上海市静安区2020届高三第二次模拟数学试卷(含答案)

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1、 第 1 页 共 8 页 上海市静安区上海市静安区 2020 届高三二模数学试卷届高三二模数学试卷 2020.6 一一. 填空题(本大题共填空题(本大题共 12 题,题,1-6 每题每题 4 分,分,7-12 每题每题 5 分,共分,共 54 分)分) 1. 若 6 sin 3 x ,则cos(2 )x的值为 2. 若幂函数( )yf x的图像经过点 1 ( ,2) 8 ,则 1 () 8 f 的值为 3. 若 1 ()nx x 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项的值为 4. 若函数( )yf x(xR)是偶函数,在区间(,0上是增函数,2x 是其零点,则 ( )0f x 的解集

2、为 5. 现从 5 男 4 女共 9 名学生中选派 3 名学生参加志愿者活动,则选派 3 名学生中至少有一 名男生的概率为 6. 在平面直角坐标系xOy上,由不等式组 02 2 2 x y xy 所确定的区域为D,若( , )M x y为 区域D上的动点,点( 2,1)A,则zOM OA uuur uur 的最大值为 7. 已知A、B是球心为O的球面上的两点,在空间直角坐标系中,它们的坐标分别为 (0,0,0)O,( 2, 1,1)A,(0, 2, 2)B,则A、B两点的球面距离为 8. 设由复数组成的数列 n a满足:对任意的 * nN,都有 1 i n n a a (i是虚数单位),则 数

3、列 n a的前 2020 项和的值为 9. 一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示,已知当 前拱桥的最高点离水面 5 米时,量得水面宽度30AB 米,则 当水面升高 1 米后,水面宽度为 米(精确到 0.1 米) 10. 设( ,) nn A n y( * nN)是函数 1 2yx x 的图像上的点,直线1xn与直线 n yy的 交点为 n B, 1nnn A B A 的面积为 n S,则lim n n S 的值为 11. 如图,直线MN是互相垂直的异面直线MP和NQ的 公垂线,若1MN ,2PQ ,则四面体PMNQ的体积 的最大值为 第 2 页 共 8 页 二二. 选择题(本大题共选择

4、题(本大题共 4 题,每题题,每题 5 分,共分,共 20 分)分) 12. 设xR,则“ 2 50xx”是“|1| 1x”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 方程 22 2980xxyy的曲线C所满足的性质为( ) 不经过第二、四象限; 关于x轴对称; 关于原点对称; 关于直线yx对称; A. B. C. D. 14. 当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象,在新 冠肺炎爆发期间,境外某市每日下班后统计住院人数,从中发现:该市每日因新冠肺炎住院 人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约 25

5、%,但每日大约有 200 名新冠肺炎患者治 愈出院,已知该市某天下班后由 1000 名新冠肺炎患者住院治疗,该市的医院共可收治 4000 名新冠肺炎患者,若继续按照这样的规律发展,该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源挤兑” 现象,只需要约( ) A. 7 天 B. 10 天 C. 13 天 D. 16 天 三三. 解答题(本大题共解答题(本大题共 5 题,共题,共 14+14+14+16+18=76 分)分) 15. 如图所示, 圆锥的底面Oe半径为 2,A是圆周上的定点, 动点B在圆周上逆时针旋转, 设AOB(02),C是母线SB的中点, 已知当 2 时,AC与底面所成角为 15 arctan

6、5 . (1)求该圆锥的侧面积; (2)若ACOB,求的值. 第 3 页 共 8 页 16. 若函数( )sin()f xAx(0A ,0,0)满足下列条件:( )f x的 图像向左平移个单位时第一次和原图像重合, 对任意的xR都有( )(2 6 f xf )成立. (1)求( )f x的解析式; (2)若锐角ABC的内角B满足( )1f B ,且B的对边1b, 求ABC的周长l的取值范围. 17. 已知抛物线 2 :4yx的焦点为F,若ABC的三个顶点都在抛物线上,且 0FAFBFC uuruuruuu rr ,则称该三角形为“核心三角形”. (1)是否存在“核心三角形”,其中两个顶点的坐标

7、分别为(0,0)和(1,2)?请说明理由; (2)设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为 4,求直线AB的方程; (3)已知ABC是“核心三角形”,证明:点A的横坐标小于 2. 第 4 页 共 8 页 18. 设无穷数列 n a的每一项均为正数,对于给定的正整数k, nnn k baa ( * nN), 若 n b是等比数列,则称 n a为( )B k数列. (1)求证:若 n a是无穷等比数列,则 n a是( )B k数列; (2)请你写出一个不是等比数列的(1)B数列的通项公式; (3)设 n a为(1)B数列,且满足 2 213 aaa,请用数学归纳法证明: n a是等比数列.

8、 第 5 页 共 8 页 上海市静安区上海市静安区 2020 届高三二模数学答案届高三二模数学答案 一一. 填空填空题题 1. 1 3 2. 2 3. 20 4. ( 2,2) 5. 20 21 6. 4 7. 8. 0 9. 26.5 10. 1 11. 1 4 二二. 选择选择题题 12. B 13. A 14. C 三三. 解答题解答题 15.(1) 2 AOB ,OAOB, 设D为OB中点,联结CD,则CDSO, SO 平面AOB,CD 平面AOB, 15 arctan 5 CAD, 2 分 在 RtAOD中,2OA , 2 AOD ,得:5AD , 3 分 得: 15 5tan(ar

9、ctan)3 5 CD ,2 3SO , 4 分 4SA , 5 分 1 2 248 2 S . 7 分 (2)解法一:如图建立空间直角坐标系Oxyz, 8 分 则(2,0,0)A,(2cos ,2sin ,0)B, (0,0,2 3)S,(cos ,sin , 3)C, (cos2,sin , 3)AC uuu r , (2cos ,2sin ,0)OB uuu r , 10 分 由题意, 1 0cos 2 AC OB uuu r uu u r , 12 分 02, 3 或 5 3 . 14 分 解法二:设D为OB中点,联结CD,则CDSO, CDOB, 9 分 第 6 页 共 8 页 又A

10、COB,可得:OB 平面ADCADOB,OAAB, 11 分 AOB是等边三角形, 12 分 3 或 5 3 . 14 分 解法三:设E为SO中点,联结CE、AE,ACCE, 8 分 设D为OB中点,联结CD、AD,CDAD, 9 分 在ADO中,由余弦定理有: 2 54cosAD, 10 分 在 RtADC中, 2 84cosAC,在AOE中, 2 7AE , 在 RtACE中, 222 AEACCE,即得 1 cos 2 , 12 分 02, 3 或 5 3 . 14 分 16.(1)由题意可得:最小正周期T,由 2 T ,解得:2, 2 分 ( )()2 6 f xf ,2A , 4 分

11、 22 62 k ,2 6 k ,kZ,又0, 6 , 6 分 ( )2sin(2) 6 f xx . (2)2sin(2)1 6 B , 3 B , 7 分 又0 2 BA ,0 2 A , 62 A , 8 分 sinsin sin() 3 bac BA A , 2sin 3 A a , 2 2sin() 3 3 A c , 2 2sin() 2sin 3 12sin() 1 633 A A lA , 12 分 2 (,) 633 A ,周长(13,3l. 14 分 17.(1)第三个顶点的坐标为3(1,0)(0,0)(1,2)(2, 2), 但点(2, 2)不在抛物线上, 这样的“核心三

12、角形”不存在.(反证法叙述同样给分) 5 分 (2)设直线AB的方程为4yxt,与 2 4yx联立得: 2 0yyt , 7 分 第 7 页 共 8 页 设 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy, 33 (,)C x y, 12 1yy, 1212 11 (2 ) 442 t xxyyt, 由 123123 (,)(3,0)xxx yyy得: 3 11 24 t x , 3 1y , 10 分 代入方程 2 4yx,解得:5m ,直线AB的方程为450xy. 12 分 (3)设直线BC的方程为xnym,与 2 4yx联立得: 2 440ynym, 13 分 直线BC与抛物线相交,判

13、别式 2 16()0nm , 14 分 23 4yyn, 2 23 42xxnm,点A的坐标为 2 ( 423, 4 )nmn, 又点A在抛物线上, 22 1616812nnm ,得 2 3 4 2 mn , 2 mn , 2 1 2 n , 点A的横坐标 2222 4234842nmnnn . 19 分 注:(3)也可以用反证法证明,同样给分. 18.(1)设 n a是公比为q的等比数列,对于给定的正整数k, nnn k baa ( * nN), 111nnnk baa , 2 111 0 nnnk nnn k baa q baa , 又 111 0 k ba a, n b是等比数列, n

14、a为( )B k数列. 6 分 (2) 1 1 1 2 21 2 k n k a qnk a a qnk ( 22 21 aa q).(答案不唯一) 12 分 简洁的例子如: 121 22 n nk a nk ( * k N). (3) n a为(1)B数列, n b是等比数列,其中 1nnn baa ( * nN), 1122 1 nnnn nnnn baaa baaa ( * nN), 2 n n a a ( * nN)是常数列,设常数为 2 q,即 2 2n n a q a ( * nN), 以下用数学归纳法证明(一) 2 12nnn aaa ( * nN), (i)由已知 2 213

15、aaa可得:当1n 时命题成立; 13 分 第 8 页 共 8 页 (ii)假设1nk( * nN,2k )时命题成立,即, 2 11kkk aaa , 14 分 当nk时, 2 n n a a ( * nN)是常数列, 16 分 21 1 kk kk aa aa ( * nN,2k ), 22 1 21 1 k kkkk k a aaaa a , 18 分 等式也成立. 根据(i)和(ii)可以断定, 2 12nnn aaa 对任何 * nN都成立, 即 n a是等比数列. 19 分 令 1n n n a c a ,以下用数学归纳法证明(二) n cq( * nN), (i) 2 213 aaa, 32 21 aa aa , 22 32 11 () aa q aa , 2 1 a q a ,即 1 cq, 当1n 时命题成立, 13 分 假设nk( * k N,1k )时命题成立,即 k cq( 1k k a q a ); 14 分 (ii)当1nk时, 2 221 1 112 kkk k kkk aaaa cqq aaaa , 18 分 等式也成立; 根据(i)和(ii)可以断定, n cq对任何 * nN都成立,即 n a是等比数列. 19 分 注:其它表述方法同样给分.

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