1、已知集合 AxN|x3，Bx|x2x0，则 AB（ ） A0，1 B1 C0，1 D （0，1 2 （5 分）已知命题 p：xR，ex1+sinx则命题p 为（ ） AxR，ex1+sinx BxR，ex1+sinx Cx0R， Dx0R， 3 （5 分）设 a，bR，则“a|b|”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知 ab，则下列成立的是（ ） A Ba2b2 C Dac2bc2 5 （5 分）已知 a0，b0，a+b2，则 y+的最小值是（ ） A B C5 D4 6 （5 分）已知 a0，b0，a，b 的等比中项为
2、 2，则的最小值为（ ） A3 B4 C5 D4 7 （5 分）已知等差数列an中，a111，前 7 项的和 S735，则前 n 项和 Sn中（ ） A前 6 项和最小 B前 7 项和最小 C前 6 项和最大 D前 7 项和最大 8 （5 分） 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两 份之和，则最小一份的量为（ ） A B C D 9 （5 分）若双曲线的一条渐近线与直线 y2x 垂直，则该双曲线的离心率为 第 2 页（共 22 页） （ ） A B C D2 10 （5 分）点 F
3、 为椭圆+1（ab0）的一个焦点，若椭圆上存在点 A 使AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ） A B C D1 11 （5 分）已知 m0，xy0，当 x+y2 时，不等式4 恒成立，则 m 的取值范围 是（ ） A，+） B2，+） C （0， D （，2 12 （5 分） 已知 F1， F2是椭圆与双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点， 且|PF1|PF2|， 线段 PF1的垂直平分线过 F2， 若椭圆的离心率为 e1， 双曲线的离心率为 e2， 则的 最小值为（ ） A B3 C6 D 二、填空题： （请把答案填在题中横线上每小题二、填空题： （请把答案填在题中横线上每小题
4、 5 分，共分，共 20 分） 分） 13 （5 分）在的展开式中，x2的系数为 （用数字作答） 14 （5 分）现有 3 位男学生 3 位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3 位女学生中有且 只有两位相邻，则不同的排法种数是 （用数字作答） 15 （5 分） 设 （1ax） 2018a0+a1x+a2x2+a2018x2018， 若 a1+2a2+3a3+2018a20182018a （a0） ，则实数 a 16 （5 分）已知函数 yf（x）在 R 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称， 其导函数 f（x）为，当 x0 时，有不等式 x2f（x）2xf（x）成立，若对xR，不等
5、 式 e2xf（ex）a2x2f（ax）0 恒成立，则正整数 a 的最大值为 三解答题： （本大题共三解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）等差数列an中，公差 d0，a514，a32a1a11 （1）求an的通项公式； （2）若 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，APB 是以P 为直角的等腰 第 3 页（共 22 页） 直角三角形，平面 PAB平面 ABCD （1）证明：平面 PAD平面 PBC； （2）
6、M 为直线 PC 的中点，且 APAD2，求二面角 AMDB 的余弦值 19 （12 分）已知椭圆的离心率为，椭圆 C 的四个顶点围成 的四边形的面积为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）设 M 为椭圆 C 的右顶点，过点 N（6，0）且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，记直线 PM，QM 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值 20 （12 分）2020 年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科某省采用 3+3 模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还要依据 想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在
7、思想政治、历史、地理、 物理、化学、生物 6 门科目中自选 3 门参加考试（6 选 3） ，每科目满分 100 分为了应 对新高考，某学校从高一年级 1000 名学生（其中男生 550 人，女生 450 人）中，根据性 别分层，采用分层抽样的方法从中抽取 100 名学生进行调查 （1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生 对这两个科目的选课情况，对抽取到的 100 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两 个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） ，如下表是根据调查结果得到的 22 列联表请求出 a 和 b，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关
8、？说明你的 理由； 选择“物理” 选择“历史” 总计 男生 a 10 女生 25 b 第 4 页（共 22 页） 总计 （2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出 9 名女生，再从 这 9 名女生中随机抽取 4 人，设这 4 人中选择“历史”的人数为 X，求 X 的分布列及数 学期望 参考公式： P（K2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （12 分）已知函数 f（x）alnx+1（aR） （）若函数 f（x）在1，2上是单调递增函数，求实数 a 的取
9、值范围； （）若2a0，对任意 x1，x21，2，不等式|恒 成立，求实数 m 的取值范围 22 （12 分）随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展 战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF 快递收取快递费的标准是： 重量不超过 1kg 的包裹收费 10 元；重量超过 1kg 的包裹，在收费 10 元的基础上，每超 过 1kg（不足 1kg，按 1kg 计算）需再收 5 元某县 SF 分代办点将最近承揽的 100 件包 裹的重量统计如下： 重量（单位：kg） （0，1 （1，2 （2，3 （3，4 （4，5 件数 43 30 15 8 4 对近 60
10、 天，每天揽件数量统计如表： 件数范围 0100 101200 201300 301400 401500 件数 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 以上数据已做近似处理，将频率视为概率 （1）计算该代办点未来 5 天内不少于 2 天揽件数在 101300 之间的概率； （2）估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值； 根据以往的经验， 该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润， 其余的用作其他费用目前该代办点前台有工作人员 3 人，每人每天揽件不超过 150 件， 第 5 页（共 22 页） 日工资 110 元代办点正在考虑是否将前台工作人员
11、裁减 1 人，试计算裁员前后代办点 每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员 1 人？ 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年山东省淄博实验中学高三（上）第一次学习检测学年山东省淄博实验中学高三（上）第一次学习检测 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 AxN|x3，Bx|x2x0，则 AB（ ） A0，1 B1 C0，1
12、 D （0，1 【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 AxN|x30，1，2， Bx|x2x0x|0x1， AB0，1 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）已知命题 p：xR，ex1+sinx则命题p 为（ ） AxR，ex1+sinx BxR，ex1+sinx Cx0R， Dx0R， 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以：命题 p：xR，ex1+sinx 的否定是：x0R， 故选：D 【点评】本题考查命题的否定特称命题与
13、全称命题的否定关系，基本知识的考查 3 （5 分）设 a，bR，则“a|b|”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】举例说明不充分，再由 ab 不能得到 a|b|说明不必要 【解答】解：当 ab0 时，a|b|成立，不能得到 ab； 第 7 页（共 22 页） 反之由 ab，也不能得到 a|b|， 故“a|b|”是“ab”的既不充分也不必要条件 故选：D 【点评】本题考查充分必要条件的判定方法，是基础题 4 （5 分）已知 ab，则下列成立的是（ ） A Ba2b2 C Dac2bc2 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可 【解
14、答】解：Aab，不能保证 a，b 都大于 0，故不成立； Bba0 时，不成立； C，故 C 成立； D当 c0 时，不成立 故选：C 【点评】本题考查了不等式的基本性质属基础题 5 （5 分）已知 a0，b0，a+b2，则 y+的最小值是（ ） A B C5 D4 【分析】利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出 【解答】解：a0，b0，a+b2， y+（+） （a+b）（1+4+）（5+2）， 当且仅当 b2a 时等号成立， 故选：A 【点评】本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质，属于基础题 6 （5 分）已知 a0，b0，a，b 的等比中项为 2，则的最小值为（ ） A3 B4 C5
15、 D4 【分析】利用等比数列中项、不等式基本性质直接求解 【解答】解：a0，b0，a，b 的等比中项为 2， ab4， 2+24+15 第 8 页（共 22 页） 当且仅当 ab 时，取等号， 的最小值为 5 故选：C 【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查等比数列中项、不等式基本性质等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 7 （5 分）已知等差数列an中，a111，前 7 项的和 S735，则前 n 项和 Sn中（ ） A前 6 项和最小 B前 7 项和最小 C前 6 项和最大 D前 7 项和最大 【分析】先根据等差数列的求和公式和 S7的值，求得公差 d，进而求得数列的通项公式， 要
16、使前 n 项和最大，只需 an0，进而求得 n 的范围 【解答】解：由等差数列求和公式 S7711+，d35 可得 d2， 则 an11+（n1）（2）132n， 要使前 n 项和最大，只需 an0 即可， 故 132n0，解之得 n6.5， 故前 6 项的和最大 故选：C 【点评】本题主要考查了等差数列的性质和数列与不等式的综合运用考查了学生对等 差数列基础知识如通项公式，求和公式等的理解和运用 8 （5 分） 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两 份之和，则最小一份的量为（ ）
17、 A B C D 【分析】易得中间的那份为 20 个面包，设最小的一份为 a1，公差为 d，由题意可得 a1 和 d 的方程，解方程可得 【解答】解：由题意可得中间的那份为 20 个面包， 设最小的一份为 a1，公差为 d， 由题意可得20+（a1+3d）+（a1+4d）a1+（a1+d） ， 第 9 页（共 22 页） 解得 a1， 故选：C 【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题 9 （5 分）若双曲线的一条渐近线与直线 y2x 垂直，则该双曲线的离心率为 （ ） A B C D2 【分析】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，再利用 c2a2+b2，e即 可得双曲线的离心率
18、 【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为 yx， 渐近线与直线 y2x 垂直，故渐近线的斜率为， （）1，即 a2b 即 a24b24（c2a2） ，即 5a24c2，e2 双曲线的离心率 e 故选：A 【点评】本题考考查了双曲线的标准方程及其几何性质，双曲线渐近线与离心率间的关 系，是基础题 10 （5 分）点 F 为椭圆+1（ab0）的一个焦点，若椭圆上存在点 A 使AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ） A B C D1 【分析】首先，写出焦点 F 的坐标，然后，根据AOF 为正三角形，建立等式，求解其 离心率 【解答】解：如图所示： 方法一、设椭圆的右焦点为 F，根据椭圆的对称性，
19、得 直线 OP 的斜率为 ktan60， 第 10 页（共 22 页） 点 P 坐标为： （c，c） ， 代入椭圆的标准方程，得 ， b2c2+3a2c24a2b2， （a2c2）c2+3a2c24a2（a2c2） a2c2c4+3a2c24a44a2c2 e242 e， e 方法二、设椭圆的左焦点为 F，连接 PF，由题意可得FPF90， PFc，FF2c，PFc， 由椭圆的定义可得c+c2a， 即有 e1 故选：D 【点评】本题重点考查了椭圆的概念和基本性质，属于中档题求解离心率的解题关键 是想法设法建立关于 a，b，c 的等量关系，然后，进行求解 11 （5 分）已知 m0，xy0，当
20、x+y2 时，不等式4 恒成立，则 m 的取值范围 是（ ） A，+） B2，+） C （0， D （，2 【分析】 根据条件有， 化简后利用基本不 第 11 页（共 22 页） 等式可得的最小值，然后根据4 恒成立可得4，解出 m 的范围即可 【解答】解：m0，xy0，x+y2， ， 不等式4 恒成立，4， 整理得，解得，即 m2， m 的取值范围为2，+） 故选：B 【点评】本题考查了基本不等式及其应用和不等式恒成立问题，关键掌握“1“的代换， 属基础题 12 （5 分） 已知 F1， F2是椭圆与双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点， 且|PF1|PF2|， 线段 PF1的垂直平分
21、线过 F2， 若椭圆的离心率为 e1， 双曲线的离心率为 e2， 则的 最小值为（ ） A B3 C6 D 【分析】通过图象可知 F1F2F2P2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得 的表达式，通过基本不等式即得结论 【解答】解：由题意可知：F1F2F2P2c， 又F1P+F2P2a1，F1PF2P2a2， F1P+2c2a1，F1P2c2a2， 两式相减，可得：a1a22c， ， 4+2+， 第 12 页（共 22 页） 2+22，当且仅当时等号成立， 的最小值为 6， 故选：C 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中 档题 二、填空题： （请把答
22、案填在题中横线上每小题二、填空题： （请把答案填在题中横线上每小题 5 分，共分，共 20 分） 分） 13 （5 分）在的展开式中，x2的系数为 4860 （用数字作答） 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2 的系数 【解答】解：在的展开式中，通项公式为 Tr+1 （2）r36 rx62r， 令 62r2，求得 r2，可得 x2的系数为4344860， 故答案为：4860 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 14 （5 分）现有 3 位男学生 3 位女学生排成一排照相，若男学生站两端
23、，3 位女学生中有且 只有两位相邻，则不同的排法种数是 72 （用数字作答） 【分析】根据题意，分 3 步进行分析：，将 3 位男学生全排列，在中间的 2 个空 位中，任选 1 个安排 1 个女生，在剩下的 3 空位中，安排剩下的 2 个女生，由分步 计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： 第 13 页（共 22 页） ，将 3 位男学生全排列，有 A336 种情况，排好后中间有 2 个空位， ，在中间的 2 个空位中，任选 1 个安排 1 个女生，有 326 种情况， ，在剩下的 3 空位中，安排剩下的 2 个女生，有 2 种情况； 则有 66272 种安排方法；
24、故答案为：72 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 15 （5 分） 设 （1ax） 2018a0+a1x+a2x2+a2018x2018， 若 a1+2a2+3a3+2018a20182018a （a0） ，则实数 a 2 【分析】把已知等式边同时对 x 求导，再令 x1，求得 a 的值 【解答】解：将（1ax）2018a0+a1x+a2x2+a2018x2018两边同时对 x 求导， 可得 2018（1ax）2017（a）a1+2a2x+3a3x2+2018a2018x2017， 令 x1 得，2018a（1a）2017a1+2a2+3a3+2018a20
25、182018a， 又 a0，所以（1a）20171，1a1，故 a2， 故答案为：2 【点评】本题考查二项式定理的应用及导数的计算，属于基础题 16 （5 分）已知函数 yf（x）在 R 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称， 其导函数 f（x）为，当 x0 时，有不等式 x2f（x）2xf（x）成立，若对xR，不等 式 e2xf（ex）a2x2f（ax）0 恒成立，则正整数 a 的最大值为 2 【分析】可得函数 f（x）为 R 上的奇函数令 g（x）x2f（x） ，则 g（x）为奇函数可 得 g（x）在0，+）单调递增函数 g（x）在 R 上单调递增对xR，不等式 e2xf（ex）
26、 a2x2f（ax）0 恒成立，e2xf（ex）a2x2f（ax）axg（ex）g（ax） 即只需 ex ax进而得出答案 【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）关于原点对称，函数 f（x）为 R 上的奇函数 令 g（x）x2f（x） ，则 g（x）为奇函数 g（x）x2f（x）+2xf（x） ， 当 x0 时，不等式 g（x）0，g（x）在0，+）单调递增 函数 g（x）在 R 上单调递增 不等式 e2xf（ex）a2x2f（ax）0 恒成立，e2xf（ex）a2x2f（ax）axg（ex）g （ax） exax 第 14 页（共 22 页） 当 x0 时，ah（x） ， 则 h（x），
27、可得 x1 时，函数 h（x）取得极小值即最小值，h（1）e ae 此时正整数 a 的最大值为 2 a2 对于 x0 时，exax 恒成立 综上可得：正整数 a 的最大值为 2 故答案为：2 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等 价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 三解答题： （本大题共三解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）等差数列an中，公差 d0，a514，a32a1a11 （1）求an的通项公式； （2）
28、若 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解等差数列的通项公式 （2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可 【解答】解： （1）an是等差数列，公差 d0，a514， 可得 a1+4d14， （a1+2d）2a1（a1+10d） ，解得 a12，d3， 所以an的通项公式；ana1+（n1）d3n1； （2）bn（） ， 数列bn的前 n 项和 Sn 【点评】本题考查数列求和，数列的应用， （1）问考查等差数列的定义和通项公式；第 （2）问考查裂项求和，题目整体难度不大 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB
29、CD 为矩形，APB 是以P 为直角的等腰 直角三角形，平面 PAB平面 ABCD （1）证明：平面 PAD平面 PBC； （2）M 为直线 PC 的中点，且 APAD2，求二面角 AMDB 的余弦值 第 15 页（共 22 页） 【分析】 （1）推导出 ADAB，从而 AD平面 PAB，进而 ADPB，由 PAPB，得 PB 平面 PAD，由此能一个劲的平面 PAD平面 PBC （2）取 AB 中点 O，分别以 OP，OB 所在直线为 x，y 轴建立空间直角坐标系，利用向量 法能求出二面角 AMDB 的余弦值 【解答】证明： （1）ABCD 为矩形，ADAB， 平面 PAB平面 ABCD，平
30、面 PAB平面 ABCDAB， AD平面 PAB， 则 ADPB，又 PAPB，PAADA， PB平面 PAD，而 PB平面 PBC， 平面 PAD平面 PBC 解： （2）取 AB 中点 O，分别以 OP，OB 所在直线为 x，y 轴建立空间直角坐标系， 由 APAD2，APB 是以P 为直角的等腰直角三角形， 得：A（0，0） ，D（0，2） ，B（0，0） ，M（，1） ， （，1） ，（，1） ，（，1） ， 设平面 MAD 的一个法向量为 （x，y，z） ， 由，取 y1，得 （3，1，0） ， 设平面 MBD 的一个法向量为 （x，y，z） ， 由，取 z1，得 （1，1，） ，
31、cos， 第 16 页（共 22 页） 二面角 AMDB 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力同，考查数形结合思想，是中档 题 19 （12 分）已知椭圆的离心率为，椭圆 C 的四个顶点围成 的四边形的面积为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）设 M 为椭圆 C 的右顶点，过点 N（6，0）且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，记直线 PM，QM 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值 【分析】 （）利用性质建立方程组，求出椭圆的方程； （）先建立方程组化为一元
32、二次方程，利用根与系数关系，建立 k1k2的表达式，并化 简证明 【解答】 解：（） 由题意有， 椭圆 C 的标准方程为 （）由（）可知 M（2，0） ，依题意得直线 l 的斜率存在，设其方程为 yk（x6） （k0） 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， （x1，x22） ，联立方程， 第 17 页（共 22 页） 消去 y 并整理可得 （1+2k2） x224k2x+72k240， 为定 值 【点评】本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆之间的位置关系，属于中档题目 20 （12 分）2020 年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科某省采用 3+3 模式，其中语文、数
33、学、外语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还要依据 想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、 物理、化学、生物 6 门科目中自选 3 门参加考试（6 选 3） ，每科目满分 100 分为了应 对新高考，某学校从高一年级 1000 名学生（其中男生 550 人，女生 450 人）中，根据性 别分层，采用分层抽样的方法从中抽取 100 名学生进行调查 （1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生 对这两个科目的选课情况，对抽取到的 100 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两 个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科
34、目） ，如下表是根据调查结果得到的 22 列联表请求出 a 和 b，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的 理由； 选择“物理” 选择“历史” 总计 男生 a 10 女生 25 b 总计 （2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出 9 名女生，再从 这 9 名女生中随机抽取 4 人，设这 4 人中选择“历史”的人数为 X，求 X 的分布列及数 学期望 参考公式： 第 18 页（共 22 页） P（K2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【
35、分析】 （1）求出男生人数，女生人数，完成 22 列联表即可求出 a 和 b，求出 k2， 即可判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关 （2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出 9 名女生，再从 这 9 名女生中随机抽取 4 人，设这 4 人中选择“历史”的人数为 X 的取值，求出概率即 可得到，X 的分布列及数学期望 【解答】解： （1）由题意，男生人数为，女生人数为， 所以 22 列联表为： 选择“物理” 选择“历史” 总计 男生 45 10 55 女生 25 20 45 总计 70 30 100 a45，b20 假 设H0： 选 择 科 目 与 性 别 无
36、 关 ， 所 以K2的 观 测 值 ， 查表可得：P（K2k）0.01，所以有 99%的把握认为选择科目与性别有关 （2）从 45 名女生中分层抽样抽 9 名女生，所以这 9 名女生中有 5 人选择物理，4 人选择 历史，9 名女生中再选择 4 名女生，则这 4 名女生中选择历史的人数 X 可为 0，1，2，3， 4设事件 X 发生概率为 P（X） ，则， ， ， ， 第 19 页（共 22 页） 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以 X 的数学期望 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求法，独立检验思想的应用，是中 档题 21 （12 分）已知函数 f（x）al
37、nx+1（aR） （）若函数 f（x）在1，2上是单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （）若2a0，对任意 x1，x21，2，不等式|恒 成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）求出函数的导数，问题转化为 ax2，求出 a 的范围即可； （）问题可化为 f（x2）+f（x1）+，设 h（x）f（x）+alnx+1+， 求出函数的导数，问题等价于 mx3ax 在1，2上恒成立，求出 m 的最小值即可 【解答】解： （）f（x）alnx+1 在1，2上是增函数， f（x）x0 恒成立， 所以 ax2， 只需 a（x2）min1； （）因为2a0，由（）知，函数 f（x）在1，2上单调递增，
38、 不妨设 1x1x22，则|f（x1）f（x2）|m|， 可化为 f（x2）+f（x1）+， 设 h（x）f（x）+alnx+1+， 则 h（x1）h（x2） 所以 h（x）为1，2上的减函数， 第 20 页（共 22 页） 即 h（x）x0 在1，2上恒成立， 等价于 mx3ax 在1，2上恒成立， 设 g（x）x3ax， 所以 mg（x）max， 因2a0， 所以 g（x）3x2a0， 所以函数 g（x）在1，2上是增函数， 所以 g（x）maxg（2）82a12（当且仅当 a2 时等号成立） 所以 m12 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题， 考查
39、转化思想，是一道中档题 22 （12 分）随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展 战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF 快递收取快递费的标准是： 重量不超过 1kg 的包裹收费 10 元；重量超过 1kg 的包裹，在收费 10 元的基础上，每超 过 1kg（不足 1kg，按 1kg 计算）需再收 5 元某县 SF 分代办点将最近承揽的 100 件包 裹的重量统计如下： 重量（单位：kg） （0，1 （1，2 （2，3 （3，4 （4，5 件数 43 30 15 8 4 对近 60 天，每天揽件数量统计如表： 件数范围 0100 101200 20
40、1300 301400 401500 件数 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 以上数据已做近似处理，将频率视为概率 （1）计算该代办点未来 5 天内不少于 2 天揽件数在 101300 之间的概率； （2）估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值； 根据以往的经验， 该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润， 其余的用作其他费用目前该代办点前台有工作人员 3 人，每人每天揽件不超过 150 件， 日工资 110 元代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后代办点 每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员 1 人？
41、 第 21 页（共 22 页） 【分析】 （1）样本中包裹件数在 101300 之间的天数为 36，频率，可估计概 率为，显然未来 5 天中，包裹件数在 101300 之间的天数服从二项分布，即 ，即可得出 （2） 样本中快递费用及包裹件数可得列表， 可得样本中每件快递收取的费用的平均值 代办点不应将前台工作人员裁员 1 人，理由如下：根据题意及（2），搅件数每增 加 1，代办点快递收入增加 15（元） ，若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，代办点 每日揽件数情况如表，可得代办点平均每日利润的期望值若裁员 1 人，则每天可揽件 的上限为 300 件，代办点每日揽件数情况如表即可得出 【
42、解答】解： （1）样本中包裹件数在 101300 之间的天数为 36，频率， 故可估计概率为， 显然未来 5 天中，包裹件数在 101300 之间的天数服从二项分布，即， 故所求概率为 （2）样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位：kg） 1 2 3 4 5 快递费（单位：元） 10 15 20 25 30 包裹件数 43 30 15 8 4 故样本中每件快递收取的费用的平均值为 ， 故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为 15 元 代办点不应将前台工作人员裁员 1 人，理由如下： 根据题意及（2），搅件数每增加 1，代办点快递收入增加 15（元） ， 若不裁员，则每天可揽件的
43、上限为 450 件，代办点每日揽件数情况如下： 包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 350 450 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 第 22 页（共 22 页） EY 500.1+1500.1+2500.5+3500.2+4500.1260 故代办点平均每日利润的期望值为（元） ； 若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，代办点每日揽件数情况如下： 包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 EY 500.1+1500.1+2500.5+3000.2+3000.1235 则代办点平均每日利润的期望值为（元） ， 故代办点不应将前台工作人员裁员 1 人 【点评】本题考查了用频率估计概率、随机变量的数学期望、二项分布列的性质，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题
