1、 第 1 页 共 8 页 上海市静安区上海市静安区 2020 届高三二模数学试卷届高三二模数学试卷 2020.6 一一. 填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1. 若 6 sin 3 x ，则cos(2 )x的值为 2. 若幂函数( )yf x的图像经过点 1 ( ,2) 8 ，则 1 () 8 f 的值为 3. 若 1 ()nx x 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项的值为 4. 若函数( )yf x（xR）是偶函数，在区间(,0上是增函数，2x 是其零点，则 ( )0f x 的解集
2、为 5. 现从 5 男 4 女共 9 名学生中选派 3 名学生参加志愿者活动，则选派 3 名学生中至少有一 名男生的概率为 6. 在平面直角坐标系xOy上，由不等式组 02 2 2 x y xy 所确定的区域为D，若( , )M x y为 区域D上的动点，点( 2,1)A，则zOM OA uuur uur 的最大值为 7. 已知A、B是球心为O的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为 (0,0,0)O，( 2, 1,1)A，(0, 2, 2)B，则A、B两点的球面距离为 8. 设由复数组成的数列 n a满足：对任意的 * nN，都有 1 i n n a a （i是虚数单位），则 数
3、列 n a的前 2020 项和的值为 9. 一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当 前拱桥的最高点离水面 5 米时，量得水面宽度30AB 米，则 当水面升高 1 米后，水面宽度为 米（精确到 0.1 米） 10. 设( ,) nn A n y（ * nN）是函数 1 2yx x 的图像上的点，直线1xn与直线 n yy的 交点为 n B， 1nnn A B A 的面积为 n S，则lim n n S 的值为 11. 如图，直线MN是互相垂直的异面直线MP和NQ的 公垂线，若1MN ，2PQ ，则四面体PMNQ的体积 的最大值为 第 2 页 共 8 页 二二. 选择题（本大题共选择
4、题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 12. 设xR，则“ 2 50xx”是“|1| 1x”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 方程 22 2980xxyy的曲线C所满足的性质为（ ） 不经过第二、四象限； 关于x轴对称； 关于原点对称； 关于直线yx对称； A. B. C. D. 14. 当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象，在新 冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院 人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约 25
5、%，但每日大约有 200 名新冠肺炎患者治 愈出院，已知该市某天下班后由 1000 名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治 4000 名新冠肺炎患者，若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源挤兑” 现象，只需要约（ ） A. 7 天 B. 10 天 C. 13 天 D. 16 天 三三. 解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+18=76 分）分） 15. 如图所示， 圆锥的底面Oe半径为 2，A是圆周上的定点， 动点B在圆周上逆时针旋转， 设AOB（02），C是母线SB的中点， 已知当 2 时，AC与底面所成角为 15 arctan
6、5 . （1）求该圆锥的侧面积； （2）若ACOB，求的值. 第 3 页 共 8 页 16. 若函数( )sin()f xAx（0A ，0，0）满足下列条件：( )f x的 图像向左平移个单位时第一次和原图像重合， 对任意的xR都有( )(2 6 f xf ）成立. （1）求( )f x的解析式； （2）若锐角ABC的内角B满足( )1f B ，且B的对边1b， 求ABC的周长l的取值范围. 17. 已知抛物线 2 :4yx的焦点为F，若ABC的三个顶点都在抛物线上，且 0FAFBFC uuruuruuu rr ，则称该三角形为“核心三角形”. （1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标
7、分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为 4，求直线AB的方程； （3）已知ABC是“核心三角形”，证明：点A的横坐标小于 2. 第 4 页 共 8 页 18. 设无穷数列 n a的每一项均为正数，对于给定的正整数k， nnn k baa （ * nN）， 若 n b是等比数列，则称 n a为( )B k数列. （1）求证：若 n a是无穷等比数列，则 n a是( )B k数列； （2）请你写出一个不是等比数列的(1)B数列的通项公式； （3）设 n a为(1)B数列，且满足 2 213 aaa，请用数学归纳法证明： n a是等比数列.
8、 第 5 页 共 8 页 上海市静安区上海市静安区 2020 届高三二模数学答案届高三二模数学答案 一一. 填空填空题题 1. 1 3 2. 2 3. 20 4. ( 2,2) 5. 20 21 6. 4 7. 8. 0 9. 26.5 10. 1 11. 1 4 二二. 选择选择题题 12. B 13. A 14. C 三三. 解答题解答题 15.（1） 2 AOB ，OAOB， 设D为OB中点，联结CD，则CDSO， SO 平面AOB，CD 平面AOB， 15 arctan 5 CAD， 2 分 在 RtAOD中，2OA ， 2 AOD ，得：5AD ， 3 分 得： 15 5tan(ar
9、ctan)3 5 CD ，2 3SO ， 4 分 4SA ， 5 分 1 2 248 2 S . 7 分 （2）解法一：如图建立空间直角坐标系Oxyz， 8 分 则(2,0,0)A，(2cos ,2sin ,0)B， (0,0,2 3)S，(cos ,sin , 3)C， (cos2,sin , 3)AC uuu r ， (2cos ,2sin ,0)OB uuu r ， 10 分 由题意， 1 0cos 2 AC OB uuu r uu u r ， 12 分 02， 3 或 5 3 . 14 分 解法二：设D为OB中点，联结CD，则CDSO， CDOB， 9 分 第 6 页 共 8 页 又A
10、COB，可得：OB 平面ADCADOB，OAAB， 11 分 AOB是等边三角形， 12 分 3 或 5 3 . 14 分 解法三：设E为SO中点，联结CE、AE，ACCE， 8 分 设D为OB中点，联结CD、AD，CDAD， 9 分 在ADO中，由余弦定理有： 2 54cosAD， 10 分 在 RtADC中， 2 84cosAC，在AOE中， 2 7AE ， 在 RtACE中， 222 AEACCE，即得 1 cos 2 ， 12 分 02， 3 或 5 3 . 14 分 16.（1）由题意可得：最小正周期T，由 2 T ，解得：2， 2 分 ( )()2 6 f xf ，2A ， 4 分
11、 22 62 k ，2 6 k ，kZ，又0， 6 ， 6 分 ( )2sin(2) 6 f xx . （2）2sin(2)1 6 B ， 3 B ， 7 分 又0 2 BA ，0 2 A ， 62 A ， 8 分 sinsin sin() 3 bac BA A ， 2sin 3 A a ， 2 2sin() 3 3 A c ， 2 2sin() 2sin 3 12sin() 1 633 A A lA ， 12 分 2 (,) 633 A ，周长(13,3l. 14 分 17.（1）第三个顶点的坐标为3(1,0)(0,0)(1,2)(2, 2)， 但点(2, 2)不在抛物线上， 这样的“核心三
12、角形”不存在.（反证法叙述同样给分） 5 分 （2）设直线AB的方程为4yxt，与 2 4yx联立得： 2 0yyt ， 7 分 第 7 页 共 8 页 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 33 (,)C x y， 12 1yy， 1212 11 (2 ) 442 t xxyyt， 由 123123 (,)(3,0)xxx yyy得： 3 11 24 t x ， 3 1y ， 10 分 代入方程 2 4yx，解得：5m ，直线AB的方程为450xy. 12 分 （3）设直线BC的方程为xnym，与 2 4yx联立得： 2 440ynym， 13 分 直线BC与抛物线相交，判
13、别式 2 16()0nm ， 14 分 23 4yyn， 2 23 42xxnm，点A的坐标为 2 ( 423, 4 )nmn， 又点A在抛物线上， 22 1616812nnm ，得 2 3 4 2 mn ， 2 mn ， 2 1 2 n ， 点A的横坐标 2222 4234842nmnnn . 19 分 注：（3）也可以用反证法证明，同样给分. 18.（1）设 n a是公比为q的等比数列，对于给定的正整数k， nnn k baa （ * nN）， 111nnnk baa ， 2 111 0 nnnk nnn k baa q baa ， 又 111 0 k ba a， n b是等比数列， n
14、a为( )B k数列. 6 分 （2） 1 1 1 2 21 2 k n k a qnk a a qnk （ 22 21 aa q）.（答案不唯一） 12 分 简洁的例子如： 121 22 n nk a nk （ * k N）. （3） n a为(1)B数列， n b是等比数列，其中 1nnn baa （ * nN）， 1122 1 nnnn nnnn baaa baaa （ * nN）， 2 n n a a （ * nN）是常数列，设常数为 2 q，即 2 2n n a q a （ * nN）， 以下用数学归纳法证明（一） 2 12nnn aaa （ * nN）， （i）由已知 2 213
15、aaa可得：当1n 时命题成立； 13 分 第 8 页 共 8 页 （ii）假设1nk（ * nN，2k ）时命题成立，即， 2 11kkk aaa ， 14 分 当nk时， 2 n n a a （ * nN）是常数列， 16 分 21 1 kk kk aa aa （ * nN，2k ）， 22 1 21 1 k kkkk k a aaaa a ， 18 分 等式也成立. 根据（i）和（ii）可以断定， 2 12nnn aaa 对任何 * nN都成立， 即 n a是等比数列. 19 分 令 1n n n a c a ，以下用数学归纳法证明（二） n cq（ * nN）， （i） 2 213 aaa， 32 21 aa aa ， 22 32 11 () aa q aa ， 2 1 a q a ，即 1 cq， 当1n 时命题成立， 13 分 假设nk（ * k N，1k ）时命题成立，即 k cq（ 1k k a q a ）； 14 分 （ii）当1nk时， 2 221 1 112 kkk k kkk aaaa cqq aaaa ， 18 分 等式也成立； 根据（i）和（ii）可以断定， n cq对任何 * nN都成立，即 n a是等比数列. 19 分 注：其它表述方法同样给分.
