+168（m1）2+8，由二次函数的性质可得出答案； （3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出 m 的方程，解方程求出 m 的值，则 可求出答案 【解答】解： （1）用描点法画出图形如图 1，由图象可知函数类别为二次函数 （2）如图 2，过点 F，D 分别作 FG，DH 垂直于 y 轴，垂足分别为 G，H， 则FGKDHK9
38、0， 记 FD 交 y 轴于点 K， 第 24 页（共 30 页） D 点与 F 点关于 y 轴上的 K 点成中心对称， KFKD， FKGDKH， RtFGKRtDHK（AAS） ， FGDH， 直线 AC 的解析式为 yx+4， x0 时，y4， A（0，4） ， 又B（2，0） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， ， 解得， 直线 AB 的解析式为 y2x+4， 过点 F 作 FRx 轴于点 R， D 点的橫坐标为 m， F（m，2m+4） ， ER2m，FR2m+4， EF2FR2+ER2， lEF28m216m+168（m1）2+8， 令+40，得 x， 0m 当 m1 时，
39、l 的最小值为 8， EF 的最小值为 2 （3）FBE 为定角，不可能为直角 BEF90时，E 点与 O 点重合，D 点与 A 点，F 点重合，此时 m0 如图 3，BFE90时，有 BF2+EF2BE2 第 25 页（共 30 页） 由（2）得 EF28m216m+16， 又BRm+2，FR2m+4， BF2BR2+FR2（m+2）2+（2m+4）25m220m+20， 又BE2（m+2）2， （5m220m+8）+（8m216m+16）2（m+2）2， 化简得，3m210m+80， 解得 m1，m22（不合题意，舍去） ， m 综合以上可得，当BEF 为直角三角形时，m0 或 m 【点评
40、】本题是一次函数综合题，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形 的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直 角三角形的性质等知识，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键 24 （12 分） 【性质探究】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 平分BAC，交 BC 于点 E作 DFAE 于点 H，分别交 AB，AC 于点 F，G （1）判断AFG 的形状并说明理由 （2）求证：BF2OG 【迁移应用】 （3）记DGO 的面积为 S1，DBF 的面积为 S2，当时，求的值 【拓展延伸】 （4）若 DF 交射线 AB 于点
41、F， 【性质探究】中的其余条件不变，连结 EF，当BEF 的 第 26 页（共 30 页） 面积为矩形 ABCD 面积的时，请直接写出 tanBAE 的值 【分析】 （1）如图 1 中，AFG 是等腰三角形利用全等三角形的性质证明即可 （2）如图 2 中，过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L，则AFGOLG首先证明 OGOL， 再证明 BF2OL 即可解决问题 （3）如图 3 中，过点 D 作 DKAC 于 K，则DKACDA90，利用相似三角形 的性质解决问题即可 （4）设 OGa，AGk分两种情形：如图 4 中，连接 EF，当点 F 在线段 AB 上时， 点 G 在 OA 上 如图 5
42、 中， 当点 F 在 AB 的延长线上时， 点 G 在线段 OC 上， 连接 EF 分 别求解即可解决问题 【解答】 （1）解：如图 1 中，AFG 是等腰三角形 理由：AE 平分BAC， 12， DFAE， AHFAHG90， AHAH， AHFAHG（ASA） ， AFAG， AFG 是等腰三角形 第 27 页（共 30 页） （2）证明：如图 2 中，过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L，则AFGOLG AFAG， AFGAGF， AGFOGL， OGLOLG， OGOL， OLAB， DLODFB， ， 四边形 ABCD 是矩形， BD2OD， BF2OL， BF2OG （3）解：
43、如图 3 中，过点 D 作 DKAC 于 K，则DKACDA90， DAKCAD， ADKACD， 第 28 页（共 30 页） ， S1OGDK，S2BFAD， 又BF2OG， ，设 CD2x，AC3x，则 AD2x， （4）解：设 OGa，AGk 如图 4 中，连接 EF，当点 F 在线段 AB 上时，点 G 在 OA 上 AFAG，BF2OG， AFAGk，BF2a， ABk+2a，AC2（k+a） ， AD2AC2CD22（k+a）2（k+2a）23k2+4ka， ABEDAF90，BAEADF， ABEDAF， ， ， BE， 由题意：102aAD （k+2a） ， AD210ka，
44、 即 10ka3k2+4ka， 第 29 页（共 30 页） k2a， AD2a， BEa，AB4a， tanBAE 如图 5 中，当点 F 在 AB 的延长线上时，点 G 在线段 OC 上，连接 EF AFAG，BF2OG， AFAGk，BF2a， ABk2a，AC2（ka） ， AD2AC2CD22（ka）2（k2a）23k24ka， ABEDAF90，BAEADF， ABEDAF， ， ， BE， 由题意：102aAD （k2a） ， AD210ka， 即 10ka3k24ka， ka， ADa， BEa，ABa， tanBAE， 第 30 页（共 30 页） 综上所述，tanBAE 的值为或 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似 三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考 问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题
