1、已知集合 A1，0，1，2，集合 Bx|x0，则 AB（ ） A1，2 B1，0 C0，1，2 D1 2（5 分） 若 i 为虚数单位， 复数 z 在复平面中对应的点为， 则 z2019的值是 （ ） A1 Bi Ci D1 3 （5 分）已知 cos2sin，则 cos2（ ） A B C D 4 （5 分）已知抛物线 C：x22py（p0）的准线 l 与圆 M： （x1）2+（y2）216 相切， 则 p（ ） A6 B8 C3 D4 5 （5 分） 已知向量 与向量 满足| |3， | |2， |2， 则 与 的夹角为 （ ） A B C D 6 （5 分）某旅游公司为了推出新的旅游产品
2、项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红 景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研若每名工作人 员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景 点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A18 B36 C54 D72 7 （5 分）已知 F 是双曲线的右焦点，点 M 在 C 的右支上， 坐标原点为 O，若|FM|2|OF|，且OFM120，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D 8 （5 分）已知三棱锥 DABC 的四个顶点在球 O 的球面上，若 ABACBCDBDC 1，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，球 O 的表面积为（ ）
3、A B2 C5 D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 第 2 页（共 21 页） 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）如图所示的图象不可能是下列哪个函数的（ ） A B Cyx2ln|x1| Dytanxln（x+1） 10 （5 分）把函数的图象向左平移 （0）个单位长度可以得 到函数 g（x）的图象，若 g（x）的图象关于 y 轴对称，则 的值可能为（
4、 ） A B C D 11 （5 分）给出下面四个推断，其中正确的为（ ） A若 a，b（0，+） ，则2 B若 x，y（0，+） ，则 lgx+lgy2 C若 aR，a0，则 D若 x，yR，xy0，则2 12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）的图象是连续不断的曲线，且 f（x）f（x）e2x， 当 x0 时，f（x）f（x）恒成立，则下列判断不正确的是（ ） Ae5f（2）f（3） Bf（2）e5f（3） Ce5f（2）f（3） Df（2）e5f（3） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）命题： “x0
5、R，使得”的否定是 14（5 分） 为了落实 “回天计划” ， 政府准备在回龙观、 天通苑地区各建一所体育文化公园 针 对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于 21 岁至 65 岁的居民进行了 调查已知该社区 21 岁至 35 岁的居民有 840 人，36 岁至 50 岁的居民有 700 人，51 岁 第 3 页（共 21 页） 至 65 岁的居民有 560 人若从 36 岁至 50 岁的居民中随机抽取了 100 人，则这次抽样调 查抽取的总人数是 15 （5 分）偶函数 f（x）满足 f（x1）f（x+1） ，且当 x0，1时，f（x）x，则 f（） ，则若在区间1，3内，函数
6、 g（x）f（x）kxk 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是 16 （5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1+2a2+2n 1a nn，则 S5 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2ccosCacosB+bcosA （1）求角 C （2）若ABC 的面积为 S，且 4Sb2（ac）2，a2，求 S 18 （12 分） 在各项均不相等的等差数列an中，a11，且成 a1，a2，a5等比
7、数列，数列bn 的前 n 项和 Sn2n+12 （1）求数列an、bn的通项公式； （2）设，求数列cn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）进入 12 月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严 格落实机动车限行等一系列“管控令” ，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限 行”的赞同情况，随机采访了 220 名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了 统计，得到如下的 22 列联表： 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 90 20 110 有私家车 70 40 110 合计 160 60 220 （）根据上面的列联表判断，能否有 99%的把握认为“赞同限行与是
8、否拥有私家车” 有关； （）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同 限行的人员中按分层抽样抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽出 2 名进行电话回访，求抽到 的 2 人中至少有 1 名“没有私家车”人员的概率 参考公式：K2 第 4 页（共 21 页） P（K2k） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，四边形 ABCD 是菱形，AC 2，BD2，且 AC、BD 交于点 O，E 是 PB 上任意一点 （1）求证：
9、ACDE； （2）已知二面角 APBD 的余弦值为，若 E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB 所成 角的正弦值 21 （12 分）已知椭圆+1（ab0）的左顶点为 A1，右焦点为 F2，过点 F2作垂 直于 x 轴的直线交该椭圆于 M，N 两点，直线 A1M 的斜率为 （1）求椭圆的离心率； （2）若A1MN 的外接圆在 M 处的切线与椭圆交于另一点 D，且F2 MD 的面积为， 求该椭圆方程 22 （12 分）已知函数 f（x）ex+ax+b，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 exy20 （1）求函数 f（x）的解析式，并证明：f（x）x1 （2）已知 g（x）
10、kx2，且函数 f（x）与函数 g（x）的图象交于 A（x1，y1） ，B（x2， y2）两点，且线段 AB 的中点为 P（x0，y0） ，证明：f（x0）g（1）y0 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年山东省临沂市临沭县高三（上）期末数学试卷学年山东省临沂市临沭县高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 A1，0，1，2，集
11、合 Bx|x0，则 AB（ ） A1，2 B1，0 C0，1，2 D1 【分析】根据交集的定义求解即可 【解答】解：集合 A1，0，1，2，集合 Bx|x0，则 AB1，0 故选：B 【点评】本题考查列举法，描述法及交集的定义，是基础题 2（5 分） 若 i 为虚数单位， 复数 z 在复平面中对应的点为， 则 z2019的值是 （ ） A1 Bi Ci D1 【分析】由已知可得 z，得到 z31，再由 z2019（z3）673求解 【解答】解：由题意，z，则 z31， z2019（z3）6731， 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题
12、3 （5 分）已知 cos2sin，则 cos2（ ） A B C D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sin2+sin10，解得 sin 的值， 根据二倍角的余弦函数公式即可求值得解 【解答】解：cos2sin， sin2+sin1，即 sin2+sin10，解得：sin，或（舍去） ， cos22cos212sin12 故选：D 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式在三角函数 第 6 页（共 21 页） 化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 4 （5 分）已知抛物线 C：x22py（p0）的准线 l 与圆 M： （x1）2+（y2）216
13、 相切， 则 p（ ） A6 B8 C3 D4 【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可 【解答】解：抛物线 C：x22py（p0）的准线 l：y与圆 M： （x1）2+（y2） 216 相切， 可得4，解得 p4 故选：D 【点评】本题考查抛物线的简单性质以及抛物线与圆的位置关系的应用，是基本知识的 考查 5 （5 分） 已知向量 与向量 满足| |3， | |2， |2， 则 与 的夹角为 （ ） A B C D 【分析】设 与 的夹角为 ，由条件利用两个向量的数量积的定义，求得 cos 的值，可 得 的值 【解答】解：设 与 的夹角为 ，| |3，| |2，|2， 4+
14、4+413，即 49+432cos+4413， 求得 cos， 故选：C 【点评】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的 定义，属于基础题 6 （5 分）某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红 景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研若每名工作人 员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景 点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A18 B36 C54 D72 【分析】根据分步计数原理，把 2 元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得 第 7 页（共 21 页） 以解决
15、 【解答】解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把 A，B 看作一个复合元素，则本 题等价于 4 个元素分配到 3 个位置，每一个位置至少一个， 故有 C42A3336 种， 故选：B 【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想 7 （5 分）已知 F 是双曲线的右焦点，点 M 在 C 的右支上， 坐标原点为 O，若|FM|2|OF|，且OFM120，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】运用余弦定理可得|MF1|2c，再由双曲线的定义可得|MF1|MF|2a，即为 2c2c2a，运用离心率公式计算即可得到所求值 【解答】解：由题意可得|MF|F1F|2c，MF
16、F1120， 即有|MF1|2|MF|2+|F1F|22|MF|F1F|cosMFF1 4c2+4c224c2 （）12c2， 即有|MF1|2c， 由双曲线的定义可得|MF1|MF|2a，即为 2c2c2a， 即有 ca，可得 e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运 算能力，属于中档题 8 （5 分）已知三棱锥 DABC 的四个顶点在球 O 的球面上，若 ABACBCDBDC 1，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，球 O 的表面积为（ ） A B2 C5 D 【分析】三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，平面 ABC平面 DBC，取
17、BC 的中点 G， 连接 AG，DG，分别取ABC 与DBC 的外心 E，F，分别过 E，F 作平面 ABC 与平面 DBC 的垂线，相交于 O，则 O 为四面体 ABCD 的球心，求出外接球的半径，然后求解球 的表面积 第 8 页（共 21 页） 【解答】解：如图，当三棱锥 DABC 的体积取到最大值时，则平面 ABC平面 DBC， 取 BC 的中点 G，连接 AG，DG，则 AGBC，DGBC 分别取ABC 与DBC 的外心 E，F，分别过 E，F 作平面 ABC 与平面 DBC 的 垂线，相交于 O，则 O 为四面体 ABCD 的球心， 由 ABACBCDBDC1，得正方形 OEGF 的
18、边长为，则 OG 四面体 ABCD 的外接球的半径 R 球 O 的表面积为， 故选：A 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的外接球的表面积的求法，几何体的 体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）如图所示的图象不可能是下列哪个函数的（ ） 第 9 页（共 21 页） A B
19、Cyx2ln|x1| Dytanxln（x+1） 【分析】根据函数的定义域，取值范围是否对应进行判断即可 【解答】解：A由 f（x）0，得 x0 或 x2，函数的定义域为x|x1，当 0x1 时，f（x）0，与图象不一致，故 A 错误， B当 x0 时，分母 ln|x1|ln10，分母不可能为 0，故 B 错误， D由 x+10 得 x1，即函数的定义域不满足条件，故 D 错误， 故选：ABD 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的定义域以及对应性质利用排 除法是解决本题的关键难度中等 10 （5 分）把函数的图象向左平移 （0）个单位长度可以得 到函数 g（x）的图象，若 g（
20、x）的图象关于 y 轴对称，则 的值可能为（ ） A B C D 【分析】根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，可得 g（x）sin（2x+2） ， 再根据正弦函数、余弦函数的图象的对称性，可得 2k+，kz，再结合结合 0，可得 的值 【解答】解：函数 f（x）sin（2x）的图象向左平移 （0）个单位， 可以得到函数 g（x）sin2（x+）sin（2x+2）的图象， 再根据若 g（x）的图象关于 y 轴对称，可得 g（x）为偶函数，故 2k+，kz， 结合 0，可得 ，或 ， 故选：AD 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的 图象的对称性
21、，属于基础题 11 （5 分）给出下面四个推断，其中正确的为（ ） A若 a，b（0，+） ，则2 B若 x，y（0，+） ，则 lgx+lgy2 第 10 页（共 21 页） C若 aR，a0，则 D若 x，yR，xy0，则2 【分析】根据基本不等式的应用条件一正，二定，三相等逐个判断即可 【解答】解：A 正确，a0、b0，故22，当且仅当 ab 时上式取 等号； B 不正确，lgx 和 lgy 不一定是正实数，故不可用基本不等式； C 不正确，a0 时，则不成立； D 正确， 若 x， yR， xy0， 则， ， 则2，当且仅当 x 与 y 互为相反数时取等号 故选：AD 【点评】本题考查
22、了基本不等式的应用，考查对数函数的性质及计算能力属于基础题 12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）的图象是连续不断的曲线，且 f（x）f（x）e2x， 当 x0 时，f（x）f（x）恒成立，则下列判断不正确的是（ ） Ae5f（2）f（3） Bf（2）e5f（3） Ce5f（2）f（3） Df（2）e5f（3） 【分析】令 g（x），依题意可知偶函数 g（x）在（0，+）单调递增，由 g（ 3）g（3）g（2）g（2） ，对四个选项逐一分析判断即可 【解答】解：令 g（x）， 则 g（x）， 由题意知，当 x0 时，f（x）f（x） ， 故 g（x）在（0，+）单调递增， 故 g（3）
23、g（2） ， f（x）f（x）e2x， ，即 g（x）g（x） ， g（x）为偶函数， g（2）g（2） ，g（3）g（3） ， 第 11 页（共 21 页） 对于 A，由得：e 5f（2）f（3） ，故 A 错误； 对于 B，g（3）g（2），即 f（2）e5f（3） ，即 B 正确， 对于 C，g（2）g（3），即 e5f（2）f（3） ，故 C 错误； 对于 D，g（2）g（3），即 f（2）e 5f（3） ，故 D 错误； 综上所述，给出的四个选项，判断不正确的是 ACD 故选：ACD 【点评】本题考查了函数恒成立问题，突出考查导数判断函数单调性的应用，考查构造 函数思想以及等价转化思
24、想，是一道难题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）命题： “x0R，使得”的否定是 xR，x2x+0 【分析】由带量词的命题否定规则可得 【解答】解：特称命题的否定为全称命题， 则命题： “x0R，使得”的否定是xR，x2x+0， 故答案为：xR，x2x+0， 【点评】本题考查全称命题的否定，属基础题 14（5 分） 为了落实 “回天计划” ， 政府准备在回龙观、 天通苑地区各建一所体育文化公园 针 对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于 21 岁至 65 岁的居民进行了 调查已知该社区 21 岁至
25、 35 岁的居民有 840 人，36 岁至 50 岁的居民有 700 人，51 岁 至 65 岁的居民有 560 人若从 36 岁至 50 岁的居民中随机抽取了 100 人，则这次抽样调 查抽取的总人数是 300 【分析】根据分层抽样是按比例抽样列式可得 【解答】解：这次抽样调查抽取的总人数是300 故答案为：300 【点评】本题考查了分层抽样，属基础题 15 （5 分）偶函数 f（x）满足 f（x1）f（x+1） ，且当 x0，1时，f（x）x，则 f（） 第 12 页（共 21 页） ，则若在区间1，3内，函数 g（x）f（x）kxk 有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是 （0， 【分
26、析】根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为 2 的周期函数，利用函数与方程之 间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可 【解答】解：偶函数 f（x）满足 f（x1）f（x+1） ， f（x）f（x+2） ， 即函数 f（x）是周期为 2 的周期函数， 则 f（）f（2）f（）f（）， 若1x0，则 0x1， 则 f（x）xf（x） ， 即 f（x）x，1x0， 由 g（x）f（x）kxk0 得 f（x）k（x+1） ， 要使函数 g（x）f（x）kxk 有 4 个零点 等价为函数 f（x）与 g（x）k（x+1）有四个不同的交点， 作出两个函数的图象如图： g（x）过定
27、点 A（1，0） ，f（3）1， 则 k 满足 0g（3）1， 即 04k1，得 0k， 即实数 k 的取值范围是（0， 故答案为：， （0， 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的奇偶性以及利用数形结 合进行转化是解决本题的关键 第 13 页（共 21 页） 16 （5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1+2a2+2n 1a nn，则 S5 【分析】由题意可得数列的首项，将 n 换为 n1，相减可得数列的通项公式，再由求和 公式计算可得所求和 【解答】解：a1+2a2+2n 1a nn， 可得 n1 时，a11， n2 时，a1+2a2+2n 2a n1n1
28、， 又 a1+2a2+2n 1a nn， 相减可得 2n 1a n1， 即 an（）n 1， 上式对 n1 也成立， 可得数列an首项为 1，公比为的等比数列， 可得 S5 故答案为： 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的定义和求和公式的运用，考 查化简运算能力，属于基础题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2ccosCacosB+bcosA （1）求角 C （2）若ABC 的面积为 S，
29、且 4Sb2（ac）2，a2，求 S 【分析】 （1）由已知等式结合正弦定理化边为角，整理可得 cosC，则角 C 可求； （2）由 4Sb2（ac）2结合余弦定理得 B，再由 a 值求得 c，则三角形面积可求 【解答】解： （1）由 2ccosCacosB+bcosA， 得 2sinCcosCsinAcosB+sinBcosA， 2sinCcosCsin（A+B）sinC， ， C（0，） ， 第 14 页（共 21 页） （2）由 4Sb2（ac）2b2a2c2+2ac2acsinB， 得2accosB+2ac2acsinB， sinB+cosB1，则， ，（，） ， ，得， 又 a2，c
30、atanC2 S 【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查计算能力，是 中档题 18 （12 分） 在各项均不相等的等差数列an中，a11，且成 a1，a2，a5等比数列，数列bn 的前 n 项和 Sn2n+12 （1）求数列an、bn的通项公式； （2）设，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）设数列an的公差为 d（d0） ，运用等差数列的通项公式和等比数列的中 项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式 an；运用数列的递推式，计算 可得所求 bn； （2）求得 cn2an+log2bn22n 1+n，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的
31、 求和公式，计算可得所求和 【解答】解： （1）设数列an的公差为 d，则 a2a1+d，a5a1+4d， a1，a2，a5成等比例，即， 整理得 d22a1d，解得 d0（舍去）或 d2a12， ana1+（n1）d2n1， 当 n2 时， 当 n1 时，b12 满足上式， 所以数列bn的通项公式为 （2）由（1）得， 第 15 页（共 21 页） 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和 方法：分组求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题 19 （12 分）进入 12 月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严 格落实机动车限行等一系列
32、“管控令” ，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限 行”的赞同情况，随机采访了 220 名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了 统计，得到如下的 22 列联表： 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 90 20 110 有私家车 70 40 110 合计 160 60 220 （）根据上面的列联表判断，能否有 99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车” 有关； （）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同 限行的人员中按分层抽样抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽出 2 名进行电话回访，求抽到 的 2 人中至少有 1 名“没有私家车”人员的概率
33、参考公式：K2 P（K2k） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 【分析】 （）根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论； （）利用分层抽样法和列举法，求出基本事件数，计算所求的概率值 【 解 答 】 解 ：（ ） 根 据 列 联 表 ， 计 算 9.1676.635， 所以有 99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关” ； （） 从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取 6 人， 没有私家车的应抽取 2 人， 记为 A、 第 16 页（共 21 页） B， 有私家车的抽取 4 人，记为 c、d、e、f；从这
34、 6 人中随机抽取 2 人，基本事件为： AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef 共 15 种； 则抽到的 2 人中至少有 1 人“没有私家车”的基本事件为： AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf 共 9 种； 故所求的概率为 P 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问 题，是基础题 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，四边形 ABCD 是菱形，AC 2，BD2，且 AC、BD 交于点 O，E 是 PB 上任意一点 （1）求证：ACDE； （2）已知二面角
35、APBD 的余弦值为，若 E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB 所成 角的正弦值 【分析】 （1）根据题意，先证明 AC平面 PBD，再根据线面垂直的性质得出结论； （2）连接 OE，在PBD 中，OEPD，OE平面 ABCD，分别以，为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 PDt，求出平面 PBD 的一个法向量为 ，平面 PAB 的一个法向量为 利用二面角 APBD 的余弦值为，求出 t，再根据直线与平面所成的角的公式，求出 所求结论即可 【解答】解： （1 证明：PD平面 ABCD，AC平面 ABCD， PDAC， 第 17 页（共 21 页） 又四边形 ABC
36、D 为菱形，BDAC， 又 BDPDD， AC平面 PBD，DE平面 PBD， ACDE； （2）连接 OE，在PBD 中，OEPD，OE平面 ABCD， 分别以，为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 设 PDt， 则 A （1， 0， 0） ， C （1， 0， 0） ， 由（1）知，平面 PBD 的一个法向量为（1，0，0） ， 设平面 PAB 的一个法向量为 （x， y， z） ， 则由，即，令 y1，则， 二面角 APBD 的余弦值为， |，t3， 设 EC 与平面 PAB 所成的角为 ， ， sin|cos| 【点评】考查线面垂直的性质定理，向量法求法向量，二面角的
37、应用，直线与平面所成 第 18 页（共 21 页） 的角的计算等，中档题 21 （12 分）已知椭圆+1（ab0）的左顶点为 A1，右焦点为 F2，过点 F2作垂 直于 x 轴的直线交该椭圆于 M，N 两点，直线 A1M 的斜率为 （1）求椭圆的离心率； （2）若A1MN 的外接圆在 M 处的切线与椭圆交于另一点 D，且F2 MD 的面积为， 求该椭圆方程 【分析】 （1）由题意可知列方程：，即可求得 M（c，） ，由斜率公式可 求得 a2c，e； （2）由（1）可知，椭圆方程为：，设外接圆的圆心为 T（t，0） ，由丨 TA 丨丨 TM 丨得（t+2c）2+（tc）2+c2，求得 T（） ，
38、求得切线方程，代入椭圆方 程，求得丨 CD 丨，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式，代入即可求得 c 的值， 求得椭圆方程 【解答】解：由题意可知：设 M（x，y） ，由， M（c，） ， ， a2c， e； （2）由 b2a2c24c2c23c2， bc， 椭圆方程为：，M（c，c） ，A1（2c，0） ， 第 19 页（共 21 页） 设外接圆的圆心为 T（t，0） ，由丨 TA 丨丨 TM 丨得（t+2c）2（tc）2+c2， 整理得：6tcc2， t， T（，0） ， kDM， 切线斜率 k， 切线方程为 yc（xc） ，即 3x+4y9c0， 代入椭圆方程消 y 得 7x218c
39、x+11c20， 182c24711c216c20， xD，yD， 丨 CD 丨， F2点到 CD 的距离 d， 由 S丨 CD 丨d，得， c24， 椭圆方程为+1 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距 离公式及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）ex+ax+b，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 exy20 （1）求函数 f（x）的解析式，并证明：f（x）x1 （2）已知 g（x）kx2，且函数 f（x）与函数 g（x）的图象交于 A（x1，y1） ，B（x2， y2）两点，且线段 AB 的
40、中点为 P（x0，y0） ，证明：f（x0）g（1）y0 【分析】 （1）由已知结合导数的几何意义即可求解， （2）结合分析法把所要证明的问题进行转化，结合所转化的结论构造函数后，利用导数 第 20 页（共 21 页） 研究性质，即可证明 【解答】解： （1）由题意得：f（1）e+a+be2，即 a+b2， 又 f（x）a+ex，即 f（1）e+ae，则 a0，解得：b2， 则 f（x）ex2 令 h（x）f（x）x+1exx1，h（x）ex1， 令 h（x）0，解得：x0， 则函数 h（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增， h（x）h（0）0，则 f（x）x1 （2）要证 f（x0）g（1）y0成立，只需证：， 即证：，即证：， 只需证：， 不妨设 tx2x10，即证：， 要证，只需证：， 令，则，F（t）在（0，+）上为 增函数， F（t）F（0）0，即成立； 要证，只需证：， 令，则， G（t）在（0，+）上为减函数，G（t）G（0）0，即成立 第 21 页（共 21 页） ，t0 成立f（x0）g（1）y0成立 【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数证明不等式，属于导数知识 的综合应用
