1、已知集合 Ax|x22x30，Bx|2x1 且 xZ，则 AB（ ） A2，1 B1，0 C2，0 D1，1 2 （5 分）设（1+i）a1+bi（i 是虚数单位） ，其中 a，b 是实数，则|a+bi|（ ） A1 B C D2 3 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，若 P（4）0.9，则 P（2 1）（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 4 （5 分） 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘 之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，
2、计算其体积 V 的近似 公式 VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么，近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ） A B C D 5 （5 分）函数 yf（x）与 yg（x）的图象如图所示，则 yf（x） g（x）的部分图象可 能是（ ） A B C D 6 （5 分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲 第 2 页（共 26 页） 只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁 用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有 （ ） A36 种 B30 种
3、C24 种 D20 种 7 （5 分）已知 sin（），且 为锐角，则 cos（ ） A B C D 8 （5 分）已知点 P 为双曲线右支上一点，F1，F2分别为 C 的左，右焦点，直线 PF1与 C 的一条渐近线垂直，垂足为 H，若|PF1|4|HF1|，则该双 曲线的离心率为（ ） A B C D 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 个小题每小题个小题每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分选对但不全的得分选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错
4、的得 0 分分 9 （5 分）等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的 几何体的表面积可以为（ ） A B C D 10 （5 分）已知的最小正周期为 ，则下列说 法正确的有（ ） A2 B函数 f（x）在上为增函数 C直线要是函数 yf（x）图象的一条对称轴 D点是函数 yf（x）图象的一个对称中心 11 （5 分）已知等比数列an的公比，等差数列bn的首项 b112，若 a9b9且 a10 b10，则以下结论正确的有（ ） Aa9a100 Ba9a10 Cb100 Db9b10 12 （5 分）把方程表示的曲线作为函数 yf（x）的图象，则下列结论正 确的有
5、（ ） 第 3 页（共 26 页） Ayf（x）的图象不经过第一象限 Bf（x）在 R 上单调递增 Cyf（x）的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3 D函数 g（x）4f（x）+3x 不存在零点 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）向量 （x，4） ， （1，x） ，若 与 共线，则实数 x 14 （5 分）已知圆（x2） 2+（y1）22 关于直线 ax+by1（a0，b0）对称，则 的最小值为 15 （5 分） 已知 P 是抛物线 y24x 上的动点， 点 P 在 y 轴上的射影是 M， 点 A 的坐
6、标为 （2， 3） ，则|PA|+|PM|的最小值是 16 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 K 在棱 A1B1上运动，过 A，C，K 三 点作正方体的截面，若 K 为棱 A1B1的中点，则截面面积为 ，若截面把正方体分 成体积之比为 2：1 的两部分，则 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知各项均不相等的等差数列an的前 4 项和为 10，且 a1，a2，a4是等比数列 bn的前 3 项 （1）求 an，bn； （2）设的前
7、n 项和 Sn 18 （12 分）在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，E， F 分别为棱 PC 和 AB 的中点 （1）求证：EF平面 PAD； 第 4 页（共 26 页） （2）若直线 PC 与 AB 所成角的正切值为，求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面的大 小 19 （12 分）在3asinC4ccosA，2bsinasinB 这两个条件中任选一个，补充在 下面问题中，然后解答补充完整的题 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，a3 （1）求 sinA； （2）如图，M 为边 AC 上一点 MCMBABM，求ABC
8、 的面积 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分 20 （12 分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是 文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况， 随机抽取了 n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示 的频率分布直方图将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星” ，日均 课余读书时间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星” 已知抽取的样本中日均课余读书 时间低于 10 分钟的有 10 人 （1）求 n，p 的值； （2）根据已知条件完成下面的 22 列联表，并判断是否有 95%以
9、上的把握认为“读书 之星”与性别有关？ 非读书之星 读书之星 总计 男 第 5 页（共 26 页） 女 10 55 总计 （3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取 3 名学生， 每次抽取 1 名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机 变量 X，求 X 的分布列和期望 E（X） 附： P（K2k0） 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （12 分）在平面直角坐标系中，A（1.0） ，B（1，0） ，设ABC 的内切圆分别与边
10、 AC， BC，AB 相切于点 P，Q，R，已知|CP|1，记动点 C 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）过 G（2，0）的直线与 y 轴正半轴交于点 S，与曲线 E 交于点 H，HAx 轴，过 S 的另一直线与曲线 E 交于 M、N 两点，若 SSMG6SSHN，求直线 MN 的方程 22 （12 分）已知函数 f（x）aexx1（aR）g（x）x2 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a0 时，若曲线 C1：yf（x）+x+1 与曲线 C2：yg（x）存在唯一的公切线， 求实数 a 的值； （3）当 a1，x0 时，不等式 f（x）kxln（x+1）恒成立，求实
11、数 k 的取值范围 第 6 页（共 26 页） 2019-2020 学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求的的 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|2x1 且 xZ，则 AB（ ） A2，1 B1，0 C2，0 D1，1 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|1x3，
12、B2，1，0， AB1，0 故选：B 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考 查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）设（1+i）a1+bi（i 是虚数单位） ，其中 a，b 是实数，则|a+bi|（ ） A1 B C D2 【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得 a 与 b 的值，再由复数模的计算公式求解 【解答】解：由（1+i）a1+bi，得 a+ai1+bi， ，则 ab1 |a+bi|1+i| 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法， 是基础题 3 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（1，2）
13、 ，若 P（4）0.9，则 P（2 1）（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 【分析】由已知求得 P（4）P（2）0.1，再由 P（21）P（2 4）得答案 【解答】解：随机变量 服从正态分布 N（1，2） ， 正态分布曲线的对称轴方程为 x1， 第 7 页（共 26 页） 由 P（4）0.9，得 P（4）P（2）0.1， 则 P（21）P（24） 故选：C 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 4 （5 分） 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典籍，其中记
14、载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘 之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似 公式 VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么，近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ） A B C D 【分析】根据近似公式 VL2h，建立方程，即可求得结论 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，则 L2r， （2r）2h， 故选：B 【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题 5 （5 分）函数 yf（x）与 yg（x）的图象如图所示，则 yf（x） g（x）的部分图象可 能是
15、（ ） A B 第 8 页（共 26 页） C D 【分析】结合题干所给图象，可得函数 yf（x）g（x）大于 0 及小于 0 的解集，进而得 出结果 【解答】解：由图可知，当时，y0；当时，y0； 当时，y0；当时，y0； 符合要求的只有选项 A 故选：A 【点评】本题考查读图识图能力，考查逻辑推理能力，属于基础题 6 （5 分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲 只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁 用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有 （ ） A36 种 B30 种 C24
16、种 D20 种 【分析】根据题意，依次分析四人的结账方式，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析四人的结账方式： 对于甲，只会用现金结账，有 1 种方式， 对于乙，只会用现金和银联卡结账，有 2 种方式， 对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有 3 种方式，若乙用银行卡，则丙 有 2 种方式， 对于丁，用哪种结账方式都可以，有 4 种方式， 则他们结账方式的组合有 34+2420 种， 故选：D 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题 7 （5 分）已知 sin（），且 为锐角，则 cos（ ） A B C D 第 9 页（共
17、26 页） 【分析】先由 为锐角，得到 的范围，再求 cos（） ，再由 （） +，运用两角和差的余弦公式，即可得到 【解答】解：由于 sin（），且 为锐角， 则， 即 cos（）， 则 coscos（）+ cos（）cossin（）sin （） 故选：C 【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角公式的平方关系，两角和差的余弦公式， 考查运算能力和角的变换能力，属于中档题和易错题 8 （5 分）已知点 P 为双曲线右支上一点，F1，F2分别为 C 的左，右焦点，直线 PF1与 C 的一条渐近线垂直，垂足为 H，若|PF1|4|HF1|，则该双 曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】取
18、 PF1的中点 M可得 OHMF2PF1F2为等腰三角形利用 sinsinF1OH解得 e， 【解答】解：如图：取 PF1的中点 M |PF1|4|HF1|，OHMF2 直线 PF1垂直 OH，垂足为 H，MF2PF1，故PF1F2为等腰三角形 PF2F1F22c，可得 PF12a+2c tanF1F2MtanF1OH， sinsinF1OH 第 10 页（共 26 页） a+c2b，（a+c）24（c2a2）3e22e50， 解得 e， 故选：C 【点评】本题考查了双曲线的性质、离心率，考查了运算能力，属于中档题 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 个小题每小题个小题每小题
19、 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分选对但不全的得分选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的 几何体的表面积可以为（ ） A B C D 【分析】分两个情况绕的边为直角边和斜边讨论，当绕的边是直角边是，所形成的几何 体的表面积为底面面积加侧面面积， 当绕斜边时扇形面积既是所形成的几何体的表面积， 而扇形面积等于c底面周长l母线长，进而求出所形成的几何体的表面积 【解答】解
20、：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为 1，高为 1，所以母线长 l，这时表面积为21l+12（1+）； 若绕斜边一周时旋转体为 L 两个倒立圆锥对底组合在一起， 且由题意底面半径为， 一 个圆锥的母线长为 1，所以表面积 S221，综上所述该几何体的表 面积为， 故选：AB 【点评】考查旋转体的表面积，属于中档题 10 （5 分）已知的最小正周期为 ，则下列说 第 11 页（共 26 页） 法正确的有（ ） A2 B函数 f（x）在上为增函数 C直线要是函数 yf（x）图象的一条对称轴 D点是函数 yf（x）图象的一个对称中心 【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余
21、弦函数的图象和性质， 得出结论 【解答】解：cos2x+sin2x2cos （2x） 的最小正周期为， 1，f（x）2cos（2x） ，故 A 错误 在上，2x，0，故 f（x）2cos（2x） 单调递增，故 B 正 确； 当 x时，f（x）1，不是最值，故直线不是函数 yf（x）图象的一条对称轴， 故 C 错误； 当 x时，f（x）0，故点是函数 yf（x）图象的一个对称中心，故 D 正确， 故选：BD 【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的图象和性质，属于中档题 11 （5 分）已知等比数列an的公比，等差数列bn的首项 b112，若 a9b9且 a10 b10，则以下结论正确的有（
22、 ） Aa9a100 Ba9a10 Cb100 Db9b10 【分析】设等差数列的公差为 d，运用等差数列和等比数列的通项公式分析 A 正确，B 与 C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到 D 正确 【解答】解：数列an是公比 q 为的等比数列，bn是首项为 12，公差设为 d 的等 差数列， 第 12 页（共 26 页） 则， a9a100，故 A 正确； a1正负不确定，故 B 错误； a10正负不确定，由 a10b10，不能求得 b10的符号，故 C 错误； 由 a9b9且 a10b10，则 a1（）812+8d，a1（）912+9d， 可得等差数列bn一定是递减数列，即
23、d0， 即有 a9b9b10，故 D 正确 故选：AD 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力 和推理能力，是中档题 12 （5 分）把方程表示的曲线作为函数 yf（x）的图象，则下列结论正 确的有（ ） Ayf（x）的图象不经过第一象限 Bf（x）在 R 上单调递增 Cyf（x）的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3 D函数 g（x）4f（x）+3x 不存在零点 【分析】根据题意画出方程+1 曲线即为函数 yf（x）的图象，利用数 形结合思想能求出结果 【解答】解：根据题意画出方程+1 曲线即为函数 yf（x）的图象，如 图所示 轨迹是两段双曲线的一
24、部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形 从图形中可以看出，关于函数 yf（x）的有下列说法： A 图象不过第一象限，正确； B，f（x）在 R 上单调递减，故 B 错误 C，由图象可知，yf（x）的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3， C 正确； D，由于 4f（x）+3x0 即 f（x）， 第 13 页（共 26 页） 从而图形上看，函数 f（x）的图象与直线 y没有交点， 故函数 F（x）4f（x）+3x 不存在零点，故 D 正确 故选：ACD 【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想 的合理运用，属于难题 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4
25、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）向量 （x，4） ， （1，x） ，若 与 共线，则实数 x 2 【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列方程求出 x 的值 【解答】解：向量 （x，4） ， （1，x） ， 若 与 共线，则x2（4）10， 解得 x2 故答案为：2 【点评】本题考查了平面向量的共线定理与解方程的问题，是基础题 14 （5 分）已知圆（x2） 2+（y1）22 关于直线 ax+by1（a0，b0）对称，则 的最小值为 9 【分析】由直线与圆的位置关系分析可得直线经过圆 C 的圆心，则有 2a+b1，进而可 得（） （2a+b） ，结合基本
26、不等式可得答案 第 14 页（共 26 页） 【解答】解：圆（x2）2+（y1）22 关于直线 ax+by1（a0，b0）对称， 2a+b1， 则（） （2a+b）5+9， 当且仅当即 ab时取等号，此时取得最小值 9 故答案为：9 【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题 15 （5 分） 已知 P 是抛物线 y24x 上的动点， 点 P 在 y 轴上的射影是 M， 点 A 的坐标为 （2， 3） ，则|PA|+|PM|的最小值是 1 【分析】判断 A（2，3）是在抛物线之外抛物线焦点和准线可求得，延长 PM 交 L：x 1 于点 N，必有：|PM|PN|
27、MN|PN|1 根据抛物线的定义，可知：抛物线上的点 P 到准线 x1 的距离等于其到焦点 F（1，0）的距离进而判断出|PA|+|PM|PF|+|PA| 1，只需求出|PF|+|PA|的最小值即可由于 A 在抛物线之外，可由图象的几何位置判断 出：AF 必与抛物线交于一点，设此点为 P，看 p 和 P的重合与不重合两种情况分别求得 最小值，最后综合可得答案 【解答】解：当 x2 时，y2428，所以 y2，即|y|2，因为 32， 所以点 A 在抛物线的外侧，延长 PM 交直线 x1， 由抛物线的定义可知|PN|PM|+1|PF|， 当三点 A，P，F 共线时，|PA|+|PF|最小， 此时
28、为|PA|+|PF|AF|，又焦点坐标为 F（1，0） ， 所以|AF|， 即|PM|+1+|PA|的最小值为，所以|PM|+|PA|的最小值为1， 故答案为： 第 15 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查了抛物线的应用，以及抛物线定义的应用考查了学生对抛物线 定义的理解和应用 16 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 K 在棱 A1B1上运动，过 A，C，K 三 点作正方体的截面，若 K 为棱 A1B1的中点，则截面面积为 ，若截面把正方体分成 体积之比为 2：1 的两部分，则 【分析】过 K 作 KMAC，交 B1C1于 M，连结 MC，则平面 ACMK 是过
29、 A，C，K 三点 的正方体的截面，由 K 为棱 A1B1的中点，能求出截面 ACMK 的面积；截面 ACMK 把正 方体分成体积之比为 2：1 的两部分，设 B1Kx，则 B1Mx，A1K1x，列方程求出 x ，由此能求出的值 【解答】解：如图，过 K 作 KMAC，交 B1C1于 M，连结 MC， 则平面 ACMK 是过 A，C，K 三点的正方体的截面， 第 16 页（共 26 页） K 为棱 A1B1的中点，M 是 B1C1的中点， KM， 截面 ACMK 的面积为 S 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 K 在棱 A1B1上运动， 截面 ACMK 把正方体分成体积之比为
30、2：1 的两部分， 设 B1Kx，则 B1Mx，A1K1x， ， 整理，得 x2+x10， 由 0x1，解得 x， 故答案为：， 【点评】本题考查截面面积的求法，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知各项均不相等的等差数列an的前 4 项和为 10，且 a1，a2，a4是等比数列 bn的前 3 项 （1）求 an，bn； （2）设的前 n 项和 Sn 【分
31、析】 （1）设数列an的公差为 d（d0） ，由题意列关于首项与公差的方程，联立求 得首项与公差，则 an，bn可求； 第 17 页（共 26 页） （2）把（1）中求得的通项公式代入 cn，分组后利用等比数列前 n 项和与裂项相消法求 解数列cn的前 n 项和 【解答】解： （1）设数列an的公差为 d（d0） ， 由题意， 又a1，a2，a4成等比数列， 即，得 a1d， 联立可得，a1d1 ann，； （2）， 数列cn的前 n 项和为 【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用裂项相消法 求数列的前 n 项和，是中档题 18 （12 分）在底面为正方形的四棱锥
32、PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，E， F 分别为棱 PC 和 AB 的中点 （1）求证：EF平面 PAD； （2）若直线 PC 与 AB 所成角的正切值为，求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面的大 小 【分析】 （1）取 CD 的中点 M，连结 EM，FM，推导出 EMPD，FMAD，从而平面 EFM平面 PAD，由此能证明 EF平面 PAD 第 18 页（共 26 页） （2）推导出 CDPD，由 ABCD，得PCD 是直线 PC 与 AB 所成角，分别取 AD 和 BC 的中点 O，N，连结 PO，ON，推导出 PO平面 ABCD，以 O 为原点，OA 为 x
33、轴， ON 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面的大小 【解答】解： （1）证明：取 CD 的中点 M，连结 EM，FM， E，F 分别为 PC 和 AB 的中点，四边形 ABCD 是正方形， EMPD，FMAD， EMFMM，PDADD，平面 EFM平面 PAD， EF平面 EFM，EF平面 PAD （2）解：平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， CDAD，CD平面 ABCD， CD平面 PAD，CDPD， ABCD，PCD 是直线 PC 与 AB 所成角， tanPCD，设 PD，CD2， 分别取
34、 AD 和 BC 的中点 O，N，连结 PO，ON， PAPD，POAD， 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PO平面 PAD， PO平面 ABCD， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 P（0，0，2） ，C（1，2，0） ，B（1，2，0） ， （2，0，0） ，（1，2，2） ， 设 （x，y，z）是平面 BPC 的一个法向量， 则，取 y1，得 （0，1，1） ， 平面 PAD 的一个法向量 （0，1，0） ， cos， 平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面的大小为 第 19 页（共 26 页）
35、【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系的求法，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）在3asinC4ccosA，2bsinasinB 这两个条件中任选一个，补充在 下面问题中，然后解答补充完整的题 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，a3 （1）求 sinA； （2）如图，M 为边 AC 上一点 MCMBABM，求ABC 的面积 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】若选择条件， （1）在ABC 中，由正弦定理可得 3sinA4cosA，利用同角三 角函数基本关系式可求 sinA 的值；
36、（2）设 BMMCm，易知 cosBMC，在 BMC 中，由余弦定理可解得 m 的值，利用三角形的面积公式即可求解若选择（1） 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用 sin，cos，进而可求 sinA 的值； （2）同选择 【解答】解：若选择条件，则： （1）在ABC 中，由正弦定理可得 3sinAsinC4sinCcosA， 因为 sinC0， 所以 3sinA4cosA，可得 9sin2A16cos2A， 所以 25sin2A16， 第 20 页（共 26 页） 因为 sinA0， 所以 sinA （2）设 BMMCm，易知 cosBMCcosBMAsinA， 在BMC 中，由余弦定理可得
37、182m22m2 （） ，解得 m， 所以 SBMCm2sinBMC，在 RtABM 中，sinA，BM， ABM， 所以 AB，所以 SABM， 所以 SABCSBMC+SABM 若选择，则： （1）因为， 所以 2bsinasinB， 由正弦定理可得 2sinBcossinAsinB， 因为 sinB0， 所以 2cossinA，2cos2sincos， 因为 cos0， 可得 sin，则 cos， 所以 sinA2sincos （2）同选择 【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面 积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
38、20 （12 分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是 文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况， 第 21 页（共 26 页） 随机抽取了 n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示 的频率分布直方图将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星” ，日均 课余读书时间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星” 已知抽取的样本中日均课余读书 时间低于 10 分钟的有 10 人 （1）求 n，p 的值； （2）根据已知条件完成下面的 22 列联表，并判断是否有 95%以上的把握认为“读书 之星”与
39、性别有关？ 非读书之星 读书之星 总计 男 女 10 55 总计 （3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取 3 名学生， 每次抽取 1 名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机 变量 X，求 X 的分布列和期望 E（X） 附： P（K2k0） 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）由频率分布直方图可知 p0.01，抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人能求出 n （2）完成 22 列联表，求出
40、K23.0303.841从而没有 95%以上的把握认为 “读书之星”与性别有关 第 22 页（共 26 页） （3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为，由 题意得 XB（3，） ，由此能求出 X 的分布列和 E（X） 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知 p0.01， 抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人 n100 （2）n100，“读书之星”有 1000.2525， 从而 22 列联表如下图所示： 非读书之星 读书之星 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将 22 列联表中的数据代入公式计算得：
41、 K23.0303.841 没有 95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关 （3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为， 由题意得 XB（3，） ， P（X0）， P（X1）， P（X2）， P（X3）， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（X）3 【点评】本题考查频率数、频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求 第 23 页（共 26 页） 法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）在平面直角坐标系中，A（1.0） ，B（1，0） ，设ABC 的内切圆分别与边 AC， BC，AB 相切于点
42、P，Q，R，已知|CP|1，记动点 C 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）过 G（2，0）的直线与 y 轴正半轴交于点 S，与曲线 E 交于点 H，HAx 轴，过 S 的另一直线与曲线 E 交于 M、N 两点，若 SSMG6SSHN，求直线 MN 的方程 【分析】 （1）由椭圆定义可知，曲线 E 为除去与 x 轴的交点的椭圆，进而得解； （2）依题意，可得 x13x2，分直线 MN 斜率存在及不存在两种情况讨论，当斜率不 存在时易知不符合条件，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由此建立等 式，解出即可得到答案 【解答】解： （1）由题意知，|CA|+|CB|CP|+
43、|CQ|+|AP|+|BQ|2|CP|+|AB|4|AB|， 曲线 E 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆（除去与 x 轴的交点） ， 设曲线 E：，则 c1，2a4， 即 a2，b2a2c23， 曲线 E 的方程为； （2）因为 HAx 轴，所以，设 S（0，y0） ， ，解得 y01，则 S（0，1） ， 因为 a2c，所以|SG|2|SH|， ， ，则， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则，则 x13x2， 当直线 MN 斜率不存在时，MN 的方程为 x0， 此时，不符合条件，舍去； 当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 ykx+1， 第 24 页（共
44、26 页） 联立，得（3+4k2）x2+8kx80， ， 将 x13x2代入得， ， ，解得， 直线 MN 的方程为或 【点评】本题考查动点轨迹方程的求法，考查椭圆的定义及其标准方程的求法，考查直 线与椭圆的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）aexx1（aR）g（x）x2 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a0 时，若曲线 C1：yf（x）+x+1 与曲线 C2：yg（x）存在唯一的公切线， 求实数 a 的值； （3）当 a1，x0 时，不等式 f（x）kxln（x+1）恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）对函数
45、f（x）求导，对 a 进行分类讨论即可； （ 2 ） 设 公 切 线 与 C1， C2的 切 点 为 （） ， （） ， 由 k ，构造函数 F（x）， （x1） 问题等价于直线 ya 与曲线 yF （x） 在 x1 时有且只有一个交点， 求出即可； （3）设 h（x）exx1kxln（x+1） （x0） ，对函数进行二次求导，判断单调性，结 合函数的零点，对 k 进行讨论，判断 k 成立的取值范围即可 【解答】解： （1）f（x）aexx1，f（x）aex1， 当 a0 时，f （x）0，在 R 上单调递减； 第 25 页（共 26 页） 当 a0 时，f（x）0 时，xlna， 当 x（，lna） ，f（x）0，f（x）递减；当 x（lna，+） ，f （x）0，f（x） 递增； （2）曲线 C1：yf（x）+x
