1、已知向量，满足，且| |2，则向量的夹角的 余弦值为（ ） A B C D 6 （4 分）二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法，是我国劳动人民长期经验的 积累成果和智慧的结晶，被誉为“中国的第五大发明” 由于二十四节气对古时候农事的 进行起着非常重要的指导作用，所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣：春雨惊春清 谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒 易经里对二十四节气的 晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影是按照等差数列 的规律计算出来的，在下表中，冬至的晷影最长为 130.0 寸，夏至的晷影最短为 14.8 寸， 那么易经中所记录的清明的晷影长
2、应为（ ） 节气 冬至 小寒 （大 雪） 大寒 （小 雪） 立春 （立 冬） 雨水 （霜 降） 惊蛰 （寒 露） 春分 （秋 分） 清明 （白 露） 谷雨 （处 暑） 立夏 （立 秋） 小满 （大 暑） 芒种 （小 暑） 夏至 晷影 长度 130.0 ？ 14.8 第 2 页（共 23 页） A77.2 寸 B72.4 寸 C67.3 寸 D62.8 寸 7 （4 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1+a33，a2+a46，则 S8（ ） A45 B81 C117 D153 8 （4 分）函数 f（x）Asin（x+） （其中）的图象如图所示，为了得 到 g（x）Asinx 的
3、图象，只需将 f（x）图象（ ） A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向左平移个单位长度 9 （4 分）函数，f（x）是 f（x）的导函数，则 f（x）的图象大 致是（ ） A B C D 10 （4 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）f（x） ，yf（x+3）为偶函数，若 f（x）在（0，3）内单调递减则下面结论正确的是（ ） A B C D 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 12 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 第 3 页（共 23 页） 有多项符
4、合题目要求的，全部选对的得有多项符合题目要求的，全部选对的得 4 分选对但不全的得分选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （4 分）下列命题中，是真命题的是（ ） A已知非零向量 B若 p：x（0，+） ，x1lnx，则p：x0（0，+） ，x01lnx0 C在ABC 中 “sinA+cosAsinB+cosB”是“AB”的充要条件 D若定义在 R 上的函数 yf（x）是奇函数，则 yf（f（x） ）也是奇函数 12 （4 分）设 f（x）是定义在 R 上的函数，若存在两个不相等的实数 x1，x2，使得 ，则称函数 f（x）具有性质 P，那么下列函数中，具有性 质
5、P 的函数为（ ） ；f（x）|log2x|；f（x）x3+x；f（x）2|x| A B C D 13 （4 分）设函数，已知 f（x）在0，有且仅有 3 个零点， 对于下列 4 个说法正确的是（ ） A在（0，）上存在 x1，x2，满足 f（x1）f（x2）2 Bf（x）在（0，）有且仅有 1 个最大值点 Cf（x）在单调递增 D 的取值范围是 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 14 （4 分）若 tan2，则 15 （4 分）若函数 f（x）x3ax2+3x+1 在区间上单调递减，则实数 a 的取值范 围为 16 （4 分
6、）ABC 中，D 为 AC 上的一点，满足若 P 为 BD 上的一点，满足 ，则 mn 的最大值为 ；的最小值为 17 （4 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 依次成等比数 列，且 cos（AC）cosB，则 sinC 第 4 页（共 23 页） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a36，S420 （1）求 an； （2）若 a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数 k 的
7、值 19 （14 分）设函数的图象关于直线 x 对称，其 中 为常数，且 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若 f（）1，（0，） ，求 的值 20 （14 分）已知函数 （1）若曲线 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 y 轴垂直，求 a 的值； （2）若在区间（0，e上至少存在一点 x0，使得 f（x0）0 成立，求 a 的取值范围 21 （14 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC，BACDAC，CD2AB 4 （1）若 AC，求ABC 的面积； （2）若ADC，求 AC 22 （14 分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为 80 万 元，
8、同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚 4 万元，以后每月增加 2 万元如果从今 年一月起投资 500 万元添加回收净化设备（改造设备时间不计） ，一方面可以改善环境， 另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前 4 个月中的 累计生产净收入 g（n）是生产时间 n 个月的二次函数 g（n）n2+kn（k 是常数） ，且前 3 个月的累计生产净收入可达 309 万元，从第 5 个月开始，每个月的生产净收入都与第 4 个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励 120 万元 （1）求前 6 个月的累计生产净收入 g（6）的值； （2）问经过多少个月，
9、投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入 23 （14 分）已知 第 5 页（共 23 页） （1）当 x0 时，证明：f（x）g（x） ； （2） 已知点 P （x， xf （x） ） ， 点 Q （sinx， cosx） ， 若 O 为坐标原点， 设函数， 当时，试判断 h（x）的零点个数 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出分在每小题给
10、出的四个选项中，的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 A2，3a，Ba，b，AB，则 AB（ ） A B C D 【分析】根据即可得出，从而求出 a1，这样即可得出集合 A，B，然后进行并集的运算即可 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：A 【点评】本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，考 查了计算能力，属于基础题 2 （4 分）函数的定义域为（ ） A B C D 【分析】根据函数成立的条件，建立不等式关系，进行求解即可 【解答】解：要使函数有意义，则， 得， 第 7 页（共 23 页） 得x2， 即函数的定义
11、域为（，2， 故选：B 【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件，建立不等式关系是解 决本题的关键 3 （4 分）设函数 f（x），则 f（3）+f（log23）（ ） A9 B11 C13 D15 【分析】推导出 f（3）+f（log23）log24+，由此能求出结果 【解答】解：函数 f（x）， f（3）+f（log23）log24+ 2+9 11 故选：B 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 4 （4 分）已知 a，b，c 满足 abc，且 ac0，那么下列选项中不一定成立的是（ ） Aabac B （ab）c0 Ca2cb
12、2c Dac（ac）0 【分析】根据由 abc，且 ac0，取 a1，b2，c3 即可判断 C 不一定成立 【解答】解：由 abc，且 ac0，知 a0，c0， 取 a1，b2，c3 则 a2cb2c，此时 C 不成立 故选：C 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题 5 （4 分）已知向量，满足，且| |2，则向量的夹角的 余弦值为（ ） A B C D 第 8 页（共 23 页） 【分析】根据对两边平方即可求出，从而根据向量 夹角的余弦公式即可求出 与 的夹角的余弦值 【解答】解：， ， ， 故选：B 【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，考查了计算 能力
13、，属于基础题 6 （4 分）二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法，是我国劳动人民长期经验的 积累成果和智慧的结晶，被誉为“中国的第五大发明” 由于二十四节气对古时候农事的 进行起着非常重要的指导作用，所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣：春雨惊春清 谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒 易经里对二十四节气的 晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影是按照等差数列 的规律计算出来的，在下表中，冬至的晷影最长为 130.0 寸，夏至的晷影最短为 14.8 寸， 那么易经中所记录的清明的晷影长应为（ ） 节气 冬至 小寒 （大 雪） 大寒 （小 雪） 立
14、春 （立 冬） 雨水 （霜 降） 惊蛰 （寒 露） 春分 （秋 分） 清明 （白 露） 谷雨 （处 暑） 立夏 （立 秋） 小满 （大 暑） 芒种 （小 暑） 夏至 晷影 长度 130.0 ？ 14.8 A77.2 寸 B72.4 寸 C67.3 寸 D62.8 寸 【分析】根据首末项求出公差，再根据通项公式计算第 8 项的值即可 【解答】解：设 a1130.0，a1314.8，公差 d9.6， a8a1+7d130.079.662.8， 故清明的晷影长为 62.8 寸 第 9 页（共 23 页） 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题 7 （4 分）已知等比数列an的前
15、n 项和为 Sn，若 a1+a33，a2+a46，则 S8（ ） A45 B81 C117 D153 【分析】利用等比数列的通项公式求和公式即可得出 【解答】解：设等比数列an的公比为 q，a1+a33，a2+a46， q2，a1（1+q2）3，解得 a1， 则 S8153 故选：D 【点评】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 8 （4 分）函数 f（x）Asin（x+） （其中）的图象如图所示，为了得 到 g（x）Asinx 的图象，只需将 f（x）图象（ ） A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向左平移个单位长度 【
16、分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值， 可得 f（x）的解析式，再利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：根据函数 f（x）Asin（x+） （其中）的图象，可得 A1，3 第 10 页（共 23 页） 再根据五点法作图可得 3+，求得 ，函数 f（x）sin（3x+） 为了得到 g（x）sin3x 的图象，只需将 f（x）图象向右平移个单位， 故选：C 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，由函数 yAsin（x+） 的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图 法求出 的
17、值，属于基础题 9 （4 分）函数，f（x）是 f（x）的导函数，则 f（x）的图象大 致是（ ） A B C D 【分析】化简 f（x） ，得出 f（x）的解析式，利用 f（x）的奇偶性和极小值的符号判 断 【解答】解：f（x）+cosx， f（x）xsinx， f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 B，D； 令 f（x）cosx0 可得 x+2k， 当 x时，f（x）取得极小值 f（）0，排除 C， 故选：A 【点评】本题考查了函数的单调性与导数的关系，属于中档题 10 （4 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）f（x） ，yf（x+3）为偶函数，若 f（x）在（0
18、，3）内单调递减则下面结论正确的是（ ） A B 第 11 页（共 23 页） C D 【分析】利用 f（x+6）f（x）得到函数的周期，结合 yf（x+3）为偶函数得到 f（10） f（2） ，从而将所求函数的自变量放在了（0，3）范围内，利用单调性求得函数值的大 小 【解答】解：f（x+6）f（x） ， f（x）的周期为 6， 又 yf（x+3）为偶函数， f（x+3）f（x+3） ， f（10）f（4+6）f（4）f（1+3）f（1+3）f（2） ， 又 12，0ln21， 0ln212， 且 f（x）在（0，3）内单调递减， f（2）f（）f（ln2） ， 即 f（10）f（）f（ln
19、2） ， 故选：A 【点评】本题属于基础题，考查函数的性质，能够将函数的性质综合运用正确解题是我 们高中数学的基本功 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 12 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的，全部选对的得有多项符合题目要求的，全部选对的得 4 分选对但不全的得分选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （4 分）下列命题中，是真命题的是（ ） A已知非零向量 B若 p：x（0，+） ，x1lnx，则p：x0（0，+） ，x01lnx0 C在ABC 中 “sinA
20、+cosAsinB+cosB”是“AB”的充要条件 D若定义在 R 上的函数 yf（x）是奇函数，则 yf（f（x） ）也是奇函数 【分析】化简条件看是否得到结论，再判断命题的真假 【解答】解：A 中|，两边平方得， （ ） 2+（ ）2+2 （ ）2+（ ）2+2 0 ，所以 A 正确； 第 12 页（共 23 页） B 是写全称命题的否定，条件中将符合改成符合，结论否定即可，所以 B 正确； C 中ABC 中， sinA+cosAsinB+cosBsin （A+） sin （B+） A+B+ 或 A+（B+）AB 或 AB+，所以 C 不正确； D 中，因为 yf（x）在 R 上是奇函数，
21、即 f（x）f（x） ，f（f（x） ）f（f（x） ） f（f（x） ） ，所以 yf（f（x） ）也是奇函数，所以 D 正确 故选：ABD 【点评】此题是考查命题的真假，需要化简条件 12 （4 分）设 f（x）是定义在 R 上的函数，若存在两个不相等的实数 x1，x2，使得 ，则称函数 f（x）具有性质 P，那么下列函数中，具有性 质 P 的函数为（ ） ；f（x）|log2x|；f（x）x3+x；f（x）2|x| A B C D 【分析】根据图形观察，和利用特殊值可得到结论 【解答】解：中如果 x1x2，取 x1+x20，且都不为 0 时，f（）f（0）0， 而0，成立， 由图可知，成
22、立， f（x）为奇函数，显然成立， 由图可知，不成立 第 13 页（共 23 页） 故选：ABC 【点评】考查图形的画法，和函数新定义的应用，中档题 13 （4 分）设函数，已知 f（x）在0，有且仅有 3 个零点， 对于下列 4 个说法正确的是（ ） A在（0，）上存在 x1，x2，满足 f（x1）f（x2）2 Bf（x）在（0，）有且仅有 1 个最大值点 Cf（x）在单调递增 D 的取值范围是 【分析】由题意根据在区间0，有 3 个零点画出大致图象，可得区间长度 介于周期 T+|OA|，T+|OA|，再用 表示周期，得 的范围 【解答】解：画出大致图象如下图，当 x0 时 ysin（）而
23、0， 所以 x0 时小区间递增， 函数在0，仅有 3 个零点时，则 的位置在 CD 之间（包括 C，不包括 D） ， 令 f（x）sin（x）0，则 xk 得，x（+k） （kz） ， y 轴右侧第一个点横坐标为，周期 T， 所以+T+T+， 所以 D 正确 在0，区间上，函数达到最大值和最小值， 所以存在 x1，x2，满足 f（x1）f（x2）2，所以 A 正确， 由大致图象得，可能有两个最大值，B 不一定正确； 第 14 页（共 23 页） 因为 最小值为，所以 0时，x（，） ， 所以 x（0，） ，函数 f（x）不单调递增， 所以 C 不正确 故选：AD 【点评】本题考查三角函数图象及
24、周期的计算，由有且仅有 3 个零点来得区间长度 的 大致位置，进而解 的范围，再判断区间（0，）单调性此题属于中难档题 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 14 （4 分）若 tan2，则 【分析】由已知利用诱导公式、倍角公式及同角三角函数基本关系式化简求值 【解答】解：tan2， sin22sincos 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及同角三角函数基本 关系式的应用，是基础题 15 （4 分）若函数 f（x）x3ax2+3x+1 在区间上单调递减，则实数 a 的取值范 围为 【分析】函数
25、 f（x）x3ax2+3x+1 在区间上单调递减，f（x）3x22ax+3 在区间上恒小于等于 0，转化成一元二次不等式恒成立解决 第 15 页（共 23 页） 【解答】解：函数 f（x）x3ax2+3x+1 在区间上单调递减， f（x）3x22ax+3 在区间上恒小于等于 0 f（）0 且 f（1）0， a且 a3， a 故答案为：a 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题 16 （4 分）ABC 中，D 为 AC 上的一点，满足若 P 为 BD 上的一点，满足 ，则 mn 的最大值为 ；的最小值为 16 【分析】利用向量共线定理可得：m+4n1，再利用“乘 1 法
26、”与基本不等式的性质即 可得出 【解答】解：因为所以， 所以m+4n， 因为 B、P、D 三点共线，所以 m+4n1， 则 4mn，则 mn，即 mn 最大值为，当且仅当 m4n 时取等， （m+4n） （）2+816，当且仅当 m4n 时取等， 故答案为：，16 【点评】本题考查了向量共线定理、 “乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 17 （4 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 依次成等比数 列，且 cos（AC）cosB，则 sinC 【分析】 由已知结合诱导公式可得 cos （AC） +cos （A+C） 2
27、cosAcosC， 求得 cosAcosC， 然后由等比数列的性质及正弦定理可得，sin2BsinAsinC，求得 B，则 sinB 可求 【解答】解：cos（AC）cosB， 第 16 页（共 23 页） cos（AC）+cos（A+C），得 cosAcosC a，b，c 成等比数列，b2ac，sin2BsinAsinC， 则 cosAcosCsinAsinCsin2B， cosB，即， 解得 cosB，B，则 sinB ， 又 cosAcosC，cosAcosC+sinAsinC1， 即 cos（AC）1， AC，AC0，则 AC， sinC 故答案为： 【点评】本题考查三角形的解法，考查
28、两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力， 是基础题 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a36，S420 （1）求 an； （2）若 a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数 k 的值 【分析】 （1）设出等差数列an的公差为 d，根据等差数列通项公式和前 n 项和公式列出 方程，解得答案； （2）根据等比中项定义，列出方程，再结合 k 是正整数，解出 k 的值 【解答】解： （1）设公差为 d，则 a3a1+2d6
29、， 解得，a12，d2， 所以：an2+（n1）22n （2）因为 又 a1，ak，Sk+2成等比数列，所以 2（k+2） （k+3）（2k）2，化简得：k25k60 解得：k6 或 k1， 第 17 页（共 23 页） 又 kN*，k6 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了等差数列前 n 项和，做题 时注意 k 是正整数是中档题 19 （14 分）设函数的图象关于直线 x 对称，其 中 为常数，且 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若 f（）1，（0，） ，求 的值 【分析】 （1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由对称性求得 ，则函数解析 式可求； （2）由
30、f（）1，得，kZ，再由 的范围求得 的具体值 【解答】解： （1） 图象关于直线 x 对称， ， 令 k1，得符合要求， 函数 f（x）2sin（）+1； （2）， ，即，kZ， （0，） ，当 k0 时，； 当 k1 时， 或 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查 yAsin（x+）型函数的图象与性质， 考查计算能力，是中档题 20 （14 分）已知函数 （1）若曲线 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 y 轴垂直，求 a 的值； 第 18 页（共 23 页） （2）若在区间（0，e上至少存在一点 x0，使得 f（x0）0 成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出导函数，
31、利用曲线 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 y 轴垂直，得到 f（1）0，然后求解 a 即可 （2）通过，问题在区间（0，e上存在 x0，使得 f（x0）0，即 f（x） 在区间（0，e上的最小值小于 0通过当 a0 时，当，当，判 断函数的单调性求解函数的最小值，转化求解 a 的取值范围 【解答】解： （1）， 曲线 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 y 轴垂直，f（1）0， f（1）a10， a1 （2）， 令， 若在区间（0，e上存在 x0，使得 f（x0）0，即 f（x）在区间（0，e上的最小值小于 0 当，即 a0 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立， f（x）在区
32、间（0，e上的最小值为 由 当时，即， 此时，当， f（x）在区间上的最小值为， 由，得 ae 当，即， 此时当 x（0，e）上时，f（x）0 恒成立， f（x）在（0，e）上的最小值为， 第 19 页（共 23 页） 显然不成立 综上可知，所求 a 的取值范围为 【点评】本题考查函数的导数的综合应用，切线方程以及函数的最值的求法，分类讨论 数学的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题 21 （14 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC，BACDAC，CD2AB 4 （1）若 AC，求ABC 的面积； （2）若ADC，求 AC 【分析】 （1）在ABC 中，利用余弦定理求出 BC，再由
33、求 出ABC 的面积； （2）设BACCAD，在ABC 和ACD 中，利用正弦定理分别求出 AC，然后 求出 sin，进一步求出 AC 的值 【解答】解： （1），AB2， 由余弦定理可得，AC2AB2+BC22ABBCcosABC， ， ，或（舍） ， （2）设BACCAD，则， 在ABC 中，即， 第 20 页（共 23 页） 在ACD 中，即， 由，解得 2sincos， 又， 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算 能力，属中档题 22 （14 分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为 80 万 元，同时将受到环保部门的处
34、罚，第一个月罚 4 万元，以后每月增加 2 万元如果从今 年一月起投资 500 万元添加回收净化设备（改造设备时间不计） ，一方面可以改善环境， 另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前 4 个月中的 累计生产净收入 g（n）是生产时间 n 个月的二次函数 g（n）n2+kn（k 是常数） ，且前 3 个月的累计生产净收入可达 309 万元，从第 5 个月开始，每个月的生产净收入都与第 4 个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励 120 万元 （1）求前 6 个月的累计生产净收入 g（6）的值； （2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改
35、造后的纯收入多于不改造的纯收入 【分析】 （1）利用 g（n）n2+kn（k 是常数） ，前 3 个月的累计生产净收入可达 309 万 元，求出 k，得到函数的解析式，然后求解即可 （2）利用已知条件求出，要想投资开始见效，必须且只需 ，然后通过 n 的取值，验证求解即可 【解答】解： （1）据题意 g（3）32+3k309， 解得 k100g（n）n2+100n 第 4 个月的净收入为 g（4）g（3）107 万元 g（6）g（4）+210742+400+2107630 万元 第 21 页（共 23 页） （2） 即， 要想投资开始见效，必须且只需， 即 g（n）+n277n3800， 当
36、n1，2，3，4 时，n2+100n+n277n3800， 即 2n2+23n3800， 即 n（2n+23）380，显然不成立 当 n4 时，107n12+n277n3800， 即 n2+30n3920，即 n（n+30）392， 验算得 n10 时，n（n+30）392， 所以，经过 10 个月投资开始见效 【点评】本题考查函数的实际应用，数列与函数的综合，考查分析问题解决问题的能力， 是中档题 23 （14 分）已知 （1）当 x0 时，证明：f（x）g（x） ； （2） 已知点 P （x， xf （x） ） ， 点 Q （sinx， cosx） ， 若 O 为坐标原点， 设函数， 当时
37、，试判断 h（x）的零点个数 【分析】 （1）构造函数，求导，判断单调性，证明 即可； （2）点 P（x，xf（x） ） ，点 Q（sinx，cosx） ，令，求 导，分类讨论，根据单调性判断函数的零点问题，得出结论 【解答】解： （1）令 则， 令， 第 22 页（共 23 页） 则， 由， 由，递减，在递增， ，上恒成 立 （x）在（0，1）递减，在（1，+）递增， f（x）g（x） （2）点 P（x，xf（x） ） ，点 Q（sinx，cosx） ， h（x）（ex+1）sinx+（xex）cosx， 当时，可知 exx， xex0， 又sinx 0 ， cosx 0 ， 单 调 递 减 ， 上有一个零点， 当， excosxxsinx，h（x）xsinxexcosx0 恒成立 上无零点 当， h（x）（xcosx+sinx）+ex（sinxcosx）0， 上单调递增 ， 上存在一个零点 当时，sinx0，cos0， 第 23 页（共 23 页） h（x）xsinxexcosx0 恒成立， 无零点 综上，上零点个数为 2 【点评】考查用导数法解决函数问题，综合性强，利用了构造函数法，对区间分类讨论， 求函数单调性，三角函数变换等，题目较难
