1、在实数3，0，1 中，最小的数是（ ） A3 B0 C1 D 2 （3 分）下列说法正确的是（ ） A “任意画一个三角形，其内角和为 360”是随机事件 B已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投十次可投中 6 次 C抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取 D检测某城市的空气质量，采用抽样调查法 3 （3 分）中国的陆地面积约为 9600000km2，将这个数用科学记数法可表示为（ ） A0.96107km2 B960104km2 C9.6106km2 D9.6105km2 4 （3 分）某企业今年 3 月份产值为 a 万元，4 月份比 3 月份减少了 10%，5 月份比 4
2、 月份 增加了 15%，则 5 月份的产值是（ ） A （a10%） （a+15%）万元 Ba（190%） （1+85%）万元 Ca（110%） （1+15%）万元 Da（110%+15%）万元 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （2a2）3（）216a4 C3a 1 D （2a2a）23a24a24a+1 6 （3 分）如图，ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知 AB15，AC9， BC12，阴影部分是ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上， 则小鸟落在花圃上的概率为（ ） A B C D 第 2 页（共 24 页） 7 （3 分）如
3、图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（ ） A60 B70 C90 D160 8 （3 分）如图，是根据某市 2010 年至 2014 年工业生产总值绘制的折线统计图，观察统计 图获得以下信息，其中信息判断错误的是（ ） A2010 年至 2014 年间工业生产总值逐年增加 B2014 年的工业生产总值比前一年增加了 40 亿元 C2012 年与 2013 年每一年与前一年比，其增长额相同 D从 2011 年至 2014 年，每一年与前一年比，2014 年的增长率最大 9 （3 分）若点 A（3，y1） ，B（2，y2） ，C（1，y3）都在反比例函数 y的图象 上，则 y
4、1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y1y2 Cy1y2y3 Dy3y2y1 10 （3 分）下列说法正确的是（ ） 函数 y中自变量 x 的取值范围是 x 若等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长是 3 或 7 一个正六边形的内角和是其外角和的 2 倍 同旁内角互补是真命题 关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x+k0 有两个不相等的实数根 第 3 页（共 24 页） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）使式子有意义的 x 的取值范围是 12 （3 分）如图，以正六
5、边形 ABCDEF 的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点 C、 F 在 x 轴上，顶点 A 的坐标为（1，） ，则顶点 D 的坐标为 13 （3 分）若抛物线 yx26x+m 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 14 （3 分）分解因式：a3（x3）+（3x）a 15 （3 分）已知 a，b 是方程 x2x30 的两个根，则代数式 2a3+b2+3a211ab+5 的值 为 16 （3 分）对任意实数 a，若多项式 2b25ab+3a2的值总大于3，则实数 b 的取值范围 是 三、计算题三、计算题（本大题共（本大题共 1 小题，共小题，共 10.0 分）分） 17 （10 分）计算：
6、 （1） （） 2 （2）0+tan30 （2）先化简，再求值：（+1） ，其中 x6 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 61.0 分）分） 18如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AECF （1）求证：BOEDOF； （2）若 BDEF，连接 DE、BF，判断四边形 EBFD 的形状，无需说明理由 第 4 页（共 24 页） 19已知关于 x 的不等式组有四个整数解，求实数 a 的取值范围 20为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查抽取的样 本中，男、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表 组别 男女生身
7、高（cm） A 150x155 B 155x160 C 160x165 D 165x170 E 170x175 根据图表中提供的信息，回答下列问题： （1）在样本中，男生身高的中位数落在 组（填组别序号） ，女生身高在 B 组的有 人； （2） 在样本中， 身高在 170x175 之间的共有 人， 人数最多的是 组 （填 组别序号） （3）已知该校共有男生 500 人，女生 480 人，请估计身高在 160x170 之间的学生有 多少人？ 21某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种 价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨据统计，淡季该公司平均每天有 10
8、 辆 货车未出租，日租金总收入为 1500 元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入 为 4000 元 （1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？ 第 5 页（共 24 页） （2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨 20 元，每天租出去的货车 就会减少 1 辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租 金总收入最高？ 22风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如 图 1） ，图 2 是从图 1 引出的平面图假设你站在 A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是 55， 沿 HA 方向水平前进
9、43 米到达山底 G 处， 在山顶 B 处发现正好一叶片到达最高位置， 此 时测得叶片的顶端 D（D、C、H 在同一直线上）的仰角是 45已知叶片的长度为 35 米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计） ，山高 BG 为 10 米，BGHG，CHAH，求塔 杆 CH 的高 （参考数据：tan551.4，tan350.7，sin550.8，sin350.6） 23如图，直线 ymx+n 与双曲线 y相交于 A（1，2） 、B（2，b）两点，与 y 轴相交 于点 C （1）求 m，n 的值； （2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积； （3）在坐标轴上是否存在异于 D 点的点 P，
10、使得 SPABSDAB？若存在，直接写出 P 点坐标；若不存在，说明理由 24如图，点 C 在以 AB 为直径的O 上，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D （1）求证：AC 平分DAB； （2）求证：AC2ADAB； 第 6 页（共 24 页） （3）若 AD，sinB，求线段 BC 的长 25如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交 于点 C，连接 BC 交抛物线的对称轴于点 E，D 是抛物线的顶点 （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点 C 和点 D 的坐标； （3）若点 P 在第一象限内的抛物线上，且 SABP4S
11、COE，求 P 点坐标 注：二次函数 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，） 第 7 页（共 24 页） 2020 年内蒙古呼和浩特市和林格尔三中中考数学一模试卷年内蒙古呼和浩特市和林格尔三中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题（本大题共、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30.0 分）分） 1 （3 分）在实数3，0，1 中，最小的数是（ ） A3 B0 C1 D 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值 大的反而小，据此判断即可 【解答】解：310， 在实数3，0，1 中，最小的数是3 故选：A 【点评
12、】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 正实数0负实数，两个负实数绝对值大的反而小 2 （3 分）下列说法正确的是（ ） A “任意画一个三角形，其内角和为 360”是随机事件 B已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投十次可投中 6 次 C抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取 D检测某城市的空气质量，采用抽样调查法 【分析】根据概率是事件发生的可能性，可得答案 【解答】解：A、 “任意画一个三角形，其内角和为 360”是不可能事件，故 A 错误； B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.6，则他投十次可能投中 6 次，故 B 错误； C、
13、抽样调查选取样本时，所选样本要具有广泛性、代表性，故 C 错误； D、检测某城市的空气质量，采用抽样调查法，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发 生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生 3 （3 分）中国的陆地面积约为 9600000km2，将这个数用科学记数法可表示为（ ） A0.96107km2 B960104km2 C9.6106km2 D9.6105km2 第 8 页（共 24 页） 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小
14、数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 【解答】解：将 9600000 用科学记数法表示为：9.6106 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）某企业今年 3 月份产值为 a 万元，4 月份比 3 月份减少了 10%，5 月份比 4 月份 增加了 15%，则 5 月份的产值是（ ） A （a10%） （a+15%）万元 Ba（190%） （1+85%）万元 Ca
15、（110%） （1+15%）万元 Da（110%+15%）万元 【分析】由题意可得：4 月份的产值为：a（110%） ，5 月份的产值为：4 月的产值 （1+15%） ，进而得出答案 【解答】解：由题意可得：4 月份的产值为：a（110%） ，5 月份的产值为：a（110%） （1+15%） ， 故选：C 【点评】此题主要考查了列代数式，正确理解增长率的定义是解题关键 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （2a2）3（）216a4 C3a 1 D （2a2a）23a24a24a+1 【分析】分别利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则和负整指数指数幂的性质分 别化简求出
16、答案 【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误； B、 （2a2）3（）28a632a4，故此选项错误； C、3a 1 ，故此选项错误； D、 （2a2a）23a24a24a+1，正确 第 9 页（共 24 页） 故选：D 【点评】此题主要考查了合并同类项以及整式的除法运算和负整指数指数幂的性质等知 识，正确掌握相关运算法则是解题关键 6 （3 分）如图，ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知 AB15，AC9， BC12，阴影部分是ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上， 则小鸟落在花圃上的概率为（ ） A B C D 【分析】由 AB15，BC12，
17、AC9，得到 AB2BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得 到ABC 为直角三角形，于是得到ABC 的内切圆半径3，求得直角三角 形的面积和圆的面积，即可得到结论 【解答】解：AB15，BC12，AC9， AB2BC2+AC2， ABC 为直角三角形， ABC 的内切圆半径3， SABCACBC12954， S圆9， 小鸟落在花圃上的概率， 故选：B 【点评】本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的 一半同时也考查了勾股定理的逆定理 7 （3 分）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（ ） 第 10 页（共 24 页） A60 B70 C90
18、D160 【分析】易得此几何体为空心圆柱，圆柱的体积底面积高，把相关数值代入即可求 解 【解答】解：观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内圆半径为 3，外圆半径为 4，高 为 10， 所以其体积为 10（4232）70， 故选：B 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是得到此几何体的形 状，易错点是得到计算此几何体所需要的相关数据 8 （3 分）如图，是根据某市 2010 年至 2014 年工业生产总值绘制的折线统计图，观察统计 图获得以下信息，其中信息判断错误的是（ ） A2010 年至 2014 年间工业生产总值逐年增加 B2014 年的工业生产总值比前一年增加了 4
19、0 亿元 C2012 年与 2013 年每一年与前一年比，其增长额相同 D从 2011 年至 2014 年，每一年与前一年比，2014 年的增长率最大 【分析】根据题意结合折线统计图确定正确的选项即可 【解答】解：A、2010 年至 2014 年间工业生产总值逐年增加，正确，不符合题意； B、2014 年的工业生产总值比前一年增加了 40 亿元，正确，不符合题意； 第 11 页（共 24 页） C、2012 年与 2013 年每一年与前一年比，其增长额相同，正确，不符合题意； D、从 2011 年至 2014 年，每一年与前一年比，2012 年的增长率最大，故 D 符合题意； 故选：D 【点评
20、】本题考查了折线统计图，计算增长率是解题关键 9 （3 分）若点 A（3，y1） ，B（2，y2） ，C（1，y3）都在反比例函数 y的图象 上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y1y2 Cy1y2y3 Dy3y2y1 【分析】分别计算出自变量为3、2 和 1 对应的函数值，从而得到 y1，y2，y3的大小 关系 【解答】解：当 x3，y14； 当 x2，y26； 当 x1，y312， 所以 y3y1y2 故选：B 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y（k 为常数，k 0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即
21、xyk 10 （3 分）下列说法正确的是（ ） 函数 y中自变量 x 的取值范围是 x 若等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长是 3 或 7 一个正六边形的内角和是其外角和的 2 倍 同旁内角互补是真命题 关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x+k0 有两个不相等的实数根 A B C D 【分析】利用等腰三角形的性质、正多边形的性质、平行线的性质及一元二次方程根的 判别式分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：函数 y中自变量 x 的取值范围是 x，故错误 若等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长是 7，故错误 第 12 页（共 24 页） 一个正六边形的内角和是其
22、外角和的 2 倍，正确 两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误 关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x+k0 有两个不相等的实数根，正确， 故选：D 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、正多边 形的性质、平行线的性质及一元二次方程根的判别式，难度不大 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）使式子有意义的 x 的取值范围是 x 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再结合分式有意义的条件： 分母0，可得不等式 12x0，再解不等式即可 【解答】解：由题意得：12x0，
23、 解得：x， 故答案为：x， 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式有意义， 被开方数为非负数 12 （3 分）如图，以正六边形 ABCDEF 的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点 C、 F 在 x 轴上，顶点 A 的坐标为（1，） ，则顶点 D 的坐标为 （1，） 【分析】根据图形，利用对称的性质计算即可求出 D 的坐标 【解答】解：根据图形得：D（1，） ， 故答案为： （1，） 【点评】此题考查了正多边形和圆，以及坐标与图形性质，熟练掌握对称的性质是解本 题的关键 13 （3 分）若抛物线 yx26x+m 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 m9
24、【分析】根据抛物线 yx26x+m 与 x 轴没有交点，可知当 y0 时，0x26x+m， 第 13 页（共 24 页） 0，从而可以求得 m 的取值范围 【解答】解：抛物线 yx26x+m 与 x 轴没有交点， 当 y0 时，0x26x+m， （6）24（1）m0， 解得，m9 故答案为：m9 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的 性质解答 14 （3 分）分解因式：a3（x3）+（3x）a a（x3） （a+1） （a1） 【分析】直接提取公因式 a（x3） ，进而利用平方差公式分解因式即可 【解答】解：a3（x3）+（3x）a a（x3） （a
25、21） a（x3） （a+1） （a1） 故答案为：a（x3） （a+1） （a1） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键 15 （3 分）已知 a，b 是方程 x2x30 的两个根，则代数式 2a3+b2+3a211ab+5 的值 为 23 【分析】根据一元二次方程解的定义得到 a2a30，b2b30，即 a2a+3，b2 b+3，则 2a3+b2+3a211ab+52a（a+3）+b+3+3（a+3）11ab+5，整理得 2a22a+17，然后再把 a2a+3 代入后合并即可 【解答】解：a，b 是方程 x2x30 的两个根， a2a30，b2b30
26、，即 a2a+3，b2b+3， 2a3+b2+3a211ab+52a（a+3）+b+3+3（a+3）11ab+5 2a22a+17 2（a+3）2a+17 2a+62a+17 23 故答案为：23 【点评】本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决 证明问题；利用因式分解简化计算问题也考查了一元二次方程解的定义 第 14 页（共 24 页） 16 （3 分）对任意实数 a，若多项式 2b25ab+3a2的值总大于3，则实数 b 的取值范围是 6b6 【分析】将已知转化为对任意实数 a，3a25ab+2b2+30 恒成立，利用0 即可求解 【解答】解：由题意可知：2b2
27、5ab+3a23， 3a25ab+2b2+30， 对任意实数 a，3a25ab+2b2+30 恒成立， 令 y3a25ab+2b2+3 是关于 a 的二元函数，函数开口向上， 当 y0 恒成立，只需0， 25b212（2b2+3）b2360， 6b6； 故答案为6b6 【点评】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系；熟练掌握判别式与一元二次不等 式值的关系是解题的关键 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 1 小题，共小题，共 10.0 分）分） 17 （10 分）计算： （1） （） 2 （2）0+tan30 （2）先化简，再求值：（+1） ，其中 x6 【分析】 （1）根据负整数指数幂
28、、零指数幂、特殊角的三角函数值可以解答本题； （2）根据分式的乘法和加减法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子 即可解答本题 【解答】解： （1） （） 2 （2）0+tan30 4（3）1+ 4+31+1 7； （2）（+1） 第 15 页（共 24 页） ， 当 x6 时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值， 解答本题的关键是明确它们各自的计算方法 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 61.0 分）分） 18如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AECF （1）求证：BOEDOF； （
29、2）若 BDEF，连接 DE、BF，判断四边形 EBFD 的形状，无需说明理由 【分析】 （1）先证出 OEOF，再由 SAS 即可证明BOEDOF； （2）由对角线互相平分证出四边形 EBFD 是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四 边形 EBFD 是矩形 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD， AECF，OEOF， 在BOE 和DOF 中， ， BOEDOF（SAS） ； （2）解：四边形 EBFD 是矩形；理由如下： OBOD，OEOF， 四边形 EBFD 是平行四边形， BDEF， 四边形 EBFD 是矩形 【点评】本题考查了平行四边形的性质与判
30、定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定； 第 16 页（共 24 页） 熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键 19已知关于 x 的不等式组有四个整数解，求实数 a 的取值范围 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式组有四个整数解，即可确定 出 a 的范围 【解答】解：解不等式组， 解不等式得：x， 解不等式得：xa+4， 不等式组有四个整数解， 不等式组的解集再数轴上表示为： 1a+42， 解得：3a2 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查抽取的样
31、本中，男、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表 组别 男女生身高（cm） A 150x155 B 155x160 第 17 页（共 24 页） C 160x165 D 165x170 E 170x175 根据图表中提供的信息，回答下列问题： （1）在样本中，男生身高的中位数落在 D 组（填组别序号） ，女生身高在 B 组的有 12 人； （2）在样本中，身高在 170x175 之间的共有 10 人，人数最多的是 C 组（填 组别序号） （3）已知该校共有男生 500 人，女生 480 人，请估计身高在 160x170 之间的学生有 多少人？ 【分析】 （1）先求出男生总人数，再
32、根据中位数的定义解答即可，总女生总人数乘以 B 组的百分比可得； （2）将位于这一小组内的频数相加，分别计算出各组人数之和即可求得结果； （3）分别用男、女生的人数乘以对应的百分比，相加即可得解 【解答】解： （1）在样本中，男生共有 2+4+8+12+1440 人， 中位数是第 20 和第 21 人的平均数， 男生身高的中位数落在 D 组， 女生身高在 B 组的人数有 40（135%20%15%5%）12 人， 故答案为：D、12； （2）在样本中，身高在 170x175 之间的人数共有 8+405%10 人， A 组人数为 2+4020%10 人，B 组人数为 4+1216 人，C 组人数
33、为 12+4035% 26 人，D 组人数为 14+4010%18 人，E 组人数为 8+405%10 人， C 组人数最多， 故答案为：10、C； （3）500+480（35%+10%）541（人） ， 故估计身高在 160x170 之间的学生约有 541 人 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图 第 18 页（共 24 页） 获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 21某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种 价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨据统计，淡季该公司平均每天有 1
34、0 辆 货车未出租，日租金总收入为 1500 元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入 为 4000 元 （1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？ （2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨 20 元，每天租出去的货车 就会减少 1 辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租 金总收入最高？ 【分析】 （1）根据题意可以列出方程，进而求得结论； （2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答 本题 【解答】解： （1）该出租公司这批对外出租的货车共有 x 辆， 根据题意得， 解得：x20
35、， 经检验：x20 是分式方程的根， 1500（2010）150（元） ， 答：该出租公司这批对外出租的货车共有 20 辆，淡季每辆货车的日租金 150 元； （2）设每辆货车的日租金上涨 a 元时，该出租公司的日租金总收入为 W 元， 根据题意得，Wa+150（1+）（20） ， Wa2+10a+4000（a100）2+4500， 0， 当 a100 时，W 有最大值， 答：每辆货车的日租金上涨 100 元时，该出租公司的日租金总收入最高 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的 条件，利用二次函数的性质解答 22风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源
36、，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如 图 1） ，图 2 是从图 1 引出的平面图假设你站在 A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是 55， 第 19 页（共 24 页） 沿 HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处， 在山顶 B 处发现正好一叶片到达最高位置， 此 时测得叶片的顶端 D（D、C、H 在同一直线上）的仰角是 45已知叶片的长度为 35 米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计） ，山高 BG 为 10 米，BGHG，CHAH，求塔 杆 CH 的高 （参考数据：tan551.4，tan350.7，sin550.8，sin350.6） 【分析】作 BEDH，知 GHBE、BGEH10，设 A
37、Hx，则 BEGH43+x，由 CHAHtanCAHtan55x 知 CECHEHtan55x10，根据 BEDE 可得关 于 x 的方程，解之可得 【解答】解：如图，作 BEDH 于点 E， 则 GHBE、BGEH10， 设 AHx，则 BEGHGA+AH43+x， 在 RtACH 中，CHAHtanCAHtan55x， CECHEHtan55x10， DBE45， BEDECE+DC，即 43+xtan55x10+35， 解得：x45， CHtan55x1.44563， 答：塔杆 CH 的高为 63 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角 第 20
38、 页（共 24 页） 形并解直角三角形 23如图，直线 ymx+n 与双曲线 y相交于 A（1，2） 、B（2，b）两点，与 y 轴相交 于点 C （1）求 m，n 的值； （2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积； （3）在坐标轴上是否存在异于 D 点的点 P，使得 SPABSDAB？若存在，直接写出 P 点坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法求出 m，n 的值； （2） 根据关于 x 轴对称的点的坐标特征求出点 D 的坐标， 利用三角形面积公式计算即可； （3）分点 P 在 x 轴上和点 P 在 y 轴上两种情况，利用三角形面积公式计算即可 【解答】
39、解： （1）点 A（1，2）在双曲线 y上， 2， 解得，k2， 反比例函数解析式为：y， b1， 则点 B 的坐标为（2，1） ， ， 解得，m1，n1； （2）对于 yx+1，当 x0 时，y1， 点 C 的坐标为（0，1） ， 点 D 与点 C 关于 x 轴对称， 点 D 的坐标为（0，1） ， 第 21 页（共 24 页） ABD 的面积233； （3）对于 yx+1，当 y0 时，x1， 直线 yx+1 与 x 轴的交点坐标为（0，1） ， 当点 P 在 x 轴上时，设点 P 的坐标为（a，0） ， SPAB|1a|2+|1a|13， 解得，a1 或 3， 当点 P 在 y 轴上时，
40、设点 P 的坐标为（0，b） ， SPAB|1b|2+|1b|13， 解得，b1 或 3， P 点坐标为（1，0）或（3，0）或（0，3） 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析 式的一般步骤、函数图象上点的坐标特征是解题的关键 24如图，点 C 在以 AB 为直径的O 上，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D （1）求证：AC 平分DAB； （2）求证：AC2ADAB； （3）若 AD，sinB，求线段 BC 的长 【分析】 （1）连接 OC，由 OAOC 可以得到OACOCA，证出 ADOC，由平行 线的性质证出DACOCA，即可得出结论； （2
41、）由圆周角定理证出ACB90ADC，证明ADCACB，得出对应边成比 例，即可得出结论； （3）由相似三角形的性质得出ACDB，得出 sinACDsinB，求出 AC 2，AB，在 RtABC 中，由勾股定理即可求出 BC 的长 第 22 页（共 24 页） 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图所示： CD 切O 于 C， COCD， 又ADCD， ADCO DACACO， OAOC， ACOCAO， DACCAO， AC 平分BAD （2）证明：AB 为O 的直径， ACB90ADC， DACCAO， ADCACB， AD：ACAC：AB， AC2ADAB； （3）解：由（2）得：ADCA
42、CB， ACDB， sinACDsinB， ACAD2， AC2ADAB， AB， 在 RtABC 中，BC 第 23 页（共 24 页） 【点评】此题主要考查了切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形 的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握切线的性质，证明三角形相似是 解决问题的关键 25如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交 于点 C，连接 BC 交抛物线的对称轴于点 E，D 是抛物线的顶点 （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点 C 和点 D 的坐标； （3）若点 P 在第一象限内的抛物线上，且
43、SABP4SCOE，求 P 点坐标 注：二次函数 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，） 【分析】 （1）将 A、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数 b、c 的值，进 而可得到抛物线的对称轴方程； （2）令 x0，可得 C 点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点 C 的坐标； （3）设 P（x，y） （x0，y0） ，根据题意列出方程即可求得 y，即得 D 点坐标 【解答】解： （1）由点 A（1，0）和点 B（3，0）得， 解得：， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； 第 24 页（共 24 页） （2）令 x0，则 y3， C（0，3） ， yx2+2x+3（x1）2+4， D（1，4） ； （3）设 P（x，y） （x0，y0） ， SCOE13，SABP4y2y， SABP4SCOE，2y4， y3，x2+2x+33， 解得：x10（不合题意，舍去） ，x22， P（2，3） 【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的 求法等知识，根据 SABP4SCOE列出方程是解决问题的关键
