2019-2020学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、已知集合 Ax|x22x30,Bx|2x1 且 xZ,则 AB( ) A2,1 B1,0 C2,0 D1,1 2 (5 分)设(1+i)a1+bi(i 是虚数单位) ,其中 a,b 是实数,则|a+bi|( ) A1 B C D2 3 (5 分)已知随机变量 服从正态分布 N(1,2) ,若 P(4)0.9,则 P(2 1)( ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 4 (5 分) 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最 早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘 之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,

2、计算其体积 V 的近似 公式 VL2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3,那么,近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( ) A B C D 5 (5 分)函数 yf(x)与 yg(x)的图象如图所示,则 yf(x) g(x)的部分图象可 能是( ) A B C D 6 (5 分)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲 第 2 页(共 26 页) 只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,丁 用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数共有 ( ) A36 种 B30 种

3、C24 种 D20 种 7 (5 分)已知 sin(),且 为锐角,则 cos( ) A B C D 8 (5 分)已知点 P 为双曲线右支上一点,F1,F2分别为 C 的左,右焦点,直线 PF1与 C 的一条渐近线垂直,垂足为 H,若|PF1|4|HF1|,则该双 曲线的离心率为( ) A B C D 二、多项选择题:本大题共二、多项选择题:本大题共 4 个小题每小题个小题每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,分在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分选对但不全的得分选对但不全的得 3 分,有选错的得分,有选错

4、的得 0 分分 9 (5 分)等腰直角三角形直角边长为 1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的 几何体的表面积可以为( ) A B C D 10 (5 分)已知的最小正周期为 ,则下列说 法正确的有( ) A2 B函数 f(x)在上为增函数 C直线要是函数 yf(x)图象的一条对称轴 D点是函数 yf(x)图象的一个对称中心 11 (5 分)已知等比数列an的公比,等差数列bn的首项 b112,若 a9b9且 a10 b10,则以下结论正确的有( ) Aa9a100 Ba9a10 Cb100 Db9b10 12 (5 分)把方程表示的曲线作为函数 yf(x)的图象,则下列结论正 确的有

5、( ) 第 3 页(共 26 页) Ayf(x)的图象不经过第一象限 Bf(x)在 R 上单调递增 Cyf(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3 D函数 g(x)4f(x)+3x 不存在零点 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)向量 (x,4) , (1,x) ,若 与 共线,则实数 x 14 (5 分)已知圆(x2) 2+(y1)22 关于直线 ax+by1(a0,b0)对称,则 的最小值为 15 (5 分) 已知 P 是抛物线 y24x 上的动点, 点 P 在 y 轴上的射影是 M, 点 A 的坐

6、标为 (2, 3) ,则|PA|+|PM|的最小值是 16 (5 分)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,点 K 在棱 A1B1上运动,过 A,C,K 三 点作正方体的截面,若 K 为棱 A1B1的中点,则截面面积为 ,若截面把正方体分 成体积之比为 2:1 的两部分,则 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)已知各项均不相等的等差数列an的前 4 项和为 10,且 a1,a2,a4是等比数列 bn的前 3 项 (1)求 an,bn; (2)设的前

7、n 项和 Sn 18 (12 分)在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中,平面 PAD平面 ABCD,PAPD,E, F 分别为棱 PC 和 AB 的中点 (1)求证:EF平面 PAD; 第 4 页(共 26 页) (2)若直线 PC 与 AB 所成角的正切值为,求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面的大 小 19 (12 分)在3asinC4ccosA,2bsinasinB 这两个条件中任选一个,补充在 下面问题中,然后解答补充完整的题 在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ,a3 (1)求 sinA; (2)如图,M 为边 AC 上一点 MCMBABM,求ABC

8、 的面积 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分 20 (12 分)读书可以使人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然正气书籍是 文化的重要载体,读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况, 随机抽取了 n 名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示 的频率分布直方图将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星” ,日均 课余读书时间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星” 已知抽取的样本中日均课余读书 时间低于 10 分钟的有 10 人 (1)求 n,p 的值; (2)根据已知条件完成下面的 22 列联表,并判断是否有 95%以

9、上的把握认为“读书 之星”与性别有关? 非读书之星 读书之星 总计 男 第 5 页(共 26 页) 女 10 55 总计 (3)将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地区大量学生中,随机抽取 3 名学生, 每次抽取 1 名,已知每个人是否被抽到互不影响,记被抽取的“读书之星”人数为随机 变量 X,求 X 的分布列和期望 E(X) 附: P(K2k0) 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 (12 分)在平面直角坐标系中,A(1.0) ,B(1,0) ,设ABC 的内切圆分别与边

10、 AC, BC,AB 相切于点 P,Q,R,已知|CP|1,记动点 C 的轨迹为曲线 E (1)求曲线 E 的方程; (2)过 G(2,0)的直线与 y 轴正半轴交于点 S,与曲线 E 交于点 H,HAx 轴,过 S 的另一直线与曲线 E 交于 M、N 两点,若 SSMG6SSHN,求直线 MN 的方程 22 (12 分)已知函数 f(x)aexx1(aR)g(x)x2 (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a0 时,若曲线 C1:yf(x)+x+1 与曲线 C2:yg(x)存在唯一的公切线, 求实数 a 的值; (3)当 a1,x0 时,不等式 f(x)kxln(x+1)恒成立,求实

11、数 k 的取值范围 第 6 页(共 26 页) 2019-2020 学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求的的 1 (5 分)已知集合 Ax|x22x30,Bx|2x1 且 xZ,则 AB( ) A2,1 B1,0 C2,0 D1,1 【分析】可以求出集合 A,B,然后进行交集的运算即可 【解答】解:Ax|1x3,

12、B2,1,0, AB1,0 故选:B 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义,一元二次不等式的解法,交集的运算,考 查了计算能力,属于基础题 2 (5 分)设(1+i)a1+bi(i 是虚数单位) ,其中 a,b 是实数,则|a+bi|( ) A1 B C D2 【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得 a 与 b 的值,再由复数模的计算公式求解 【解答】解:由(1+i)a1+bi,得 a+ai1+bi, ,则 ab1 |a+bi|1+i| 故选:B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,考查复数模的求法, 是基础题 3 (5 分)已知随机变量 服从正态分布 N(1,2)

13、 ,若 P(4)0.9,则 P(2 1)( ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 【分析】由已知求得 P(4)P(2)0.1,再由 P(21)P(2 4)得答案 【解答】解:随机变量 服从正态分布 N(1,2) , 正态分布曲线的对称轴方程为 x1, 第 7 页(共 26 页) 由 P(4)0.9,得 P(4)P(2)0.1, 则 P(21)P(24) 故选:C 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量 和的应用,考查曲线的对称性,属于基础题 4 (5 分) 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最 早的有系统的数学典籍,其中记

14、载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘 之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似 公式 VL2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3,那么,近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( ) A B C D 【分析】根据近似公式 VL2h,建立方程,即可求得结论 【解答】解:设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,则 L2r, (2r)2h, 故选:B 【点评】本题考查圆锥体积公式,考查学生的阅读理解能力,属于基础题 5 (5 分)函数 yf(x)与 yg(x)的图象如图所示,则 yf(x) g(x)的部分图象可 能是

15、( ) A B 第 8 页(共 26 页) C D 【分析】结合题干所给图象,可得函数 yf(x)g(x)大于 0 及小于 0 的解集,进而得 出结果 【解答】解:由图可知,当时,y0;当时,y0; 当时,y0;当时,y0; 符合要求的只有选项 A 故选:A 【点评】本题考查读图识图能力,考查逻辑推理能力,属于基础题 6 (5 分)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲 只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,丁 用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数共有 ( ) A36 种 B30 种 C24

16、种 D20 种 【分析】根据题意,依次分析四人的结账方式,由分步计数原理计算可得答案 【解答】解:根据题意,依次分析四人的结账方式: 对于甲,只会用现金结账,有 1 种方式, 对于乙,只会用现金和银联卡结账,有 2 种方式, 对于丙,与甲、乙结账方式不同,若乙用现金,则丙有 3 种方式,若乙用银行卡,则丙 有 2 种方式, 对于丁,用哪种结账方式都可以,有 4 种方式, 则他们结账方式的组合有 34+2420 种, 故选:D 【点评】本题考查排列、组合的应用,涉及分类、分步计数原理的应用,属于基础题 7 (5 分)已知 sin(),且 为锐角,则 cos( ) A B C D 第 9 页(共

17、26 页) 【分析】先由 为锐角,得到 的范围,再求 cos() ,再由 () +,运用两角和差的余弦公式,即可得到 【解答】解:由于 sin(),且 为锐角, 则, 即 cos(), 则 coscos()+ cos()cossin()sin () 故选:C 【点评】本题考查三角函数的求值,考查同角公式的平方关系,两角和差的余弦公式, 考查运算能力和角的变换能力,属于中档题和易错题 8 (5 分)已知点 P 为双曲线右支上一点,F1,F2分别为 C 的左,右焦点,直线 PF1与 C 的一条渐近线垂直,垂足为 H,若|PF1|4|HF1|,则该双 曲线的离心率为( ) A B C D 【分析】取

18、 PF1的中点 M可得 OHMF2PF1F2为等腰三角形利用 sinsinF1OH解得 e, 【解答】解:如图:取 PF1的中点 M |PF1|4|HF1|,OHMF2 直线 PF1垂直 OH,垂足为 H,MF2PF1,故PF1F2为等腰三角形 PF2F1F22c,可得 PF12a+2c tanF1F2MtanF1OH, sinsinF1OH 第 10 页(共 26 页) a+c2b,(a+c)24(c2a2)3e22e50, 解得 e, 故选:C 【点评】本题考查了双曲线的性质、离心率,考查了运算能力,属于中档题 二、多项选择题:本大题共二、多项选择题:本大题共 4 个小题每小题个小题每小题

19、 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,分在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分选对但不全的得分选对但不全的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9 (5 分)等腰直角三角形直角边长为 1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的 几何体的表面积可以为( ) A B C D 【分析】分两个情况绕的边为直角边和斜边讨论,当绕的边是直角边是,所形成的几何 体的表面积为底面面积加侧面面积, 当绕斜边时扇形面积既是所形成的几何体的表面积, 而扇形面积等于c底面周长l母线长,进而求出所形成的几何体的表面积 【解答】解

20、:若绕一条直角边旋转一周时,则圆锥的底面半径为 1,高为 1,所以母线长 l,这时表面积为21l+12(1+); 若绕斜边一周时旋转体为 L 两个倒立圆锥对底组合在一起, 且由题意底面半径为, 一 个圆锥的母线长为 1,所以表面积 S221,综上所述该几何体的表 面积为, 故选:AB 【点评】考查旋转体的表面积,属于中档题 10 (5 分)已知的最小正周期为 ,则下列说 第 11 页(共 26 页) 法正确的有( ) A2 B函数 f(x)在上为增函数 C直线要是函数 yf(x)图象的一条对称轴 D点是函数 yf(x)图象的一个对称中心 【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用余

21、弦函数的图象和性质, 得出结论 【解答】解:cos2x+sin2x2cos (2x) 的最小正周期为, 1,f(x)2cos(2x) ,故 A 错误 在上,2x,0,故 f(x)2cos(2x) 单调递增,故 B 正 确; 当 x时,f(x)1,不是最值,故直线不是函数 yf(x)图象的一条对称轴, 故 C 错误; 当 x时,f(x)0,故点是函数 yf(x)图象的一个对称中心,故 D 正确, 故选:BD 【点评】本题主要考查三角恒等变换,余弦函数的图象和性质,属于中档题 11 (5 分)已知等比数列an的公比,等差数列bn的首项 b112,若 a9b9且 a10 b10,则以下结论正确的有(

22、 ) Aa9a100 Ba9a10 Cb100 Db9b10 【分析】设等差数列的公差为 d,运用等差数列和等比数列的通项公式分析 A 正确,B 与 C 不正确,结合条件判断等差数列为递减数列,即可得到 D 正确 【解答】解:数列an是公比 q 为的等比数列,bn是首项为 12,公差设为 d 的等 差数列, 第 12 页(共 26 页) 则, a9a100,故 A 正确; a1正负不确定,故 B 错误; a10正负不确定,由 a10b10,不能求得 b10的符号,故 C 错误; 由 a9b9且 a10b10,则 a1()812+8d,a1()912+9d, 可得等差数列bn一定是递减数列,即

23、d0, 即有 a9b9b10,故 D 正确 故选:AD 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式,以及单调性的判断,考查运算能力 和推理能力,是中档题 12 (5 分)把方程表示的曲线作为函数 yf(x)的图象,则下列结论正 确的有( ) Ayf(x)的图象不经过第一象限 Bf(x)在 R 上单调递增 Cyf(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3 D函数 g(x)4f(x)+3x 不存在零点 【分析】根据题意画出方程+1 曲线即为函数 yf(x)的图象,利用数 形结合思想能求出结果 【解答】解:根据题意画出方程+1 曲线即为函数 yf(x)的图象,如 图所示 轨迹是两段双曲线的一

24、部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形 从图形中可以看出,关于函数 yf(x)的有下列说法: A 图象不过第一象限,正确; B,f(x)在 R 上单调递减,故 B 错误 C,由图象可知,yf(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3, C 正确; D,由于 4f(x)+3x0 即 f(x), 第 13 页(共 26 页) 从而图形上看,函数 f(x)的图象与直线 y没有交点, 故函数 F(x)4f(x)+3x 不存在零点,故 D 正确 故选:ACD 【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意数形结合思想 的合理运用,属于难题 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4

25、小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)向量 (x,4) , (1,x) ,若 与 共线,则实数 x 2 【分析】根据平面向量共线的坐标表示,列方程求出 x 的值 【解答】解:向量 (x,4) , (1,x) , 若 与 共线,则x2(4)10, 解得 x2 故答案为:2 【点评】本题考查了平面向量的共线定理与解方程的问题,是基础题 14 (5 分)已知圆(x2) 2+(y1)22 关于直线 ax+by1(a0,b0)对称,则 的最小值为 9 【分析】由直线与圆的位置关系分析可得直线经过圆 C 的圆心,则有 2a+b1,进而可 得() (2a+b) ,结合基本

26、不等式可得答案 第 14 页(共 26 页) 【解答】解:圆(x2)2+(y1)22 关于直线 ax+by1(a0,b0)对称, 2a+b1, 则() (2a+b)5+9, 当且仅当即 ab时取等号,此时取得最小值 9 故答案为:9 【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用,涉及直线与圆的位置关系,属于基础题 15 (5 分) 已知 P 是抛物线 y24x 上的动点, 点 P 在 y 轴上的射影是 M, 点 A 的坐标为 (2, 3) ,则|PA|+|PM|的最小值是 1 【分析】判断 A(2,3)是在抛物线之外抛物线焦点和准线可求得,延长 PM 交 L:x 1 于点 N,必有:|PM|PN|

27、MN|PN|1 根据抛物线的定义,可知:抛物线上的点 P 到准线 x1 的距离等于其到焦点 F(1,0)的距离进而判断出|PA|+|PM|PF|+|PA| 1,只需求出|PF|+|PA|的最小值即可由于 A 在抛物线之外,可由图象的几何位置判断 出:AF 必与抛物线交于一点,设此点为 P,看 p 和 P的重合与不重合两种情况分别求得 最小值,最后综合可得答案 【解答】解:当 x2 时,y2428,所以 y2,即|y|2,因为 32, 所以点 A 在抛物线的外侧,延长 PM 交直线 x1, 由抛物线的定义可知|PN|PM|+1|PF|, 当三点 A,P,F 共线时,|PA|+|PF|最小, 此时

28、为|PA|+|PF|AF|,又焦点坐标为 F(1,0) , 所以|AF|, 即|PM|+1+|PA|的最小值为,所以|PM|+|PA|的最小值为1, 故答案为: 第 15 页(共 26 页) 【点评】本题主要考查了抛物线的应用,以及抛物线定义的应用考查了学生对抛物线 定义的理解和应用 16 (5 分)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,点 K 在棱 A1B1上运动,过 A,C,K 三 点作正方体的截面,若 K 为棱 A1B1的中点,则截面面积为 ,若截面把正方体分成 体积之比为 2:1 的两部分,则 【分析】过 K 作 KMAC,交 B1C1于 M,连结 MC,则平面 ACMK 是过

29、 A,C,K 三点 的正方体的截面,由 K 为棱 A1B1的中点,能求出截面 ACMK 的面积;截面 ACMK 把正 方体分成体积之比为 2:1 的两部分,设 B1Kx,则 B1Mx,A1K1x,列方程求出 x ,由此能求出的值 【解答】解:如图,过 K 作 KMAC,交 B1C1于 M,连结 MC, 则平面 ACMK 是过 A,C,K 三点的正方体的截面, 第 16 页(共 26 页) K 为棱 A1B1的中点,M 是 B1C1的中点, KM, 截面 ACMK 的面积为 S 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,点 K 在棱 A1B1上运动, 截面 ACMK 把正方体分成体积之比为

30、2:1 的两部分, 设 B1Kx,则 B1Mx,A1K1x, , 整理,得 x2+x10, 由 0x1,解得 x, 故答案为:, 【点评】本题考查截面面积的求法,考查两线段比值的求法,考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)已知各项均不相等的等差数列an的前 4 项和为 10,且 a1,a2,a4是等比数列 bn的前 3 项 (1)求 an,bn; (2)设的前 n 项和 Sn 【分

31、析】 (1)设数列an的公差为 d(d0) ,由题意列关于首项与公差的方程,联立求 得首项与公差,则 an,bn可求; 第 17 页(共 26 页) (2)把(1)中求得的通项公式代入 cn,分组后利用等比数列前 n 项和与裂项相消法求 解数列cn的前 n 项和 【解答】解: (1)设数列an的公差为 d(d0) , 由题意, 又a1,a2,a4成等比数列, 即,得 a1d, 联立可得,a1d1 ann,; (2), 数列cn的前 n 项和为 【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的性质,训练了利用裂项相消法 求数列的前 n 项和,是中档题 18 (12 分)在底面为正方形的四棱锥

32、PABCD 中,平面 PAD平面 ABCD,PAPD,E, F 分别为棱 PC 和 AB 的中点 (1)求证:EF平面 PAD; (2)若直线 PC 与 AB 所成角的正切值为,求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面的大 小 【分析】 (1)取 CD 的中点 M,连结 EM,FM,推导出 EMPD,FMAD,从而平面 EFM平面 PAD,由此能证明 EF平面 PAD 第 18 页(共 26 页) (2)推导出 CDPD,由 ABCD,得PCD 是直线 PC 与 AB 所成角,分别取 AD 和 BC 的中点 O,N,连结 PO,ON,推导出 PO平面 ABCD,以 O 为原点,OA 为 x

33、轴, ON 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面的大小 【解答】解: (1)证明:取 CD 的中点 M,连结 EM,FM, E,F 分别为 PC 和 AB 的中点,四边形 ABCD 是正方形, EMPD,FMAD, EMFMM,PDADD,平面 EFM平面 PAD, EF平面 EFM,EF平面 PAD (2)解:平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD, CDAD,CD平面 ABCD, CD平面 PAD,CDPD, ABCD,PCD 是直线 PC 与 AB 所成角, tanPCD,设 PD,CD2, 分别取

34、 AD 和 BC 的中点 O,N,连结 PO,ON, PAPD,POAD, 平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD,PO平面 PAD, PO平面 ABCD, 以 O 为原点,OA 为 x 轴,ON 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 P(0,0,2) ,C(1,2,0) ,B(1,2,0) , (2,0,0) ,(1,2,2) , 设 (x,y,z)是平面 BPC 的一个法向量, 则,取 y1,得 (0,1,1) , 平面 PAD 的一个法向量 (0,1,0) , cos, 平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面的大小为 第 19 页(共 26 页)

35、【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系的求法,考查运算求解能力,是中档题 19 (12 分)在3asinC4ccosA,2bsinasinB 这两个条件中任选一个,补充在 下面问题中,然后解答补充完整的题 在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ,a3 (1)求 sinA; (2)如图,M 为边 AC 上一点 MCMBABM,求ABC 的面积 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分 【分析】若选择条件, (1)在ABC 中,由正弦定理可得 3sinA4cosA,利用同角三 角函数基本关系式可求 sinA 的值;

36、(2)设 BMMCm,易知 cosBMC,在 BMC 中,由余弦定理可解得 m 的值,利用三角形的面积公式即可求解若选择(1) 由正弦定理,三角函数恒等变换的应用 sin,cos,进而可求 sinA 的值; (2)同选择 【解答】解:若选择条件,则: (1)在ABC 中,由正弦定理可得 3sinAsinC4sinCcosA, 因为 sinC0, 所以 3sinA4cosA,可得 9sin2A16cos2A, 所以 25sin2A16, 第 20 页(共 26 页) 因为 sinA0, 所以 sinA (2)设 BMMCm,易知 cosBMCcosBMAsinA, 在BMC 中,由余弦定理可得

37、182m22m2 () ,解得 m, 所以 SBMCm2sinBMC,在 RtABM 中,sinA,BM, ABM, 所以 AB,所以 SABM, 所以 SABCSBMC+SABM 若选择,则: (1)因为, 所以 2bsinasinB, 由正弦定理可得 2sinBcossinAsinB, 因为 sinB0, 所以 2cossinA,2cos2sincos, 因为 cos0, 可得 sin,则 cos, 所以 sinA2sincos (2)同选择 【点评】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,余弦定理,三角形的面 积公式,三角函数恒等变换的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题

38、20 (12 分)读书可以使人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然正气书籍是 文化的重要载体,读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况, 第 21 页(共 26 页) 随机抽取了 n 名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示 的频率分布直方图将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星” ,日均 课余读书时间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星” 已知抽取的样本中日均课余读书 时间低于 10 分钟的有 10 人 (1)求 n,p 的值; (2)根据已知条件完成下面的 22 列联表,并判断是否有 95%以上的把握认为“读书 之星”与

39、性别有关? 非读书之星 读书之星 总计 男 女 10 55 总计 (3)将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地区大量学生中,随机抽取 3 名学生, 每次抽取 1 名,已知每个人是否被抽到互不影响,记被抽取的“读书之星”人数为随机 变量 X,求 X 的分布列和期望 E(X) 附: P(K2k0) 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 (1)由频率分布直方图可知 p0.01,抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人能求出 n (2)完成 22 列联表,求出

40、K23.0303.841从而没有 95%以上的把握认为 “读书之星”与性别有关 第 22 页(共 26 页) (3)将频率视为概率,即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为,由 题意得 XB(3,) ,由此能求出 X 的分布列和 E(X) 【解答】解: (1)由频率分布直方图可知 p0.01, 抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人 n100 (2)n100,“读书之星”有 1000.2525, 从而 22 列联表如下图所示: 非读书之星 读书之星 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将 22 列联表中的数据代入公式计算得:

41、 K23.0303.841 没有 95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关 (3)将频率视为概率,即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为, 由题意得 XB(3,) , P(X0), P(X1), P(X2), P(X3), X 的分布列为: X 0 1 2 3 P E(X)3 【点评】本题考查频率数、频率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求 第 23 页(共 26 页) 法,考查频率分布直方图、二项分布等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 21 (12 分)在平面直角坐标系中,A(1.0) ,B(1,0) ,设ABC 的内切圆分别与边 AC, BC,AB 相切于点

42、P,Q,R,已知|CP|1,记动点 C 的轨迹为曲线 E (1)求曲线 E 的方程; (2)过 G(2,0)的直线与 y 轴正半轴交于点 S,与曲线 E 交于点 H,HAx 轴,过 S 的另一直线与曲线 E 交于 M、N 两点,若 SSMG6SSHN,求直线 MN 的方程 【分析】 (1)由椭圆定义可知,曲线 E 为除去与 x 轴的交点的椭圆,进而得解; (2)依题意,可得 x13x2,分直线 MN 斜率存在及不存在两种情况讨论,当斜率不 存在时易知不符合条件,当斜率存在时,设出直线方程,与椭圆方程联立,由此建立等 式,解出即可得到答案 【解答】解: (1)由题意知,|CA|+|CB|CP|+

43、|CQ|+|AP|+|BQ|2|CP|+|AB|4|AB|, 曲线 E 是以 A,B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(除去与 x 轴的交点) , 设曲线 E:,则 c1,2a4, 即 a2,b2a2c23, 曲线 E 的方程为; (2)因为 HAx 轴,所以,设 S(0,y0) , ,解得 y01,则 S(0,1) , 因为 a2c,所以|SG|2|SH|, , ,则, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则,则 x13x2, 当直线 MN 斜率不存在时,MN 的方程为 x0, 此时,不符合条件,舍去; 当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 ykx+1, 第 24 页(共

44、26 页) 联立,得(3+4k2)x2+8kx80, , 将 x13x2代入得, , ,解得, 直线 MN 的方程为或 【点评】本题考查动点轨迹方程的求法,考查椭圆的定义及其标准方程的求法,考查直 线与椭圆的位置关系,考查逻辑推理能力及运算求解能力,属于中档题 22 (12 分)已知函数 f(x)aexx1(aR)g(x)x2 (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a0 时,若曲线 C1:yf(x)+x+1 与曲线 C2:yg(x)存在唯一的公切线, 求实数 a 的值; (3)当 a1,x0 时,不等式 f(x)kxln(x+1)恒成立,求实数 k 的取值范围 【分析】 (1)对函数

45、f(x)求导,对 a 进行分类讨论即可; ( 2 ) 设 公 切 线 与 C1, C2的 切 点 为 () , () , 由 k ,构造函数 F(x), (x1) 问题等价于直线 ya 与曲线 yF (x) 在 x1 时有且只有一个交点, 求出即可; (3)设 h(x)exx1kxln(x+1) (x0) ,对函数进行二次求导,判断单调性,结 合函数的零点,对 k 进行讨论,判断 k 成立的取值范围即可 【解答】解: (1)f(x)aexx1,f(x)aex1, 当 a0 时,f (x)0,在 R 上单调递减; 第 25 页(共 26 页) 当 a0 时,f(x)0 时,xlna, 当 x(,lna) ,f(x)0,f(x)递减;当 x(lna,+) ,f (x)0,f(x) 递增; (2)曲线 C1:yf(x)+x

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