1、 1 珠海市珠海市 2020 届普通高中学生学业质量监测届普通高中学生学业质量监测 数数 学（文科）学（文科） 第第 I 卷（选择题卷（选择题) 一、单选题一、单选题（本大题共（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项 ）目要求的一项 ） 1已知集合 2 1,0,1,21ABx x ，则A B( ) A1,0,1 B1,2 C 1,1 D1,1,2 2已知复数Z在复平面上对应的点为1, 1，则( ) A1Z 是实数 B1Z 是纯虚数 CZi是实数 DZi是纯虚数 3不等式 1
2、 x x 的解集为( ) A| 1x x B| 110xxx 且 C |1x x D|1x x 或10x 4某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子 100 次， 其中落入正方形的内切圆内有 68 次， 则他估算的圆周率约为( ) A3.15 B2.72 C1.47 D3.84 5函数( ) sinf xxx的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4 6设 1111 1+ 2612(1) S n n ，则S ( ) A 21 1 n n B 21n n C 1n n D 2 1 n n 7已知点2,2P和圆 22 :420C xyxyk，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是
3、( ) A05k B20k C 5k D205k 8如图，正方体 1111 ABCDABCD，点P为对角线 11 AC上的点，当点P由点 1 A向点 1 C运动过程 中，下列说法正确的是( ) ABPD的面积始终不变 BBPD始终是等腰三角形 CBPD在面 11 ABB A内的投影的面积先变小再变大 D点A到面BPD的距离一直变大 第 4 题图 第 8 题图 2 9函数 2 cos ( ) ln(2) x f x x = + 的图象可能是( ) A B C D 10 已知F是双曲线 22 :2C xy-=的一个焦点， 点P在C上， 过点P作FP的垂线与x轴交于点Q， 若FPQ为等腰直角三角形，
4、则FPQ的面积为( ) A 1 4 B 5 4 C 2 D3 11天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、 己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支 纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地 支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” 依此类推，排列到“癸 酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子” 依此 类推1911 年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年
5、，史称“辛 亥革命”1949 新中国成立，请推算新中国成立的年份为( ) A己丑年 B己酉年 C丙寅年 D甲寅年 12设函数 22 ( ) x eef xxax.若只存在唯一非负整数 0 x，使得 0 0f x，则实数a取值范 围为( ) A 2,0 ee B 2,1 e C,0 D 2, ee e 第第 II 卷（非选择题卷（非选择题) 二、填空题二、填空题（本大题共小题，每题（本大题共小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13函数 ln ( ) 1 x f x x 在1x 处的切线方程为_ 14在三棱锥PABC中，平面PAB 平面ABC，
6、ABC 是边长为 2 的正三角形，PAB是 3 以AB为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_ 15已知正项等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 63 9SS， 2 3a ，则 5 a_ 16等腰直角三角形ABC，2ABAC，90BACE，F分别为边AB，AC上的动点， 设AE mAB ，AF nAC ，其中,(0,1)m n，且满足 22 1mn+=，M，N分别是EF，BC 的中点，则|MN的最小值为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答第必须
7、作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（一）必考题 17 (本题 12 分)随机调查某城市 80 名有子女在读小学的成年人， 以研究晚上八点至十点时间段辅导 子女作业与性别的关系，得到下面的数据表： 是否辅导 性别 辅导 不辅导 合计 男 25 60 女 合计 40 80 （1）请将表中数据补充完整； （2）用样本的频率估计总体的概率，估计这个城市有子女在读小学的成人女性晚上八点至十点辅导 子女作业的概率； （3）根据以上数据，能否有 99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业与性别 有关？” 参考公式： 2 2 n adbc
8、 K abcdacbd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 18(本题 12 分)如图所示，在ABD中，点C在线段AB 上，3AD ，1BC ，14BD ， 2 cos 3 DAB （1）求sinABD的值； （2）判断ACD是否为等腰三角形 第 18 题图 4 19(本题 12 分)如图所示，梯形ABCD中，/ /ADBC，平面 CDEF 平面ABCD， 且四边形CDEF为矩形，22BCAD， 2 3CF ， 13AB ， 2 6BE
9、(1)求证：AD平面BDE ； (2)求点D到平面BEF的距离 20(本题 12 分)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为y轴，其准线为1y (1)求抛物线 C 的方程； (2)设直线: l y kxn，对任意的kR抛物线 C 上都存在四个点到直线 l 的距离为4，求n的取值 范围 21(本题 12 分)设函数( )(1) x f xea x （1）求函数 ( )f x的单调区间和极值； （2）若存在,m nR满足 mn ee a mn ，证明 2 lnmna成立 （二）选考题（二）选考题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题
10、作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22(本题 10 分)在平面直角坐标内，直线l过点2,3P，且倾斜角 6 = 以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为=4sin (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设直线l与圆C交于AB，两点，求PA PB的值 23(本题 10 分)已知函数( )1f xx （1）解不等式( )(1)4f xf x； 第 19 题图 5 （2）当 0x ，xR时，证明： 1 ()( )2fxf x . 6 数学数学（文科文科）参考答案）参考答案 第 I 卷（选择题) 一、单选题（本大题共（本大题共 12 小题，每小题小题，
11、每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项 ）目要求的一项 ） 1已知集合 2 1,0,1,21ABx x ，则A B（ ） A1,0,1 B1,2 C 1,1 D1,1,2 【答案】D 由11Bx xx或，所以AB1,1,2 2已知复数Z在复平面上对应的点为1, 1，则( ) A1Z 是实数 B1Z 是纯虚数 CZi是实数 DZi是纯虚数 【答案】由题意可知 z1i, 所以 zi 是实数，故选 C. 3不等式 1 x x 的解集为（ ） A|1x x B| 110xxx 且 C| 1x x D|1x x 或1
12、0x 【答案】D 不等式 1 x x 2 2 11 00100 x xx xx xx 且得解集 |1x x 或 10x 4某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子 100 次，其中落入正方形的内切圆内有 68 次，则他估算的圆周率约为 （ ） A3.15 B2.72 C1.47 D3.84 【答案】B 根据几何概型 2 2 68 44100 Sr Sr 圆 正 得2.72 5函数( ) sinf xxx 的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】 A由( )sinf xxx的零点转化为方程sinxx 的根，由y x 与sinyx的图象只有一个交点，可得 ( )sinf
13、 xxx 只有一个零点 6设 1111 1+ 2612(1) S n n ，则S （ ） A 21 1 n n B 21n n C 1n n D 2 1 n n 【答案】A 由 1111 1+ 2612(1) S n n 得 1111 1+ 1 22 33 4(1) S n n 1111111121 1 1+2 22334111 n S nnnn - 7已知点2,2P和圆 22 :420C xyxyk，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是 7 ( ) A05k B20k C5k D205k 【答案】D 由 22 :420C xyxyk得 22 :+2+15Cxyk，则50k得5k ， 要使过
14、P作C的切线有两条，则点P在圆外，从而5PCk 得20k ，所以205k. 8如图，正方体 1111 ABCDABC D，点P为对角线 11 AC上的点，当点P由点 1 A向点 1 C运动过程 中，下列说法正确的是（ ） ABPD的面积始终不变 BBPD始终是等腰三角形 CBPD在面 11 ABB A内的投影的面积先变小再变大 D点A到面BPD的距离一直变大 【答案】B BPD的面积始终不变先变小再变大，不对；由于 =BP DP，BPD始终是等腰三角形所以正确；BPD在面 11 ABB A内投影的面积不变，所以不对；点A到面BPD的距离 先变大再变小，所以不对。 9函数 2 cos ( ) l
15、n(2) x f x x = + 的图象可能是（ ） A B C D 【答案】C 函数 2 cos ( ) ln(2) x f x x = + 为偶函数且0 2 f ，排除、，而 1 01,2 ln2 f， 所以选 10已知F是双曲线 22 :2C xy-=的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，过点P作FP的垂 线与x轴交于点Q，若FPQ为等腰直角三角形，则FPQ的面积为（ ） A 1 4 B 5 4 C 2 D3 【答案】A 取点F为左焦点，P在第一象限，如图 可设,2P xx，代入双曲线得 () 2 2 :22C xx-=解得： 3 2 x =，得 3 1 , 2 2 P 111 1 22
16、4 FPQ S 11天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、 己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支 纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地 8 支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” 依此类推，排列到“癸 酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子” 依此 类推1911 年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年，史称“辛 亥革命”1949 新中国成立，
17、请推算新中国成立的年份为（ ） A己丑年 B己酉年 C丙寅年 D甲寅年 【答案】 根据题意可得， 天干是以 10 为公差的等差数列， 地支是以 12 为公差的等差数列， 从 1911 年到 1949 年经过 38 年， 且 1911 年为“辛亥”年， 以 1911 年的天干和地支分别为首项， 则38=3 10+8， 则 1949 年的天干为己，38=12 3+2，则 1949 年的地支为丑，所以 1949 年为己丑年. 12设函数 22 ( ) x eef xxax.若只存在唯一非负整数 0 x，使得 0 0f x，则实数a取值范 围为( ) A 2,0 ee B 2,1 e C,0 D 2,
18、 ee e 【答案】A 令 22 ( ) x gxeex ，( )h xax，则( )( )( )f xg xh x， 22 ( ) x gxeex ，令( )=0g x，解得=0x或=2x， 2x ，时有 ( )0g x 02x，时有 ( )0g x 0x，时有 ( )0g x ， 可以描绘出 22 ( ) x gxeex 的草图 ( )h xax 为过点0,0的直线 如图可知：当0a不成立 当0a时， 0 1x ， 所以(1)0f，得 2 aee 所 2,0 xee 第 II 卷（非选择题) 二、填空题（本大题共小题，每题（本大题共小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案分，将答
19、案 填在答题纸上）填在答题纸上） 13函数 ln ( ) 1 x f x x 在1x 处的切线方程为_ 【答案】210xy （方程其它形式均可得分）求导得 2 1 (1)ln 1 xx x y x ，得 1 1 | 2 x ky ，切点为1,0所以 1 (1) 2 yx 14在三棱锥PABC中，平面PAB 平面ABC，ABC 是边长 为 2 的正三角形，PAB是以AB为斜边的直角三角形， 则该三棱锥 外接球的表面积为_ 【答案】16 3 由题意可知ABC的中心O就是圆心，可知算得 2 3 3 ROC，所以可得外接球的表面积为 16 3 15已知正项等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 6
20、3 9SS， 2 3a ，则 5 a_ 【答案】24 n a为等比数列， 63 9SS， 123456123 9()aaaaaaaaa， 9 456123 8(+)aaaaaa， 3 8q ，此时 3 52 3 824aa q ， 16 等腰直角三角形ABC，2ABAC，90BACE，F分别为边AB，AC上的动点， 设AE mAB ，AF nAC ，其中(),0,1m n，且满足 22 1mn+=，M，N分别是EF，BC的中点，则| |MN的 最小值为_ 【答案】 21 本题如图建坐标系，0,2Em，2 ,0Fn， 得,M n m，又 22 1mn+=，可知点M在单位圆上，所以 最小|MN的最
21、小值为|21ANAM 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、 、 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（一）必考题 17(本题 12 分)随机调查某城市 80 名有子女在读小学的成年 人，以研究晚上八点至十点时间段辅导孩子作业与性别的关系，得到下面的数据表： 是否辅导 性别 辅导 不辅导 合计 男 25 60 女 合计 40 80 （1）请将表中数据补充完整； （2）用样本的频率估计总体的概率，估计在这个城
22、市所有成人女性晚上八点至十点辅导孩子作业的 概率； （3）根据以上数据，能否有 99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导孩子作业与性别 有关？” 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd . 参考数据： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 解解（1） 辅导 不辅导 合计 男 25 35 60 女 15 5 20 合计 40 40 80 -4 分(答任意对个得 2 分) （2）在样本中有 20 位女士，其中有 15 位辅导孩子作
23、业，其频率为 15 0.75 20 P 所以估计成人女士晚上八点至十点辅导孩子作业的概率为0.75；-7 分 （3） 2 2 80 25 5 15 35 6.67 6.635 40 40 20 60 K -11 分 可知有 99%的把握认为“晚上八点至十点时间是否段辅导孩子作业与性别有关” -12 分 10 18(本题 12 分)如图所示，在ABD中，点C在线段AB上，3AD ， 1BC ，14BD ， 2 cos 3 DAB. （1）求sinABD的值； （2）判断ACD是否为等腰三角形 解： （1）因为 2 cos 3 DAB， 所以 25 sin1 33 DAB -2 分 在ABD中，由
24、正弦定理得： sinsin ADBD ABDBAD ，即： 314 sin5 3 ABD 解得 70 sin 14 ABD-5 分 （2）在ABD中因为BDAD，所以 2 ABD 所以 3 14 cos 14 ABD -7 分 222 2cosCDBDBCBD BCCBD 3 14 14 1 2 14 14 9-11 分 得3BC ，-11 分 所以梯形ABCD是为等腰梯形-12 分 19 如图所示， 梯形ABCD中，/ /ADBC， 平面DCFE 平面ABCD， 且四边形CDEF为矩形， 22BCAD，2 3CF ，13AB ，2 6BE (1)求证：AD 平面BDE ； (2)求点D到平面
25、BEF的距离 解： （1）EDCD 又平面EDCF 平面ABCD，且平面EDCF平面 ABCD CD，ED面EDCF ED面ABCD-2 分 又平面ADBD，平面ABCD， EDBD，ADED-3 分 在Rt BDE， 2 3ED ， 2 6BE 2 3BD 在ABD中， 2 3BD ，1AD ， 13AB 222 ABADBD ADBD-5 分 又EDBDD，EDBD，面BDE AD 面BDE-6 分 (2)由(1)可知BCD为Rt，且2 3BD，2BC 4CD 第 18 题图 第 19 题图 11 作BHCD于H，则3BH 由已知平面EDCF 平面ABCD，且平面EDCF平面ABCD CD
26、，BHABCD面 BHCDEF 面 1 4 3 BDEFDEF VSBH -8 分 在BEF中， 22 4BFBCCF，4EFCD，2 6BE 2 2 1 2 6462 15 2 BEF S-10 分 设点D到平面BEF的距离为h，则 1 2 BEFB DEF ShV ，解得： 2 15 5 h 所以点D到平面BEF的距离为 2 15 5 -12 分 20已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为y轴，其准线为 1y . (1)求抛物线 C 的方程； (2)设直线: l y kxn ，对任意的kR，抛物线 C 上都存在四个点到直线 l 的距离为4，求n的取 值范围 解：(1)由题意可设：
27、2 2xpy，则1 2 p 得2p ，所以 2 4xy-2 分 (2)设与直线l平行的直线 :m ykxb ， 要满足题设条件“对任意的kR抛物线 C 上都有四个点到 直线 l 的距离为4”，则有当m与抛物线C相切时，kR 点0,n到:m ykxb距离大于 4 恒 成立， 2 4 ykxb xy 得： 2 440xkxb -5 分 2 4440kb 得 2 0kb 点0,n到:m ykxb距离 2 1 nb k 所以kR 不等式 2 4 1 nb k 恒成立， 代入 2 bk 得 整理得： 422 (216)160knkn-9 分 0 得 22 (216)4160nn ，求得5n-10 分 2
28、 216 0 2 160 n n 得8n -11 分 所以5n-12 分 21设函数( )(1) x f xea x. （1）求函数 ( )f x的单调区间和极值； 12 （2）若存在,m nR满足 mn ee a mn ，证明 2 lnmna成立. 解：解： （1）由( )(1) x f xea x得( ) x fxea 当0a时，( )0fx 从而得( )f x在R上单调递增没有极值；-1 分 当0a 时，( )0fx 得lnxa； ( )0fx 得lnxa； ( )0fx 得lnxa； ( )f x在ln , a 上单调递增，( )f x在,lna 上单调递减， 此时有极小值ln2lnf
29、aaa-4 分 （2）由 mn ee a mn 得： mn eamean，从而得 f mf n 由(1)知当0a时，( )0fx 从而得( )f x在R上单调递增，所以此时不成立-5 分 可知此时0a ，由于 f x的极小值点为lnxa，可设lnman 设 2ln ( )( )(2ln)(1)(2ln1) a xx F xf xfaxea xeaax 2l n 22l n a xx eeaxaa 2 22l n x x a ea xaa e -7 分 22 ( )2220 xx xx aa F xeaea ee ，仅当lnxa时取得“” 所以( )F x在ln , a 为单调递增函数且(ln
30、)0Fa -9 分 当lnma，时有( )( )(2ln)0F mf mfam，即( )(2ln)f mfam 又由 f mf n ，所以( )(2ln)f nfam-11 分 又由(1)知( )f x在,lna上单调递减，且2ln,lnama ，,lnna 所以2lnnam从而得证 2 lnmna成立。-12 分 （二）选考题（二）选考题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22在平面直角坐标内，直线l过点2,3P，且倾斜角 6 = 以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系，已
31、知圆 C 的极坐标方程为=4sin (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设直线l与圆C交于A B，两点，求PA PB的值 13 解： （1）由=4sin得 2=4 sin ，2 分 从而有 22 4xyy即： 2 2 24xy4 分 （2）由题意设直线l的参数方程为 3cos 6 2sin 6 xt yt 即： 3 2 2 1 2 2 xt yt 5 分 代入圆的方程得 2 2 31 34 22 tt 7 分 整理得： 2 3 350tt 12 3 3tt ， 1 2 5t t 由 12 0tt且 1 2 0t t 9 分 可知 1212 3 3PAPBtttt 10 分 23已知函数( )1f xx. （1）解不等式( )(1)4f xf x； （2）当0x ，xR时，证明： 1 ()( )2fxf x . 解： （1）由( )(1)4f xf x得14xx 当1x 时，得214x 即： 5 2 x ；2 分 当01x时，得14即： 3 2 x ；4 分 （2）由 1 ()( )fxf x 1 11x x 5 分 由绝对值不等式得 11 11xx xx 7 分 又因为 1 , x x 同号，所以 11 xx xx 8 分 由基本不等式得： 1 2x x 9 分 所以 1 ()( )2fxf x 10 分
