2020年浙江省衢州市中考数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、下列几何体中,俯视图是圆的几何体是( ) A B C D 3 (3 分)计算(a2)3,正确结果是( ) Aa5 Ba6 Ca8 Da9 4 (3 分)如图是一个游戏转盘,自由转动转盘,当转盘停止转动后,指针落在数字“” 所示区域内的概率是( ) A B C D 5 (3 分)要使二次根式有意义,则 x 的值可以为( ) A0 B1 C2 D4 6 (3 分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A B C 第 2 页(共 30 页) D 7 (3 分)某厂家 2020 年 15 月份的口罩产量统计如图所示设从 2 月份到 4 月份,该厂 家口罩产量的平均月增长率为 x,根据题意可得方程(

2、 ) A180(1x)2461 B180(1+x)2461 C368(1x)2442 D368(1+x)2442 8 (3 分)过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线,下列尺规作图中错误的是( ) A B C D 9 (3 分)二次函数 yx2的图象平移后经过点(2,0) ,则下列平移方法正确的是( ) A向左平移 2 个单位,向下平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位,向上平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位,向下平移 1 个单位 D向右平移 2 个单位,向上平移 1 个单位 10 (3 分)如图,把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形 BEF,若

3、BC1,则 AB 的长度为( ) 第 3 页(共 30 页) A B C D 二、填空题(本题共有二、填空题(本题共有 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分)分) 11 (4 分)一元一次方程 2x+13 的解是 x 12 (4 分)定义 aba(b+1) ,例如 232(3+1)248则(x1)x 的结 果为 13 (4 分)某班五个兴趣小组的人数分别为 4,4,5,x,6已知这组数据的平均数是 5, 则这组数据的中位数是 14 (4 分)小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图” ,已知正方形 ABCD 的 边长为 4dm,则图 2 中 h 的值为 dm

4、 15 (4 分)如图,将一把矩形直尺 ABCD 和一块含 30角的三角板 EFG 摆放在平面直角 坐标系中,AB 在 x 轴上,点 G 与点 A 重合,点 F 在 AD 上,三角板的直角边 EF 交 BC 于点 M,反比例函数 y(x0)的图象恰好经过点 F,M若直尺的宽 CD3,三角 板的斜边 FG8,则 k 16 (4 分)图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置,图 2 是其示意图已知 O,P 两点固 定,连杆 PAPC140cm,ABBCCQQA60cm,OQ50cm,O,P 两点间距与 OQ 长度相等当 OQ 绕点 O 转动时,点 A,B,C 的位置随之改变,点 B 恰好在线段 第

5、4 页(共 30 页) MN 上来回运动当点 B 运动至点 M 或 N 时,点 A,C 重合,点 P,Q,A,B 在同一直 线上(如图 3) (1)点 P 到 MN 的距离为 cm (2)当点 P,O,A 在同一直线上时,点 Q 到 MN 的距离为 cm 三、解答题(本题共有三、解答题(本题共有 8 小题,第小题,第 1719 小题每小题小题每小题 6 分,第分,第 2021 小题每小题小题每小题 6 分,分, 第第 2223 小题每小题小题每小题 6 分,第分,第 24 小题小题 12 分,共分,共 66 分请务必写出解答过程)分请务必写出解答过程) 17 (6 分)计算:|2|+()0+2

6、sin30 18 (6 分)先化简,再求值:,其中 a3 19 (6 分)如图,在 55 的网格中,ABC 的三个顶点都在格点上 (1)在图 1 中画出一个以 AB 为边的ABDE,使顶点 D,E 在格点上 (2)在图 2 中画出一条恰好平分ABC 周长的直线 l(至少经过两个格点) 20 (8 分)某市在九年级“线上教学”结束后,为了解学生的视力情况,抽查了部分学生 进行视力检测根据检测结果,制成下面不完整的统计图表 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 5.1x5.3 25 第 5 页(共 30 页) B 4.8x5.0 115 C 4.4x4.7 m D 4.0x4.3 5

7、2 (1)求组别 C 的频数 m 的值 (2)求组别 A 的圆心角度数 (3)如果视力值 4.8 及以上属于“视力良好” ,请估计该市 25000 名九年级学生达到“视 力良好”的人数根据上述图表信息,你对视力保护有什么建议? 21 (8 分)如图,ABC 内接于O,AB 为O 的直径,AB10,AC6,连结 OC,弦 AD 分别交 OC,BC 于点 E,F,其中点 E 是 AD 的中点 (1)求证:CADCBA (2)求 OE 的长 22 (10 分)2020 年 5 月 16 日, “钱塘江诗路”航道全线开通一艘游轮从杭州出发前往衢 州,线路如图 1 所示当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景

8、点时,一艘货轮沿着同样 的线路从杭州出发前往衢州已知游轮的速度为 20km/h,游轮行驶的时间记为 t(h) ,两 艘轮船距离杭州的路程 s(km)关于 t(h)的图象如图 2 所示(游轮在停靠前后的行驶 速度不变) (1)写出图 2 中 C 点横坐标的实际意义,并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长 (2)若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州问: 货轮出发后几小时追上游轮? 游轮与货轮何时相距 12km? 第 6 页(共 30 页) 23 (10 分)如图 1,在平面直角坐标系中,ABC 的顶点 A,C 分別是直线 yx+4 与 坐标轴的交点,点 B 的坐标为(2,0) ,点 D 是边 AC 上的

9、一点,DEBC 于点 E,点 F 在边 AB 上,且 D,F 两点关于 y 轴上的某点成中心对称,连结 DF,EF设点 D 的横 坐标为 m,EF2为 l,请探究: 线段 EF 长度是否有最小值 BEF 能否成为直角三角形 小明尝试用“观察猜想验证应用”的方法进行探究,请你一起来解决问题 (1)小明利用“几何画板”软件进行观察,测量,得到 l 随 m 变化的一组对应值,并在 平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点(如图 2) 请你在图 2 中连线,观察图象特征 并猜想 l 与 m 可能满足的函数类别 (2)小明结合图 1,发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想,请你求出 l 关于 m 的函

10、数表达式及自变量的取值范围,并求出线段 EF 长度的最小值 (3)小明通过观察,推理,发现BEF 能成为直角三角形,请你求出当BEF 为直角三 角形时 m 的值 24 (12 分) 【性质探究】 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AE 平分BAC,交 BC 于点 E作 第 7 页(共 30 页) DFAE 于点 H,分别交 AB,AC 于点 F,G (1)判断AFG 的形状并说明理由 (2)求证:BF2OG 【迁移应用】 (3)记DGO 的面积为 S1,DBF 的面积为 S2,当时,求的值 【拓展延伸】 (4)若 DF 交射线 AB 于点 F, 【性质探究】中的其余

11、条件不变,连结 EF,当BEF 的 面积为矩形 ABCD 面积的时,请直接写出 tanBAE 的值 第 8 页(共 30 页) 2020 年浙江省衢州市中考数学试卷年浙江省衢州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题共有一、选择题(本题共有 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1 (3 分)比 0 小 1 的数是( ) A0 B1 C1 D1 【分析】根据题意列式计算即可得出结果 【解答】解:011, 即比 0 小 1 的数是1 故选:B 【点评】本题主要考查了有理数的减法,理清题意,正确列出算式是解答本题的关键 2 (3 分)下列几

12、何体中,俯视图是圆的几何体是( ) A B C D 【分析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可 【解答】解:A、俯视图是圆,故此选项正确; B、俯视图是正方形,故此选项错误; C、俯视图是长方形,故此选项错误; D、俯视图是长方形,故此选项错误 故选:A 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图,关键是掌握俯视图是从几何体的上面看 所得到的图形 3 (3 分)计算(a2)3,正确结果是( ) Aa5 Ba6 Ca8 Da9 【分析】根据幂的乘方法则进行计算即可 第 9 页(共 30 页) 【解答】解:由幂的乘方与积的乘方法则可知, (a2)3a2 3a6 故选:B 【点评】本题考查的是幂的

13、乘方法则,即底数不变,指数相乘 4 (3 分)如图是一个游戏转盘,自由转动转盘,当转盘停止转动后,指针落在数字“” 所示区域内的概率是( ) A B C D 【分析】直接利用“”所示区域所占圆周角除以 360,进而得出答案 【解答】解:由扇形统计图可得,指针落在数字“”所示区域内的概率是: 故选:A 【点评】此题主要考查了概率公式,正确理解概率的求法是解题关键 5 (3 分)要使二次根式有意义,则 x 的值可以为( ) A0 B1 C2 D4 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x30,再解即可 【解答】解:由题意得:x30, 解得:x3, 故选:D 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条

14、件,关键是掌握二次根式中的被开方数是 非负数 6 (3 分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A B C 第 10 页(共 30 页) D 【分析】分别解两个不等式,然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集,再在 数轴上表示出来即可求解 【解答】解:, 由得 x1; 由得 x1; 故不等式组的解集为1x1, 在数轴上表示出来为: 故选:C 【点评】本题考查了解一元一次不等式组的方法:分别解几个不等式,它们解的公共部 分即为不等式组的解;按照“同大取大,同小取小,大于小的小于大的取中间,大于小 的小于大的为空集”得到公共部分 7 (3 分)某厂家 2020 年 15 月份的口罩产量统

15、计如图所示设从 2 月份到 4 月份,该厂 家口罩产量的平均月增长率为 x,根据题意可得方程( ) A180(1x)2461 B180(1+x)2461 C368(1x)2442 D368(1+x)2442 【分析】本题为增长率问题,一般用增长后的量增长前的量(1+增长率) ,如果设这 个增长率为 x, 根据 “2 月份的 180 万只, 4 月份的利润将达到 461 万只” , 即可得出方程 【解答】解:从 2 月份到 4 月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为 x,根据题意可得方 程:180(1+x)2461, 故选:B 【点评】 考查了由实际问题抽象出一元二次方程, 本题为增长率问题, 一

16、般形式为 a (1+x) 第 11 页(共 30 页) 2b,a 为起始时间的有关数量,b 为终止时间的有关数量 8 (3 分)过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线,下列尺规作图中错误的是( ) A B C D 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可 【解答】解:A、由作图可知,内错角相等两直线平行,本选项不符合题意 B、由作图可知,同位角相等两直线平行,本选项不符合题意 C、与作图可知,垂直于同一条直线的两条直线平行,本选项不符合题意, D、无法判断两直线平行, 故选:D 【点评】本题考查作图复杂作图,平行线的判定等知识,解题的关键是读懂图象信息, 属于中考常考题型 9 (3 分)

17、二次函数 yx2的图象平移后经过点(2,0) ,则下列平移方法正确的是( ) A向左平移 2 个单位,向下平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位,向上平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位,向下平移 1 个单位 D向右平移 2 个单位,向上平移 1 个单位 【分析】求出平移后的抛物线的解析式,利用待定系数法解决问题即可 【解答】解:A、平移后的解析式为 y(x+2)22,当 x2 时,y14,本选项不符合 题意 B、平移后的解析式为 y(x+1)2+2,当 x2 时,y11,本选项不符合题意 C、平移后的解析式为 y(x1)21,当 x2 时,y0,函数图象经过(2,0) ,本 选项符合题

18、意 D、平移后的解析式为 y(x2)2+1,当 x2 时,y1,本选项不符合题意 第 12 页(共 30 页) 故选:C 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换,二次函数图象上点的特征,解题的关键是 熟练掌握基本知识,属于中考常考题型 10 (3 分)如图,把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形 BEF,若 BC1,则 AB 的长度为( ) A B C D 【分析】先判断出ADE45,进而判断出 AEAD,利用勾股定理即可得出结论 【解答】解: 由折叠补全图形如图所示, 四边形 ABCD 是矩形, ADABCA90,ADBC1,CDAB, 由第一次折叠得:DAEA

19、90,ADEADC45, AEDADE45, AEAD1, 在 RtADE 中,根据勾股定理得,DEAD, 故选:A 【点评】此题主要考查了折叠问题,掌握折叠前后的对应边,对应角相等是解本题的关 键 二、填空题(本题共有二、填空题(本题共有 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分)分) 11 (4 分)一元一次方程 2x+13 的解是 x 1 【分析】将方程移项,然后再将系数化为 1 即可求得一元一次方程的解 【解答】解;将方程移项得, 第 13 页(共 30 页) 2x2, 系数化为 1 得, x1 故答案为:1 【点评】此题主要考查学生对解一元一次方程这一知识点的理解和掌

20、握,此题比较简单, 属于基础题 12 (4 分)定义 aba(b+1) ,例如 232(3+1)248则(x1)x 的结 果为 x21 【分析】根据规定的运算,直接代值后再根据平方差公式计算即可 【解答】解:根据题意得: (x1)x(x1) (x+1)x21 故答案为:x21 【点评】本题主要考查平方差公式,解题的关键是理解新定义的运用 13 (4 分)某班五个兴趣小组的人数分别为 4,4,5,x,6已知这组数据的平均数是 5, 则这组数据的中位数是 5 【分析】先根据平均数的定义计算出 x 的值,再把数据按从小到大的顺序排列,找出最 中间的数,即为中位数 【解答】解:某班五个兴趣小组的人数分

21、别为 4,4,5,x,6,已知这组数据的平均数 是 5, x5544566, 这一组数从小到大排列为:4,4,5,6,6, 这组数据的中位数是 5 故答案为:5 【点评】本题考查了中位数的知识,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排 列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数,如果这组数 据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数也考查了平均数的 定义 14 (4 分)小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图” ,已知正方形 ABCD 的 边长为 4dm,则图 2 中 h 的值为 (4+) dm 第 14 页(共 30 页) 【分析】

22、根据七巧板的特征,依次得到的高,再相加即可求解 【解答】解:正方形 ABCD 的边长为 4dm, 的斜边上的高是 2dm,的高是 1dm,的斜边上的高是 1dm,的斜边上的高是 dm, 图 2 中 h 的值为(4+)dm 故答案为: (4+) 【点评】本题考查正方形的性质,七巧板知识,解题的关键是得到的高解决 问题 15 (4 分)如图,将一把矩形直尺 ABCD 和一块含 30角的三角板 EFG 摆放在平面直角 坐标系中,AB 在 x 轴上,点 G 与点 A 重合,点 F 在 AD 上,三角板的直角边 EF 交 BC 于点 M,反比例函数 y(x0)的图象恰好经过点 F,M若直尺的宽 CD3,

23、三角 板的斜边 FG8,则 k 40 【分析】通过作辅助线,构造直角三角形,求出 MN,FN,进而求出 AN、MB,表示出 点 F、点 M 的坐标,利用反比例函数 k 的意义,确定点 F 的坐标,进而确定 k 的值即可 【解答】解:过点 M 作 MNAD,垂足为 N,则 MNCD3, 在 RtFMN 中,MFN30, 第 15 页(共 30 页) FNMN3, ANMB835, 设 OAx,则 OBx+3, F(x,8) ,M(x+3,5) , 8x(x+3)5, 解得,x5, F(5,8) , k5840 故答案为:40 【点评】考查反比例函数的图象上点的坐标特征,把点的坐标代入函数关系式是

24、常用的 方法 16 (4 分)图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置,图 2 是其示意图已知 O,P 两点固 定,连杆 PAPC140cm,ABBCCQQA60cm,OQ50cm,O,P 两点间距与 OQ 长度相等当 OQ 绕点 O 转动时,点 A,B,C 的位置随之改变,点 B 恰好在线段 MN 上来回运动当点 B 运动至点 M 或 N 时,点 A,C 重合,点 P,Q,A,B 在同一直 线上(如图 3) (1)点 P 到 MN 的距离为 160 cm (2)当点 P,O,A 在同一直线上时,点 Q 到 MN 的距离为 cm 第 16 页(共 30 页) 【分析】 (1)如图 3 中,延长

25、PO 交 MN 于 T,过点 O 作 OHPQ 于 H解直角三角形 求出 PT 即可 (2)如图 4 中,当 O,P,A 共线时,过 Q 作 QHPT 于 H设 HAxcm解直角三角 形求出 HT 即可 【解答】解: (1)如图 3 中,延长 PO 交 MN 于 T,过点 O 作 OHPQ 于 H 由题意:OPOQ50cm,PQPAAQ146080(cm) ,PMPA+BC140+60 200(cm) ,PTMN, OHPQ, PHHQ40(cm) , cosP, , PT160(cm) , 点 P 到 MN 的距离为 160cm, 第 17 页(共 30 页) 故答案为 160 (2)如图

26、4 中,当 O,P,A 共线时,过 Q 作 QHPT 于 H设 HAxcm 由题意ATPTPA16014020 (cm) , OAPAOP1405090 (cm) , OQ50cm, AQ60cm, QHOA, QH2AQ2AH2OQ2OH2, 602x2502(90x)2, 解得 x, HTAH+AT(cm) , 点 Q 到 MN 的距离为cm 故答案为 【点评】本题考查解直角三角形的应用,等腰三角形的性质,菱形的性质等知识,解题 的关键是理解题意,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用参数构 建方程解决问题 三、解答题(本题共有三、解答题(本题共有 8 小题,第小题,第 17

27、19 小题每小题小题每小题 6 分,第分,第 2021 小题每小题小题每小题 6 分,分, 第第 2223 小题每小题小题每小题 6 分,第分,第 24 小题小题 12 分,共分,共 66 分请务必写出解答过程)分请务必写出解答过程) 17 (6 分)计算:|2|+()0+2sin30 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简 得出答案 【解答】解:原式2+13+2 第 18 页(共 30 页) 2+13+1 1 【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键 18 (6 分)先化简,再求值:,其中 a3 【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代

28、入数据求出答案 【解答】解:原式 (a1) , 当 a3 时,原式 【点评】此题主要考查了分式的化简求值,正确化简分式是解题关键 19 (6 分)如图,在 55 的网格中,ABC 的三个顶点都在格点上 (1)在图 1 中画出一个以 AB 为边的ABDE,使顶点 D,E 在格点上 (2)在图 2 中画出一条恰好平分ABC 周长的直线 l(至少经过两个格点) 【分析】 (1)根据平行四边形的定义画出图形即可(答案不唯一) (2)利用数形结合的思想解决问题即可 【解答】解: (1)如图平行四边形 ABDE 即为所求(点 D 的位置还有 6 种情形可取) (2)如图,直线 l 即为所求、 【点评】本题

29、考查作图应用与设计,平行四边形的性质,三角形的周长等知识,解题 的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型 20 (8 分)某市在九年级“线上教学”结束后,为了解学生的视力情况,抽查了部分学生 第 19 页(共 30 页) 进行视力检测根据检测结果,制成下面不完整的统计图表 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 5.1x5.3 25 B 4.8x5.0 115 C 4.4x4.7 m D 4.0x4.3 52 (1)求组别 C 的频数 m 的值 (2)求组别 A 的圆心角度数 (3)如果视力值 4.8 及以上属于“视力良好” ,请估计该市 25000 名九年级学生达到“视 力良好

30、”的人数根据上述图表信息,你对视力保护有什么建议? 【分析】 (1)根据统计图中的数据,可以得到本次抽查的人数,从而可以得到 m 的值; (2)根据(1)中的结果和频数分布表,可以得到组别 A 的圆心角度数; (3)根据统计图中的数据,可以得到该市 25000 名九年级学生达到“视力良好”的人数, 并提出合理化建议,建议答案不唯一,只要对保护眼睛好即可 【解答】解: (1)本次抽查的人数为:11523%500, m50061.6%308, 即 m 的值是 308; (2)组别 A 的圆心角度数是:36018, 即组别 A 的圆心角度数是 18; (3)250007000(人) , 答:该市 2

31、5000 名九年级学生达到“视力良好”的有 7000 人, 建议是:同学们应少玩电子产品,注意用眼保护 【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体,解答本题的关键是明确 第 20 页(共 30 页) 题意,利用数形结合的思想解答 21 (8 分)如图,ABC 内接于O,AB 为O 的直径,AB10,AC6,连结 OC,弦 AD 分别交 OC,BC 于点 E,F,其中点 E 是 AD 的中点 (1)求证:CADCBA (2)求 OE 的长 【分析】 (1)利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可 (2)证明AECBCA,推出,求出 EC 即可解决问题 【解答】 (1)证明:AEDE,O

32、C 是半径, , CADCBA (2)解:AB 是直径, ACB90, AEDE, OCAD, AEC90, AECACB, AECBCA, , , CE3.6, OCAB5, OEOCEC53.61.4 第 21 页(共 30 页) 【点评】本题考查三角形的外心,勾股定理,垂径定理,圆周角定理等知识,解题的关 键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型 22 (10 分)2020 年 5 月 16 日, “钱塘江诗路”航道全线开通一艘游轮从杭州出发前往衢 州,线路如图 1 所示当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时,一艘货轮沿着同样 的线路从杭州出发前往衢州已知游轮的速度为 20km/h,游轮行

33、驶的时间记为 t(h) ,两 艘轮船距离杭州的路程 s(km)关于 t(h)的图象如图 2 所示(游轮在停靠前后的行驶 速度不变) (1)写出图 2 中 C 点横坐标的实际意义,并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长 (2)若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州问: 货轮出发后几小时追上游轮? 游轮与货轮何时相距 12km? 【分析】 (1)根据图中信息解答即可 (2)求出 B,C,D,E 的坐标,利用待定系数法求解即可 (3)分两种情形分别构建方程求解即可 【解答】解: (1)C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了 23h 游轮在“七里扬帆”停靠的时长23(42020)23212(h)

34、 (2)2802014h, 点 A(14,280) ,点 B(16,280) , 第 22 页(共 30 页) 36600.6(h) ,230.622.4, 点 E(22.4,420) , 设 BC 的解析式为 s20t+b,把 B(16,280)代入 s20t+b,可得 b40, s20t40(16t23) , 同理由 D(14,0) ,E(22,4,420)可得 DE 的解析式为 s50t700(14t22.4) , 由题意:20t4050t700, 解得 t22, 22148(h) , 货轮出发后 8 小时追上游轮 相遇之前相距 12km 时,20t4(50t700)12,解得 t21.

35、6 相遇之后相距 12km 时,50t700(20t40)12,解得 t22.4, 21.6h 或 22.4h 时游轮与货轮何时相距 12km 【点评】本题考查一次函数的应用,解题的关键是读懂图象信息,熟练运用待定系数法 解决问题,属于中考常考题型 23 (10 分)如图 1,在平面直角坐标系中,ABC 的顶点 A,C 分別是直线 yx+4 与 坐标轴的交点,点 B 的坐标为(2,0) ,点 D 是边 AC 上的一点,DEBC 于点 E,点 F 在边 AB 上,且 D,F 两点关于 y 轴上的某点成中心对称,连结 DF,EF设点 D 的横 坐标为 m,EF2为 l,请探究: 线段 EF 长度是

36、否有最小值 BEF 能否成为直角三角形 小明尝试用“观察猜想验证应用”的方法进行探究,请你一起来解决问题 (1)小明利用“几何画板”软件进行观察,测量,得到 l 随 m 变化的一组对应值,并在 平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点(如图 2) 请你在图 2 中连线,观察图象特征 并猜想 l 与 m 可能满足的函数类别 (2)小明结合图 1,发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想,请你求出 l 关于 m 的函数表达式及自变量的取值范围,并求出线段 EF 长度的最小值 (3)小明通过观察,推理,发现BEF 能成为直角三角形,请你求出当BEF 为直角三 角形时 m 的值 第 23 页(共 30

37、 页) 【分析】 (1)根据描点法画图即可; (2)过点 F,D 分别作 FG,DH 垂直于 y 轴,垂足分别为 G,H,证明 RtFGKRt DHK(AAS) ,由全等三角形的性质得出 FGDH,可求出 F(m,2m+4) ,根据勾股 定理得出 lEF28m216m+168(m1)2+8,由二次函数的性质可得出答案; (3)分三种不同情况,根据直角三角形的性质得出 m 的方程,解方程求出 m 的值,则 可求出答案 【解答】解: (1)用描点法画出图形如图 1,由图象可知函数类别为二次函数 (2)如图 2,过点 F,D 分别作 FG,DH 垂直于 y 轴,垂足分别为 G,H, 则FGKDHK9

38、0, 记 FD 交 y 轴于点 K, 第 24 页(共 30 页) D 点与 F 点关于 y 轴上的 K 点成中心对称, KFKD, FKGDKH, RtFGKRtDHK(AAS) , FGDH, 直线 AC 的解析式为 yx+4, x0 时,y4, A(0,4) , 又B(2,0) , 设直线 AB 的解析式为 ykx+b, , 解得, 直线 AB 的解析式为 y2x+4, 过点 F 作 FRx 轴于点 R, D 点的橫坐标为 m, F(m,2m+4) , ER2m,FR2m+4, EF2FR2+ER2, lEF28m216m+168(m1)2+8, 令+40,得 x, 0m 当 m1 时,

39、l 的最小值为 8, EF 的最小值为 2 (3)FBE 为定角,不可能为直角 BEF90时,E 点与 O 点重合,D 点与 A 点,F 点重合,此时 m0 如图 3,BFE90时,有 BF2+EF2BE2 第 25 页(共 30 页) 由(2)得 EF28m216m+16, 又BRm+2,FR2m+4, BF2BR2+FR2(m+2)2+(2m+4)25m220m+20, 又BE2(m+2)2, (5m220m+8)+(8m216m+16)2(m+2)2, 化简得,3m210m+80, 解得 m1,m22(不合题意,舍去) , m 综合以上可得,当BEF 为直角三角形时,m0 或 m 【点评

40、】本题是一次函数综合题,考查了描点法画函数图象,待定系数法,全等三角形 的判定与性质,坐标与图形的性质,二次函数的性质,勾股定理,中心对称的性质,直 角三角形的性质等知识,熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键 24 (12 分) 【性质探究】 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AE 平分BAC,交 BC 于点 E作 DFAE 于点 H,分别交 AB,AC 于点 F,G (1)判断AFG 的形状并说明理由 (2)求证:BF2OG 【迁移应用】 (3)记DGO 的面积为 S1,DBF 的面积为 S2,当时,求的值 【拓展延伸】 (4)若 DF 交射线 AB 于点

41、F, 【性质探究】中的其余条件不变,连结 EF,当BEF 的 第 26 页(共 30 页) 面积为矩形 ABCD 面积的时,请直接写出 tanBAE 的值 【分析】 (1)如图 1 中,AFG 是等腰三角形利用全等三角形的性质证明即可 (2)如图 2 中,过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L,则AFGOLG首先证明 OGOL, 再证明 BF2OL 即可解决问题 (3)如图 3 中,过点 D 作 DKAC 于 K,则DKACDA90,利用相似三角形 的性质解决问题即可 (4)设 OGa,AGk分两种情形:如图 4 中,连接 EF,当点 F 在线段 AB 上时, 点 G 在 OA 上 如图 5

42、 中, 当点 F 在 AB 的延长线上时, 点 G 在线段 OC 上, 连接 EF 分 别求解即可解决问题 【解答】 (1)解:如图 1 中,AFG 是等腰三角形 理由:AE 平分BAC, 12, DFAE, AHFAHG90, AHAH, AHFAHG(ASA) , AFAG, AFG 是等腰三角形 第 27 页(共 30 页) (2)证明:如图 2 中,过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L,则AFGOLG AFAG, AFGAGF, AGFOGL, OGLOLG, OGOL, OLAB, DLODFB, , 四边形 ABCD 是矩形, BD2OD, BF2OL, BF2OG (3)解:

43、如图 3 中,过点 D 作 DKAC 于 K,则DKACDA90, DAKCAD, ADKACD, 第 28 页(共 30 页) , S1OGDK,S2BFAD, 又BF2OG, ,设 CD2x,AC3x,则 AD2x, (4)解:设 OGa,AGk 如图 4 中,连接 EF,当点 F 在线段 AB 上时,点 G 在 OA 上 AFAG,BF2OG, AFAGk,BF2a, ABk+2a,AC2(k+a) , AD2AC2CD22(k+a)2(k+2a)23k2+4ka, ABEDAF90,BAEADF, ABEDAF, , , BE, 由题意:102aAD (k+2a) , AD210ka,

44、 即 10ka3k2+4ka, 第 29 页(共 30 页) k2a, AD2a, BEa,AB4a, tanBAE 如图 5 中,当点 F 在 AB 的延长线上时,点 G 在线段 OC 上,连接 EF AFAG,BF2OG, AFAGk,BF2a, ABk2a,AC2(ka) , AD2AC2CD22(ka)2(k2a)23k24ka, ABEDAF90,BAEADF, ABEDAF, , , BE, 由题意:102aAD (k2a) , AD210ka, 即 10ka3k24ka, ka, ADa, BEa,ABa, tanBAE, 第 30 页(共 30 页) 综上所述,tanBAE 的值为或 【点评】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,相似 三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考 问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题

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