1、新疆维吾尔自治区新疆维吾尔自治区 20202020 年普通高考第二次适应性检测年普通高考第二次适应性检测理理科数学科数学试卷试卷 （卷面分值：150 分；考试时间：120 分钟） 注意事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填 写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答笫卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第卷 一、选择题：本大题共 12
2、 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集UR，1Ax x ，1Bx x，则集合 U CAB （ ） A.1x x B.1x x C.11xx D.11xx 2.设复数 z 满足 1 1 z i z ，则 z 的虚部为（ ） A.2i B.2 C.i D.-1 3.在等差数列 n a中， 1 2018a ，其前 n 项和为 n S，若 1210 56120SS，则 2020 S（ ） A.-4040 B.-2020 C.2020 D.4040 4.设 M 是ABC所在平面上的一点， 33 0 22 MBMAMC，D 是AC的中点，tMBDM，则实数
3、 t 的值为（ ） A. 1 2 B. 1 3 C.2 D.1 5.将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口 3 人，且甲、乙在 同一路口的分配方案共有（ ） A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.72 种 6.如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点 P 在正方体表面上移动，且满足 11 B PBD，则点 1 B和动点 P 的轨迹形成的图形的周长是（ ） A.3 2 B.4 2 C.3 3 D.4 3 7.下列命题中不正确命题的个数是（ ） 已知 a，b 是实数，则“ 11 33 ab ”是“ 33 loglogab”的
4、充分而不必要条件； ,0x ，使23 xx ； 若 202022020 0122020 (2)(2)(2)xaa xaxax，则 2019 1 2020 2a ； 若角的终边在第一象限，则 sincos 22 sincos 22 的取值集合为2,2. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.九章算术有如下问题： “今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重 几何？意思是： “现在有一根金棰，长五尺，在粗的一端截下一尺，重 4 斤；在细的一端截下一尺，重 2 斤， 问各尺依次重多少？” 假设金棰由粗到细各尺重量依次成等比数列， 则从粗端开始的第三尺的重量是 （
5、 ） A.2 2斤 B. 3 2 2斤 C. 4 2 2斤 D.3 斤 9.甲、乙、丙三人中，一人是董事长，一人是总经理，一人是秘书，已知：丙的年龄比秘书的大，甲的年龄 和总经理不同；总经理的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A.甲是董事长，乙是秘书，丙是总经理 B.甲是秘书，乙是总经理，丙是董事长 C.甲是秘书，乙是董事长，丙是总经理 D.甲是总经理，乙是秘书，丙是董事长 10.已知函数 cos 2f xxR，若 3 fxf x 且 2 ff ，则函数 f x取得最 大值时 x 的可能值为（ ） A. 2 3 B. 6 C. 3 D. 2 11.如图，已知双曲线 22 22
6、:10,0 xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 12 6FF ，P 是双曲线 E 右支上一点， 1 PF与 y 轴交于点 A， 2 PAF的内切圆与 2 AF相切于点 Q.若3AQ ，则双曲线 E 的离心 率是（ ） A.3 B.2 C.5 D.2 3 12.已知函数 3 3fxxx，0,2x，函数 2 4g xxxa，若对于任意 1 0, 2x ，总存在 0 0,2x ，使得 01 g xf x成立，则 a 的值为（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题第 2
7、3 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.随机变量 2 2,XN，且020.3PX，4P X _. 14.在ABC中，45C ，4AB ，D 为BC边上的点，且13AD ，3BD，则AC _. 15.已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，6AB，6SASBSC，则三棱 锥的外接球的球心到平面ABC的距离是_. 16.已知椭圆 22 1 43 xy 的一条弦为AB，点 P 的坐标为0,1，且230OA OBOP，则弦AB的中 点到直线 1 4 y 的距离为_. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题
8、满分 12 分） 设ABC的内角, ,A B C所对的边长分别为, ,a b c且cos1aB，sin2bA. （）求sin A C和边长 a； （）当 22 bc取最小值时，求ABC的面积. 18.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，PA 底面ABCD，60ABC，3AB ， 2 3AD ，3AP. （）求证：平面PCA平面PCD； （）若 E 是侧棱PC上的一点，且BE与底面ABCD所成的是为 45，求二面角BAED的余弦值. 19.（本小题满分 12 分） 目前，我国老年人口比例不断上升，造成日趋严峻的人口老龄化问题.2019 年 10 月 12
9、日，北京市老龄办、 市老龄协会联合北京师范大学中国公益研究院发布北京市老龄事业发展报告（2018） ，相关数据有如下 图表.规定年龄在 15 岁至 59 岁为“劳动年龄” ，具备劳动力，60 岁及以上年龄为“老年人” ，据统计，2018 年底北京市每 2.4 名劳动力抚养 1 名老年人. （）请根据上述图表计算北京市 2018 年户籍总人口数和北京市 2018 年的劳动力数； （保留两位小数） （）从 2014 年起，北京市老龄人口与年份呈线性关系，比照 2018 年户籍老年人人口年龄构成，预计到 2020 年年底，北京市 90 以上老人达到多少人？（精确到 1 人） （附： 对于一组数据 1
10、122 , nn u vu vu v其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘法估计 分别为： 1 22 1 n ii i n i i uvnu v unu ， vu.2 27，62 1 11.02 1 8.98 2 24.78 124.8 ） 20.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线:1l y 与抛物线 2 :20C ypx p交于 M，抛物线 C 的焦点为 F，且 1MF . （）求抛物线 C 的方程； （）设点 Q 是抛物线 C 上的动点，点 D，E 在 y 轴上，圆 2 2 11xy内切于QDE，求QDE的 面积的最小值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 x
11、f xe，xR， 2 1 lng xxx. （）求函数 g x的导函数 g x的零点个数； （）若0,x时， 12ax f axg x 恒成立，求实数 a 的取值范围. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲. 平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 3 2 xs ys （s 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos ，R，直线与曲线 C 交于 A，B 两点.
12、 （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）已知点 P 的极坐标为 2 , 24 ，求PA PB的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲. 已知函数 0,0f xxaxb ab. （）若1ab时，解不等式 2f xx； （）若 f x的值域是4,，若 11 11 k ab 恒成立，求 k 的最大值. 参考答案参考答案 一、选择题 1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D 二、填空题 13. 0.2 14.2 6 15.3 16. 1 三、解答题 17.解： （）由正弦定理及cos1aB与 sin
13、2ba得： 2 sincos1RAB，2 sinsin2RBA（R 是ABC的外接圆半径） 两式相除，得 1cos 2sin B B ，2 分 设cosBk，sin2Bk B 是ABC的内角，sin00Bk 22 sincos1BB， 5 5 k 5 cos 5 B ， 2 5 sin 5 B ，4 分 将 5 cos 5 B 代入cos1aB，得5a ， 2 5 sinsinsin 5 ACBB.6 分 （）由（）及余弦定理知 2222 2cos52bacacBcc 2 222 199 2252 222 bcccc 8 分 当且仅当 1 2 c 时， 22 bc取得最小值 9 2 . 111
14、2 51 sin5 22252 ABC SacB 22 bc最小时ABC的面积为 1 2 12 分 18.解： （）在平行四边形ABCD中，60ADC，3CD ，2 3AD 由余弦定理得 222 2cos1232 2 33cos609ACADCDADCDADC 222 ACCDAD，90ACDACCD2 分 又PA 底面ABCD，CD底面ABCD.PACD 又ACAPA CD平面PCA 又CD平面PCD 平面PCA平面PCD4 分 （）如图，以 A 为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 则0,0,0A， 3,0,0B，0,3,0C， 3,3,
15、0D ，0,0,3P 设PEPC，01 0,3, 3PC ，0,3 , 3PE 又 3,0,3BP 3,3 ,3 3BEBPPE 又平面ABCD的一个法向量为0,0,1n 2 2 332 cos, 2| | 3933 BE n BE n BEn 1 3 即 1 3 PEPC 设平面ABE的法向量为 1 , ,nx y z，平面AED的法向量为 2111 ,nx y z 由0,1,2AE ， 3,0,0AB 1 nAE， 1 nAB， 20 30 yz x 取1z 得 1 0, 2,1n 同理可得 2 2 3,2, 1n 10 分 12 12 12 585 cos, 17| |5 17 n n
16、n n nn 二面角BAED为钝角 二面角BAED的余弦值为 85 17 12 分 19.解： （1）2018 年北京市老年人 349.1 万人，占户籍总人口的 25.4%，所以北京市 2018 年户籍总人口 349.1 1374.4091374.41 25.4% 万人；2 分 2018 年北京市“老年人”有 349.1 万人，每 2.4 名劳动力抚养 1 名老年人，故北京市 2018 年的劳动力数为 349.1 2.4837.84万.4 分 （）设 2014 年是第 1 年，第 x 年老年人口为 y 万人，则 x 1 2 3 4 5 y 296.7 313.3 329.2 333.3 349
17、.1 由于从 2014 年起，北京市老龄人口与年份呈线性关系，设 y bxa 则3x ， 3.3 13.329.233.349.1121.6 300300324.32 55 y .6 分 1 222222 22 1 1 296.72 313.33 329.24 333.35 349.1 5 3 324.32 123455 3 n ii i n i i x ynx y b xnx 4989.64864.8124.8 12.48 1010 或 1 22222 2 1 2 ( 27.62)( 1) ( 11.02)0 4.88 1 8.982 24.78 (1 3)(23)(33)(43)(53)
18、n ii i n i i xxyy b xx 124.8 12.48 10 得 324.32 12.48 3286.88aybx 12.48286.88yx8 分 当7x时，374.24y 北京市 2020 年年底的老年人人数约为 374.24 万人， 90 以上老人占 1.6%，374.24 1.6%5.98784万人59878 人 答：预计到 2020 年年底，北京市 90 以上老人约为 59878 人.12 分 20.（）由已知，直线:1l y 与抛物线 2 20ypx p交于 M，抛物线 C 的焦点为 F，且1FM . MFOF 由已知得：1p ， 抛物线方程为 2 2yx.4 分 （
19、）设 00 ,Q x y，0,Db，0,Ec且bc， 直线QD的方程为 0 0 yb yxb x 即 000 0yb xx ybx6 分 由相切得 00 2 2 00 1 ybbx ybx ，注意到 0 2x 化简得 2 000 220xby bx， 同理得 2 000 220xcy cx8 分 所以b，c方程 2 000 220xxy xx的两根， 2 000 0 00 442 2 | 22 yxx x bc xx ，10 分 0 000 00 2114 |248 2222 QDE x Sbc xxx xx （当且仅当 0 4x 时等号成立） 因此QDE的面积的最小值为 8.12 分 21.
20、解： （） 2 1 lng xxx 2 1 2 ln x gxxx x ，其定义域为 0,2 分 令 0g x，得 2 1 2 ln0 x xx x ，即 22 2ln10xxx 设 22 2ln1F xxxx，则 4ln1Fxxx， 1 0Fxx e 在 1 0, e 上 0Fx，在 1 , e 上 0Fx F x在 1 0, e 单调递减， F x在 1 , e 单调递增， 2 2 11 0 e F xF ee ， 函数 F x没有零点， g x的导函数 g x零点的个数是 0.4 分 （） 2 () 12121 ln ax ax f axg xax exx 2222 11 ln1 ln1
21、 ln axaxax ax exxeexx，6 分 令 1 lnh xxx，则 1 ln x hxx x ， 22 111x hx xxx ， 易知 h x在0,1上递减，在1,上递增， 120h xh 1 lnh xxx在0,上递增. 22 1 ln1 ln axax eexx等价于 2ax h eh x，即 2ax ex，8 分 2 2ln 2ln ax x exaxxa x . 设 ln x p x x ，0,x， 则 2 1 ln 0 x px x ，得xe， p x在0,e时递增， p x在, e 时递减10 分 1 p xp e e ， 2 a e 实数 a 的取值范围为 2 a
22、e .12 分 22.解： （）l的普通方程为：10xy ； 曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 1 2 x y.5 分 （）解：点 P 的极坐标为 2 , 24 ，化为直角坐标为 1 1 , 2 2 P ， P 在直线l上，直线l的参数方程为 12 22 12 22 xt yt （t 为参数） ，6 分 代入曲线 C 的直角坐标方程得： 22 1212 220 2222 tt ， 即 2 325 0 224 tt，8 分 设上述方程的两根为 1 t， 2 t，且 1 2 5 6 t t 由直线参数方程 t 的几何意义，得 121 2 5 | | 6 PAPBttt t10 分 23.解： （
23、）1a ，1b 2 ,1 |1|1|2, 11 2 ,1 x x f xxxx x x 2 分 当1x时， 2f xx化为2x，不等式的解为2x； 当11x 时， 2f xx化为220xx ，不等式的解为10x ； 当1x时， 2f xx化为 2 32 3 xx ，所以不等式的解为1x； 综上所述，不等式的解集为 20x xx或5 分 （） | |()()| |f xxaxbxaxbab， 当且仅当0xaxb时取“=”号 又 f x的值域是4,， 4ab，0a，0b. 4116a bab 7 分 111111 112224 111111 abab ab abbaba （当且仅当 11 11 ba ab ，即2ab时取“=”号） 112 113ab ，当且仅当2ab时取“=”号. 又 11 11 k ab 恒成立， 2 3 k k 的最大值是 2 3 ,10 分 本答案仅供参考，其他解法酌情给分.
