1、2020 年北京市东城区中考数学二模试卷年北京市东城区中考数学二模试卷 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1在实数|3.14|，3， 中，最小的数是（ ） A B3 C|3.14| D 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，1） ，点 B（3，1） 平移线段 AB，使 点 A 落在点 A1（2，2）处，则点 B 的对应点 B1的坐标为（ ） A （1，1） B （1，0） C （1，0） D （3，0） 3判断命题“如果 n1，那么 n210”是假命题，只需举出一个反例反例中的 n 可以 为（ ） A2 B C0 D 4若点 A（1，y1） ，B（2，y2）在抛物线
2、ya（x+1）2+2（a0）上，则下列结论正确的 是（ ） A2y1y2 B2y2y1 Cy1y22 Dy2y12 5如图，小明从 A 处出发沿北偏东 40方向行走至 B 处，又从 B 处沿南偏东 70方向行 走至 C 处则ABC 等于（ ） A130 B120 C110 D100 6 把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图的方式放置 则图中阴影部分的面积为 （ ） A B C D 7如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O，连结 BD，则ABD 的度数是（ ） A60 B70 C72 D144 8五名学生投篮球，每人投 10 次，统计他们每人投中的次数得到五个数据，并对数据进 行整理和
3、分析，给出如表信息： 平均数 中位数 众数 m 6 7 则下列选项正确的是（ ） A可能会有学生投中了 8 次 B五个数据之和的最大值可能为 30 C五个数据之和的最小值可能为 20 D平均数 m 一定满足 4.2m5.8 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9分解因式：3a36a2+3a 10在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是 90 分，甲同学成绩 的方差是 15，乙同学成绩的方差是 3，由此推断甲、乙两人中成绩稳定的是 11若点（a，10）在直线 y3x+1 上则 a 的值等于 12在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（4，0
4、） ，O（0， 0） 以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到CDO，则点 A 的对应 点 C 的坐标是 13已知圆锥的母线长为 5cm，侧面积为 15cm2，则这个圆锥的底面圆半径为 cm 14如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，若 BC6cm，AC 5cm，则ACE 的周长为 cm 15如图，在 54 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的顶点都在这些 小正方形的顶点上，则 sinBAC 的值为 16某快餐店外卖促销，佳佳和点点想点外卖，每单需支付送餐费 5 元，每种餐食外卖价格 如表： 餐食种类 价格（单位：元） 汉
5、堡套餐 40 鸡翅 16 鸡块 15 冰激凌 14 蔬菜沙拉 9 促销活动： （1）汉堡套餐 5 折优惠，每单仅限一套； （2）全部商品（包括打折套餐）满 20 元减 4 元满 40 元减 10 元，满 60 元减 15 元， 满 80 元减 20 元 佳佳想要汉堡套餐、鸡翅、冰激凌、蔬菜沙拉各一份；点点想要汉堡套餐、鸡块、冰激 凌各一份，若他们把想要的都买全，最少要花 元（含送餐费） 三解答题（共三解答题（共 12 小题）小题） 17下面是“作一个 45角”的尺规作图过程 已知：平面内一点 A 求作：A，使得A45 作法：如图， 作射线 AB； 在射线 AB 上取一点 O，以 O 为圆心，O
6、A 长为半径作圆，与射线 AB 相交于点 C； 分别以 A，C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 D，作射线 OD 交O 于 点 E； 作射线 AE 则EAB 即为所求作的角 （1）使用直尺和圆规补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：ADCD，AOCO， AOE EAB （ ） （填推理的依据） 18解不等式3，并把它的解集在数轴上表示出来 19已知 a2b0求代数式 1（+）的值 20如图，在ABC 中以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD若 B40，C36，求DAC 的度数 21在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点
7、 O，E 为 AB 的中点，连接 OE 并延长到点 F，使 EFEO，连接 AF，BF （1）求证：四边形 AOBF 是矩形； （2）若 AD5，sinAFO，求 AC 的长 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 反比例函数 y （k0， x0） 的图象经过点 A （1， 4） ， 直线 y2x+m 与 x 轴交于点 B（1，0） （1）求 k，m 的值； （2）已知点 P（n，2n） （n0） ，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y2x+m 于 点 C，过点 P 作平行于 y 轴的直线交反比例函数 y（k0x0）的图象于点 D，当 PD2PC 时，结合函数的图象，求出 n 的值 23
8、 教育未来指数是为了评估教育系统在培养学生如何应对快速多变的未来社会方面所呈现 的效果现对教育未来指数得分前 35 名的国家和地区的有关数据进行收集、整理、描述 和分析后，给出了部分信息 a教育未来指数得分的频数分布直方图（数据分成 7 组：20x30，30x40，40 x50，50x60，60x70，70x80，80t90） ； b教育未来指数得分在 60x70 这一组的是： 61.2 62.8 64.6 65.2 67.2 67.3 67.5 68.5 c.35 个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图如图： d中国和中国香港的教育未来指数得分分别为 32.9 和 68.
9、5 （以上数据来源于国际统计年鉴（2018） 和国际在线网） 根据以上信息，回答下列问题： （1）中国香港的教育未来指数得分排名世界第 ； （2）在 35 个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图中，包括 中国香港在内的少数几个国家和地区所对应的点位于虚线 l 的上方，请在图中用“” 画出代表中国香港的点； （3）在教育未来指数得分比中国高的国家和地区中，人均国内生产总值的最大值约为 万美元； （结果保留一位小数） （4）下列推断合理的是 （只填序号即可） 相较于点 A，C 所代表的国家和地区，中国的教育未来指数得分还有一定差距， “十三 五”规划提出“教育优先发展，教育强则
10、国家强”的任务，进一步提高国家教育水平； 相较于点 B，C 所代表的国家和地区，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国 提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值 24如图，在ABC 中，AB6cm，P 是 AB 上的动点，D 是 BC 延长线上的定点，连接 DP 交 AC 于点 Q 小明根据学习丽数的经验对线段 AP，DP，DQ 的长度之间的关系进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点 P 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AP，DP，DQ 的长度（单 位：cm）的几组值，如表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位
11、置 6 位置 7 AP 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 DP 4.99 4.56 4.33 4.32 4.53 4.95 5.51 DQ 4.99 3.95 3.31 2.95 2.80 2.79 2.86 在 AP，DP，DQ 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当 AP（DP+DQ）时，AP 的长度约为 cm 25如图，ABC 内接于O，AB 为直径，作 ODAB 交 AC 于点 D，延长 BC，OD 交
12、于 点 F，过点 C 作O 的切线 CE，交 OF 于点 E （1）求证：ECED； （2）如果 OA4，EF3，求弦 AC 的长 26在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，4） ，点 B 的坐标为（6，4） 抛物线 y x25x+a2 的顶点为 C （1）若抛物线经过点 B 时，求顶点 C 的坐标； （2）若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围； （3）若满足不等式 x25x+a20 的 x 的最大值为 3直接写出实数 a 的值 27在ABC 中，ABAC，BAC，点 D 是ABC 外一点，点 D 与点 C 在直线 AB 的 异侧，且点 D，A，
13、C 不共线，连接 AD，BD，CD （1）如图 1，当 60ADB30时，画出图形，直接写出 AD，BD，CD 之间的 数量关系； （2）当 90，ADB45时，利用图 2，继续探究 AD，BD，CD 之间的数量关系 并证明； （提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中） （3）当ADB时，进一步探究 AD，BD，CD 之间的数量关系，并用含 的等式直 接表示出它们之间的关系 28对于平面直角坐标系：xOy 内任意一点 P过 P 点作 PMx 轴于点 M，PNy 轴于点 N， 连接 MN， 则称 MN 的长度为点 P 的垂点距离， 记为 h 特别地， 点 P 与原点重
14、合时， 垂点距离为 0 （1） 点 A （2， 0） ， B （4， 4） ， C （2，） 的垂点距离分别为 ， ， （2）点 P 在以 Q（，1）为圆心，半径为 3 的Q 上运动，求出点 P 的垂点距离 h 的 取值范围； （3）点 T 为直线 l：yx+6 位于第二象限内的一点，对于点 T 的垂点距离 h 的每个 值有且仅有一个点 T 与之对应，求点 T 的横坐标 t 的取值范围 2020 年北京市东城区中考数学二模试卷年北京市东城区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1在实数|3.14|，3， 中，最小的数是（ ） A B
15、3 C|3.14| D 【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反而小 【解答】解： |3|3 （3） C、D 项为正数，A、B 项为负数， 正数大于负数， 故选：B 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，1） ，点 B（3，1） 平移线段 AB，使 点 A 落在点 A1（2，2）处，则点 B 的对应点 B1的坐标为（ ） A （1，1） B （1，0） C （1，0） D （3，0） 【分析】利用平移变换的性质画出图形解决问题即可 【解答】解：如图，B1（1，0） ， 故选：B 3判断命题“如果 n1，那么 n210”是假命题，只需举出一个反例反例中的
16、 n 可以 为（ ） A2 B C0 D 【分析】反例中的 n 满足 n1，使 n210，从而对各选项进行判断 【解答】解：当 n2 时，满足 n1，但 n2130， 所以判断命题“如果 n1，那么 n210”是假命题，举出 n2 故选：A 4若点 A（1，y1） ，B（2，y2）在抛物线 ya（x+1）2+2（a0）上，则下列结论正确的 是（ ） A2y1y2 B2y2y1 Cy1y22 Dy2y12 【分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质，通过比较 A、B 点到对 称轴的距离大小可得到 y1，y2的大小关系 【解答】解：抛物线 ya（x+1）2+2（a0）的对称轴为直线
17、x1， 而 A（1，y1）到直线 x1 的距离比点 B（2，y2）到直线 x1 的距离小， 所以 2y1y2 故选：A 5如图，小明从 A 处出发沿北偏东 40方向行走至 B 处，又从 B 处沿南偏东 70方向行 走至 C 处则ABC 等于（ ） A130 B120 C110 D100 【分析】 根据方向角的定义求出EBC， 再根据平行线的性质求出ABE 即可得出答案 【解答】解：如图： 小明从 A 处沿北偏东 40方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿南偏东 70方向行走至 点 C 处， DAB40，CBE70， 向北方向线是平行的，即 ADBE， ABEDAB40， ABCABE+EBC4
18、0+70110 故选：C 6 把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图的方式放置 则图中阴影部分的面积为 （ ） A B C D 【分析】如图，易证ABCFEC，可设 BCx，只需求出 BC 即可 【解答】解：如图，设 BCx，则 CE1x， 两个正方形， ABEF， ABCFEC， ，即， 解得 x， 阴影部分面积为：SABC1， 故选：D 7如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O，连结 BD，则ABD 的度数是（ ） A60 B70 C72 D144 【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出ABC、CDCB，根据等腰三角 形的性质求出CBD，计算即可 【解答】解：五边形 AB
19、CDE 为正五边形， ABCC108， CDCB， CBD36， ABDABCCBD72， 故选：C 8五名学生投篮球，每人投 10 次，统计他们每人投中的次数得到五个数据，并对数据进 行整理和分析，给出如表信息： 平均数 中位数 众数 m 6 7 则下列选项正确的是（ ） A可能会有学生投中了 8 次 B五个数据之和的最大值可能为 30 C五个数据之和的最小值可能为 20 D平均数 m 一定满足 4.2m5.8 【分析】 根据题意可得最大的三个数的和是 6+7+720， 再根据这五个数据的平均数是m， 求出另外 2 个数的和为 5m20，据此即可求解 【解答】解：中位数是 6，唯一众数是 7
20、， 最大的三个数的和是：6+7+720， 这五个数据的平均数是 m， 另外 2 个数的和是 5m20， 不可能会有学生投中了8次； 五个数据之和的最大值可能为20+5+429， 不可能为30； 五个数据之和的最小值可能为 20+0+121，不可能为 20； 2955.8，2154.2， 平均数 m 一定满足 4.2m5.8 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9分解因式：3a36a2+3a 3a（a1）2 【分析】 先提取公因式 3a， 再根据完全平方公式进行二次分解 完全平方公式： a22ab+b2 （ab）2 【解答】解：3a36a2+3a3a（a22a+1）3a（a1）
21、2 故答案为：3a（a1）2 10在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是 90 分，甲同学成绩 的方差是 15，乙同学成绩的方差是 3，由此推断甲、乙两人中成绩稳定的是 乙 【分析】直接利用方差的意义进行判断 【解答】解：甲、乙两位同学的平均分都是 90 分，甲同学成绩的方差是 15，乙同学成 绩的方差是 3， 同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差， 乙的成绩稳定 故答案为乙 11若点（a，10）在直线 y3x+1 上则 a 的值等于 3 【分析】因为点（a，10）在直线 y3x+1 上，所以把 xa，y10 分别代入直线 y3x+1 里即可求得 a 的值 【解答】解：点（a
22、，10）在直线 y3x+1 上，xa，y10 满足方程 y3x+1， 103a+1，解得，a3， 故答案为：3 12在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（4，0） ，O（0， 0） 以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到CDO，则点 A 的对应 点 C 的坐标是 （1，2）或（1，2） 【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算 【解答】解：以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点 A 的坐标为（ 2，4） ， 点 C 的坐标为（2，4）或（2，4） ，即（1，2）或（1，2） ， 故答案为： （1，2）或（1，2） 13已知圆锥
23、的母线长为 5cm，侧面积为 15cm2，则这个圆锥的底面圆半径为 3 cm 【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形 的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可 【解答】解：圆锥的母线长是 5cm，侧面积是 15cm2， 圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l6， 锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， r3cm， 故答案为：3 14如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，若 BC6cm，AC 5cm，则ACE 的周长为 11 cm 【分析】根据 ED 垂直平分 AB，可以得到 EAEC，然后即可得到 EA+EC 的长
24、等于 BC 的长，从而可以求得AEC 的周长 【解答】解：ED 垂直平分 AB， EAEB， BC6cm，AC5cm， EB+EC6cm， EA+EC6cm， EA+EC+AC6+511cm， 即ACE 的周长是 11cm， 故答案为：11 15如图，在 54 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的顶点都在这些 小正方形的顶点上，则 sinBAC 的值为 【分析】过点 C 作 CDAB 于点 D，则在 RtADC 中，先由勾股定理得出 AC 的长，再 按照正弦函数的定义计算即可 【解答】解：如图，过点 C 作 CDAB 于点 D， 则ADC90，由勾股定理得： AC5， sin
25、BAC 故答案为： 16某快餐店外卖促销，佳佳和点点想点外卖，每单需支付送餐费 5 元，每种餐食外卖价格 如表： 餐食种类 价格（单位：元） 汉堡套餐 40 鸡翅 16 鸡块 15 冰激凌 14 蔬菜沙拉 9 促销活动： （1）汉堡套餐 5 折优惠，每单仅限一套； （2）全部商品（包括打折套餐）满 20 元减 4 元满 40 元减 10 元，满 60 元减 15 元， 满 80 元减 20 元 佳佳想要汉堡套餐、鸡翅、冰激凌、蔬菜沙拉各一份；点点想要汉堡套餐、鸡块、冰激 凌各一份，若他们把想要的都买全，最少要花 98 元（含送餐费） 【分析】 根据题意和表格中的数据， 可以计算出佳佳和点点的最
26、少花费情况， 然后相加， 即可得到他们把想要的都买全，最少要花多少 【解答】解：由题意可得， 佳佳买全需要的物品需要花费：400.5+16+14+959（元） ， 佳佳参加促狭活动的花费为：5910+554（元） ， 点点买全需要的物品需要花费：400.5+15+1449（元） ， 点点参加促销活动的花费为：4910+544（元） ， 若他们把想要的都买全，最少要花 54+4498（元） ， 故答案为：98 三解答题（共三解答题（共 12 小题）小题） 17下面是“作一个 45角”的尺规作图过程 已知：平面内一点 A 求作：A，使得A45 作法：如图， 作射线 AB； 在射线 AB 上取一点
27、O，以 O 为圆心，OA 长为半径作圆，与射线 AB 相交于点 C； 分别以 A，C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 D，作射线 OD 交O 于 点 E； 作射线 AE 则EAB 即为所求作的角 （1）使用直尺和圆规补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：ADCD，AOCO， AOE COE 90 EAB 45 （ 一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半 ） （填推理的依 据） 【分析】 （1）在射线 AB 上取一点 O，以 O 为圆心，OA 长为半径作圆，与射线 AB 相交 于点 C；分别以 A，C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 D，作射线 OD
28、交 O 于点 E；作射线 AE，则EAB 即为所求作的角 （2）依据 ADCD，AOCO，即可得到AOECOE90，再根据一条弧所对的 圆周角是它所对圆心角的一半，即可得到EAB45 【解答】解： （1）如图所示， （2）证明：ADCD，AOCO， AOECOE90， EAB45（一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半） 故答案为：COE；90；45；一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半 18解不等式3，并把它的解集在数轴上表示出来 【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，求出解集，表示在数轴上 即可 【解答】解：去分母得：2x45x2030， 移项合并得：3x6， 解
29、得：x2， 19已知 a2b0求代数式 1（+）的值 【分析】直接将括号里面通分运算进而利用分式的混合运算法则计算，再把 a2b 代入 求出答案 【解答】解：原式1+ 1 1 ， 当 a2b0 时，即 a2b， 原式 20如图，在ABC 中以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连接 AD若 B40，C36，求DAC 的度数 【分析】根据题意和等腰三角形的性质，可以求得BAD 和BDA 的度数，再根据三角 形外角和内角的关系，即可求得DAC 的度数 【解答】解：如图，B40，C36， BAC180BC104， 由作图可知：BABD， BADBDA（180B）270， DAC
30、BACBAD34 21在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，连接 OE 并延长到点 F，使 EFEO，连接 AF，BF （1）求证：四边形 AOBF 是矩形； （2）若 AD5，sinAFO，求 AC 的长 【分析】 （1）根据有一个角是 90 度的平行四边形是矩形即可证明四边形 AOBF 是矩形； （2）根据矩形和菱形的性质可得 OF5，FAO90，再根据锐角三角函数即可求出 AC 的长 【解答】解： （1）证明：点 E 为 AB 的中点，EFEO， 四边形 AOBF 是平行四边形， 又四边形 ABCD 是菱形， ACBD， AOB90， 四边形 AO
31、BF 是矩形； （2）四边形 AOBF 是矩形， ABOF，FAO90， 又四边形 ABCD 是菱形， ABAD5， OF5， 在 RtAFO 中，OF5， sinAFO， OA3， AC6 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 反比例函数 y （k0， x0） 的图象经过点 A （1， 4） ， 直线 y2x+m 与 x 轴交于点 B（1，0） （1）求 k，m 的值； （2）已知点 P（n，2n） （n0） ，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y2x+m 于 点 C，过点 P 作平行于 y 轴的直线交反比例函数 y（k0x0）的图象于点 D，当 PD2PC 时，结合函数的图象，求出
32、 n 的值 【分析】 （1）先把 A 点坐标代入 y中可得到 k 的值，然后把 B 点坐标代入 y2x+m 中可求出 m 的值； （2）反比例函数解析式为 y（x0） ，一次函数解析式为 y2x+2，如图，先利 用 n 表示出 C（n+1，2n） ，D（n，） ，则 PC1，PD|2n+|，从而得到|2n+ |2，然后解绝对值方程求出 n 即可 【解答】解： （1）把 A（1，4）代入 y得 k1（4）4； 把 B（1，0）代入 y2x+m 得2+m0，解得 m2； （2）反比例函数解析式为 y（x0） ，一次函数解析式为 y2x+2，如图， 当 y2n 时，2x+22n，解得 xn+1，则
33、C（n+1，2n） ， PCn+1n1， 当 y2n 时，y， D（n，） ， PD|2n+|， PD2PC， |2n+|2， 当2n+2 时，解得 n12（舍去） ，n21， 当2n+2 时，解得 n11（舍去） ，n22， 综上所述，当 PD2PC 时，n1 或 n2 23 教育未来指数是为了评估教育系统在培养学生如何应对快速多变的未来社会方面所呈现 的效果现对教育未来指数得分前 35 名的国家和地区的有关数据进行收集、整理、描述 和分析后，给出了部分信息 a教育未来指数得分的频数分布直方图（数据分成 7 组：20x30，30x40，40 x50，50x60，60x70，70x80，80t
34、90） ； b教育未来指数得分在 60x70 这一组的是： 61.2 62.8 64.6 65.2 67.2 67.3 67.5 68.5 c.35 个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图如图： d中国和中国香港的教育未来指数得分分别为 32.9 和 68.5 （以上数据来源于国际统计年鉴（2018） 和国际在线网） 根据以上信息，回答下列问题： （1）中国香港的教育未来指数得分排名世界第 14 ； （2）在 35 个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图中，包括 中国香港在内的少数几个国家和地区所对应的点位于虚线 l 的上方，请在图中用“” 画出代表中国
35、香港的点； （3）在教育未来指数得分比中国高的国家和地区中，人均国内生产总值的最大值约为 6.3 万美元； （结果保留一位小数） （4）下列推断合理的是 （只填序号即可） 相较于点 A，C 所代表的国家和地区，中国的教育未来指数得分还有一定差距， “十三 五”规划提出“教育优先发展，教育强则国家强”的任务，进一步提高国家教育水平； 相较于点 B，C 所代表的国家和地区，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国 提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值 【分析】 （1）根据教育未来指数得分的频数分布直方图在 70x80，80t90 的频数 分别是 8 和 5，再根据中国
36、香港的教育未来指数得分是 68.5可得排名是第 14； （2）根据中国香港的教育未来指数得分是 68.5，即可在 35 个国家和地区的人均国内生 产总值和教育未来指数得分情况统计图中，用“”画出代表中国香港的点； （3）观察 35 个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图可得， 人均国内生产总值的最大值； （4）根据题意可得下列推断都合理 【解答】解： （1）根据分析可知： 因为 5+813，13+114 所以中国香港的教育未来指数得分排名世界第 14； 故答案为：14； （2）如图，用“”画出了代表中国香港的点， （3）观察 35 个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指
37、数得分情况可知： 在教育未来指数得分比中国高的国家和地区中， 人均国内生产总值的最大值约为 6.3 万美 元； 故答案为：6.3； （4）下列推断合理的是 故答案为： 24如图，在ABC 中，AB6cm，P 是 AB 上的动点，D 是 BC 延长线上的定点，连接 DP 交 AC 于点 Q 小明根据学习丽数的经验对线段 AP，DP，DQ 的长度之间的关系进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点 P 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AP，DP，DQ 的长度（单 位：cm）的几组值，如表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 AP
38、 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 DP 4.99 4.56 4.33 4.32 4.53 4.95 5.51 DQ 4.99 3.95 3.31 2.95 2.80 2.79 2.86 在 AP， DP， DQ 的长度这三个量中， 确定 AP 的长度是自变量， DP 的长度和 DQ 的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当 AP（DP+DQ）时，AP 的长度约为 3.63 cm 【分析】 （1）根据变量的定义即可求解； （2）依据表格中的数据描点、连线即可得；
39、（3）代入计算画图象可得结论 【解答】解： （1）在 AP，DP，DQ 的长度这三个量中，确定 AP 的长度是自变量，DP 的长度和 DQ 的长度都是这个自变量的函数； 故答案为：AP，DP，DQ； （2）如图 1，依据表格中的数据描点、连线， （3）设 y1（DP+DQ） ，y2AP， 根据（2）中表的数据得： 如图 2 所示： 由图象得：y1y2时，AP 的长度约为 3.63cm （答案不唯一） ； 故答案为：3.63 25如图，ABC 内接于O，AB 为直径，作 ODAB 交 AC 于点 D，延长 BC，OD 交于 点 F，过点 C 作O 的切线 CE，交 OF 于点 E （1）求证：E
40、CED； （2）如果 OA4，EF3，求弦 AC 的长 【分析】 （1）连接 OC，由切线的性质可证得ACE+A90，又CDE+A90， 可得CDEACE，则结论得证； （2）先根据勾股定理求出 OE，OD，AD 的长，证明 RtAODRtACB，得出比例线 段即可求出 AC 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC， CE 与O 相切，为 C 是O 的半径， OCCE， OCA+ACE90， OAOC， AOCA， ACE+A90， ODAB， ODA+A90， ODACDE， CDE+A90， CDEACE， ECED； （2）解：AB 为O 的直径， ACB90， 在 RtDCF 中，DC
41、E+ECF90，DCECDE， CDE+ECF90， CDE+F90， ECFF， ECEF， EF3， ECDE3， OE5， ODOEDE2， 在 RtOAD 中，AD2， 在 RtAOD 和 RtACB 中， AA，ACBAOD， RtAODRtACB， ， 即， AC 26在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，4） ，点 B 的坐标为（6，4） 抛物线 y x25x+a2 的顶点为 C （1）若抛物线经过点 B 时，求顶点 C 的坐标； （2）若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围； （3）若满足不等式 x25x+a20 的 x 的最大值为
42、 3直接写出实数 a 的值 【分析】 （1）将点 B 坐标代入解析式可求 a 的值，由顶点坐标可求点 C 坐标； （2） 分顶点 C 在线段 AB 下方和线段 AB 上两种情况讨论， 由图象列出不等式组可求解； （3）由题意可得当 x3 时，y0，即可求解 【解答】解： （1）由题意可得：43656+a2， a0， 抛物线的解析式为：yx25x2， 顶点 C 坐标为（，） ， （2）如图，当顶点 C 在线段 AB 下方时， 由题意可得：， 解得：0a6； 当顶点 C 在 AB 时，当 x时，y4， ， a， 综上所述：当 0a6 或时，抛物线与线段 AB 恰有一个公共点； （3）由题意可得当
43、x3 时，y0， 即 915+a20， a8 27在ABC 中，ABAC，BAC，点 D 是ABC 外一点，点 D 与点 C 在直线 AB 的 异侧，且点 D，A，C 不共线，连接 AD，BD，CD （1）如图 1，当 60ADB30时，画出图形，直接写出 AD，BD，CD 之间的 数量关系； （2）当 90，ADB45时，利用图 2，继续探究 AD，BD，CD 之间的数量关系 并证明； （提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中） （3）当ADB时，进一步探究 AD，BD，CD 之间的数量关系，并用含 的等式直 接表示出它们之间的关系 【分析】 （1）先判断出BDE
44、90， 再根据勾股定理得出 BD2+DE2BE2， 即 BD2+AD2 BE2，再判断出ABEACD（SAS） ，得出 BECD，即可得出结论； （2）同（1）方法得出 DE2+BD2BE2，进而得出 2AD2+BD2BE2，同（1）的方法判断 出 BECD，即可得出结论； （3）同（1）的方法得出 DE2+BD2BE2，再判断出 DF2ADsin，即可得出结论 【解答】解： （1）AD2+BD2CD2， 理由：如图 1，过 AD 为边在 AD 上侧作等边三角形 ADE，连接 BE， 则 ADDEAE，DAEADE60， ADB30， BDEDBA+ADE90， 在 RtBDE 中，根据勾股定
45、理得，BD2+DE2BE2， BD2+AD2BE2， DAEBAC60， BAECAD， ABAC， ABEACD（SAS） ， BECD， AD2+BD2CD2； （2）如图 2，过点 A 作 AEAD，且 AEAD，连接 BE，DE， ADE45， BDA45， BDE90， 根据勾股定理得，DE2+BD2BE2， DE22AD2， 2AD2+BD2BE2， DAEBAC90， BAECAD， ABAC， ABEACD（SAS） ， BECD， 2AD2+BD2CD2； （3）如图 3， 将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 得到 AE，连接 DE，BE， ADE（180DAE）90， ADB， BDE90， 根据勾股定理得，DE2+BD2BE2， DAEBAC，
