1、已知集合 P1，0，1，2，Q1，0，1，则（ ） APQ BPQ CQP DQP 2 （4 分）下列函数为同一函数的是（ ） A与 yx+1 Byx22x 与 yt22t Cyx0与 y1 Dylgx2与 y2lgx 3 （4 分）集合1，a，0，a2，a+b，则 a2019+b2018的值为（ ） A0 B1 C1 D1 4 （4 分）函数 y的单调递减区间是（ ） A （，3 B （，1 C1，+） D1，+） 5 （4 分）已知 a，blog2，c，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 6 （4 分）函数 f（x）log2x的零点所在的大致区间是（ ） A （0，1） B
2、（1，2） C （2，3） D （3，4） 7 （4 分）函数 f（x）xlg|x|的图象可能是（ ） A B C D 8 （4 分）已知 f（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f（x）x2+4x，则 f（x+2）5 的解集为（ ） A （，7）（3，+） B （，3）（3，+） C （，7）（1，+） D （，5）（3，+） 第 2 页（共 15 页） 9 （4 分）已知函数 f（x）的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m （ ） A1 B0 C1 D2 10 （4 分）定义在（1，1）的函数满足关系 f（x）f（y）f（） ，当 x（1，0） 时，f（x）0，若 Pf（）+f（
3、） ，Qf（） ，Rf（0） ，则 P，Q，R 的大小关系 为（ ） ARPQ BRQP CPQR DQPR 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，其中小题，其中 11-14 题每空题每空 3 分，分，15-17 题每空题每空 4 分，共分，共 36 分分. 11 （6 分）函数 f（x）log（3x）的定义域是 ；f（x）0 的解集是 12 （6 分）已知 f（x）x2+，则 f（0） ，f（x） 13 （3 分）函数 yax 2+7（a0 且 a1）的图象恒过定点 P，则点 P 坐标为；若点 P 在 幂函数 g（x）的图象上，则 g（x） 14 （6 分）设函数 f（x），则
4、 f（f（2） ） ，方程 f（x）2 的解为 15 （4 分）若函数 f（x）x2ax 在区间1，2上是增函数，在区间1，2上是 减函数，则实数 a 的取值范围是 16 （4 分）定义函数，则的最 大值是 17 （4 分） 若 x1是方程 2x 1+x40 的根， x 2是方程 x+log2x3 的根， 则 x1+x2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分，其中分，其中 18 题题 14 分，分，19-22 题每题题每题 15 分，解答应写分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 （14 分）计算下列各式的值： （
5、1）； 第 3 页（共 15 页） （2）lne3+lg0.01+log220log216+log2 19 （15 分）已知集合 Ax|33x27， （1）分别求 AB，R（AB） ； （2）已知集合 Cx|1xa，若 CAA，求实数 a 的取值范围 20 （15 分）已知二次函数 f（x）满足 f（x+1）f（x）2x1，且 f（0）4 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求 f（x）在区间0，t（t0）上的最大值； （3）用定义法证明函数在2，+）上是增函数 21 （15 分）已知函数 f（x）ax+bx（其中常数 ab0，且 a，b 均不为 1）的图象经过点 A（1，6） ， （）求
6、函数 f（x）的解析式； （）若关于 x 的方程在区间1，2上有两个不相等的实数根，求实 数 m 的取值范围 22 （15 分）已知函数 （）求函数 f（x）的定义域，并证明函数 f（x）是奇函数； （）是否存在这样的实数 k，使 f（kx2）+f（2kx4）0 对一切恒 成立，若存在，试求出 k 的取值集合；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 15 页） 2019-2020 学年浙江省宁波市奉化高中、三山高中等六校高一学年浙江省宁波市奉化高中、三山高中等六校高一 （上）期中数学试卷（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题
7、，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知集合 P1，0，1，2，Q1，0，1，则（ ） APQ BPQ CQP DQP 【分析】根据集合之间的关系即可判断； 【解答】解：集合 P1，0，1，2，Q1，0，1， 可知集合 Q 中的元素都在集合 P 中， 所以 QP 故选：C 【点评】本题主要考查集合之间的关系判断，比较基础 2 （4 分）下列函数为同一函数的是（ ） A与 yx+1 Byx22x 与 yt22t Cyx0与 y1 Dylgx2与 y2lgx 【分
8、析】通过化解解析式，可得出选项 A 两函数解析式不同，不是同一函数通过求定 义域，可判断选项 C，D 错误，只能选 B 【解答】解：A.，yx+1，解析式不同，不是同一函数； Byx22x 与 yt22t 的解析式相同，定义域相同，是同一函数； Cyx0的定义域为x|x0，y1 的定义域为 R，定义域不同，不是同一函数； Dylgx2的定义域为x|x0，y2lgx 的定义域为x|x0，定义域不同，不是同一函 数 故选：B 【点评】考查函数的定义，函数的三要素，判断两函数是否相同的方法：定义域和解析 式是否都相同 3 （4 分）集合1，a，0，a2，a+b，则 a2019+b2018的值为（ ）
9、 第 5 页（共 15 页） A0 B1 C1 D1 【分析】由1，a，0，a2，a+b，可知 a0，且集合中的元素完全相同，即可求 解 【解答】解：1，a，0，a2，a+b，且 a0， 0 即 b0，1，a，00，a2，a， a21， a1 或 a1， 经检验可知，当 a1 与集合元素的互异性矛盾，故 a1，b0， 则 a2019+b20181 故选：B 【点评】本题主要考查了集合相等的应用，解题中要注意互异性的检验 4 （4 分）函数 y的单调递减区间是（ ） A （，3 B （，1 C1，+） D1，+） 【分析】令 x2+2x3t0，求得函数的定义域根据复合函数的单调性，本题即求函 数
10、 t 在 y 的定义域内的减区间再利用二次函数的性质可得，函数 t 在 y 的 定义域内的减区间 【解答】解：令 x2+2x3t，则 y，t（x+3） （x1） 令 t0，求得 x3，或 x1，故函数 y 的定义域为（，31+） 根据复合函数的单调性，本题即求函数 t 在 y 的定义域内的减区间 再利用二次函数的性质可得，函数 t 在 y 的定义域内的减区间为（，3， 故选：A 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想， 属于中档题 5 （4 分）已知 a，blog2，c，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 【分析】利用指数式的运算性质得到 0a
11、1，由对数的运算性质得到 b0，c1，则 答案可求 第 6 页（共 15 页） 【解答】解：0a201， blog2log210， clog23log221， cab 故选：C 【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时， 有时借助于 0、1 这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题 6 （4 分）函数 f（x）log2x的零点所在的大致区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 【分析】判断函数在区间端点处函数值的符号，当它们异号时存在零点 【解答】解：函数 f（x）log2x， f（2）log220， f（3）log23
12、10， 又在（2，3）上函数 f（x）log2x的图象是连续不断的一条曲线， 所以函数 f（x）log2x的在区间（2，3）上存在零点 故选：C 【点评】本题考查函数零点存在的条件，须满足两条：在区间上图象连续不断；端 点处函数值异号 7 （4 分）函数 f（x）xlg|x|的图象可能是（ ） A B C D 【分析】排除法：利用奇函数排除 A、C；利用 x（0，1）时，f（x）0 排除 B 【解答】解：因为 f（x）xlg|x|xlg|x|f（x） ， 所以 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A、C， 第 7 页（共 15 页） 又当 x（0，1）时，f（x）0，据此排除 B 故选：
13、D 【点评】本题考查了函数的图象与图象的变换属中档题 8 （4 分）已知 f（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f（x）x2+4x，则 f（x+2）5 的解集为（ ） A （，7）（3，+） B （，3）（3，+） C （，7）（1，+） D （，5）（3，+） 【分析】由已知结合偶函数的对称性可知，f（5）f（5）5，然后求解 f（x）5， 由 f（x+2）5 整体代换即可求解 【解答】解：f（x）是定义域为 R 的偶函数，且当 x0 时，f（x）x2+4x， f（5）f（5）5， 若 f（x）5，则可得 x5 或 x5， 由 f（x+2）5 可得，x+25 或 x+25， x3
14、或 x7 故不等式的解集为（3，+）（，7） 故选：A 【点评】本题主要考查了利用偶函数的图象的对称性求解不等式，解题的关键是整体思 想的应用 9 （4 分）已知函数 f（x）的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m （ ） A1 B0 C1 D2 【分析】 对函数进行化简可得 f （x） 1+， 构造函数 g （x） ， 则可得 g（x）为奇函数，根据奇函数的对称性即可求解 【解答】解：f（x） 1+， 第 8 页（共 15 页） 令 g（x），则 g（x）g（x） ，即 g（x）为奇函数，图象关于原点 对称， g（x）f（x）1， g（x）maxM1，g（x）minm1，且 g（x）max
15、+g（x）min0， M1+m10， 则 M+m2 故选：D 【点评】 本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数的最值， 解题的关键是构造函数 g （x）并灵活利用奇对称性 10 （4 分）定义在（1，1）的函数满足关系 f（x）f（y）f（） ，当 x（1，0） 时，f（x）0，若 Pf（）+f（） ，Qf（） ，Rf（0） ，则 P，Q，R 的大小关系 为（ ） ARPQ BRQP CPQR DQPR 【分析】在已知等式中取 xy0，可求得 f（0）0，取1xy1，能说明 （1，0） ，所以说明 f（ ）0，从而说明函数 f（x）在（1，1）上为增函数， 再由已知等式把 f（）+f（）化为
16、一个数的函数值，则三个数的大小即可比较 【解答】解：取 xy0，则 f（0）f（0）f（0） ， 所以，f（0）0， 设 xy，且满足1xy1，则10， 所以 f（ ）0，又 f（x）f（y）f（） ， 所以 f（x）f（y） ，所以函数 f（x）在（1，1）上为增函数， 由 f（x）f（y）f（ ） ，得：f（x）f（y）+f（） ， 取 y，则 x， 所以 Pf（）+f（）f（） ， 因为 0，所以 f（0）f（）f（） 第 9 页（共 15 页） 所以 RPQ 故选：D 【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用 已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，
17、同时需要借助于已知等式把 P 化为一个数 的函数值，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，其中小题，其中 11-14 题每空题每空 3 分，分，15-17 题每空题每空 4 分，共分，共 36 分分. 11 （6 分）函数 f（x）log（3x）的定义域是 （，3） ；f（x）0 的解集是 2，3） 【分析】根据对数函数的性质进行求解即可 【解答】解：要使函数有意义，则 3x0，得 x3，即函数的定义域为（，3） ， 由 f（x）0 得 log（3x）0，得 03x1，得 2x3， 即不等式的解集为2，3） ， 故答案为： （，3） ，2，3） ， 【点评】本题主要考
18、查函数定义域的求解，结合对数函数的性质建立不等式关系是解决 本题的关键比较基础 12 （6 分）已知 f（x）x2+，则 f（0） 2 ，f（x） x2+2 【分析】利用拼凑法，求 f（x）解析式，代入 x0，求出 f（0） 【解答】解：f（x）（x）2+2， 故 f（x）x2+2， f（0）2， 故答案为：2，x2+2 【点评】考查函数的解析式的用法，和解析式的求法，基础题 13 （3 分）函数 yax 2+7（a0 且 a1）的图象恒过定点 P，则点 P 坐标为；若点 P 在 幂函数 g（x）的图象上，则 g（x） x3 【分析】令幂指数等于零，求得 x、y 的值，可得定点的坐标再根据定点
19、在幂函数 g（x） 的图象上，求得 g（x）的解析式 【解答】解：函数 yax 2+7（a0 且 a1）的图象恒过定点 P，令 x20，求得 x 2，y8，则点 P 坐标为（2，8） 第 10 页（共 15 页） 若点 P 在幂函数 g（x）x 的图象上，则 82，3，g（x）x3， 故答案为：x3 【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，幂函数的定义，属于基础题 14 （6 分）设函数 f（x），则 f（f（2） ） 1 ，方程 f（x）2 的 解为 4 或2 【分析】推导出 f（2）（2）2+（2）2，f（f（2） ）f（2）log221；由 f（x）2，当 x0 时，f（x）lo
20、g2x2，当 x0 时，f（x）x2+x2，由此能求出结 果 【解答】解：函数 f（x）， f（2）（2）2+（2）2， f（f（2） ）f（2）log221 f（x）2， 当 x0 时，f（x）log2x2，解得 x4， 当 x0 时，f（x）x2+x2，解得 x2，或 x1（舍） ， 综上，x4 或 x2 故答案为：1；4 或2 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 15 （4 分）若函数 f（x）x2ax 在区间1，2上是增函数，在区间1，2上是 减函数，则实数 a 的取值范围是 a1 【分析】利用函数的图象和性质，得出 a 的范围 【解答】
21、解：f（x）x2ax 在区间1，2上是增函数，故1，a2， 在区间1，2上是减函数，对称中心在（a，0） ，a1， 所以 a1， 故答案为：a1 【点评】考查函数的单调性的判断与应用属于基础题 第 11 页（共 15 页） 16 （4 分）定义函数，则的最 大值是 2 【分析】本题先根据题干中给出的定义函数对具体函数 min，6x分别解不等式 6x 与6x，得出各自 x 的取值范围，即可得到函数 min，6x的具体表达 式，然后画出图象，即可得到最大值 【解答】解：根据题中定义函数，可知 当6x 时，此不等式可转化为 ，解得 0x4 当6x 时，此不等式可转化为 或，解得 x4 min，6x此
22、函数图象大致如下： 结合图象，可知：min，6x的最大值为 2 故答案为：2 【点评】本题主要考查新定义函数的理解能力及应用能力，无理不等式的解法，数形结 合法的应用本题属中档题 17 （4 分）若 x1是方程 2x 1+x40 的根，x 2是方程 x+log2x3 的根，则 x1+x2 4 【分析】利用指数函数和对数函数的图象和性质进行判断 【解答】解：方法一、方程 2x 1+x40， 2x 14x， 第 12 页（共 15 页） x1log2（4x） xlog2（4x）+1， 如果做变量代换 y4x，则 4ylog2y+1， 即为 y+log2y3， x1是方程 2x 1+x40 的根，x
23、 2是方程 x+log2x3 的根 x24x1 x1+x24 故答案为：4 方法二、函数 f（x）2x 1+x4 是增函数， 又f（0）0，f（3）0， 函数 f（x）的零点只有一个， 又当 x2 时，y0， 方程 2x 1+x40 的根 x 12 又函数 g（x）x+log2x3 是增函数， 又 g（）0，g（3）0 函数 g（x）的零点只有一个， 又当 x2 时，g（2）0， 方程 x+log2x30 的根 x22， x1+x24 故答案为：4 【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的性质的应用，综合性较强，难度中等 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分
24、，其中分，其中 18 题题 14 分，分，19-22 题每题题每题 15 分，解答应写分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 （14 分）计算下列各式的值： （1）； （2）lne3+lg0.01+log220log216+log2 【分析】 （1）直接利用有理指数幂的运算性质化简求值； （2）直接利用对数的运算性质化简求值 第 13 页（共 15 页） 【解答】解： （1） 2+4+1125； （2） 【点评】本题考查有理指数幂的化简求值，考查对数的运算性质，是基础的计算题 19 （15 分）已知集合 Ax|33x27， （1）分别求 AB，R（A
25、B） ； （2）已知集合 Cx|1xa，若 CAA，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）解指数不等式及分式不等式，再利用集合的交、并、补运算即可； （2）由集合的运算，可得 CA，再列不等式求解即可 【解答】解： （1）由 33x27，即 33x33，1x3，A1，3 由，可得 0x2，B（0，2） 故 AB1，2） ，AB（0，3，R（AB）（，0（3，+） （2）由 CAA，所以 CA， 当 C 为空集时，a1 当 C 为非空集合时，可得 1a3 综上所述：a 的取值范围是：a3 【点评】本题考查了指数不等式与分式不等式求解，重点考查了集合的运算及集合的包 含关系，属中档题 20 （1
26、5 分）已知二次函数 f（x）满足 f（x+1）f（x）2x1，且 f（0）4 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求 f（x）在区间0，t（t0）上的最大值； （3）用定义法证明函数在2，+）上是增函数 【分析】 （1）直接求出即可； （2）对 t 分类讨论； （3）根据定义法证明即可 【解答】解： （1）设 f（x）ax2+bx+c，由 f（0）4，得 c4， 由 f（x+1）f（x）2x1，所以 a（x+1）2+b（x+1）+4（ax2+bx+4）2x1， 第 14 页（共 15 页） 即：2ax+a+b2x1， 所以 2a2，a+b1，所以 a1，b2， 所以 f（x）x22x+4
27、； （2）f（x）x22x+4（x1）2+3， 当 0t2 时最大值为 f（0）4，当 t2 时最大值为 f（t）t22t+4， （3）证明：g（x）， 设 x1，x2是2，+）上任意两个实数且 x1x2， 则 g（x1）g（x2）x1x2+， 因为 2x1x2，所以 x1x20，x1x240， 所以 g（x1）g（x2）0， 函数在2，+）上是增函数 【点评】考查求函数的解析式，函数求最值，函数单调性的证明，中档题 21 （15 分）已知函数 f（x）ax+bx（其中常数 ab0，且 a，b 均不为 1）的图象经过点 A（1，6） ， （）求函数 f（x）的解析式； （）若关于 x 的方程在
28、区间1，2上有两个不相等的实数根，求实 数 m 的取值范围 【分析】 （）联立解方程组即可； （）构造函数，分类讨论，求出即可 【解答】解： （）f（1）a+b6，f（1），ab0， 所以 a4，b2， 所以 f（x）4x+2x （）构造函数 y，令 t，则 yt2t， 所以当 t，y， t，2，y， 由于方程有两个不相等的实数根，所以 m 【点评】考查求解析式，构造函数法求方程根的个数问题，中档题 第 15 页（共 15 页） 22 （15 分）已知函数 （）求函数 f（x）的定义域，并证明函数 f（x）是奇函数； （）是否存在这样的实数 k，使 f（kx2）+f（2kx4）0 对一切恒 成
29、立，若存在，试求出 k 的取值集合；若不存在，请说明理由 【分析】 （）真数大于 0 解不等式可得定义域；奇偶性定义判断奇偶性； （）假设存在实数 k 后，利用奇偶性和单调性去掉函数符号后变成具体不等数组，然 后转化为最值即可得 【解答】解： （）由0 得2x2， 所以 f（x）的定义域为（2，2） ； f（x）lglgf（x） ， f（x）是奇函数 （）假设存在满足题意的实数 k，则 令 t1，x（2，2） ， 则 t 在（2，2）上单调递减，又 ylgt 在（0，+）上单调递增， 于是函数 f（x）在（2，2）上单调递减， 已知不等式 f（kx2）+f（2kx4）0f（kx2）f（2kx4） f（kx2）f（x42k）2kx2x42k2， 由题意知2kx2x42k2 对一切 x，恒成立， 得不等式组对一切 x，恒成立， ，即 k 故不存在满足题意的实数 k 【点评】本题考查了函数的定义域、奇偶性、单调性、函数的恒成立属难题
