1、已知复数，i 为虚数单位，则（ ） A|z|i B i Cz21 Dz 的虚部为i 2 （5 分）已知集合 Ax|2x1，Bx|ylg（x1），则 A（RB）（ ） A B （0，1） C （，1 D （，0 3 （5 分）已知点 A 在圆 x2+y24 上，且，则点 A 的横坐标为（ ） A B C D 4 （5 分）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为 A、B、C、 D、E（在正五边形的顶点上） ，紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续 固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ） A20 B15 C10 D5 5 （5 分）若函数 yf（x）的大致图
2、象如图所示，则 f（x）的解析式可以为（ ） A B C D 6 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的渐近线与（x2）2+y21 相切，则双 曲线的离心率为（ ） A2 B C D 7 （5 分）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中 OAOBr，弧长为 l（lr） 为方便投放 第 2 页（共 25 页） 饲料， 欲在如图位置修建简易廊桥 CD， 其中， 已知时， ，则廊桥 CD 的长度大约为（ ） A B C D 8 （5 分）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆 放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖” ，并且和爸爸约定，每次想吸烟 时，从盒子里任取一支
3、，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一 支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还 剩 2 支香烟”的概率为（ ） A B C D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列结论正确的是（ ） A B若 ab0，则 C若 x（x2）0，则 log2x（0，1） D若 a
4、0，b0，a+b1，则 10 （5 分）关于函数的描述正确的是（ ） A其图象可由的图象向左平移个单位得到 Bf（x）在单调递增 Cf（x）在0，有 2 个零点 第 3 页（共 25 页） Df（x）在的最小值为 11（5 分） 已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， D， E 分别是 AC、 AB 上的两点， 且， ，BD 与 CE 交于点 O，则下列说法正确的是（ ） A B C D在方向上的投影为 12 （5 分）已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为矩形，侧面 PCD平面 ABCD， 若点 M 为 PC 的中点，则下列说法正确的为（ ） ABM平面 PCD BPA面 MBD C四
5、棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36 D四棱锥 MABCD 的体积为 6 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）直线 yx 与圆 x24x+y20 相交于 A、B 两点，则|AB| 14 （5 分）直线 yx 与曲线 y2ln（x+m）相切，则 m 15 （5 分）已知数列an中，其前 n 项和 Sn满足，则 a2 ；S2019 16 （5 分）已知x表示不超过 x 的最大整数，如33，1.51，1.72令 f（x） x2x，g（x）f（xx） ，则下列说法正确的是 g（x）是偶函数；g（x）是周期函数；方
6、程 g（x）0 有 4 个根；g（x） 的值域为0，2 四、解答题（共四、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在非直角ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边已知 a4， 求： （1）的值； 第 4 页（共 25 页） （2）BC 边上的中线 AD 的长 18 （12 分）已知数列an+1是等比数列，a11 且 a2，a3+2，a4成等差数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Sn 19 （12 分）已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面为菱形，ABAA12，BA
7、D，AC BDO，AO平面 A1BD，A1BA1D （1）证明：B1C平面 A1BD； （2）求钝二面角 BAA1D 的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 L：的离心率为，短轴长为 2 （1）求椭圆 L 的标准方程； （2）过点 Q（0，2）的直线 l 与椭圆 L 交于 A、B 两点，若以 AB 为直径的圆恰好过坐标 原点，求直线 l 的方程及|AB|的大小 21 （12 分）已知函数， （1）求 f（x）的极值； （2）若 x（1，+）时，f（x）与 g（x）的单调性相同，求 a 的取值范围； （3）当时，函数 yg（x） ，x（0，e有最小值，记 g（x）的最小值为 h （a） ，证明：
8、22 （12 分）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果 正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点 缺失等，记此类解答为“B 类解答“为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做 了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B 类解答“的题目，扫描后 第 5 页（共 25 页） 由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分 12 分的题，阅卷老师所评分数及各分数所 占比例大约如表： 教师评分（满分 12 分） 11 10 9 各分数所占比例 某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为 一评和
9、二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于 1 分时，取两者平均分为该题得分； 当两者所评分数之差的绝对值大于 1 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁 分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差 值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分 （假设本次 考试阅卷老师对满分为 12 分的题目中的“B 类解答”所评分数及比例均如上表所示，比 例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响） （1）本次数学考试中甲同学某题（满分 12 分）的解答属于“B 类解答” ，求甲同学此题 得分 X 的分布列及数学期望 E（X） ； （2）本次
10、数学考试有 6 个解答题，每题满分均为 12 分，同学乙 6 个题的解答均为“B 类解答” ，记该同学（6 个题中得分为 xi（x1x2x3x4x5）的题目个数为 ai，aiN（i 1，2，3，4，5） ， ，计算事件“a1+a4+a54”的概率 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年山东省九校高三（上）学年山东省九校高三（上）12 月检测数学试卷月检测数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要
11、求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知复数，i 为虚数单位，则（ ） A|z|i B i Cz21 Dz 的虚部为i 【分析】利用复数的运算法则求出复数i，由此能求出结 果 【解答】解：复数i， i 故选：B 【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、模、共轭复数、虚部等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|2x1，Bx|ylg（x1），则 A（RB）（ ） A B （0，1） C （，1 D （，0 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集、补集的运算即可 【解答】解：Ax|x0，Bx|x1， RBx|x1，A（RB）（，0 故选：D 【
12、点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集和补集的运算，指数函数的单调性，对 数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题 3 （5 分）已知点 A 在圆 x2+y24 上，且，则点 A 的横坐标为（ ） A B C D 【分析】画出图象，则可表示出 A 点横坐标表达式 【解答】解：如图， 第 7 页（共 25 页） 则点 A 的横坐标为2cos752cos（30+45）2（） ， 故选：A 【点评】本题考查圆上点的坐标求法，考查特殊角三角函数的运算，运用了数形结合思 想，属于基础题 4 （5 分）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为 A、B、C、 D、E（在正五边形的顶点
13、上） ，紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续 固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ） A20 B15 C10 D5 【分析】根据题目要求，分 3 步分析 5 个螺栓固定的顺序，由分步计数原理计算可得答 案 【解答】解：根据题意，如图：分 3 步分析： 先在 A、B、C、D、E 五个螺栓任选 1 个，有 5 种选法， 假设选中为 A，则再在编号为 C，D 中选 1 个，有 2 种选法， 剩下的 3 个螺栓只有一种顺序； 故有 5210 种不同固定螺栓顺序； 故选：C 【点评】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题 第 8 页（共 25 页） 5 （5 分）若函数 yf（x）
14、的大致图象如图所示，则 f（x）的解析式可以为（ ） A B C D 【分析】根据图象的对称性，单调性，特殊的函数值，等利用排除法可得 【解答】解：对于 A，B，当 x0 时，f（x）0，而根据图象当 x0 时，f（x）， 排除 A，B； 根据图象当 x0 时 f（x）0，选项 D 中 f（x）0，排除 D； 故选：C 【点评】本题考查了函数的单调性、符号，极限等，考查数形结合思想利用特殊点， 特殊的取值是快速解决这类问题的关键本题是一道中档题 6 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的渐近线与（x2）2+y21 相切，则双 曲线的离心率为（ ） A2 B C D 【分析】由于双曲线（ a0，b
15、0）的渐近线与（x2）2+y21 相切，可 得圆心（2，0）到渐近线的距离 dr，利用点到直线的距离公式即可得出 【解答】解：取双曲线的渐近线 y，即 bxay0 双曲线（ a0，b0）的渐近线与（x2）2+y21 相切， 圆心（2，0）到渐近线的距离 dr， ，化为 2bc， 两边平方得 c24b24（c2a2） ，化为 3c24a2 第 9 页（共 25 页） 故选：D 【点评】本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切 的性质扥个基础知识与基本技能方法，属于中档题 7 （5 分）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中 OAOBr，弧长为 l（lr） 为方便投放 饲料，
16、欲在如图位置修建简易廊桥 CD， 其中， 已知时， ，则廊桥 CD 的长度大约为（ ） A B C D 【分析】设AOBx，先求出弦长 AB，再根据比例性质即可求得 CD 【解答】解：连接 AB，设AOBx，则， 由 lr 可知，故， ， 故选：B 第 10 页（共 25 页） 【点评】本题涉及了弦长的求解，弧长公式，以及平行线分线段成比例等基础知识点， 考查运算求解能力及逻辑推理能力，难度中等 8 （5 分）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆 放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖” ，并且和爸爸约定，每次想吸烟 时，从盒子里任取一支，若取到口香
17、糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一 支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还 剩 2 支香烟”的概率为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n，口香糖吃完时还剩 2 支香烟包含的基本事件个数 m ，由此能求出口香糖吃完时还剩 2 支香烟的概率 【解答】解：在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全 一样的“戒烟口香糖” ， 每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟； 若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同， 则“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”的概率为： P
18、故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列结论正确的是（ ） A B若 ab0，则 C若 x（x2）0，则 log2x（0，1） D若 a0，b0，a+b1，则 第 11 页（共 25 页） 【分析】A，当 x0 时，x
19、+2； B，当 ab0 时，根据函数 yx3的单调性即可判定； C，可得 0x2，由 ylog2x 的图象即可判定； D，由 ab，即可判定 【解答】解：对于 A，当 x0 时，x+2，故错； 对于 B，当 ab0 时，则，故正确； 对于 C，若 x（x2）0，则 0x2，则 log2x（，1） ，故错； 对于 D，若 a0，b0，a+b1，则有 ab，即，故正确 故选：BD 【点评】本题考查了基本不等式的性质以及应用，属于中档题 10 （5 分）关于函数的描述正确的是（ ） A其图象可由的图象向左平移个单位得到 Bf（x）在单调递增 Cf（x）在0，有 2 个零点 Df（x）在的最小值为 【
20、分析】利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的性质分别 进行判断即可 【解答】解：cos2x+sin2xsin（2x+） ， A.的图象向左平移个单位得到，ysin2（x+）sin（2x+） ， 故 A 正确， B当 0x，则 02x，2x+，此时函数 f（x）不单调，故 B 错 误， C由 2x+k，得 x， 当 k0 时， x， 当 x1 时， x， 当 x2 时， x， 当 x3 时， x， 第 12 页（共 25 页） 即 f（x）在0，有 2 个零点，故 C 正确， Dx0，则2x0，2x+，则当 2x+时，函数 f（x）取得最小值，最小值为 ysin（），故 D
21、 正确 故选：ACD 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式先进行化简，结合三角 函数的单调性，最值性以及图象变换关系是解决本题的关键，难度不大 11（5 分） 已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， D， E 分别是 AC、 AB 上的两点， 且， ，BD 与 CE 交于点 O，则下列说法正确的是（ ） A B C D在方向上的投影为 【分析】连接 AO，根据 E，O，C 三点共线即可得出，从而得出 ，然后根据 B，O，D 三点共线即可得出，从而得出 O 为 EC 的中点，从而得出选项 B 正确，选项 A 显然错误可取 BC 的中点 O，然后可求出 A，B，C，O，E，D
22、 的坐标，从而可得出的值，并可求出在上的投 影 【解答】解：如图， 连接 AO，E，O，C 三点共线，设， ，且 B，O，D 三点共线， ，解得， ， O 为 EC 的中点， 取 BC 的 中 点 O 为 原 点 ， 直 线 BC 为 x 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则 第 13 页（共 25 页） ， ， ， ， 在上的投影为， ， 故选：BCD 【点评】本题考查了三点 A，B，C 共线，且时，+1，向量垂直的 充要条件，通过建立直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量投影的计算 公式，考查了计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知四棱锥 PABCD，底面 AB
23、CD 为矩形，侧面 PCD平面 ABCD， 若点 M 为 PC 的中点，则下列说法正确的为（ ） ABM平面 PCD BPA面 MBD C四棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36 D四棱锥 MABCD 的体积为 6 【分析】设 ACDBO，取 CD 中点为 E，连接 AE，可得 PE3AE3，PA 6 第 14 页（共 25 页） A，根据，PB6BC，即可判定 BM平面 PCD 不可能； B，由 OMPA，可得 PA面 MBD； C，由 OMODOBOCOA3，即可得四棱锥 MABCD 外接球的表面积 D ， 利 用 体 积 公 式 可 得 四 棱 锥M ABCD的 体 积 为V VPAB
24、CD 【解答】解：如图，设 ACDBO，取 CD 中点为 E，PECD， 侧面 PCD平面 ABCD，侧面 PCD平面 ABCDCD，PE平面 ABCD 连接 AE，可得 PE23AE3 PA6 对于 A，6BC，BM 不可能垂直 PC，BM平面 PCD 不可能，故 A 错； 对于 B，OMPA，OM面 MBD，PA面 MBD，故 B 正确； 对于 C，OM，ODOBOCOA，故 O 为四棱锥 M ABCD 外接球的球心，故四棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36，故正确 对于 D， 四棱锥 MABCD 的体积为 VVPABCD， 故 D 错 故选：BC 【点评】本题主要考查了平面平面垂直的
25、性质，以及直线与平面平行、垂直的判定，考 查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）直线 yx 与圆 x24x+y20 相交于 A、B 两点，则|AB| 2 第 15 页（共 25 页） 【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长 即可 【解答】解：圆方程可化为（x2）2+y24，则圆心为（2，0） ，半径 r2， 所以圆心到直线的距离 d， 则弦长|AB|222， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及弦
26、长问题，属于基础题 14 （5 分）直线 yx 与曲线 y2ln（x+m）相切，则 m 22ln2 【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是 切线斜率得第三个方程 【解答】解：设切点 P（x0，y0） ，则 y0x0，y02ln（x0+m） ， 又1， x0+m2， y02ln2，x02ln2， m22ln2 故答案为：22ln2 【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线，是中档题 15 （5 分）已知数列an中，其前 n 项和 Sn满足，则 a2 ；S2019 【分析】 （1）数列an中，其前 n 项和 Sn满足， a2+a20，解得 a2 （
27、2）n2 时，（SnSn1）Sn+（SnSn1）0，1利用等差数列 的通项公式即可得出 【解答】解： （1）数列an中，其前 n 项和 Sn满足， a2+a20，解得 a2 （2）n2 时，（SnSn1）Sn+（SnSn1）0， 第 16 页（共 25 页） 化为：Sn1Sn+SnSn10， 1 数列是等差数列，公差为 1，首项为 2 2+n1n+1 S2019 故答案为：， 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、方程的解法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 16 （5 分）已知x表示不超过 x 的最大整数，如33，1.51，1.72令 f（x） x2x，g（x）f（xx）
28、 ，则下列说法正确的是 g（x）是偶函数；g（x）是周期函数；方程 g（x）0 有 4 个根；g（x） 的值域为0，2 【分析】通过计算即可判断函数 g（x）不为偶函数；通过化简 g（x+1） ， 即可得到函数 g（x）的周期为 1；根据周期性，作出函数的图象和 g（x）的图象， 可得方程根的个数及函数 g（x）的值域 【解答】解：， ，显然，即函数 g（x）不是偶 函数，故错误； g（x+1）f（x+1x+1）f（xx）g（x） ，则函数 g（x）是以 1 为周期的函数， 故正确； 作出函数的图象和 g（x）的图象， 根据已推导 g（x）是周期为 1 的函数，只需作出 g（x）在0，1）上图
29、象即可， 当 x0，1）时，g（x）f（xx）f（x）x2x，根据周期性即可得到其余区间的 函数图象，如图所示， 第 17 页（共 25 页） 可得 g（x）的值域为0，2） ，函数的图象和 g（x）一共有 4 个交点，即方程方程 g （x）0 有 4 个根，故正确，错误 故答案为： 【点评】本题考查函数基本性质，涉及函数定义域，值域，奇偶性，周期性，对函数知 识考查比较全面，对数形结合思想要求较高，属于较难题目 四、解答题（共四、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在非直角ABC 中，a，b，c 分别是 A
30、，B，C 的对边已知 a4， 求： （1）的值； （2）BC 边上的中线 AD 的长 【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和平面向量的数量积的应用求出结果 （2）利用解三角形知识的应用，进一步利用余弦定理的应用求出结果 【解答】解： （1） （2）由余弦定理得：a2b2+c22bccosA，即 16b2+c210， 所以 b2+c226，设 ADx，由余弦定理得： 在ADC 中，由余弦定理：， 所以 cosADB+cosADC0， 解得：x3，即 AD3 第 18 页（共 25 页） 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角 形面积公式的应用，主
31、要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18 （12 分）已知数列an+1是等比数列，a11 且 a2，a3+2，a4成等差数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】本题第（1）题先设等比数列an+1的公比为 q，根据等比数列的通项公式通过 计算可得到 a2，a3，a4关于 q 的表达式，再根据等差中项的性质有 2（a3+2）a2+a4， 代入之后可解出 q 的值，即可得到数列an的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的 结论求出数列bn的通项公式并根据通项公式的特点进行裂项，在求前 n 项和 Sn时可相 互消去可得到 Sn 【解答】
32、解： （1）由题意，设等比数列an+1的公比为 q， a1，+12， ， 又a2，a3+2，a4成等差数列 2（a3+2）a2+a4，即 2（2q2+1）2q1+2q31， 整理，得 4（q2+1）2q（q2+1） ， 解得 q2 an+122n 12n， an2n1，nN* （2）由（1） ，得 Snb1+b2+bn （）+（）+（） 第 19 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，考查了方程思想的应用和裂项 相消法在求前 n 项和中应用本题属中档题 19 （12 分）已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面为菱形，ABAA12，BAD，AC BDO，AO平
33、面 A1BD，A1BA1D （1）证明：B1C平面 A1BD； （2）求钝二面角 BAA1D 的余弦值 【分析】 （1）连结 AB1，交 A1B 于点 Q，连结 OQ，推导出 OQ，由此能证明 B1C平面 A1BD （2）以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出钝二面角 BAA1D 的余弦值 【解答】解： （1）证明：连结 AB1，交 A1B 于点 Q，由题意得 Q 是 AB1中点， 连结 OQ，O 为 AC 中点，在AB1C 中，OQ， OQ平面 A1BD，B1C平面 A1BD， B1C平面 A1BD （2）解：AO平面 A
34、1BD，AOA1O， A1BA1D，且 O 为 BD 的中点，A1OBD， AO、BD平面 ABCD，且 AOBDO，A1O平面 ABCD， 如图，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OA1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（，0，0） ，B（0，1，0） ，D（0，1，0） ，A1（0，0，1） ， （，0，1） ，（，1，0） ， 设平面 A1AB 的一个法向量 （x，y，z） ， 第 20 页（共 25 页） 则，取 x1，得 （1，） ， 同理得平面 A1AD 的一个法向量 （1，） ， cos， 钝二面角 BAA1D 的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，
35、考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 L：的离心率为，短轴长为 2 （1）求椭圆 L 的标准方程； （2）过点 Q（0，2）的直线 l 与椭圆 L 交于 A、B 两点，若以 AB 为直径的圆恰好过坐标 原点，求直线 l 的方程及|AB|的大小 【分析】 （1）由离心率及短轴长及 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （2）设直线 l 的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，因为以 AB 为直径的圆恰 好过坐标原点，所以，即0，求出斜率，进而求出直线 l 的方程，及弦 长|AB|的值 【解答】解：
36、 （1）由题意知：e，2b2，a2b2+c2，解得：a24，b21， 所以椭圆的标准方程：1； （2）由题意显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为：ykx+2，设 A（x，y） ，B（x， y） 联立与椭圆的方程整理得： （1+4k2）x2+16kx+120， 162k2412 （1+4k2） 0， 得 k2，x+x，xx，yyk2xx+2k 第 21 页（共 25 页） （x+x）+4， 因为以 AB 为直径的圆恰好过坐标原点， 所以，即0， xx+yy0，即+0，解得：k24，所以 k2， |AB|， 所以直线 l 的方程：y2x+2，|AB| 【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中
37、档题 21 （12 分）已知函数， （1）求 f（x）的极值； （2）若 x（1，+）时，f（x）与 g（x）的单调性相同，求 a 的取值范围； （3）当时，函数 yg（x） ，x（0，e有最小值，记 g（x）的最小值为 h （a） ，证明： 【分析】 （1）求导得到函数的单调性情况，利用极值定义直接计算得答案； （2）依题意，函数 g（x） （1，+）上单调递增，进一步得到在（1，+）上 恒成立，构造函数，求其最小值即可； （3）先表示出函数g（x）的最小值，得到 ，再构造函数，利用导数求其 在闭区间上的最值，即可得证 【解答】解： （1）函数 f（x）的定义域为 R， 当 x1 时，f（x
38、）0；当 x1 时，f（x）0， 函数 f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 函数 f（x）在 x1 处取得极小值，且极小值为，无极大值； （2）由（1）知，函数 f（x）在（1，+）上单调递增， 第 22 页（共 25 页） 则函数 g（x） （1，+）上单调递增， 即 g（x）lnxax0 在（1，+）上恒成立， 即在（1，+）上恒成立， 令，x1，则， 当 x（1，e）时，p（x）0，函数 p（x）单调递增； 当 x（e，+）时，p（x）0，函数 p（x）单调递减； 又 x（1，+）时，p（x）0， ； 实数 a 的取值范围为（，0 （3）证明：g（x）lnxax，x（
39、0，e， 0xe， ， g（x）在（0，e上单调递增， 又 g（1）a0，g（e）1ae0， 存在唯一的 x0（1，e） ，使得 g（x0）0，即 lnx0ax00， 当 x（0，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减， 当 x（x0，e）时，g（x）0，g（x）单调递增， ， 令，1xe，则恒成立， 函数 q（x）在1，e）上单调递减， q（e）q（x）q（1） ，即，即， 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查构造函数思想及转化 思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题 第 23 页（共 25 页） 22 （12 分）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规
40、范，具体表现为：解题结果 正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点 缺失等，记此类解答为“B 类解答“为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做 了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B 类解答“的题目，扫描后 由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分 12 分的题，阅卷老师所评分数及各分数所 占比例大约如表： 教师评分（满分 12 分） 11 10 9 各分数所占比例 某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为 一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于 1 分时，取两者平均分为该题得分； 当两者所评分
41、数之差的绝对值大于 1 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁 分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差 值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分 （假设本次 考试阅卷老师对满分为 12 分的题目中的“B 类解答”所评分数及比例均如上表所示，比 例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响） （1）本次数学考试中甲同学某题（满分 12 分）的解答属于“B 类解答” ，求甲同学此题 得分 X 的分布列及数学期望 E（X） ； （2）本次数学考试有 6 个解答题，每题满分均为 12 分，同学乙 6 个题的解答均为“B 类解答”
42、 ，记该同学（6 个题中得分为 xi（x1x2x3x4x5）的题目个数为 ai，aiN（i 1，2，3，4，5） ， ，计算事件“a1+a4+a54”的概率 【分析】 （1）随机变量 X 的可能取值为 9，9.5，10，10.5，11，设一评、二评、仲裁所 打分数分别为 x，y，z，求出 P（X9）P（x9，y9）+P（x9，y11，z9）+P （x11，y9，z9）P（X9.5）P（x9，y10）+P（x10，y9）， P（X10）P（x10，y10），P（X10.5）P（x10，y11）+P（x11， y10）+P（x9，y11，z10）+P（x11，y9，z10），P（X11）P （x1
43、1，y11）+P（x11，y9，z11）+P（x9，y11，z11），由此能 求出 X 的分布列和 E（X） 第 24 页（共 25 页） （2）由，得 P（ “a1+a4+a54“）P（ “a2+a32“） ，再求出 P（ “a2+a32 “）P（ “a20，a32“）+P（ “a22，a30“）+P（ “a21，a31“），由 此能求出“a1+a4+a54”的概率 【解答】解： （1）随机变量 X 的可能取值为 9，9.5，10，10.5，11， 设一评、二评、仲裁所打分数分别为 x，y，z， P（X9）P（x9，y9）+P（x9，y11，z9）+P（x11，y9，z9） P（X9.5）P
44、（x9，y10）+P（x10，y9）， P（X10）P（x10，y10）， P（X10.5）P（x10，y11）+P（x11，y10）+P（x9，y11，z10）+P（x 11，y9，z10）， P（X11）P（x11，y11）+P（x11，y9，z11）+P（x9，y11，z11） ， X 的分布列为： X 9 9.5 10 10.5 11 P E（X）（分） （2），P（ “a1+a4+a54“）P（ “a2+a32“） ， P（ “a2+a32“）P（ “a20，a32“）+P（ “a22，a30“）+P（ “a21，a31 “） +， “a1+a4+a54”的概率 P（ “a1+a4+a54” ） 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查 相互独立事件概率乘法公式、n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式 第 25 页（共 25 页） 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题
