1、下列几个数中，属于无理数的数是（ ） A0.1 B C D 2 （3 分）如图，直线 ab，132，245，则3 的度数是（ ） A77 B97 C103 D113 3 （3 分）不等式组的最大正整数解为（ ） A1 B2 C3 D4 4 （3 分）我国倡导的“一带一路”地区覆盖的总人口为 4400000000 人，这个数用科学记 数法表示为（ ） A44108 B4.4108 C4.4109 D441010 5 （3 分）下面计算正确的是（ ） Ax3+4x35x6 Ba2a3a6 C （2x3）416x12 D （x+2y） （x2y）x22y2 6 （3 分）下列四个立体图形中，从正面看
2、到的图形与其他三个不同的是（ ） A B C D 7 （3 分）化简+的结果是（ ） Ax2 B C D 8 （3 分）已知二次函数 yx2bx+1（1b1） ，当 b 从1 逐渐变化到 1 的过程中，图 象（ ） A先往左上方移动，再往左下方移动 B先往左下方移动，再往左上方移动 C先往右上方移动，再往右下方移动 第 2 页（共 28 页） D向往右下方移动，再往右上方移动 9 （3 分）公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图” 如 图，设勾 a6，弦 c10，则小正方形 ABCD 的面积是（ ） A4 B6 C8 D16 10 （3 分）如图，以 AD 为直径的
3、半圆 O 经过 RtABC 斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC 于点 E；B、E 是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）计算： 12 （3 分）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，如图，在点 A 处 测得直立于地面的大树顶端 C 的仰角为 45， 然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至 坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走 4 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度（或坡比）i 1：2.4，那么大树 C
4、D 的高度为 13 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB15，BC17，将矩形 ABCD 绕点 D 按顺时针方 向旋转得到矩形DEFG， 点A落在矩形ABCD的边BC上， 连接CG， 则CG的长是 第 3 页（共 28 页） 14 （3 分）观察下列各等式： 2+31 56+7+84 101112+13+14+159 17181920+21+22+23+2416 根据以上规律可知第 11 行左起第一个数是 15 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是平面内的一个动点，且满足AEB 90，连接 CE，则线段 CE 长的最大值为 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 8
5、 个小题，共个小题，共 75 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （1）计算：+（1）06tan30+（） 2 （2）解方程：+1 17 为进一步提高全民 “节约用水” 意识， 某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动， 李明随机抽查了所住小区 x 户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图： 第 4 页（共 28 页） （1）求 x 并补全条形统计图； （2）求这 x 户家庭的月平均用水量；并估计李明所住小区 620 户家庭中月用水量低于月 平均用水量的家庭户数； （3）从月用水量为 5m3和 9m3的家庭中任选两户进行用水情况
6、问卷调查，求选出的两户 中月用水量为 5m3和 9m3恰好各有一户家庭的概率； 18如图，一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数 y的 图象在第一象限的交点为 C，CDx 轴于 D，若 OB3，OD6，AOB 的面积为 3 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当 x0 时，比较 kx+b 与的大小 19如图，四边形 ADBC 内接于O，AD 平分EDC，AEBC 交直线 BD 于 E （1）求证：AE 是O 的切线； （2）若 CD 为直径，tanADE2，求 sinBDC 的值 20某超市销售一种成本为每千克 40 元的水产品，经市场分析，若按每千
7、克 50 元销售，一 第 5 页（共 28 页） 个月能销售出 500 千克；销售单价每涨价 1 元，月销售量就减少 10 千克针对这种水产 品的销售情况，请解答以下问题： （1）每千克涨价 x 元，那么销售量表示为 千克，涨价后每千克利润为 元 （用含 x 的代数式表示 ） （2）要使得月销售利润达到 8000 元，又要“薄利多销” ，销售单价应定为多少？这时应 进货多少千克？ 21阅读下列材料，并完成相应的任务 古希腊的几何学家海伦在他的著作度量论一书中给出了利用三角形三边之长求面积 的公式海伦公式 S（其中 a，b，c 是三角形的三边长， ，S 为三角形的面积） ，并给出了证明 例如：在
8、ABC 中，a3，b4，c5，那么它的面积可以这样计算： a3，b4，c5 6 S6 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦 九韶提出的秦九韶公式等方法解决 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在ABC 中，BC7，AC8，AB9 （1）用海伦公式求ABC 的面积； （2）如图，AD、BE 为ABC 的两条角平分线，它们的交点为 I，求ABI 的面积 22如图 1，长方形 ABCD 中，DABBDCBD90，ADBC6，ABCD 10点 E 为射线 DC 上的一个动点，把ADE 沿直线 AE 翻折得ADE （1）当 D点落在 AB 边上时，DAE ； （2
9、）如图 2，当 E 点与 C 点重合时，DC 与 AB 交点 F， 求证：AFFC； 第 6 页（共 28 页） 求 AF 长 （3）连接 DB，当ADB90时，求 DE 的长 23如图 1，在平面直角坐标系中，直线 yx+4 与抛物线 yx2+bx+c（b，c 是常数） 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上设抛物线与 x 轴的另一个交点为点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点（不与点 A、B 重合） ， 如图 2，若点 P 在直线 AB 上方，连接 OP 交 AB 于点 D，求的最大值； 如图 3，若点 P 在 x 轴的上方，连接 PC，以
10、PC 为边作正方形 CPEF，随着点 P 的运 动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点 E 或 F 恰好落在 y 轴上，直接写出对应的 点 P 的坐标 第 7 页（共 28 页） 2020 年山西省运城年山西省运城市稷山实验中学中考数学一模试卷市稷山实验中学中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分每小题的四个选项中，只有一分每小题的四个选项中，只有一 个正确答案，请将正确答案的字母代号填入下表相应的空格 ）个正确答案，请将正确答案的字母代号填入下表相应的空格 ） 1 （3 分
11、）下列几个数中，属于无理数的数是（ ） A0.1 B C D 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此解答即可 【解答】解：A.0.1 是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C 是无理数，故本选项符合题意； D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意 故选：C 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 2 （3 分）
12、如图，直线 ab，132，245，则3 的度数是（ ） A77 B97 C103 D113 【分析】由直线 ab，利用“两直线平行，内错角相等”可得出4 的度数，结合对顶 角相等可得出5 的度数，再利用三角形内角和定理可求出3 的度数 【解答】解：给图中各角标上序号，如图所示 直线 ab， 4245， 545 1+3+5180， 第 8 页（共 28 页） 31803245103 故选：C 【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角 相等”是解题的关键 3 （3 分）不等式组的最大正整数解为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据
13、找不等式组解集的规律找出不等式组的解集 即可 【解答】解： 解不等式得：x1， 解不等式得：x4， 不等式组的解集为1x4， 不等式组的大正整数解为 3， 故选：C 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据不等式的 解集找出不等式组的解集是解此题的关键 4 （3 分）我国倡导的“一带一路”地区覆盖的总人口为 4400000000 人，这个数用科学记 数法表示为（ ） A44108 B4.4108 C4.4109 D441010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数 【解答】解：4 400 000 000 用科学记数法表示为：
14、4.4109， 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 5 （3 分）下面计算正确的是（ ） Ax3+4x35x6 Ba2a3a6 第 9 页（共 28 页） C （2x3）416x12 D （x+2y） （x2y）x22y2 【分析】根据合并同类项即可判断 A；根据同底数幂的乘法法则求出即可判断 B；根据积 的乘方和幂的乘方的运算法则求出即可判断 C；根据平方差公式求出即可判断 D 【解答】解：A、x3+4x35x3，故本选项错误； B、a2a3a5，故本选项错误；
15、C、 （2x3）416x12，故本选项正确； D、 （x+2y） （x2y）x24y2，故本选项错误； 故选：C 【点评】本题考查了同底数幂的乘除法法则，合并同类项，积的乘方和幂的乘方，平方 差公式的运用，解题的关键是掌握平方差公式： （a+b） （ab）a2b2，同底数的幂相 乘，底数不变，指数相加 6 （3 分）下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（ ） A B C D 【分析】根据图中的主视图解答即可 【解答】解：A、的主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形， B、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形， C、的主视图是第一层两个小正方形，第二
16、层左边一个小正方形， D、的主视图是第一层两个小正方形，第二层左一个小正方形， 故选：A 【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力可从主视图上分清物体的上下 和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置 7 （3 分）化简+的结果是（ ） Ax2 B C D 【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值 【解答】解：原式+， 故选：B 【点评】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题 第 10 页（共 28 页） 的关键 8 （3 分）已知二次函数 yx2bx+1（1b1） ，当 b 从1 逐渐变化到 1 的过程中，图 象（ ） A先往左上方
17、移动，再往左下方移动 B先往左下方移动，再往左上方移动 C先往右上方移动，再往右下方移动 D向往右下方移动，再往右上方移动 【分析】先分别求出当 b1、0、1 时函数图象的顶点坐标即可得出答案 【解答】解：当 b1 时，此函数解析式为：yx2+x+1，顶点坐标为： （，） ； 当 b0 时，此函数解析式为：yx2+1，顶点坐标为： （0，1） ； 当 b1 时，此函数解析式为：yx2x+1，顶点坐标为： （，） 故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动 故选：C 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的性质是解答此题的 关键 9 （3 分）公元 3 世纪初，中国古代数学家
18、赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图” 如 图，设勾 a6，弦 c10，则小正方形 ABCD 的面积是（ ） A4 B6 C8 D16 【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解 【解答】解：勾 a6，弦 c10， 股 b8， 小正方形的边长862， 小正方形的面积224 故选：A 第 11 页（共 28 页） 【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想 10 （3 分）如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 RtABC 斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC 于点 E；B、E 是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 【分析】
19、首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关 系得出 BC，AC 的长，利用 SABCS扇形BOE图中阴影部分的面积求出即可 【解答】解：连接 BD，BE，BO，EO， B，E 是半圆弧的三等分点， EOAEOBBOD60， BADEBA30， BEAD， 的长为， ， 解得：R4， ABADcos304， BCAB2， ACBC6， SABCBCAC266， BOE 和ABE 同底等高， BOE 和ABE 面积相等， 图中阴影部分的面积为：SABCS扇形BOE66 故选：D 第 12 页（共 28 页） 【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根
20、据已知得出 BOE 和ABE 面积相等是解题关键 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）计算： 【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后分母有理化后合并即可 【解答】解：原式+ + 故答案为 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行 二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵 活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 12 （3 分）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，如图，在点 A 处 测得直立于地面的
21、大树顶端 C 的仰角为 45， 然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至 坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走 4 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度（或坡比）i 1：2.4，那么大树 CD 的高度为 11 米 【分析】作 BFAE 于 F，则 FEBD4 米，DEBF，设 BFx 米，则 AF2.4 米， 在 RtABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 DEBF 和 AF 的值，得出 AE 的长 度，在 RtACE 中，由三角函数求出 CE，即可得出结果 【解答】解：作 BFAE 于 F，如图所示： 则 FEBD4 米，DEBF， 第 13 页（共 28 页） 斜面 AB 的
22、坡度 i1：2.4， AF2.4BF， 设 BFx 米，则 AF2.4x 米， 在 RtABF 中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2132， 解得：x5， DEBF5 米，AF12 米， AEAF+FE16 米， 在 RtACE 中，CEAEtan4516116 米， CDCEDE16 米5 米11 米； 故答案为：11 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程 是解决问题的关键 13 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB15，BC17，将矩形 ABCD 绕点 D 按顺时针方 向旋转得到矩形 DEFG，点 A 落在矩形 ABCD 的边 BC 上，
23、连接 CG，则 CG 的长是 【分析】连接 AE，由旋转变换的性质可知，ADECDG，ADBCDE17，AB CDDG15，由勾股定理得，CE8，得出 BEBCCE9，则 AE 3，证明ADECDG，得出，即可 得出结果 第 14 页（共 28 页） 【解答】解：连接 AE，如图所示： 由旋转变换的性质可知，ADECDG，ADBCDE17，ABCDDG15， 由勾股定理得，CE8， BEBCCE1789， 则 AE3， ，ADECDG， ADECDG， ， 解得，CG， 故答案为： 【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等 知识；熟练掌握旋转的性质和勾股定理
24、，证明三角形相似是解题的关键 14 （3 分）观察下列各等式： 2+31 56+7+84 101112+13+14+159 17181920+21+22+23+2416 根据以上规律可知第 11 行左起第一个数是 122 【分析】根据已知等式得出第 n 行左起第 1 个数为（n2+1） ，据此求解可得 【解答】解：由已知等式知第 n 行左起第 1 个数为（n2+1） ， 当 n11 时，（n2+1）（121+1）122， 第 15 页（共 28 页） 故答案为：122 【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键根据已知等式得出第 n 行左起第 1 个数为（n2+1）的普遍规律 15 （3
25、分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是平面内的一个动点，且满足AEB 90，连接 CE，则线段 CE 长的最大值为 2+2 【分析】根据 E 是平面内的一个动点，利用勾股定理可得答案 【解答】解：AEB90， 点 E 在以 AB 为直径的圆上，如图所示，设圆心为 O， AB4，AB 是O 的直径， OE2， 在 RtOBC 中，OC， 当点 E 在 CO 的延长线上时，CE 有最大值， CE 的最大值OE+OC2+2， CE 的最大值2+2 故答案为：2+2 【点评】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质，根据 E 是平面内的一 个动点，线段 CE 取得最大值是解题的
26、关键 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （1）计算：+（1）06tan30+（） 2 （2）解方程：+1 【分析】 （1）原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三 第 16 页（共 28 页） 角函数值计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解 【解答】解： （1）原式2+16+910； （2）去分母得：3（5x4）+3x64x+10， 解得：x2， 经检验：x2 是
27、增根，原方程无解 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 17 为进一步提高全民 “节约用水” 意识， 某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动， 李明随机抽查了所住小区 x 户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图： （1）求 x 并补全条形统计图； （2）求这 x 户家庭的月平均用水量；并估计李明所住小区 620 户家庭中月用水量低于月 平均用水量的家庭户数； （3）从月用水量为 5m3和 9m3的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户 中月用水量为 5m3和 9m3恰好各有一户家庭的概率； 【分析】 （1）用水量为 9 和 10 的总户数除以它
28、们所占的百分比得到 x 的值；再计算出月 用水量 8m3的户数，月用水量 5m3的户数，然后补全条形统计图； （2）先计算出这 20 户家庭的月平均用水量为 6.95（m3） ，找出用水量低于 6.95m3的家 庭户数为 11，然后利用样本估计总体，用 620 乘以即可； （3） 画树状图展示所有 20 种等可能的结果数， 找出选出的两户中月用水量为 5m3和 9m3 恰好各有一户家庭的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）x（3+2）25%20， 2055%11， 第 17 页（共 28 页） 月用水量 8m3的户数为 1174， 月用水量 5m3的户数为 20274322， （
29、2）这 20 户家庭的月平均用水量为（42+52+67+84+93+102）6.95 （m3） ， 约用水量低于 6.95m3的家庭共有 11 户， 所以 620341， 即估计李明所住小区 620 户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数约为 231 户； （3）画树状图为： 共有 20 种等可能的结果数， 选出的两户中月用水量为 5m3和 9m3恰好各有一户家庭的结 果数为 12， 所以选出的两户中月用水量为 5m3和 9m3恰好各有一户家庭的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求 出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根
30、据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了统计图 18如图，一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数 y的 图象在第一象限的交点为 C，CDx 轴于 D，若 OB3，OD6，AOB 的面积为 3 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当 x0 时，比较 kx+b 与的大小 第 18 页（共 28 页） 【分析】 （1）求出 A、C 亮点坐标，就可以求一次函数与反比例函数的表达式； （2）数形结合的数学思想课求解 【解答】解： （1）SAOBOAOB3， OA2， 点 A 的坐标是（0，2） ， B（3，0）yx2 当 x6 时，y622，C（6，
31、2） m2612 y （2）由 C（6，2） ，观察图象可知： 当 0x6 时，kx+b； 当 x6 时，kx+b 【点评】本题运用了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，还运用了数形结合的 数学思想 19如图，四边形 ADBC 内接于O，AD 平分EDC，AEBC 交直线 BD 于 E （1）求证：AE 是O 的切线； （2）若 CD 为直径，tanADE2，求 sinBDC 的值 第 19 页（共 28 页） 【分析】 （1）连接 AB，连接 AO 并延长交 BC 于 F，由圆内接四边形的性质得出ADE ACB，再由圆周角定理证出ABCACB，得出 ABAC，得出 AFBC，证出 AE
32、AF 即可得出结论； （2）连接 AO 并延长交 BC 于 G，由圆周角定理得出DACCBD90，证出四边 形 AEBG 是矩形，得出 BGAE，AGBE，由三角函数得出 AE2DE，AC2AD，AG 2CGBC2AE4DE，得出 ADDE，CDAD5DE，即可得出结果 【解答】 （1）证明：连接 AB，连接 AO 并延长交 BC 于 F，如图 1 所示： 四边形 ADBC 内接于O，AD 平分EDC， ADEACB，ADEADC， ADCABC， ABCACB， ABAC， AFBC AEBC， AEAF， AE 是O 的切线； （2）解：连接 AO 并延长交 BC 于 G，如图 2 所示：
33、 CD 为直径， DACCBD90， AEBC， E+CBD90， E90， 四边形 AEBG 是矩形， BGAE，AGBE， ADEADCACB， tanADEtanADCtanACB2， AE2DE，AC2AD，AG2CGBC2AE4DE， ADDE，CDAD5DE， sinBDC 第 20 页（共 28 页） 【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的判定、垂径定理、圆周角定理、圆内接 四边形的性质、矩形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，熟练掌握垂径定理和圆 周角定理是解题的关键 20某超市销售一种成本为每千克 40 元的水产品，经市场分析，若按每千克 50 元销售，一 个月能销售出
34、 500 千克；销售单价每涨价 1 元，月销售量就减少 10 千克针对这种水产 品的销售情况，请解答以下问题： （1）每千克涨价 x 元，那么销售量表示为 （50010x） 千克，涨价后每千克利润为 （10+x） 元（用含 x 的代数式表示 ） （2）要使得月销售利润达到 8000 元，又要“薄利多销” ，销售单价应定为多少？这时应 进货多少千克？ 【分析】 （1）根据已知直接得出每千克水产品获利，进而表示出销量，即可得出答案； （2）利用每千克水产品获利月销售量总利润，进而求出答案 【解答】解： （1）由题意可知：销售量为（50010x）千克， 涨价后每千克利润为：50+x4010+x（千克
35、） 故答案是： （50010x） ； （10+x） ； （2）由题意可列方程： （10+x） （50010x）8000， 整理，得：x240x+3000 解得：x110，x230， 因为又要“薄利多销” 所以 x30 不符合题意，舍去 第 21 页（共 28 页） x10 符合题意 此时 50010x400 答：销售单价应涨价 10 元，这时应进货 400 千克 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出月销量是解题关键 21阅读下列材料，并完成相应的任务 古希腊的几何学家海伦在他的著作度量论一书中给出了利用三角形三边之长求面积 的公式海伦公式 S（其中 a，b，c 是三角形的三边长
36、， ，S 为三角形的面积） ，并给出了证明 例如：在ABC 中，a3，b4，c5，那么它的面积可以这样计算： a3，b4，c5 6 S6 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦 九韶提出的秦九韶公式等方法解决 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在ABC 中，BC7，AC8，AB9 （1）用海伦公式求ABC 的面积； （2）如图，AD、BE 为ABC 的两条角平分线，它们的交点为 I，求ABI 的面积 【分析】 （1）把 a、b、c 的长代入求出 p，再代入 S 计算即可得解； （2）过点 I 作 IFAB、IGAC、IHBC，垂足分别为点 F、G、H，根
37、据角平分线的性 质定理可得：IFIHIG，并根据三角形面积计算 IF 的长，根据三角形面积公式可得结 论 【解答】解： （1）BC7，AC8，AB9， p（a+b+c）（7+8+9）12， S12； 第 22 页（共 28 页） 答：ABC 面积是 12； （2）如图，过点 I 作 IFAB、IGAC、IHBC，垂足分别为点 F、G、H， AD、BE 分别为ABC 的角平分线， IFIHIG， SABCSABI+SACI+SBCI， （9IF+8IF+7IF）12， 解得 IF， 故 SABIABFI9 【点评】本题考查了二次根式的应用和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握二次根 式的性质，并
38、根据新公式代入计算 22如图 1，长方形 ABCD 中，DABBDCBD90，ADBC6，ABCD 10点 E 为射线 DC 上的一个动点，把ADE 沿直线 AE 翻折得ADE （1）当 D点落在 AB 边上时，DAE 45 ； （2）如图 2，当 E 点与 C 点重合时，DC 与 AB 交点 F， 求证：AFFC； 求 AF 长 （3）连接 DB，当ADB90时，求 DE 的长 【分析】 （1）由ADEADE 知DAEDAE，结合 D点落在 AB 边上知 第 23 页（共 28 页） DAE+DAE90，从而得出答案； （2）由折叠得出ACDACD，再由 ABCD 得出ACDBAC，从而得知
39、 ACDBAC，据此即可得证； 设 AFFCx， 则 BF10x， 在 RtBCF 中， 由 BF2+BC2CF2得到关于 x 的方程， 解之可得； （3）分两种情况：点 E 在 DC 线段上，点 E 为 DC 延长线上的一点，进一步分析探讨得 出答案即可 【解答】解： （1）由题意知ADEADE， DAEDAE， D点落在 AB 边上时，DAE+DAE90， DAEDAE45， 故答案为：45； （2）如图 2，由题意知ACDACD， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， ACDBAC， ACDBAC， AFFC； 设 AFFCx，则 BF10x， 在 RtBCF 中，由 BF2+BC2C
40、F2得（10x）2+62x2， 解得 x6.8，即 AF6.8； （3）如图 3， ADEADE， ADED90， ADB90， 第 24 页（共 28 页） B、D、E 三点共线， 又ABDBEC，ADBC， ABDBEC， BEAB10， BD8， DEDE1082； 如图 4， ABD+CBEABD+BAD90， CBEBAD， 在ABD和BEC 中， ， ABDBEC， BEAB10， DEDE8+1018 综上所知，DE2 或 18 【点评】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股 定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键 23如图 1，在
41、平面直角坐标系中，直线 yx+4 与抛物线 yx2+bx+c（b，c 是常数） 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上设抛物线与 x 轴的另一个交点为点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点（不与点 A、B 重合） ， 第 25 页（共 28 页） 如图 2，若点 P 在直线 AB 上方，连接 OP 交 AB 于点 D，求的最大值； 如图 3，若点 P 在 x 轴的上方，连接 PC，以 PC 为边作正方形 CPEF，随着点 P 的运 动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点 E 或 F 恰好落在 y 轴上，直接写出对应的 点 P 的坐标 【分析】 （
42、1）利用直线解析式求出点 A、B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式 解答； （2）作 PFBO 交 AB 于点 F，证PFDOBD，得比例线段，则 PF 取最大 值时，求得的最大值； （3） （i）点 F 在 y 轴上时，P 在第一象限或第二象限，如图 2，3，过点 P 作 PHx 轴 于 H，根据正方形的性质可证明CPHFCO，根据全等三角形对应边相等可得 PH CO2，然后利用二次函数解析式求解即可； （ii）点 E 在 y 轴上时，过点 PKx 轴于 K， 作 PSy 轴于 S， 同理可证得EPSCPK，可得 PSPK，则 P 点的横纵坐标互为相反数，可求出 P 点 坐标；点 E
43、 在 y 轴上时，过点 PMx 轴于 M，作 PNy 轴于 N，同理可证得PEN PCM，可得 PNPM，则 P 点的横纵坐标相等，可求出 P 点坐标由此即可解决问题 【解答】解： （1）直线 yx+4 与坐标轴交于 A、B 两点， 当 x0 时，y4，x4 时，y0， A（4，0） ，B（0，4） ， 把 A，B 两点的坐标代入解析式得，解得， 抛物线的解析式为； （2）如图 1，作 PFBO 交 AB 于点 F， 第 26 页（共 28 页） PFDOBD， ， OB 为定值， 当 PF 取最大值时，有最大值， 设 P（x，） ，其中4x0，则 F（x，x+4） ， PF， 且对称轴是直线
44、 x2， 当 x2 时，PF 有最大值， 此时 PF2，； （3）点 C（2，0） ， CO2， （i）如图 2，点 F 在 y 轴上时，若 P 在第二象限，过点 P 作 PHx 轴于 H， 在正方形 CPEF 中，CPCF，PCF90， PCH+OCF90，PCH+HPC90， HPCOCF， 在CPH 和FCO 中， 第 27 页（共 28 页） CPHFCO（AAS） ， PHCO2， 点 P 的纵坐标为 2， ， 解得，x1+（舍去） ， 如图 3，点 F 在 y 轴上时，若 P 在第一象限， 同理可得点 P 的纵坐标为 2， 此时 P2点坐标为（1+，2） （ii）如图 4，点 E 在 y 轴上时，过点 PKx 轴于 K，作 PSy 轴于 S， 同理可证得EPSCPK， PSPK， P 点的横纵坐标互为相反数， ， 解得 x2（舍去） ，x2， ， 如图 5，点 E 在 y 轴上时，过点 PMx 轴于 M，作 PNy 轴于 N， 第 28 页（共 28 页） 同理可证得PENPCM， PNPM， P 点的横纵坐标相等， ， 解得，（舍去） ，
