1、3 的相反数为（ ） A3 B C D3 2 （4 分）下列计算正确的是（ ） Aa3a2a6 B （a3）2a5 Ca6a3a3 Da2+a3a5 3 （4 分）2019 年宁波舟山港货物吞吐量为 1120000000 吨，比上年增长 3.3%，连续 11 年 蝉联世界首位数 1120000000 用科学记数法表示为（ ） A1.12108 B1.12109 C1.12109 D0.1121010 4 （4 分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A B C D 5 （4 分）一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋 中任意
2、摸出一个球是红球的概率为（ ） A B C D 6 （4 分）二次根式中字母 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 7 （4 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为中线，延长 CB 至点 E，使 BEBC， 连结 DE，F 为 DE 中点，连结 BF若 AC8，BC6，则 BF 的长为（ ） 第 2 页（共 29 页） A2 B2.5 C3 D4 8 （4 分）我国古代数学名著孙子算经中记载： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳 四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳 子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺
3、，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为（ ） A B C D 9 （4 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴正半 轴交于点 C，它的对称轴为直线 x1则下列选项中正确的是（ ） Aabc0 B4acb20 Cca0 D当 xn22（n 为实数）时，yc 10 （4 分）BDE 和FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三 角形 ABC 内若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道（ ） AABC 的周长 BAFH 的周长 第 3 页（共 29 页） C四边形 FBGH 的周长 D四边形
4、 ADEC 的周长 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）实数 8 的立方根是 12 （5 分）分解因式：2a218 13 （5 分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了 5 棵，每棵产量的平 均数 （单位：千克）及方差 S2（单位：千克 2）如表所示： 甲 乙 丙 45 45 42 S2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种 是 14（5 分） 如图， 折扇的骨柄长为 27cm， 折扇张开的角度为 120， 图中的长为 cm （结果保留 ） 15 （5 分）如图，O
5、的半径 OA2，B 是O 上的动点（不与点 A 重合） ，过点 B 作O 的切线 BC，BCOA，连结 OC，AC当OAC 是直角三角形时，其斜边长为 16 （5 分）如图，经过原点 O 的直线与反比例函数 y （a0） 的图象交于 A， D 两点（点 A 在第一象限） ，点 B，C，E 在反比例函数 y（b0）的图象上，ABy 轴，AECD x 轴， 五边形 ABCDE 的面积为 56， 四边形 ABCD 的面积为 32， 则 ab 的值为 ， 第 4 页（共 29 页） 的值为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算：
6、（a+1）2+a（2a） （2）解不等式：3x52（2+3x） 18 （8 分）图 1，图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有 3 个小 等边三角形已涂上阴影请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂 上阴影： （1）使得 4 个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形 （2）使得 4 个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形 （请将两个小题依次作答在图 1，图 2 中，均只需画出符合条件的一种情形） 19 （8 分）图 1 是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成当位于顶 端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下） ，此时汽车可以进入
7、车位； 当车位锁上锁后，钢条按图 1 的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽 车进入车位图 2 是其示意图，经测量，钢条 ABAC50cm，ABC47 （1）求车位锁的底盒长 BC （2）若一辆汽车的底盘高度为 30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？ （参考数据：sin470.73，cos470.68，tan471.07） 第 5 页（共 29 页） 20 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+4x3 图象的顶点是 A，与 x 轴 交于 B，C 两点，与 y 轴交于点 D点 B 的坐标是（1，0） （1）求 A，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当
8、 y0 时 x 的取值范围 （2）平移该二次函数的图象，使点 D 恰好落在点 A 的位置上，求平移后图象所对应的 二次函数的表达式 21 （10 分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动为了解这次活动的效果，学校从全校 1500 名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分 100 分，得分 x 均为不小于 60 的整数） ，并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60x70） ，合格（70x80） ，良 好（80x90） ，优秀（90x100） ，制作了如图统计图（部分信息未给出） 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图 （2）求扇形统计图中“良好”所
9、对应的扇形圆心角的度数 （3）这次测试成绩的中位数是什么等第？ （4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有 第 6 页（共 29 页） 多少人？ 22 （10 分）A，B 两地相距 200 千米早上 8：00 货车甲从 A 地出发将一批物资运往 B 地， 行驶一段路程后出现故障，即刻停车与 B 地联系B 地收到消息后立即派货车乙从 B 地 出发去接运甲车上的物资货车乙遇到甲后，用了 18 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙 上，随后开往 B 地两辆货车离开各自出发地的路程 y（千米）与时间 x（小时）的函数 关系如图所示 （通话等其他时间忽略不计） （1）求货车
10、乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 y 关于 x 的函数表达式 （2） 因实际需要， 要求货车乙到达 B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 B 地的时 间最多晚 1 个小时，问货车乙返回 B 地的速度至少为每小时多少千米？ 23 （12 分） 【基础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ACDB求证：AC2ADAB 【尝试应用】 （2）如图 2，在ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA若 BF4，BE3，求 AD 的长 【拓展提高】 （3） 如图 3， 在菱形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是ABC 内一点， EFAC
11、， AC2EF， EDFBAD，AE2，DF5，求菱形 ABCD 的边长 24 （14 分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的 第 7 页（共 29 页） 锐角称为该三角形第三个内角的遥望角 （1）如图 1，E 是ABC 中A 的遥望角，若A，请用含 的代数式表示E （2） 如图 2， 四边形 ABCD 内接于O， 四边形 ABCD 的外角平分线 DF 交O 于点 F，连结 BF 并延长交 CD 的延长线于点 E求证：BEC 是ABC 中BAC 的遥望 角 （3）如图 3，在（2）的条件下，连结 AE，AF，若 AC 是O 的直径 求AED 的度数； 若 AB
12、8，CD5，求DEF 的面积 第 8 页（共 29 页） 2020 年浙江省宁波市中考数学试卷年浙江省宁波市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 （4 分）3 的相反数为（ ） A3 B C D3 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答 【解答】解：3 的相反数是 3 故选：D 【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键 2 （4 分）下列计算正确的是（ ） Aa3a2a6 B （a3）
13、2a5 Ca6a3a3 Da2+a3a5 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别 化简得出答案 【解答】解：A、a3a2a5，故此选项错误； B、 （a3）2a6，故此选项错误； C、a6a3a3，正确； D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握 相关运算法则是解题关键 3 （4 分）2019 年宁波舟山港货物吞吐量为 1120000000 吨，比上年增长 3.3%，连续 11 年 蝉联世界首位数 1120000000 用科学记数法表示为（ ） A1.121
14、08 B1.12109 C1.12109 D0.1121010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 【解答】解：11200000001.12109， 故选：B 第 9 页（共 29 页） 【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （4 分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据主视图的意义和画法可以得出答案 【解答】解：根据主视图的意义可知，从正面看物
15、体所得到的图形，选项 B 符合题意， 故选：B 【点评】考查简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形 5 （4 分）一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋 中任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A B C D 【分析】根据概率公式计算 【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率 故选：D 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数除 以所有可能出现的结果数 6 （4 分）二次根式中字母 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据被开方数大于等于 0 列不等式求解即可
16、【解答】解：由题意得，x20， 解得 x2 故选：C 第 10 页（共 29 页） 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否 则二次根式无意义 7 （4 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为中线，延长 CB 至点 E，使 BEBC， 连结 DE，F 为 DE 中点，连结 BF若 AC8，BC6，则 BF 的长为（ ） A2 B2.5 C3 D4 【分析】利用勾股定理求得 AB10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求 得 CD 的长度；结合题意知线段 BF 是CDE 的中位线，则 BFCD 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，A
17、C8，BC6， AB10 又CD 为中线， CDAB5 F 为 DE 中点，BEBC 即点 B 是 EC 的中点， BF 是CDE 的中位线，则 BFCD2.5 故选：B 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此 题的突破口是推知线段 CD 的长度和线段 BF 是CDE 的中位线 8 （4 分）我国古代数学名著孙子算经中记载： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳 四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳 子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可
18、列方程组为（ ） 第 11 页（共 29 页） A B C D 【分析】直接利用“绳长木条+4.5；绳子木条1”分别得出等式求出答案 【解答】解：设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为： 故选：A 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题 关键 9 （4 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴正半 轴交于点 C，它的对称轴为直线 x1则下列选项中正确的是（ ） Aabc0 B4acb20 Cca0 D当 xn22（n 为实数）时，yc 【分析】由图象开口向上，可知 a0，与 y 轴的交点在 x
19、 轴的上方，可知 c0，根据对 称轴方程得到 b0，于是得到 abc0，故 A 错误；根据一次函数 yax2+bx+c（a0） 的图象与 x 轴的交点，得到 b24ac0，求得 4acb20，故 B 错误；根据对称轴方程 得到 b2a，当 x1 时，yab+c0，于是得到 ca0，故 C 错误；当 xn2 2（n 为实数）时，代入解析式得到 yax2+bx+ca（n22）+b（n22）an2 （n2+2）+c，于是得到 yan2（n2+2）+cc，故 D 正确 【解答】解：由图象开口向上，可知 a0， 与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可知 c0， 又对称轴方程为 x1，所以0，所以 b0，
20、第 12 页（共 29 页） abc0，故 A 错误； 一次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点， b24ac0， 4acb20，故 B 错误； 1， b2a， 当 x1 时，yab+c0， a2a+c0， ca0，故 C 错误； 当 xn22（n 为实数）时，yax2+bx+ca（n22）+b（n22）an2（n2+2） +c， a0，n20，n2+20， yan2（n2+2）+cc，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质熟练掌握图象与系数的关系以及二次函 数与方程的关系是解题的关键 10 （4 分）BDE 和FGH 是两个全等的等边
21、三角形，将它们按如图的方式放置在等边三 角形 ABC 内若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道（ ） AABC 的周长 BAFH 的周长 C四边形 FBGH 的周长 D四边形 ADEC 的周长 【分析】证明AFHCHG（AAS） ，得出 AFCH由题意可知 BEFH，则得出五 边形 DECHF 的周长AB+BC，则可得出答案 【解答】解：GFH 为等边三角形， FHGH，FHG60， AHF+GHC120， 第 13 页（共 29 页） ABC 为等边三角形， ABBCAC，ACBA60， GHC+HGC120， AHFHGC， AFHCHG（AAS） ， AFCH BDE 和FGH 是两
22、个全等的等边三角形， BEFH， 五边形 DECHF 的周长DE+CE+CH+FH+DFBD+CE+AF+BE+DF， （BD+DF+AF）+（CE+BE） ， AB+BC 只需知道ABC 的周长即可 故选：A 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角 形的判定方法是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）实数 8 的立方根是 2 【分析】根据立方根的性质和求法，求出实数 8 的立方根是多少即可 【解答】解：实数 8 的立方根是： 2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌
23、握，解答此题的关键是要明确： 一个数的立方根只有一个， 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数， 0 的立方根是 0 12 （5 分）分解因式：2a218 2（a+3） （a3） 【分析】首先提取公因式 2，再利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：2a2182（a29） 2（a+3） （a3） 故答案为：2（a+3） （a3） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键 第 14 页（共 29 页） 13 （5 分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了 5 棵，每棵产量的平 均数 （单位：千克）及方差 S2（单位：千克 2）如表所示： 甲
24、 乙 丙 45 45 42 S2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 甲 【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定 【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高， 又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定， 即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲； 故答案为：甲 【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫 做这组数据的方差方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的 离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均
25、值的离散程度越小，稳定性越好也 考查了平均数 14 （5 分）如图，折扇的骨柄长为 27cm，折扇张开的角度为 120，图中的长为 18 cm（结果保留 ） 【分析】根据弧长公式即可得到结论 【解答】解：折扇的骨柄长为 27cm，折扇张开的角度为 120， 的长18（cm） ， 故答案为：18 【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键 第 15 页（共 29 页） 15 （5 分）如图，O 的半径 OA2，B 是O 上的动点（不与点 A 重合） ，过点 B 作O 的切线 BC，BCOA，连结 OC，AC当OAC 是直角三角形时，其斜边长为 2 【分析】当AOC90时，连接 O
26、B，根据切线的性质得到OBC90，根据勾股定 理得到 AC2 【解答】解：BC 是O 的切线， OBC90， BCOA， OBBC2， OBC 是等腰直角三角形， BCO45， ACO45， 当OAC 是直角三角形时，AOC90，连接 OB， OCOB2， AC2； 当OAC 是直角三角形时，OAC90，此时，点 A，B 重合（不合题意舍去） ， 故答案为：2 【点评】本题考查了切线的性质勾股定理，正确的理解题意是解题的关键 16 （5 分）如图，经过原点 O 的直线与反比例函数 y （a0） 的图象交于 A， D 两点（点 A 在第一象限） ，点 B，C，E 在反比例函数 y（b0）的图象上
27、，ABy 轴，AECD x 轴， 五边形 ABCDE 的面积为 56， 四边形 ABCD 的面积为 32， 则 ab 的值为 24 ， 第 16 页（共 29 页） 的值为 【分析】如图，连接 AC，OE，OC，OB，延长 AB 交 DC 的延长线于 T，设 AB 交 x 轴于 K 求出证明四边形 ACDE 是平行四边形， 推出 SADESADCS五边形ABCDES四边形ABCD 563224，推出 SAOESDEO12，可得ab12，推出 ab24再证明 BCAD，证明 AD3BC，推出 AT3BT，再证明 AK3BK 即可解决问题 【解答】解：如图，连接 AC，OE，OC，OB，延长 AB
28、 交 DC 的延长线于 T，设 AB 交 x 轴于 K 由题意 A，D 关于原点对称， A，D 的纵坐标的绝对值相等， AECD， E，C 的纵坐标的绝对值相等， E，C 在反比例函数 y的图象上， E，C 关于原点对称， E，O，C 共线， OEOC，OAOD，四边形 ACDE 是平行四边形， SADESADCS五边形ABCDES四边形ABCD563224， SAOESDEO12， 第 17 页（共 29 页） ab12， ab24， SAOCSAOB12， BCAD， ， SACB32248， SADC：SABC24：81：3， BC：AD1：3， TB：TA1：3，设 BTa，则 AT3
29、a，AKTK1.5k，BK0.5k， AK：BK3：1， ， 故答案为 24， 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平 行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问 题，属于中考填空题中的压轴题 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算： （a+1）2+a（2a） （2）解不等式：3x52（2+3x） 【分析】 （1）直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案； （2）直接利用一元一次不等式的解法进而计算即可 【解答】解： （1） （a+1）2
30、+a（2a） a2+2a+1+2aa2 4a+1； （2）3x52（2+3x） 3x54+6x， 第 18 页（共 29 页） 移项得：3x6x4+5， 合并同类项，系数化 1 得：x3 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法以及单项式乘以多项式，正确掌握相关 运算法则是解题关键 18 （8 分）图 1，图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有 3 个小 等边三角形已涂上阴影请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂 上阴影： （1）使得 4 个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形 （2）使得 4 个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形 （请将两个小题依
31、次作答在图 1，图 2 中，均只需画出符合条件的一种情形） 【分析】 （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一） （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一） 【解答】解： （1）轴对称图形如图 1 所示 （2）中心对称图形如图 2 所示 【点评】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意， 灵活运用所学知识解决问题 19 （8 分）图 1 是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成当位于顶 端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下） ，此时汽车可以进入车位； 当车位锁上锁后，钢条按图 1 的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于
32、车位锁高度的汽 车进入车位图 2 是其示意图，经测量，钢条 ABAC50cm，ABC47 （1）求车位锁的底盒长 BC 第 19 页（共 29 页） （2）若一辆汽车的底盘高度为 30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？ （参考数据：sin470.73，cos470.68，tan471.07） 【分析】 （1）过点 A 作 AHBC 于点 H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案 （2）根据锐角三角函数的定义求出 AH 的长度即可判断 【解答】解： （1）过点 A 作 AHBC 于点 H， ABAC， BHHC， 在 RtABH 中，B47，AB50， BHABcosB50cos47
33、500.6834， BC2BH68cm （2）在 RtABH 中， AHABsinB50sin47500.7336.5， 36.530， 当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基 础题型 20 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+4x3 图象的顶点是 A，与 x 轴 交于 B，C 两点，与 y 轴交于点 D点 B 的坐标是（1，0） （1）求 A，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当 y0 时 x 的取值范围 （2）平移该二次函数的图象，使点 D 恰好落在点 A 的位置上，求平移后图象所对应的 二
34、次函数的表达式 第 20 页（共 29 页） 【分析】 （1）利用待定系数法求出 a，再求出点 C 的坐标即可解决问题 （2）由题意点 D 平移的 A，抛物线向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位，由此可得抛 物线的解析式 【解答】解： （1）把 B（1，0）代入 yax2+4x3，得 0a+43，解得 a1， yx2+4x3（x2）2+1， A（2，1） ， 对称轴 x1，B，C 关于 x2 对称， C（3，0） ， 当 y0 时，1x3 （2）D（0，3） ， 点 D 平移的 A，抛物线向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位，可得抛物线的解析式 为 y（x4）2+5 【点评】本题考
35、查抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解题的关 键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 21 （10 分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动为了解这次活动的效果，学校从全校 1500 名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分 100 分，得分 x 均为不小于 60 的整数） ，并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60x70） ，合格（70x80） ，良 好（80x90） ，优秀（90x100） ，制作了如图统计图（部分信息未给出） 第 21 页（共 29 页） 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图 （2）求扇形统计图中“良
36、好”所对应的扇形圆心角的度数 （3）这次测试成绩的中位数是什么等第？ （4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有 多少人？ 【分析】 （1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题 （2）根据圆心角360百分比计算即可 （3）根据中位数的定义判断即可 （4）利用样本估计总体的思想解决问题即可 【解答】解： （1）3015%200（人） ， 20030804050（人） ， 直方图如图所示： （2） “良好”所对应的扇形圆心角的度数360144 （3）这次测试成绩的中位数是良好 第 22 页（共 29 页） （4）1500300（人） ， 答：估计该校
37、获得优秀的学生有 300 人 【点评】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题 的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 22 （10 分）A，B 两地相距 200 千米早上 8：00 货车甲从 A 地出发将一批物资运往 B 地， 行驶一段路程后出现故障，即刻停车与 B 地联系B 地收到消息后立即派货车乙从 B 地 出发去接运甲车上的物资货车乙遇到甲后，用了 18 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙 上，随后开往 B 地两辆货车离开各自出发地的路程 y（千米）与时间 x（小时）的函数 关系如图所示 （通话等其他时间忽略不计） （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地
38、的路程 y 关于 x 的函数表达式 （2） 因实际需要， 要求货车乙到达 B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 B 地的时 间最多晚 1 个小时，问货车乙返回 B 地的速度至少为每小时多少千米？ 【分析】 （1）由待定系数法可求出函数解析式； （2）根据图中的信息求出乙返回 B 地所需的时间，由题意可列出不等式 1.6v120，解 不等式即可得出答案 【解答】解： （1）设函数表达式为 ykx+b（k0） ， 把（1.6，0） ， （2.6，80）代入 ykx+b，得， 解得：， y 关于 x 的函数表达式为 y80x128（1.6x3.1） ； （2）当 y20080120 时， 120
39、80x128， 解得 x3.1， 第 23 页（共 29 页） 货车甲正常到达 B 地的时间为 200504（小时） ， 18600.3（小时） ，4+15（小时） ，53.10.31.6（小时） ， 设货车乙返回 B 地的车速为 v 千米/小时， 1.6v120， 解得 v75 答：货车乙返回 B 地的车速至少为 75 千米/小时 【点评】本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到 甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键 23 （12 分） 【基础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ACDB求证：AC2ADAB 【尝试应用】 （2）如图
40、 2，在ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA若 BF4，BE3，求 AD 的长 【拓展提高】 （3） 如图 3， 在菱形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是ABC 内一点， EFAC， AC2EF， EDFBAD，AE2，DF5，求菱形 ABCD 的边长 【分析】 （1）证明ADCACB，得出，则可得出结论； （2）证明BFEBCF，得出比例线段，则 BF2BEBC，求出 BC，则可求 出 AD （3）分别延长 EF，DC 相交于点 G，证得四边形 AEGC 为平行四边形，得出 ACEG， CGAE，EACG，证明EDFEGD，得出比例线段，则
41、DEEF， 可求出 DG，则答案可求出 第 24 页（共 29 页） 【解答】解： （1）证明：ACDB，AA， ADCACB， ， AC2ADAB （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AC， 又BFEA， BFEC， 又FBECBF， BFEBCF， ， BF2BEBC， BC， AD （3）如图，分别延长 EF，DC 相交于点 G， 四边形 ABCD 是菱形， ABDC，BACBAD， ACEF， 四边形 AEGC 为平行四边形， ACEG，CGAE，EACG， EDFBAD， EDFBAC， EDFG， 第 25 页（共 29 页） 又DEFGED， EDFEGD， ， D
42、E2EFEG， 又EGAC2EF， DE22EF2， DEEF， 又， DG， DCDGCG52 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判 定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键 24 （14 分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的 锐角称为该三角形第三个内角的遥望角 （1）如图 1，E 是ABC 中A 的遥望角，若A，请用含 的代数式表示E （2） 如图 2， 四边形 ABCD 内接于O， 四边形 ABCD 的外角平分线 DF 交O 于点 F，连结 BF 并延长交 CD 的延长线于点 E求证：B
43、EC 是ABC 中BAC 的遥望 角 （3）如图 3，在（2）的条件下，连结 AE，AF，若 AC 是O 的直径 求AED 的度数； 若 AB8，CD5，求DEF 的面积 【分析】 （1）由角平分线的定义可得出结论； （2）由圆内接四边形的性质得出FDC+FBC90，得出FDEFBC，证得 第 26 页（共 29 页） ABFFBC，证出ACDDCT，则 CE 是ABC 的外角平分线，可得出结论； （3） 连接 CF， 由条件得出BFCBAC， 则BFC2BEC， 得出BECFAD， 证明FDEFDA（AAS） ，由全等三角形的性质得出 DEDA，则AEDDAE， 得出ADC90，则可求出答案
44、； 过点 A 作 AGBE 于点 G，过点 F 作 FMCE 于点 M，证得EGAADC，得出 ，求出，设 AD4x，AC5x，则有（4x）2+52（5x）2，解得 x， 求出 ED，CE 的长，求出 DM，由等腰直角三角形的性质求出 FM，根据三角形的面积公 式可得出答案 【解答】解： （1）BE 平分ABC，CE 平分ACD， EECDEBD（ACDABC）， （2）如图 1，延长 BC 到点 T， 四边形 FBCD 内接于O， FDC+FBC180， 又FDE+FDC180， FDEFBC， DF 平分ADE， ADFFDE， ADFABF， ABFFBC， BE 是ABC 的平分线， ， ACDBFD， BFD+BCD180，DCT+BCD180， 第 27 页（共 29 页） DCTBFD， ACDDCT， CE 是ABC 的外角平分线， BEC 是ABC 中BAC 的遥望角 （3）如图 2，连接 CF， BEC 是ABC 中BAC 的遥望角， BAC2BEC， BFCBAC， BFC2BEC， BFCBEC+FCE， BECFCE， FCEFAD， BECFAD， 又FDEFDA，FDFD， FDEFDA（AAS） ， DEDA， AEDDAE， AC 是O 的直径， ADC90， AED+DAE9
