1、总体由编号为 01，02，49，50 的 50 个个体组成，利用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始从左到右依次选取 两个数字，则选出的第 4 个个体的编号为（ ） 附：第 6 行至第 9 行的随机数表 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A3 B19 C
2、38 D20 4 （5 分）下列函数中是偶函数，且在区间（0，+）上是减函数的是（ ） Ay|x|+1 By Cyx+ Dy3 |x| 5（5 分） 在 2019 年高中学生信息技术测试中， 经统计， 某校高二学生的测试成绩 XN （86， 2） ，若已知 P（80X86）0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩 大于 92 分的概率为（ ） A0.86 B0.64 C0.36 D0.14 6 （5 分）已知 是第一象限的角，且，求的值为（ ） A B C D 第 2 页（共 22 页） 7 （5 分）设函数 f（x）x3+ax2+（a1）x（aR）为奇函数，则曲线在点（1， 0）
3、处的切线方程为（ ） Ay2x+2 Byx+1 Cy2x2 Dyx1 8 （5 分）在空间中，已知 l，m，n 为不同的直线， 为不同的平面，则下列判断正 确的是（ ） A若 l，m，m，则 B若 m，n，则 mn C若 m，n，则 mn D若 m，m，nm，则 n 9 （5 分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造根据史书的记载 和考古材料的发现， 古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子， 一般长为 13； 14cm，径粗 0.20.3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的， 大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带需要记数和计
4、算的时 候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄在算筹计数法中，以纵横两种 排列方式来表示数字 如图， 是利用算筹表示数 19 的一种方法 例如： 3 可表示为 “” ， 26 可表示为“” ，现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这 6 根算筹 能表示的两位数的个数为（ ） A13 B14 C15 D16 10 （5 分）函数图象的大致形状是（ ） A B 第 3 页（共 22 页） C D 11 （5 分）在正方形 ABCD 中，AB2，E 是 AB 中点，将ADE 和BCE 分别沿着 DE、 EC 翻折，使得 A、B 两点重合，则所形成的立体图形的外接球的表面积是（
5、 ） A B C9 D4 12 （5 分）函数，则方程 ff（x）1 的根的个数是（ ） A7 B5 C3 D1 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知函数 f（x）ax2（a0 且 a1） ，则 yf（x）的图象恒过的定点的坐标 为 14 （5 分）若 x2，则函数 y4x+的最小值为 15 （5 分）如图，在圆柱的轴截面 ABCD 中，AB4，BC2，O1，O2分别为圆柱上下底 面的中心，M 为 O1O2的中点，动点 P 在圆柱下底面内（包括圆周） 若 AMMP，则点 P 形成的轨迹的长度为 16 （5 分）
6、关于二项式及其展开式，有下列命题： 该二项展开式中非常数项的系数和是1； 该二项展开式中第六项为； 该二项展开式中不含有理项； 当 x100 时，除以 100 的余数是 1 其中，正确命题的序号为 第 4 页（共 22 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知关于 x 的不等式 ax24x+30 的解集为x|1xb （1）求实数 a，b 的值； （2）求关于 x 的不等式（c 为实数）的解集 18 （12 分）已知函数 f（x）2sin2x4cos2x+1 （1）求 f（x）的最小正周
7、期； （2）求 f（x）在区间上的最大值与最小值 19 （12 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时， （1）求 f（x）的解析式； （2）若对任意的 tR，不等式 f（t22t）+f（2t2k）0 恒成立，求实数 k 的取值范围 20（12 分） 甲、 乙两位同学参加诗词大会， 设甲、 乙两人每道题答对的概率分别为和 假 定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立 （1）用 X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （2）设 M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的 次数恰好多 2” ，求
8、事件 M 发生的概率 21 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，SAD 是等边三角形， 平面 SAD平面 ABCD，AB1，E 为棱 SA 上一点，P 为 AD 的中点，四棱锥 SABCD 的体积为 （1）若 E 为棱 SA 的中点，F 是 SB 的中点，求证：平面 PEF平面 SCD； （2）是否存在点 E，使得平面 PEB 与平面 SAD 所成的锐二面角的余弦值为？若存 在，确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由 22 （12 分）根据山东省全民健身实施计划（20162020 年） ，到 2020 年乡镇（街道） 第 5 页（共 22 页） 普遍建有 “
9、两个一” 工程， 即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、 一个多功能运动场 某 市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放 （1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从 甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取 a，b，c，d 共 25 场，在 a，b，c，d 中随 机取两数，求这两数和 的分布列和数学期望； （2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为 x，其相应维修费用为元，根据 统计，得到如下表的 y 与 x 数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y 2302 2708 2996 3219 3401 3555 3689 2.
10、49 2.99 3.55 4.00 4.49 4.99 5.49 （i）用最小二乘法求与 x 之间的回归直线方程； （ii）叫做运动场月惠值，根据（i）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时 x 的值 参考数据和公式： 4，（xi ）2700，（xi ） （zi ）70，e320， ， 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年山东省新高考质量测评联盟高三（上）学年山东省新高考质量测评联盟高三（上）10 月联考月联考 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小
11、题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 A1，0，1，2，Bx|log2x2，则 AB 等于（ ） A1，0，1 B0，1，2 C1，2 D0，1 【分析】求出集合 B 的等价条件，结合交集的定义进行求解即可 【解答】解：Bx|log2x2x|0x4， 则 AB1，2， 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合集合交集的定义是解决本题的关键 2 （5 分）命题“x1，x+ex2”的否定形式是（ ） Ax1，x+ex2 Bx1，x+ex2 Cx1，x+ex2 Dx1，x+ex2 【分析】直接利用特称命题
12、的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以： “x1，x+ex2”的否定是：x 1，x+ex2 故选：B 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查，属 于基础题 3 （5 分）总体由编号为 01，02，49，50 的 50 个个体组成，利用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始从左到右依次选取 两个数字，则选出的第 4 个个体的编号为（ ） 附：第 6 行至第 9 行的随机数表 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 011
13、1 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 第 7 页（共 22 页） 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A3 B19 C38 D20 【分析】根据用用随机数表法进行简单随机抽样的方法，得出结论 【解答】 解： 从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始从左到右依次选取两个数字， 位于 01 至 50 中间，含端点， 则这四个数为：41、48、28，19， 故选：B 【点评】本题主要考查用随机数表法进行简单随机抽样，属于基础题 4 （5
14、分）下列函数中是偶函数，且在区间（0，+）上是减函数的是（ ） Ay|x|+1 By Cyx+ Dy3 |x| 【分析】结合偶函数的定义，只要先检验选项中的函数的奇偶性，然后再检验单调性即 可判断 【解答】 解： 由偶函数的定义可知， y为非奇非偶函数， yx+为奇函数， 且 y 在区间（0，+）上单调递增，故 B，C 错误； 由一次函数的性质可知，当 x0 时，y|x|+1x+1 在区间（0，+）上单调递增，故 A 错误； 故选：D 【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题 5（5 分） 在 2019 年高中学生信息技术测试中， 经统计， 某校高二学生的测试成绩 XN
15、（86， 2） ，若已知 P（80X86）0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩 大于 92 分的概率为（ ） A0.86 B0.64 C0.36 D0.14 【分析】已知 P（80X86）0.36，根据正态曲线的对称性，P（X92） ，计算即可 【解答】解：依题意，P（80X86）0.36， 根据正态曲线的对称性知 P （X92） （120.36） 0.14 第 8 页（共 22 页） 故选：D 【点评】本题考查了正态分布的性质，主要考查了正态分布的对称性，属于基础题 6 （5 分）已知 是第一象限的角，且，求的值为（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数的定义和倍角公
16、式的应用及三角函数关系式的恒等变换求出 结果 【解答】解：已知 是第一象限的角，且， 所以 则 cos2， 所以 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数关系式的恒等变换， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 7 （5 分）设函数 f（x）x3+ax2+（a1）x（aR）为奇函数，则曲线在点（1， 0）处的切线方程为（ ） Ay2x+2 Byx+1 Cy2x2 Dyx1 【分析】由奇函数的定义可得 f（x）+f（x）0，求得 a0，求出 f（x）的导数，可 得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程 【解答】解：函数 f（x）x3+ax2+（a
17、1）x（aR）为奇函数， 可得 f（x）+f（x）0， 即x3+ax2（a1）x+x3+ax2+（a1）x0， 可得 a0， 则 f（x）x3x， 曲线x， 第 9 页（共 22 页） y1+， 可得曲线在点（1，0）处的切线斜率为：2， 则曲线在点（1，0）处的切线方程为 y2x2， 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力， 属于基础题 8 （5 分）在空间中，已知 l，m，n 为不同的直线， 为不同的平面，则下列判断正 确的是（ ） A若 l，m，m，则 B若 m，n，则 mn C若 m，n，则 mn D若 m，m，nm，则 n 【分析】对于
18、 A，若 l，m，m，则 ，关系是唯一确定的； 对于 B，若 m，n，则 m 与 n 的关系是平行或者异面； 对于 C，若 m，n，则 mn；m 与 n 的关系是平行，相交，异面都有可能； 对于 D，若 m，m，nm，则 n；n 与 关系是平行或者 n 在 平面内 【解答】解：在空间中，已知 l，m，n 为不同的直线， 为不同的平面， 若 l，m，m，则 ，关系是唯一确定的；故 A 正确； 若 m，n，则 m 与 n 的关系是平行或者异面，故 B 错误； 若 m，n，则 mn；m 与 n 的关系是平行，相交，异面都有可能；故 C 错 误； 若 m，m，nm，则 n；n 与 关系是平行或者 n
19、在 平面内；故 D 错误 故选：A 【点评】本题考查了空间线面、面面位置关系的判定，属于中档题 9 （5 分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造根据史书的记载 和考古材料的发现， 古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子， 一般长为 13； 14cm，径粗 0.20.3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的， 大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带需要记数和计算的时 候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄在算筹计数法中，以纵横两种 第 10 页（共 22 页） 排列方式来表示数字 如图， 是利用算筹表示数 19 的一种
20、方法 例如： 3 可表示为 “” ， 26 可表示为“” ，现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这 6 根算筹 能表示的两位数的个数为（ ） A13 B14 C15 D16 【分析】根据题意，分析可得 6 根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的 两位数个数，由加法原理分析可得答案 【解答】解：根据题意，现有 6 根算筹，可以表示的数字组合为 1、5，1、9，2、4，2、 8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7； 数字组合 1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7 中，每组可以表示 2 个两位数， 则可以表示 2714 个两位数； 数字组合 3、3，7
21、、7，每组可以表示 1 个两位数，则可以表示 212 个两位数； 则一共可以表示 14+216 个两位数； 故选：D 【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是理解算筹的定义 10 （5 分）函数图象的大致形状是（ ） A B C D 【分析】由 f（x）f（x） ，故 BD 错，f（1）0，进而求解 【解答】解：f（x）x（1）x（1）x（）f（x） ， 第 11 页（共 22 页） 故 BD 错； 又 f（1）0，故 A 错； 故选：C 【点评】考查复合函数图象的理解，奇函数的应用，特殊值法，排除法 11 （5 分）在正方形 ABCD 中，AB2，E 是 AB 中点，将ADE 和BCE 分别
22、沿着 DE、 EC 翻折，使得 A、B 两点重合，则所形成的立体图形的外接球的表面积是（ ） A B C9 D4 【分析】首先把平面图形折叠成三棱锥体，进一步求出三棱锥体的外接球的半径，进一 步求出表面积 【解答】解：正方形 ABCD 中，AB2，E 是 AB 中点，将ADE 和BCE 分别沿着 DE、 EC 翻折，使得 A、B 两点重合， 则所形成的立体图形如图所示： 根据折叠关系，AE平面 ADC， 得到：ADCDAC2，即ADC 为等边三角形 所以， 所以，解得：，即外接球的半径， 所以 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：平面图形和折叠图形之间的转换，三棱锥体的外接球的 表面积公式的
23、应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 12 （5 分）函数，则方程 ff（x）1 的根的个数是（ ） A7 B5 C3 D1 第 12 页（共 22 页） 【分析】本题利用 ff（x）1 结合分段函数解析式求出 f（x）的值，再结合分段函数求 出 x 的值，从而判断根的个数 【解答】解：ff（x）1， （1）若 f（x）0，则（f（x） ）2+2f（x）+11 得 f（x）0 或 2（舍） f（x）0 时x0 时，则x2+2x+10 解得 x1或 1+（舍） ； x0 时，|0 解得 x1； （2）若 f（x）0，则|1 解得 f（x）3 或 f（x）3 时x0 时则
24、x2+2x+13 解得 x 无解； x0 时，|3 解得 x27 或； f（x）时x0 时则x2+2x+1解得 x1或 1+（舍） ； x0 时，|时解得 x或 综上：x1或 x1 或 x27 或或 x1或 x或 故选：A 【点评】本题考查了函数思想和方程思想，需要学生有较强的计算能力 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知函数 f（x）ax2（a0 且 a1） ，则 yf（x）的图象恒过的定点的坐标 为 （0，1） 【分析】根据指数函数恒过定点（0，1） ，求得函数 f（x）的图象恒过定点 【解答】解：函数 f
25、（x）ax2（a0 且 a1） ， 令 x0，得 f（0）a02121； 所以函数 yf（x）的图象恒过定点（0，1） 故答案为： （0，1） 【点评】本题考查了指数函数图象恒过定点的问题，是基础题 14 （5 分）若 x2，则函数 y4x+的最小值为 8+4 【分析】由，利用基本不等式即可解出答案 第 13 页（共 22 页） 【解答】解：由题意， x2， x20， y8+ 当且仅当即时取等号， 故答案为：8+ 【点评】本题主要考查基本不等式，但需注意使用条件“一正二定三相等” 15 （5 分）如图，在圆柱的轴截面 ABCD 中，AB4，BC2，O1，O2分别为圆柱上下底 面的中心，M 为
26、O1O2的中点，动点 P 在圆柱下底面内（包括圆周） 若 AMMP，则点 P 形成的轨迹的长度为 【分析】本题先根据题意在立体图形中找到点 P 形成的轨迹，然后根据解直角三角形知 识进行计算 【解答】解：由题意，在平面 ABCD 上，作 AMMN，其中 MN 交直线 AB 于点 N， 很明显，点 N 是点 P 形成的轨迹中的一点 在O2上，作 EFO2N，直线 EF 分别与O2交于点 E、F 则 ANEF， AM 在O2上的投影即为 AO2， AMEF， EF面 AMN EFMN 又 AMMN， AM面 MEF 动点 P 在圆柱下底面内（包括圆周） ， 点 P 形成的轨迹即为线段 EF 第 1
27、4 页（共 22 页） 局部图如下： 由图可知，在 RtAMO2中，AM 同理，MEAM 根据射影定理，有，即，MN 在 RtMNE 中，EN EF2EN 故答案为： 【点评】本题主要考查空间想象能力，解直角三角形的知识，立体几何计算能力本题 属中档题 16 （5 分）关于二项式及其展开式，有下列命题： 该二项展开式中非常数项的系数和是1； 该二项展开式中第六项为； 该二项展开式中不含有理项； 当 x100 时，除以 100 的余数是 1 其中，正确命题的序号为 【分析】直接利用二项关系式的展开式的应用和整除问题的应用求出结果 【解答】解：当 x1 时，所有项的系数和为 0，故非常数项的系数和
28、为1，由于最 后一项的系数为 1故正确 由于故错误 最后一项为有理项故错误 第 15 页（共 22 页） 根据二项展开式的应用 ，故 除了最后一项，前面的所有项都能被 100 整除故正确 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：二项展开式的应用，整除问题的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知关于 x 的不等式 ax24x+30 的解集为x|1xb （1）求实数 a，b 的值； （2）求关于 x 的不等式（c 为实数）的解集
29、 【分析】 （1）由已知可得，1 和 b 是方程 ax24x+30 的两个实数根，且 a0，结合方 程的根与系数关系可求 a，b； （2）原不等式等价于（axb） （x+c）0，然后对 c 进行分类讨论，结合二次不等式的 解法即可求解 【解答】解： （1）因为不等式 ax24x+30 的解集为x|1xb 所以 1 和 b 是方程 ax24x+30 的两个实数根，且 a0， 由韦达定理可得，且， 且1612a0，a0， 解得 a1，b3 （2）关于 x 的不等式等价于（axb） （x+c）0， 即（x3） （x+c）0， 当c3，即 c3 时，x3； 当c3，即 c3 时，xc 或 x3； 当c
30、3，即 c3 时，x3 或 xc， 综上：当c3，即 c3 时，xx3； 当c3，即 c3 时，x|xc 或 x3； 当c3，即 c3 时，x|x3 或 xc 【点评】本题主要考查了二次方程与二次不等式的相互转化及含参不等式的求解，体现 第 16 页（共 22 页） 了分类讨论思想的应用 18 （12 分）已知函数 f（x）2sin2x4cos2x+1 （1）求 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在区间上的最大值与最小值 【分析】 （1）利用三角函数恒等变换的应用可求 f（x）3cos2x，利用周期公式即可求 解函数 f（x）的最小正周期 （2）由已知可求 2x0，利用余弦函数的图象和
31、性质即可求解 【解答】解： （1）f（x）2sin2x4cos2x+1 1cos2x2（1+cos2x）+1 3cos2x， 所以函数 f（x）的最小正周期为 T （2）因为 x， 所以 2x0， 于是 cos2x，1， 所以 f（x）3， 所以 f（x）在区间上的最小值是3，最大值是 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦函数的图象和性质， 考查了转化思想，属于基础题 19 （12 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时， （1）求 f（x）的解析式； （2）若对任意的 tR，不等式 f（t22t）+f（2t2k）0 恒成立，求实数 k 的取值范围 【
32、分析】 （1）根据奇偶性求出解析式； （2）利用函数的单调性和奇偶性，得到 t22tk 2t2在 tR 上恒成立的问题，利用恒成立问题方法求解即可 【解答】解： （1）当 x0 时，x0， 则 f（x）， 又因为 f（x）为奇函数，由 f（x）f（x）， 第 17 页（共 22 页） 所以 f（x）， （2）易知 f（x）在0，+）上单调递减且 f（x）为奇函数， 所以 f（x）在（，0上单调递减， 所以 f（x）在 R 上单调递减， 因为不等式 f（t22t）+f（2t2k）0 在 tR 上恒成立， 所以 f（t22t）f（2t2k） ，又因为 f（x0 奇函数， 所以 f（t22t）f（2
33、t2+k） ， 即 t22tk2t2在 tR 上恒成立， 由 k（3t22t）min， 所以 k 【点评】考查了函数的奇偶性，单调性及其应用，还考查了恒成立问题，中档题 20（12 分） 甲、 乙两位同学参加诗词大会， 设甲、 乙两人每道题答对的概率分别为和 假 定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立 （1）用 X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （2）设 M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的 次数恰好多 2” ，求事件 M 发生的概率 【分析】 （1）利用分类讨论思想的应用求出分布列和数学期望
34、（2）利用分类讨论思想的应用求出概率的值 【解答】解： （1）由题意知 X：B（3，） ， X 的所有可能的取值为 0，1，2，3， ； ； ； ， 所以 X 的分布列为 第 18 页（共 22 页） X 0 1 2 3 P 数学期望 E（X）3 （或） （2）设 Y 为乙连续 3 次答题中答对的次数， 由题意知 Y：B（3，） ， ， ， 所以 P（M）P（X3 且 Y1）+P（X2 且 Y0） 【点评】本题考查的知识要点：分布列和数学期望的应用，主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力，属于中档题 21 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，SAD 是等
35、边三角形， 平面 SAD平面 ABCD，AB1，E 为棱 SA 上一点，P 为 AD 的中点，四棱锥 SABCD 的体积为 （1）若 E 为棱 SA 的中点，F 是 SB 的中点，求证：平面 PEF平面 SCD； （2）是否存在点 E，使得平面 PEB 与平面 SAD 所成的锐二面角的余弦值为？若存 在，确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用中位线的性质，矩形的性质以及平行线的传递性，结合面面平行的判 定条件容易得证； （2）先假设存在，根据椎体的体积公式可求得 AD2，再建立空间直角坐标系，结合已 第 19 页（共 22 页） 知条件利用空间向量即可判断 【解答】解：
36、 （1）证明：因为 E、F 分别是 SA、SB 的中点， 所以 EFAB， 在矩形 ABCD 中，ABCD， 所以 EFCD， 又因为 E、P 分别是 SA、AD 的中点， 所以 EPSD， 又因为 EFCD，EFEPE，EF，EP平面 PEF，SD，CD平面 SCD， 所以平面 PEF平面 SCD （2）解：假设棱 SA 上存在点 E 满足题意 在等边三角形 SAD 中，P 为 AD 的中点， 于是 SPAD， 又平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCDAD，SP平面 SAD， 所以 SP平面 ABCD， 所以 SP 是四棱锥 SABCD 的高， 设 ADm，则， 所以， 所以
37、 m2， 以 P 为坐标原点，PA 所在直线为 x 轴，过点 P 与 AB 平行的直线为 y 轴，PS 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则 P（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（1，1，0） ， 设， ， 第 20 页（共 22 页） 设平面 PEB 的一个法向量为，有， 令，则， 易知平面 SAD 的一个法向量， 所以， 因为 01，所以， 所以存在点 E，位于 AS 的靠近 A 点的三等分点 【点评】本题主要考查面面平行的判定及利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推 理能力及运算求解能力，属于中档题 22 （12 分）根据山东省全民健身实施计划（20162020
38、年） ，到 2020 年乡镇（街道） 普遍建有 “两个一” 工程， 即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、 一个多功能运动场 某 市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放 （1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从 甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取 a，b，c，d 共 25 场，在 a，b，c，d 中随 机取两数，求这两数和 的分布列和数学期望； （2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为 x，其相应维修费用为元，根据 统计，得到如下表的 y 与 x 数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y 2302 2708 29
39、96 3219 3401 3555 3689 2.49 2.99 3.55 4.00 4.49 4.99 5.49 第 21 页（共 22 页） （i）用最小二乘法求与 x 之间的回归直线方程； （ii）叫做运动场月惠值，根据（i）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时 x 的值 参考数据和公式： 4，（xi ）2700，（xi ） （zi ）70，e320， ， 【分析】 （1）利用已知条件建立等量关系，求出分布列和数学期望的值 （2） （i）利用已知条件求出直线的回归方程 （ii）利用导数的应用和函数的单调区间的应用求出函数的最值 【解答】解： （1）根据题中所给的条形图，易知总场数
40、为 100，所以抽样比例为， 所以 a，b，c，d 的值分别为 5，6，9，5 所以这两数和 的所有可能的取值为 10，11，14，15 于是 P（10），P（11） P（14），P（15）， 所以随机变量 的分布列为： 10 11 14 15 P 所以 E（）10+11+14+15 第 22 页（共 22 页） （2） （i）因为， 所以， 即， 所以 z 与 x 之间的回归直线方程为 z （ii）因为， 所以 y100lnx 设 g（x）， 则， 令，在（0，+）上恒成立， 则 yh（x）在（0，+）为减函数，又 h（20）0， 所以当 x（0，20）时，h（x）0，g（x）0，所以 g（x）在（0，20）上单调递增， 当 x（20，+）时，h（x）0，g（x）0，所以 g（x）在（20，+）上单调递减， 所以估计这四个多功能运动场月惠值最大时 x 的值为 20 【点评】本题考查的知识要点：分布列和数学期望的应用，直线的回归方程的应用，导 数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型
