1、已知 i 是虚数单位，则 i2019（ ） A1 B1 Ci Di 2 （5 分）已知集合 A0，2，集合 B4，0，则 AB（ ） A0 B2，0，4 C0，4 D2，4 3 （5 分）双曲线的渐近线方程为（ ） A B C Dy3x 4 （5 分）若随机变量 XN（2，1） ，且 P（X1）0.8413，则 P（X3）（ ） A0.1587 B0.3174 C0.3413 D0.6826 5（5 分） 若点 P （1， 1） 为圆 x2+y26x0 的弦 MN 的中点， 则弦 MN 所在直线方程为 （ ） A2x+y30 Bx2y+10 Cx+2y30 D2xy10 6 （5 分）有如下命
2、题：函数 yx 1， ，yx2，yx3中有三个在（，0） 上是减函数；函数 f（x）2xx2 有两个零点；若，则 m n1其中真命题的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 7 （5 分）某几何体的三视图如图，该几何体表面上的点 P 与点 Q 在正视图与侧视图上的 对应点分别为 A，B，则在该几何体表面上，从点 P 到点 Q 的路径中，最短路径的长度 为（ ） A B C D 8 （5 分）设an是公差不为零的等差数列，且，则an前 6 项的和 第 2 页（共 24 页） 为（ ） A2 B0 C2 D4 9 （5 分）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所 得图象上所有点的横坐标伸
3、长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得图象对应的函数解析 式为（ ） A B Cycosx Dysin4x 10 （5 分）设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“0ba1”是“loga3logb3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，0） ， 且 f（x）在，上单调，则 的值为（ ） A2 B3 C D 12 （5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x）的图象是连续不断的曲线，且 f（2x）f（x） e2 2x，当 x1 时，f（x）f（x） ，则下列判断正确的是（ ） Af（1）e
4、f（0） Bf（3）e4f（1） Cf（2）e3f（1） Df（3）e5f（2） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 x3y 的最小值为 14 （5 分） （x2x2）4的展开式中 x2的系数是 （用数字作答） 15 （5 分）在ABC 中，若，则 + 16 （5 分）若正实数 a，b 满足 a+b1，则函数的零点的最大值 为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，S 为其
5、面积，若 4Sa2+c2 b2 第 3 页（共 24 页） （1）求角 B 的大小； （2）设BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，AD3，BD求 cosC 的值 18 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，ABS 是正三角形，四边形 ABCD 是菱形，点 E 是 BS 的中点 （）求证：SD平面 ACE； （）若平面 ABS平面 ABCD，ABC120，求直线 AC 与平面 ADS 所成角的正弦 值 19 （12 分）新高考方案的实施，学生对物理学科的选择成了焦点话题某学校为了了解该 校学生的物理成绩，从 A，B 两个班分别随机调查了 40 名学生，根据学生的某次物理成 绩，得到 A
6、 班学生物理成绩的频率分布直方图和 B 班学生物理成绩的频数分布条形图 （）估计 A 班学生物理成绩的众数、中位数（精确到 0.1） 、平均数（各组区间内的数 据以该组区间的中点值为代表） ； （）填写列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为物理成绩与班级有关？ 物理成绩70 的学生数 物理成绩70 的学生数 合计 第 4 页（共 24 页） A 班 B 班 合计 附：； P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 20 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的左、右焦点分别为 F1
7、，F2，过点 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，ABF1的周长为 20，C 的离心率 （）求 C 的方程； （）设点，0） ，过点 A 作 y 轴的垂线 l，试判断直线 l与直线 BD 的交点是否恒 在一条定直线上？若是，求该定直线的方程；否则，说明理由 21 （12 分）已知 f（x）exax2（aR） （）求函数 f（x）的极值； （）若方程 f（x）x+1 仅有一个实数解，求 a 的取值范围 请考生在请考生在 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用 2B 铅铅 笔在答题卡上把对应的题号涂黑笔在答
8、题卡上把对应的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线 C：cos24asin（a0） ，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 直 线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点 （）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程（不要求具体过程） ； （）设 P（2，1） ，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+4|+|xa|（aR） （）当 a1 时，求不等式 f（x）5 的
9、解集； （）当 xR 时，f（x）1 恒成立，求 a 的取值范围 第 5 页（共 24 页） 2018-2019 学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知 i 是虚数单位，则 i2019（ ） A1 B1 Ci Di 【分析】直接利用虚数单位 i 的运算性质求解即可 【解答】解：i
10、2019（i4）504i3i 故选：D 【点评】本题考查了虚数单位 i 的运算性质，是基础题 2 （5 分）已知集合 A0，2，集合 B4，0，则 AB（ ） A0 B2，0，4 C0，4 D2，4 【分析】进行并集的运算即可 【解答】解：A0，2，B4，0； AB4，2，0 故选：B 【点评】考查列举法的定义，以及并集的运算 3 （5 分）双曲线的渐近线方程为（ ） A B C Dy3x 【分析】求出双曲线的几何量，可得双曲线的渐近线方程 【解答】解：双曲线中 a1，b， 则双曲线的渐近线方程 xy，即 yx， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题 4
11、（5 分）若随机变量 XN（2，1） ，且 P（X1）0.8413，则 P（X3）（ ） A0.1587 B0.3174 C0.3413 D0.6826 【分析】根据随机变量 X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求 第 6 页（共 24 页） 得 P（X3） 【解答】解：随机变量 XN（2，1） ，正态分布的对称轴为 x2 又 P（X1）0.8413， P（X3）P（X1）1P（X1）0.84130.1587， 故选：A 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 5（5 分） 若点 P （1， 1）
12、为圆 x2+y26x0 的弦 MN 的中点， 则弦 MN 所在直线方程为 （ ） A2x+y30 Bx2y+10 Cx+2y30 D2xy10 【分析】由题意，根据垂径定理的逆定理得到此连线与弦 MN 垂直，由圆心与 P 坐标求 出其确定直线的斜率， 利用两直线垂直时斜率的乘积为1， 求出弦 MN 所在直线的斜率， 从而可得弦 MN 所在直线的方程 【解答】解：x2+y26x0 化为标准方程为（x3）2+y29 P（1，1）为圆（x3）2+y29 的弦 MN 的中点， 圆心与点 P 确定的直线斜率为， 弦 MN 所在直线的斜率为 2， 弦 MN 所在直线的方程为 y12（x1） ，即 2xy1
13、0 故选：D 【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，考查垂径定理，以及直线的点斜式方程，其 中根据题意得到圆心与点 P 连线垂直与弦 MN 所在的直线是解本题的关键 6 （5 分）有如下命题：函数 yx 1， ，yx2，yx3中有三个在（，0） 上是减函数；函数 f（x）2xx2 有两个零点；若，则 m n1其中真命题的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】由幂函数的图象和单调性，可判断；由 f（x）0，即 y2x，yx+2 的图象 交点个数，可判断； 由对数函数的图象和单调性，可判断 【解答】解：，函数 yx 1，yx2，y（x） ，yx3中 yx 1，y（x） ， 第 7 页（共
14、24 页） yx2 在（，0）上是减函数， yx3在（，0）为增函数，故正确； ，函数 f（x）2xx2 零点的个数即为 f（x）0， 即 y2x，yx+2 的图象交点个数， 可得有两个交点，即 f（x）的零点个数为，故正确； ，若，则 mn1，故正确； 故选：D 【点评】本题考查函数的单调性和零点个数，考查数形结合思想和推理能力，属于基础 题 7 （5 分）某几何体的三视图如图，该几何体表面上的点 P 与点 Q 在正视图与侧视图上的 对应点分别为 A，B，则在该几何体表面上，从点 P 到点 Q 的路径中，最短路径的长度 为（ ） A B C D 【分析】根据三视图知该几何体是长方体，结合题意
15、画出图形，结合图形求出点 P 到 Q 的最短距离 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是长方体，如图所示； 第 8 页（共 24 页） 其展开图中，有三种情况， 从点 P（A）到 Q（B）的最短距离为2 故选：C 【点评】本题考查了三视图和几何体之间的转换问题，也考查了运算与求解能力，是基 础题 8 （5 分）设an是公差不为零的等差数列，且，则an前 6 项的和 为（ ） A2 B0 C2 D4 【分析】a22+a32a42+a52，化简可得 a42a22+a52a320，可得 a3+a40，再利用等差 数列通项公式求和公式及其性质即可得出 【解答】解：a22+a32a42+a52，化
16、简可得 a42a22+a52a320， 即 2d（a4+a2）+2d（a5+a3）0，d0 a4+a2+a5+a30， a4+a3a2+a5， 第 9 页（共 24 页） a3+a40， S63（a3+a4）0， 故选：B 【点评】本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 9 （5 分）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所 得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得图象对应的函数解析 式为（ ） A B Cycosx Dysin4x 【分析】 直接利用三角函数关系式的恒等变变换和平移变换和伸缩变换的应用求出结果 【
17、解答】解：函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 得到：ysin2（x+）+sin（2x+）cos（2x+） ， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ， 则所得图象对应的函数解析式为 ycos（x+） 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数关系式的平移变换和 伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 10 （5 分）设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“0ba1”是“loga3logb3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据对数的运算性质，结合充分
18、条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：loga3logb3 等价为， 当 0ba1 时，log3blog3a0，此时，成立，即充分性成立， 当 log3a0，log3b0 时，不等式成立， 第 10 页（共 24 页） 但此时 0a1，b1，则 0ba1 不成立，即必要性不成立， 则“0ba1”是“loga3logb3”充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合对数的运算法则进行化简是解 决本题的关键 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，0） ， 且 f（x）在，上单调，则 的值为（ ） A2 B3 C D 【分析】根据 f（0）
19、f（）得出函数的图象关于直线 x对称，根据 f（） f（）得出函数的图象关于点（，0）对称，由此求出 T 与 的值，再验证 的值是否满足 f（x）在区间（，）上是有单调性 【解答】解：对于函数 f（x）sin（x+） （， 是常数，0，0） ， 由 f（0）f（） ，可得函数的图象关于直线 x（0+）对称； 又 f（）f（） ，可得函数的图象关于点（，0）对称，即（，0） ； ，解得 T，3； 验证 3 时，f（）sin（+）0，解得 ， 则 f（x）sin（3x+） ，当 x（，）时，3x+（，） ， 此时 f（x）在区间（，）上是减函数，具有单调性； 综上所述，3 故选：B 【点评】本题考
20、查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题 12 （5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x）的图象是连续不断的曲线，且 f（2x）f（x） e2 2x，当 x1 时，f（x）f（x） ，则下列判断正确的是（ ） Af（1）ef（0） Bf（3）e4f（1） Cf（2）e3f（1） Df（3）e5f（2） 第 11 页（共 24 页） 【分析】令 g（x），根据函数的单调性求出 g（3）g（3） ，再根据 g（3）g （1）替换即可 【解答】解：令 g（x）， 则 g（x）， 而当 x1 时，f（x）f（x） ， 故 g（x）在（1，+）递增， 故 g（3）g（2） ， f（2x）f（x）e
21、2 2x， ， g（3）g（1）， ， 即 f（2）e3f（1） ， 故选：C 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 x3y 的最小值为 4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行 求解即可 【解答】解：设 zx3y，则得 yx， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分） ： 平移直线 yx， 由图象可知当直线 yx经过点 B 时， 直线 yx的截距最大， 此时 z 最小
22、， 第 12 页（共 24 页） 由，解得 B（1，1） 将 A（1，1）代入目标函数 zx3y， 得 z1314 目标函数 zx3y 的最小值是4 故答案为：4 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关 键，利用数形结合是解决问题的基本方法 14 （5 分） （x2x2）4的展开式中 x2的系数是 8 （用数字作答） 【分析】利用通项公式即可得出 【解答】解： （x2x2）4的展开式的通项公式：Tr+1（2）4 r（x2x）r（0r 4） （x2x）r的通项公式：Tk+1（x2）r k（x）k（1）k x2r k0kr 令 2rk2，可得：r1，k0；rk
23、2 x2的系数+ （2）28 故答案为：8 【点评】本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 15 （5 分）在ABC 中，若，则 + 【 分 析 】 根 据即 可 得 出， 而 根 据即 可 得 出 ，从而得出，进而得出，这 第 13 页（共 24 页） 样由平面向量基本定理即可得出 ， 的值，从而得出 + 【解答】解：； ； ； ； ； ，带入得，； ； 又不共线，且； 由平面向量基本定理得，； 故答案为： 【点评】考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理 16 （5 分）若正实数 a，b 满足 a+b1，则函数的零点的最大值为 【
24、分析】问题转化为求 x2的最大值，令 t+ （0b1） ，利用导数法求得 t9，+） ，再利用分子有理化得 x2 的单调性，从而可求得最大值 【解答】解：设 f（x）ax2+（3+）xa 的零点为 x1，x2，且 x1x2， 则 x2， 令 t，0b1） ， 第 14 页（共 24 页） 求导得 t， 0b时，t0，函数递减；b时，t0，函数递增， b时，t 取得最小值 9，t9， x2在 t9，+）上递减， t9 即 a，b时，x2取得最大值为， 故答案为： 【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，属难题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分 17 （1
25、2 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，S 为其面积，若 4Sa2+c2 b2 （1）求角 B 的大小； （2）设BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，AD3，BD求 cosC 的值 【分析】 （1） 由三角形面积公式， 余弦定理化简已知等式可求 tanB1， 进而可求 B （2）由已知利用正弦定理可得 sinBAD 的值，利用二倍角可求 cosBAC，利用同角三 角函数基本关系式可求 sinBAC 的值， 利用两角差的余弦函数公式可求 cosCcos （ BAC）的值 【解答】 （本题满分为 14 分） 解： （1）由 4Sa2+c2b2，可得：4acsinB2
26、accosB，（2 分） 可得：tanB1，（4 分） 得：B（6 分） 第 15 页（共 24 页） （2）在ABD 中，由正弦定理得：，（7 分） 所以：sinBAD，（8 分） 可得：cosBAC12sin2BAD，（10 分） 所以：sinBAC，（11 分） 所以：cosCcos（BAC）coscosBAC+sinsinBAC， （13 分） + （14 分） 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理，二倍角公式，同角三 角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想， 属于中档题 18 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，ABS 是
27、正三角形，四边形 ABCD 是菱形，点 E 是 BS 的中点 （）求证：SD平面 ACE； （）若平面 ABS平面 ABCD，ABC120，求直线 AC 与平面 ADS 所成角的正弦 值 【分析】 （）连结 BD，设 ACBDF，连结 EF，推导出 SDEF，由此能证明 SD 平面 ACE （）推导出ABD 是正三角形，取 AB 的中点 O，连结 SO，则 DOAB，SOAB，以 O 为原点，OS 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求 出直线 AC 与平面 ADS 所成角的正弦值 【解答】证明： （）连结 BD，设 ACBDF，连结 EF， 四边形
28、 ABCD 中菱形，点 F 是 BD 的中点， 第 16 页（共 24 页） 点 E 是 BS 的中点，EF 是BDS 的中位线， SDEF， SD平面 ACE，EF平面 ACE， SD平面 ACE 解： （）四边形 ABCD 是菱形，且ABC120， ABDABC60， ABAD，ABD 是正三角形， 取 AB 的中点 O，连结 SO，则 DOAB，SOAB， 又平面 ABS平面 ABCD，DO平面 ABCD，平面 ABS平面 ABCDAB， DO平面 ABS， 设 AB2，在等边ABD 中，DOBDsinABD2sin60， 以 O 为原点，OS 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z
29、 轴，建立空间直角坐标系， A（0，1，0） ，C（0，2，） ，D（0，0，） ，S（，0，0） ， （0，3，） ，（0，1，） ，（，1，0） ， 设平面 ADS 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1） ， 设直线 AC 与平面 ADS 所成角为 ， 则 sin 直线 AC 与平面 ADS 所成角的正弦值为 【点评】该题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 第 17 页（共 24 页） 面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19 （12 分）新高考方案的实施，学生对物理学科的选择成了焦点话题某学校为了了解该 校
30、学生的物理成绩，从 A，B 两个班分别随机调查了 40 名学生，根据学生的某次物理成 绩，得到 A 班学生物理成绩的频率分布直方图和 B 班学生物理成绩的频数分布条形图 （）估计 A 班学生物理成绩的众数、中位数（精确到 0.1） 、平均数（各组区间内的数 据以该组区间的中点值为代表） ； （）填写列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为物理成绩与班级有关？ 物理成绩70 的学生数 物理成绩70 的学生数 合计 A 班 B 班 合计 附：； P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87
31、9 【分析】（） 估计 A 班学生物理成绩的众数为 65， 由左至右各个区间的频率分别为 0.1， 0.2，0.3，0.2，0.15，0.05，中位数为 60+1066.7，平均数为 45 0.1+550.2+650.3+750.2+850.15+950.0567.5 （）计算出 K2，结合临界值表可得 【解答】解： （）估计 A 班学生物理成绩的众数为 65， 由左至右各个区间的频率分别为 0.1，0.2，0.3，0.2，0.15，0.05， 中位数为 60+1066.7， 第 18 页（共 24 页） 平均数为 450.1+550.2+650.3+750.2+850.15+950.0567
32、.5 （）列联表如下： 物理成绩70 的学生 数 物理成绩70 的学生 数 合计 A 组 24 16 40 B 组 10 30 40 合计 34 46 80 K210.037.879， 所以有 99.5%的把握认为物理成绩与班级有关 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，ABF1的周长为 20，C 的离心率 （）求 C 的方程； （）设点，0） ，过点 A 作 y 轴的垂线 l，试判断直线 l与直线 BD 的交点是否恒 在一条定直线上？若是，求该定直线的方程；否则，说明
33、理由 【分析】 （）设椭圆 C 的半焦距为 c，由已知求得 a，再由离心率求得 c，结合隐含条 件求得 b，则椭圆方程可求； （）由题意可设 l：xmy+4，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线方程与椭圆方程，利 用根与系数的关系可得 A，B 纵坐标的和与积，再由已知综合运算求得 x，可得直 线 l与直线 BD 的交点恒在一条定直线 x上 【解答】解： （）设椭圆 C 的半焦距为 c， 由椭圆的定义，ABF1的周长为 4a20，解得 a5 又，c4 b2a2c252429 椭圆 C 的方程为； 第 19 页（共 24 页） （）由题意可设 l：xmy+4，A（x1，y1） ，B（x
34、2，y2） ， 由，消去 x 并整理， （9m2+25）y2+72my810 F2（4，0）是椭圆内部一点，0 由根与系数的关系可得， 直线 l的方程为 yy1， 直线 BD 的方程为， 联立得：， 又点 B（x2，y2）在直线 l：xmy+4 上，x2my2+4， 将代入得：， 由，得， 将与代入到得： （与 m 无关） 故直线 l与直线 BD 的交点恒在一条定直线 x上 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题 21 （12 分）已知 f（x）exax2（aR） （）求函数 f（x）的极值； （）若方程 f（x）x+1 仅有一个实数解，求 a 的取值范围 【分
35、析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函 数 带节奏即可； （）问题转化为函数 F（x）exax2x1 有唯一零点，通过讨论 a 的范围，结合函 数的单调性判断函数的零点个数，从而确定 a 的范围即可 【解答】解： （）f（x）ex2a，f（x）ex2a， 第 20 页（共 24 页） （1）若 a0，显然 f（x）0，故 f（x）在 R 递增， 故 f（x）无极值， （2）若 a0，则 f（x）0xln2a，f（x）0xln2a， 故 f（x）在（，ln2a）递减，在（ln2a，+）递增， 故 f（x）极小值f（ln2a）2a（1ln2a） ； （）方程
36、 f（x）x+1 仅有一个实数解 函数 F（x）exax2x1 有唯一零点， F（x）ex2ax1，F（x）ex2a， （1）若 a0，显然 F（x）0，故 F（x）在 R 递增， 又 F（0）0， 故 F（x）在（，0）递减，在（0，+）递增， 故 F（x）F（0）0，当且仅当 x0 时取“” ， 故 a0 时，符合题意； （2）若 a0，则 F（x）0xln2a，F（x）0xln2a， 故 F（x）在（，ln2a）递减，在（ln2a，+）递增， 故 F（x）minF（ln2a）2a2aln2a1， 令 g（a）2a2aln2a1， （a0） ， 则 g（a）22ln2a2a2ln2a， 令
37、 g（a）0，解得：0a， 令 g（a）0，解得：a， 故 g（a）在（0，）递增，在（，+）递减， 故 g（a）g（）0，当且仅当 a时取“” ， 若 0a，则 ln2a0，且 F（ln2a）g（a）0， ln1， （利用：当 x1 时，lnxx1） ， 故ln2a，又 F（）2a（）10，F（ln2a） 0， 第 21 页（共 24 页） 由零点存在定理，结合函数 F（x）在（，ln2a）上递减， 得存在唯一的 x0（，ln2a） ，使得 F（x0）0， 于是，当 x（，x0）时，F（x）0， 注意到 F（0）0，F（x）在（，ln2a）递减，在（ln2a，+）递增， 故 x（，x0）时，
38、F（x）0，x（x0，0）时，F（x）0，x（0，+）时， F（x）0， 故 F（x）在（，x0）递增，在（x0，0）递减，在（0，+）递增， 故 F（x0）F（0）0， 取实数x0ln2a0， 则 F（）e01a（）0， 由零点存在定理，结合函数 F（x）在（，x0）递增， 可得存在唯一的 x1（，x0） ，使得 F（x1）0， 这样，函数 F（x）存在 2 个零点 x0，0， 故 0a不合题意； 若 a，则 ln2a0，且 F（ln2a）g（a）0， 这里 ln2a2a12a+1，且 F（2a+1）（2a+1）22a（2a+1）12a0， （利用了 x1 时，exx2） ， 由零点存在定理
39、，结合函数 F（x）在（ln2a，+）递增， 可得存在唯一 x2ln2a，2a+1） ，使得 F（x2）0， 注意到 F（0）0，F（x）在（，ln2a）递减，在（ln2a，+）递增， 故 x（，0）时，F（x）0，x（0，x2）时，F（x）0，x（x2，+）时， F（x）0， 故 F（x）在（，0）递增，在（0，x2）递减，在（x2，+）递增， 故 F（x2）F（0）0， 取实数 6a， 则 6a2a+1x2， 且 F （6a） e6aa（6a） 26a1 +6a+1a（6a） 26a10， （利用了 x0 时，ex+x+1） ， 第 22 页（共 24 页） 由零点存在定理，结合函数 F（
40、x）的（x2，+）递增， 得存在唯一的 x3（x2，6a） ，使得 F（x3）0， 这样，函数 F（x）存在 2 个零点 x3，0， 故 a不合题意， 若 a，则 F（ln2a）2a2aln2a10， 故 x（，ln2a）时，F（x）0，x（ln2a，+）时，F（x）0， 故函数 F（x）在 R 递增，又 F（0）0， 故 F（x）仅有 1 个零点， 故 a符合题意， 综上，a（，0 【点评】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思 想，转化思想，是一道综合题 请考生在请考生在 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用题中任选一题作答，如果
41、多做，则按所做的第一题计分作答时用 2B 铅铅 笔在答题卡上把对应的题号涂黑笔在答题卡上把对应的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线 C：cos24asin（a0） ，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 直 线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点 （）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程（不要求具体过程） ； （）设 P（2，1） ，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值 【分析】 （） 直接利用转换关系， 把参数方程直角坐标方
42、程和极坐标方程之间进行转换 （）直接利用|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，进一步利用直线和曲线的位置关系和一元 二次方程根和系数关系的应用求出 a 的值 【解答】解： （）曲线 C：cos24asin（a0） ， 转换为直角坐标方程为：x24ay（a0） 直线 l 的参数方程为（t 为参数） 第 23 页（共 24 页） 转换为直角坐标方程为：xy+10 （）将直线 l 的参数方程为（t 为参数）代入曲线 x24ay 得到：， （t1和 t2为 M、N 对应的参数） 所以：，t1t28（a+1） ， 由于：|PM|，|MN|，|PN|成等比数列， 故：， 整理得：32（a+1）240（a
43、+1） ， 解得：a 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元 二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+4|+|xa|（aR） （）当 a1 时，求不等式 f（x）5 的解集； （）当 xR 时，f（x）1 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （）分段去绝对值解不等式在相并； （）利用绝对值不等式的性质求得 f（x）的最小值为|a+2|，然后将不等式恒成立转化 为 f（x）min|a+2|1 解得即可 【解答】解： （）f（x）|2x+4|+|x1|， 当 x2 时，由 f（x）5 得3x35，即 x，所以x2； 当2x1 时，由 f（x）5 得 x+55，即 x0，所以2x0； 当 x1 时，由 f（x）5 得 3x+35，即 x，此时原不等式无解 综上，f（x）5 的解集为，0 （）当 xR 时，f（x）1|2x+4|+|xa|1， 而|2x+4|+|xa|2|x+2|+|xa|x+2|+|xa|（x+2）（xa）|a+2|，当且仅当 x 第 24 页（共 24 页） 2 时取等号 所以函数 f（x）的最小值为|a+2|， 由题意，|a+2|1，解得 a3，或 a1， 所以 a 的取
