1、（5 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|2x+11，则BA（ ） A3，+） B （3，+） C （，13，+） D （，1）（3，+） 2 （5 分）若 z1+2i，则（ ） A1 B1 Ci Di 3 （5 分）已知向量（，） ，（，） ，则ABC（ ） A30 B45 C60 D120 4 （5 分） 算经十书是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，它们曾经是附唐时 代国子监算学科的教科书十部书的名称是： 周髀算经 九章算术 海岛算经 五曹 算经 孙子算经 夏侯阳算经 张丘建算经 五经算术 缉古算经 缀术 小明 计划从这十部书中随机选择两部书购买则选择到九章算术的概率是（
2、） A B C D 5 （5 分）已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数 a 的值为（ ） x 2 3 4 5 6 y 3 7 11 a 21 A16 B18 C20 D22 6 （5 分）设 alog73，c30.7，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Cbca Dbac 7 （5 分）已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 m，mn，则 n D若 m，mn，则 n 8 （5 分）已知抛物线 x22py（p0）的准线被双曲线1 截得的弦长为 6，则该 抛物线的焦点坐标是（ ） 第 2 页（
3、共 21 页） A （0，） B （0，32） C （0，） D （0，2） 9 （5 分）函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期为 ，若其图象向左 平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f（x）的图象（ ） A关于点（，0）对称 B关于点（，0）对称 C关于直线 x对称 D关于直线 x对称 10 （5 分）若 cos（），则 sin2（ ） A B C D 11 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab0 相切，则 C 的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数
4、f（x）满足 f（x4）f（x） ，且在区间0，2上 f（x） x，若关于 x 的方程 f（x）loga|x|有六个不同的根，则 a 的范围为（ ） A （，） B （，2） C （2，2） D （2，4） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色 社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百 姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门 app该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学 习”两个学习板块和“每日答题” 、 “每周
5、答题” 、 “专项答题” 、 “挑战答题”四个答题板 块某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习” 两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 种 14 （5 分）若函数，则 f（log23） 15 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA，cosC，a 1，则 b 16 （5 分）已知三棱锥 PABC 的三条侧棱两两互相垂直，且 AB，BC，AC2， 则此三棱锥外接球的表面积为 第 3 页（共 21 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面ABC 是直角三角形，ACBCAA12， D 为侧棱 AA1的中点 （1）求异面直线 DC1，B1C 所成角的余弦值； （2）求二面角 B1DCC1的平面角的余弦值 18 （12 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路 口遇到红灯的概率分别为， （）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数
7、，求随机变量 X 的分布列和数学期 望； （）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 19 （12 分）已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足 b11，b2，anbn+1+bn+1 nbn （）求an的通项公式； （）求bn的前 n 项和 20 （12 分）设函数 f（x）lnx，g（x）ax+1，aR，记 F（x）f（x）g（x） （）求曲线 yf（x）在 xe 处的切线方程； （）求函数 F（x）的单调区间； （）当 a0 时，若函数 F（x）没有零点，求 a 的取值范围 21 （12 分）已知平面上的动点 P（x，y）及两定点 A（2，0） ，B
8、（2，0） ，直线 PA，PB 的斜率分别是 k1，k2且 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）设直线 l：ykx+m 与曲线 C 交于不同的两点 M，N 第 4 页（共 21 页） 若 OMON（O 为坐标原点） ，证明点 O 到直线 l 的距离为定值，并求出这个定值 若直线 BM，BN 的斜率都存在并满足，证明直线 l 过定点，并求出这个 定点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22
9、（10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线 C：4cos，直线 l 的参数方程为：（t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 分别交 于 M，N 两点 （1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； （2）若点 P（3，1） ，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x|+|2x+3|+m（mR） （1）当 m2 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若x（，0） ，都有 f（x）x+恒成立，求 m 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2020 年宁夏六盘山高中高考数学一模试卷（理科）年宁夏六盘山高中高考数学一模
10、试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|2x+11，则BA（ ） A3，+） B （3，+） C （，13，+） D （，1）（3，+） 【分析】根据集合 A 是二次不等式的解集，集合 B 是指数不等式的解集，因此可求出集 合 A，B，根据补集的求法求得BA 【解答】解：Ax|x22x30x|1x3， Bx|2x+11x|x
11、1， BA3，+） 故选：A 【点评】此题是个基础题考查对集合的理解和二次函数求值域以及对数函数定义域的 求法，集合的补集及其运算 2 （5 分）若 z1+2i，则（ ） A1 B1 Ci Di 【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可 【解答】解：z1+2i，则i 故选：C 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力 3 （5 分）已知向量（，） ，（，） ，则ABC（ ） A30 B45 C60 D120 【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向 量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 的值 【解答】解：，； 第 6 页（共 2
12、1 页） ； 又 0ABC180； ABC30 故选：A 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角 的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角 4 （5 分） 算经十书是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，它们曾经是附唐时 代国子监算学科的教科书十部书的名称是： 周髀算经 九章算术 海岛算经 五曹 算经 孙子算经 夏侯阳算经 张丘建算经 五经算术 缉古算经 缀术 小明 计划从这十部书中随机选择两部书购买则选择到九章算术的概率是（ ） A B C D 【分析】 基本事件总数 n45， 选择到 九章算术 包含的基本事件个数 m 9，由此能求出选择到九章算
13、术的概率 【解答】解： 算经十书是指汉唐一千多年间的十部著名的数学著作， 它们曾经是附唐时代国子监算学科的教科书十部书的名称是： 周髀算经 九章算术 海岛算经 五曹算经 孙子算经 夏侯阳算经 张丘建 算经 五经算术 缉古算经 缀术 小明计划从这十部书中随机选择两部书购买 基本事件总数 n45， 选择到九章算术包含的基本事件个数 m9， 则选择到九章算术的概率是 p 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 5 （5 分）已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数 a 的值为（ ） x 2 3 4 5 6 第 7 页（共 21 页） y
14、3 7 11 a 21 A16 B18 C20 D22 【分析】 由表中数据计算样本中心点的横坐标， 根据回归直线经过样本中心点求出 的值， 从而求出 a 的值 【解答】解：由表中数据知，样本中心点的横坐标为： （2+3+4+5+6）4， 由回归直线经过样本中心点， 得 44412， 即 （3+7+11+a+21）12， 解得 a18 故选：B 【点评】本题考查了回归直线过样本中心点的应用问题，是基础题目 6 （5 分）设 alog73，c30.7，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Cbca Dbac 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解 【解答】解：0log71a
15、log73log771， 0， c30.7301， bac 故选：D 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质 的合理运用 7 （5 分）已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 m，mn，则 n D若 m，mn，则 n 【分析】A运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B运用线面垂直的性质，即可判断； C运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断； 第 8 页（共 21 页） D运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断 【解答】解：A若 m，n，则
16、 m，n 相交或平行或异面，故 A 错； B若 m，n，则 mn，故 B 正确； C若 m，mn，则 n 或 n，故 C 错； D若 m，mn，则 n 或 n 或 n，故 D 错 故选：B 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与 性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型 8 （5 分）已知抛物线 x22py（p0）的准线被双曲线1 截得的弦长为 6，则该 抛物线的焦点坐标是（ ） A （0，） B （0，32） C （0，） D （0，2） 【分析】首先求出抛物线的准线方程，进一步利用准线与双曲线的位置关系的应用建立 等量关系，最
17、后求出抛物线的方程，进一步求出焦点的坐标 【解答】解：抛物线 x22py（p0）的准线方程为 y，设准线与双曲线的交点坐 标为（x，y） ， （x0，y0） ， 所以把 y代入双曲线的方程解得 x， 由于所截的弦长为 6，故 2，解得 p4（负值舍去） 故 x28y，所以抛物线的焦点的坐标为（0，2） ， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：圆锥曲线关系式的应用，主要考查学生对圆锥曲线的定 义的理解和应用，重在考查学生的综合应用能力和转换能力，属于中档题 9 （5 分）函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期为 ，若其图象向左 平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f（x）的图
18、象（ ） A关于点（，0）对称 B关于点（，0）对称 第 9 页（共 21 页） C关于直线 x对称 D关于直线 x对称 【分析】利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出 结论 【解答】解：函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期为， 2 若其图象向左平移个单位后得到的函数为 ysin2（x+）+sin（2x+） ， 再根据 ysin（2x+）为奇函数，+k，kZ，即 k，可取 故 f（x）sin（2x） 当 x时，f（x）0，且 f（x） 不是最值， 故 f（x）的图象不关于点（，0）对称，也不关于直线 x对称，故排除 A、D； 当 x时，f（x）
19、sin（）1，是函数的最小值， 故 f（x）的图象不关于点（，0）对称，但关于直线 x对称， 故选：C 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称 性，属于基础题 10 （5 分）若 cos（），则 sin2（ ） A B C D 【分析】 法 1： 利用诱导公式化 sin2cos （2） ， 再利用二倍角的余弦可得答案 法：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得 sin+cos 的值，再平方，即得 sin2 的 值 【解答】解：法 1：cos（）， sin2cos（2）cos2（）2cos2（）121， 法 2：cos（）（sin+cos）， 第 10 页
20、（共 21 页） （1+sin2）， sin221， 故选：D 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余 弦是关键，属于中档题 11 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab0 相切，则 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab0 相切，可得原点到直线的距离 a，化简即可得出 【解答】解：以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab0 相切， 原点到直线的距离a，化为：a23b2 椭圆 C 的离心率 e 故选：A 【点
21、评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离 公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x4）f（x） ，且在区间0，2上 f（x） x，若关于 x 的方程 f（x）loga|x|有六个不同的根，则 a 的范围为（ ） A （，） B （，2） C （2，2） D （2，4） 【分析】首先求出 f（x）的周期是 4，画出函数的图象，得到关于 a 的不等式，解得即可 【解答】解：由 f（x4）f（x）可得周期等于 4， 当 x（0，10时，函数的图象如图 f（2）f（6）f（10）2， 再由关于 x 的方
22、程 f（x）loga|x|有六个不同的根，则关于 x 的方程 f（x）logax 有三个 第 11 页（共 21 页） 不同的根， 可得， 解得 a（，） ， 故选：A 【点评】本题主要考查函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题 二、二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色 社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百 姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门 app该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学 习”两
23、个学习板块和“每日答题” 、 “每周答题” 、 “专项答题” 、 “挑战答题”四个答题板 块某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习” 两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 432 种 【分析】本题要将相邻的情况和“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的情 况分别思考，用排列组合的知识分别计算，最后相加即得结果 【解答】解：由题意，可知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为种； “阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为种； 共有 240+192432 种方法 故答案为：432 【点评】本题主要考查排列组合的知识，考查了合情推理的能
24、力，本题属中档题 14 （5 分）若函数，则 f（log23） 【分析】 根据题意， 由对数的运算性质可得 1log232， 结合函数的解析式可得 f （log23） 第 12 页（共 21 页） f（log232）f（log2） ，又由 log20，由解析式求出 f（log2）的值，分析可 得答案 【解答】解：根据题意，1log232， 则 f（log23）f（log232）f（log2） ， 又由 log20，则 f（log2）； 则有 f（log23）， 故答案为： 【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题 15 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为
25、a，b，c，若 cosA，cosC，a 1，则 b 【分析】运用同角的平方关系可得 sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可 得 sinB，运用正弦定理可得 b，代入计算即可得到所求值 【解答】解：由 cosA，cosC，可得 sinA， sinC， sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC+， 由正弦定理可得 b 故答案为： 【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角 的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题 16 （5 分）已知三棱锥 PABC 的三条侧棱两两互相垂直，且 AB，BC，AC2， 则此三棱锥外接球的表面积为
26、8 第 13 页（共 21 页） 【分析】以 PA，PB，PC 分棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥 PABC 的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积 【解答】解：如图，PA，PB，PC 两两垂直，设 PCh， 则 PB，PA， PA2+PB2AB2，4h2+7h25，解得 h， 三棱锥 PABC，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA1，PB2，PC， 以 PA，PB，PC 分棱构造一个长方体， 则这个长方体的外接球就是三棱锥 PABC 的外接球， 由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心， 三棱锥的外接球的半径为 R， 所以外接球的表面积为 S4R24 28 故答案为
27、：8 【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注 意构造法的合理运用 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面ABC 是直角三角形，ACBCAA12， D 为侧棱 AA1的中点 （1）求异面直线 DC1，B1C 所成角的余
28、弦值； （2）求二面角 B1DCC1的平面角的余弦值 第 14 页（共 21 页） 【分析】 （1）以 C 为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系 Cxyz，写 出要用的点的坐标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直 线所成的角 （2）先求两个平面的法向量，在第一问的基础上，有一个平面的法向量是已知的，只要 写出向量的表示形式就可以，另一个平面的向量需要求出，根据两个法向量所成的角得 到结果 【解答】解： （1）如图所示，以 C 为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标 系 Cxyz 则 C（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（0，2，0）
29、 ，C1（0，0，2） ，B1（0，2，2） ，D（2， 0，1） 所以（2，0，1） ，（0，2，2） 所以 cos 即异面直线 DC1与 B1C 所成角的余弦值为 （2）因为（0，2，0） ，（2，0，0） ，（0，0，2） ， 所以0，0， 所以为平面 ACC1A1的一个法向量 因为（0，2，2） ，（2，0，1） ， 设平面 B1DC 的一个法向量为 n，n（x，y，z） 由，得 第 15 页（共 21 页） 令 x1，则 y2，z2，n（1，2，2） 所以 cosn， 所以二面角 B1DCC1的余弦值为 【点评】本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角问题，包括两条异面直线的夹角和 两
30、个平面的夹角，本题解题的关键是建立坐标系 18 （12 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路 口遇到红灯的概率分别为， （）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期 望； （）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 【分析】 （）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，求出对应的概率值， 写出它的分布列，计算数学期望值； （）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值 【解答】解： （）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3； 则 P（X0）（1）（1）
31、（1）， P（X1）（1）（1）+（1）（1）+（1）（1 ）， P（X2）（1）+（1）+（1）， P（X3）； 第 16 页（共 21 页） 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量 X 的数学期望为 E（X）0+1+2+3； （）设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为 P（Y+Z1）P（Y0，Z1）+P（Y1，Z0） P（Y0） P（Z1）+P（Y1） P（Z0） + ； 所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题 19 （12 分）已知an
32、是公差为 3 的等差数列，数列bn满足 b11，b2，anbn+1+bn+1 nbn （）求an的通项公式； （）求bn的前 n 项和 【分析】 （）令 n1，可得 a12，结合an是公差为 3 的等差数列，可得an的通项 公式； （）由（1）可得：数列bn是以 1 为首项，以为公比的等比数列，进而可得：bn 的前 n 项和 【解答】解： （）anbn+1+bn+1nbn 当 n1 时，a1b2+b2b1 b11，b2， a12， 又an是公差为 3 的等差数列， an3n1， （）由（I）知（3n1）bn+1+bn+1nbn，即 3bn+1bn， 第 17 页（共 21 页） 数列bn是以
33、1 为首项，以为公比的等比数列， bn的前 n 项和 Sn（13 n） 【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前 n 项和公式， 难度中档 20 （12 分）设函数 f（x）lnx，g（x）ax+1，aR，记 F（x）f（x）g（x） （）求曲线 yf（x）在 xe 处的切线方程； （）求函数 F（x）的单调区间； （）当 a0 时，若函数 F（x）没有零点，求 a 的取值范围 【分析】 （）求函数的导数，利用导数的几何意义，即可求曲线 yf（x）在 xe 处的 切线方程； （）求函数 F（x）的导数，利用函数导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间； （）根据函数
34、F（x）没有零点，转化为对应方程无解，即可得到结论 【解答】解： （ I）f（x），则函数 f（x）在 xe 处的切线的斜率为 k 又 f（e）1， 所以函数 f（x）在 xe 处的切线方程为，即 yx （）F（x）f（x）g（x）lnxax1，F（x）， （x0） 当 a0 时，F（x）0，F（x）在区间（0，+）上单调递增； 当 a0 时，令 F（x）0，解得； 令 F（x）0，解得 综上所述，当 a0 时，函数 F（x）的增区间是（0，+） ； 当 a0 时，函数 F（x）的增区间是，减区间是 （）依题意，函数 F（x）没有零点， 即 F（x）f（x）g（x）lnxax10 无解 第 1
35、8 页（共 21 页） 由（）知，当 a0 时，函数 F（x）在区间上为增函数，区间上 为减函数， 由于 F（1）a10，只需 F（）lnalna20， 解得 ae 2 所以实数 a 的取值范围为（） 【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数的单调性和导数之间的关系，考查学 生的运算能力 21 （12 分）已知平面上的动点 P（x，y）及两定点 A（2，0） ，B（2，0） ，直线 PA，PB 的斜率分别是 k1，k2且 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）设直线 l：ykx+m 与曲线 C 交于不同的两点 M，N 若 OMON（O 为坐标原点） ，证明点 O 到直线 l 的距离
36、为定值，并求出这个定值 若直线 BM，BN 的斜率都存在并满足，证明直线 l 过定点，并求出这个 定点 【分析】 （1）利用斜率计算公式即可得出； （2）把直线 l 的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用 OMONx1x2+y1y2 0 即可得到 k 与 m 的关系，再利用点到直线的距离公式即可证明； 利用斜率计算公式和根与系数的关系即可得出 k 与 m 的关系，进而证明结论 【解答】解： （1）由题意得， （x2） ，即 x2+4y24（x2） 动点 P 的轨迹 C 的方程是 （2）设点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，联立，化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2 40， 6
37、4k2m216（m21） （1+4k2）16（1+4k2m2）0 ， y1y2（kx1+m） （kx2+m）， 第 19 页（共 21 页） 若 OMON，则 x1x2+y1y20， ，化为，此时点 O 到直线 l 的距 离 d kBMkBN， x1x22（x1+x2）+4+4y1y20， +， 代入化为，化简得 m（m+2k）0，解得 m0 或 m 2k 当 m0 时，直线 l 恒过原点； 当 m2k 时，直线 l 恒过点（2，0） ，此时直线 l 与曲线 C 最多有一个公共点，不符合 题意， 综上可知：直线 l 恒过定点（0，0） 【点评】本题综合考查了直线与椭圆相交问题转化为直线 l 的
38、方程与椭圆方程联立得到 根与系数的关系、OMONx1x2+y1y20、点到直线的距离公式、斜率计算公式等基础 知识与基本能力，考查了推理能力和计算能力 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线 C：4cos，直线 l 的参数方程为：（t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 分别交 于 M，N 两点 （1）写出曲线 C
39、 和直线 l 的普通方程； （2）若点 P（3，1） ，求的值 【分析】 （1）根据 2x2+y2，xcos 将曲线 C 极坐标方程化为直角坐标方程，利用消 元法化直线 l 的参数方程为普通方程； （2） 先化直线 l 的参数方程为标准式， 再代入曲线 C 方程， 最后根据参数几何意义求解 第 20 页（共 21 页） 【解答】解： （1）曲线 C：4cos，24cos， 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24x， 即（x2）2+y24， 直线 l 的参数方程为：（t 为参数） ， 直线 l 的普通方程为：x2y50 （2）直线 l 的参数方程为：（t 为参数） ， ， 代入 x2+y24x
40、，得 t2+2， 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程， 考查基本分析求解能力，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x|+|2x+3|+m（mR） （1）当 m2 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若x（，0） ，都有 f（x）x+恒成立，求 m 的取值范围 【分析】 （1）f（x）|2x|+|2x+3|+m，分段解不等式即可 （2）f（x）|2x|+|2x+3|+m当时，不等式化为 ，当时，不等式化为，利用恒成立求 得 m 的取值范围 第 21 页（共 21 页） 【解答】解： （1）当 m2 时，f（x）|2x|+|2x+3|+m（2 分） 当，解得； 当恒成立 当解得2 此不等式的解集为（5 分） （2）当 x（，0）时 f（x）|2x|+|2x+3|+m 当时，不等式化为 由 当 且 仅 当即时 等 号 成 立 ， （7 分） 当时，不等式化为 令， 在上是增函数 当时，取到最大值为（9 分） 综上（10 分） 【点评】本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属 于中档题
