1、函数 f（x）22x（x0）的值域是（ ） A （1，2） B （，2） C （0，2） D （1，+） 5 （3 分）的展开式的中间项为（ ） A40 B40x2 C40 D40x2 6 （3 分）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十 六等于八分之五已知三棱锥 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上AB底面 BCD， BCCD，且 ABCD，BC2，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（ ） A30 B10 C33 D12 7 （3 分）如图，在等腰直角ABC 中，D，E 分别为斜边 BC 的三等分点（D 靠近点 B） ， 过 E 作 AD 的垂线，垂足为
2、 F，则（ ） A B C D 第 2 页（共 21 页） 8 （3 分）已知函数 f（x）2cos2（x） （0）的图象关于直线 x对称，则 的最小值为（ ） A B C D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的 9 （3 分）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的 体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2） 所示对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论不正确的是（ ） A他们健身后，体重在区间9
3、0kg，100kg）内的人增加了 2 个 B他们健身后，体重在区间100kg，110kg）内的人数没有改变 C他们健身后，20 人的平均体重大约减少了 8kg D他们健身后，原来体重在区间110kg，120kg）内的肥胖者体重都有减少 10 （3 分）若 10a4，10b25，则（ ） Aa+b2 Bba1 Cab81g22 Dbalg6 11 （3 分）已知 P 是椭圆 C：上的动点，Q 是圆 D：上的动点， 则（ ） AC 的焦距为 BC 的离心率为 C圆 D 在 C 的内部 D|PQ|的最小值为 12 （3 分）已知函数 f（x）x+sinxxcosx 的定义域为2，2） ，则（ ） A
4、f（x）为奇函数 Bf（x）在0，）上单调递增 Cf（x）恰有 4 个极大值点 Df（x）有且仅有 4 个极值点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题小题 第 3 页（共 21 页） 13 （3 分）当，取得最小值时，x 14 （3 分）已知 P 为双曲线 C：x右支上一点，F1，F2分别为 C 的左、右焦点， 且线段 A1A2，B1B2分别为 C 的实轴与虚轴若|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，则|PF2| 15 （3 分）现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于 3 本的概率是 16 （3 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E
5、为棱 CD 上一点，且 CE2DE，F 为棱 AA1 的中点，且平面 BEF 与 DD1交于点 G，与 AC1交于点 H，则 ， 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在，csinCsinA+bsinB，B60，c2，三 个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a3， ，求ABC 的面 积 S 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18设 nN*，向量（3n+1，3） ，（0，3n2） ，an （1）试问数列an+1an
6、是否为等差数列？为什么？ （2）求数列的前 n 项和 Sn 19某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表 购买金额 （元） 0，15） 15，30） 30，45） 45，60） 60，75） 75，90 第 4 页（共 21 页） 人数 10 15 20 15 20 10 （1）根据以上数据完成 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下 认为购买金额是否少于 60 元与性别有关 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 40 女 18 合计 （2）为吸引游客，该超市推出一
7、种优惠方案，购买金额不少于 60 元可抽奖 3 次，每次 中奖概率为 p（每次抽奖互不影响，且 p 的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的 频率） ，中奖 1 次减 5 元，中奖 2 次减 10 元，中奖 3 次减 15 元若游客甲计划购买 80 元的土特产，请列出实际付款数 X（元）的分布列并求其数学期望 附参考公式和数据：，na+b+c+d 附表： k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 20 如图， 在四棱锥 PABCD 中， AP平面 PCD， ADBC， ABBC， APAB
8、BCAD， E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O （1）证明：PO平面 ABCD （2）求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正弦值 21如图，已知点 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45时，|MN|16 （1）求抛物线 C 的方程 （2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 第 5 页（共 21 页） P 的坐标；若不存在，请说明理由 22已知函数 f（x）2ln（x+1）+sinx+1，函数 g（x）ax1blnx（a，bR，ab
9、0） （1）讨论 g（x）的单调性； （2）证明：当 x0 时，f（x）3x+1 （3）证明：当 x1 时，f（x）（x2+2x+2）esinx 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年山东省临沂市高三（上）期末数学试卷学年山东省临沂市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的的 1 （3 分）设集合 Ax|（x1） （x6）0，Bx|2x0，则 AB（ ） Ax|x6 Bx|1x2 Cx|x1 Dx|
10、2x6 【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：因为 Ax|（x1） （x6）0x|x1 或 x6， Bx|2x0x|x2， 所以 ABx|x1 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （3 分）设复数 za+bi（a，bR） ，若，则 z（ ） A B C D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， ， z 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 3 （3 分） “游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件
11、 D既不充分也不必要条件 【分析】结合烟台市和山东省的关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：因为烟台是山东省的一个地级市，所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东 省，反之不成立， 第 7 页（共 21 页） 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合烟台市和山东省的关系是解决 本题的关键比较基础 4 （3 分）函数 f（x）22x（x0）的值域是（ ） A （1，2） B （，2） C （0，2） D （1，+） 【分析】根据指数函数求出 02x1，再根据不等式的运算性质求出即可 【解答】解：x0，02x1，1f（x）2， 故选：A 【点评】考查指数函数的值
12、域，不等式的运算，基础题 5 （3 分）的展开式的中间项为（ ） A40 B40x2 C40 D40x2 【分析】直接根据其通项展开式求解即可 【解答】解：的展开式的中间项为 故选：B 【点评】本题主要考查二项展开式的通项以及特殊项的求法，属于基础题目 6 （3 分）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十 六等于八分之五已知三棱锥 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上AB底面 BCD， BCCD，且 ABCD，BC2，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（ ） A30 B10 C33 D12 【分析】由题意将此三棱锥放在长方体中求出长方体的对角线，再由外接球
13、的直径等于 长方体的对角线可得球的半径，进而求出球的表面积，圆周率的平方除以十六等于八分 之五，求出 的值进而求出面积 【解答】解由题意将此三棱锥放在长方体中，由题意可知长方体的长宽高分别为， 2， 设外接球的半径为 R，则（2R）23+4+310， 所以外接球的表面积为 S4R210， 又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即， 第 8 页（共 21 页） 所以，所以 S10， 故选：B 【点评】考查三棱锥的棱长与外接球半径的关系及球的表面积公式，属于中档题 7 （3 分）如图，在等腰直角ABC 中，D，E 分别为斜边 BC 的三等分点（D 靠近点 B） ， 过 E 作 AD 的垂线，垂足
14、为 F，则（ ） A B C D 【分析】由题意设 BC6，表示出 DE2，AD、AE 的值，求出DAE 的余弦值，再利 用平面向量的线性运算计算即可 【解答】解：设 BC6，则 DE2， ， 所以，所以； 因为， 所以 故选：D 【点评】本题考查了平面向量的线性表示与解三角形的应用问题，是中档题 第 9 页（共 21 页） 8 （3 分）已知函数 f（x）2cos2（x） （0）的图象关于直线 x对称，则 的最小值为（ ） A B C D 【分析 】利用二倍角公式化 简函数解析式，进而 根据余弦函数的性质 可得 （kZ） ，结合 0，可求 的最小值 【解答】解：由题意可得：的图象关于对称，
15、所以（kZ） ，即（kZ） ， 因为 0， 所以 的最小值为 故选：A 【点评】本题主要考查了二倍角公式，余弦函数的性质的应用，考查了函数思想和转化 思想，属于基础题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的 9 （3 分）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的 体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2） 所示对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论不正确的是（ ） A他们健身后，体重在区间90kg，1
16、00kg）内的人增加了 2 个 B他们健身后，体重在区间100kg，110kg）内的人数没有改变 C他们健身后，20 人的平均体重大约减少了 8kg D他们健身后，原来体重在区间110kg，120kg）内的肥胖者体重都有减少 【分析】根据题意，结合图形，分析题目中各选项中的命题，判断正误即可 【解答】解：体重在区间90kg，100kg）内的肥胖者由健身前的 6 人增加到健身后的 8 第 10 页（共 21 页） 人，所以人数增加了 2 个，A 正确； 他们健身后体重在区间100kg，110kg）内的百分比没有变，所以人数没有变，B 正确； 他们健身后 20 人的平均体重大约减少了（0.395+
17、0.5105+0.2115）（0.185+0.4 95+0.5105）5kg，C 错误； 因为图（2）中没有体重在区间110kg，120kg）内的比例，所以原来体重在区间110kg， 120kg）内的肥胖者体重都有减少，D 正确 故选：C 【点评】本题考查了频率分布扇形图的应用问题，也考查了分析问题与数据处理的能力， 是基础题 10 （3 分）若 10a4，10b25，则（ ） Aa+b2 Bba1 Cab81g22 Dbalg6 【分析】由 10a4，10b25，得 alg4，blg25，利用对数指数运算性质即可判断出 结论 【解答】解：由 10a4，10b25，得 alg4，blg25，
18、则 a+blg1002，ab4lg2lg54lg2lg48lg22， 故选：ACD 【点评】本题考查了指数式化为对数式、对数指数运算性质，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 11 （3 分）已知 P 是椭圆 C：上的动点，Q 是圆 D：上的动点， 则（ ） AC 的焦距为 BC 的离心率为 C圆 D 在 C 的内部 D|PQ|的最小值为 【分析】求出椭圆的焦距，离心率，求出 PQ 的距离与半径的关系，即可判断选项 【解答】解：依题意可得，则 C 的焦距为， 设 P（x，y） （） ， 则， 所以圆 D 在 C 的内部，且|PQ|的最小值为 第 11 页（共 21 页） 故选：BC 【点评】
19、本题考查椭圆的简单性质，圆与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力， 是中档题 12 （3 分）已知函数 f（x）x+sinxxcosx 的定义域为2，2） ，则（ ） Af（x）为奇函数 Bf（x）在0，）上单调递增 Cf（x）恰有 4 个极大值点 Df（x）有且仅有 4 个极值点 【分析】先求出函数定义域，判断函数的定义域关于原点不对称，故可判断 A；对函数 求导，然后结合导数与单调性，极值的关系可对选项 BCD 进行判断 【解答】解：因为 f（x）的定义域为2，2） ， 所以 f（x）是非奇非偶函数， 又 f（x）1+cosx（cosxxsinx）1+xsinx， 当 x0，）时，f（x
20、）0，则 f（x）在0，）上单调递增 显然 f（0）0，令 f（x）0，得， 分别作出 ysinx，在区间2，2）上的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间2，2）上共有 4 个公共点，且两图象在这些公 共点上都不相切， 故 f（x）在区间2，2）上的极值点的个数为 4，且 f（x）只有 2 个极大值点 故选：BD 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断及利用导数研究函数的单调性及极值存在情 第 12 页（共 21 页） 况，属于中档试题 三、填空题三、填空题：本题共：本题共 4 小题小题 13 （3 分）当，取得最小值时，x 4 【分析】结合已知配凑为积为定值后，直接利用基本不等式即可求解
21、 【解答】解：因为， 当且仅当，即 x4 时，等号成立 故答案为：4 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题 14 （3 分）已知 P 为双曲线 C：x右支上一点，F1，F2分别为 C 的左、右焦点， 且线段 A1A2，B1B2分别为 C 的实轴与虚轴若|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，则|PF2| 6 【分析】根据双曲线的方程及双曲线的性质，利用等比中项求得|PF1|，再根据双曲线的 定义，即可求得|PF2| 【解答】解：由双曲线的方程 x，则 a1，b2，所以|A1A2|2，|B1B2|4， 由|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，即|B1B
22、2|2|A1A2|PF1|，则 162|PF1|， 所以|PF1|8， 由 P 在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2，所以|PF2|6， 故答案为：6 【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，等比中项的应用，考查转化 思想，属于基础题 15 （3 分）现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于 3 本的概率是 【分析】把 7 本书分给 3 人，只分数目，可利用插板法，有种，甲分得的书不少于 3 本为事件 A，则 A 包含以下种情况甲分到 3 本，有 3 种分法，甲分到 4 本，有 2 种 分法甲分到 5 本，有 1 种分法，根据古典概率求解公式可求 【
23、解答】解：将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本的分法有15 种分 第 13 页（共 21 页） 法， 记甲分得的书不少于 3 本为事件 A，则 A 包含以下种情况甲分到 3 本，有 3 种分法， 甲分到 4 本，有 2 种分法甲分到 5 本，有 1 种分法， 则 A 包含的结果有 6 种情况，根据古典概率公式可得 P 故答案为： 【点评】本题主要考查了古典概率的计算公式的简单应用，属于基础试题 16 （3 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 上一点，且 CE2DE，F 为棱 AA1 的中点， 且平面BEF 与DD1交于点G， 与AC1交于点H， 则 ， 【分析】
24、推导出 BF平面 CDD1C1，则 BFCE，则，由此能求出连 接 AC 交 BE 于 M，过 M 作 MNCC1，MN 与 AC1交于 N，连接 FM，则 H 为 FM 与 AC1 的交点由 ABCE，得从而，由此能求出 【解答】解：正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 ABA1B1平面 CDC1D1， BF平面 ABA1B1，BF平面 CDD1C1，则 BFCE， 则，即，又 CE2DE，则 连接 AC 交 BE 于 M，过 M 作 MNCC1，MN 与 AC1交于 N，连接 FM， 则 H 为 FM 与 AC1的交点因为 ABCE，所以，则 所以，所以，故 故答案为：； 第 14 页
25、（共 21 页） 【点评】本题考查两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题 四、解答题：四、解答题：本题共本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在，csinCsinA+bsinB，B60，c2，三 个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a3， （或或） ， 求ABC 的面积 S 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】选时，利用三角形的内角和定理与正弦定理，即可求得三角形的面积 选时，
26、利用正弦、余弦定理，也可以求出三角形的面积 选时，利用余弦定理求出 b，再计算ABC 的面积 【解答】解：选 ， ， sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC， 由正弦定理得， 选 csinCsinA+bsinB， 由正弦定理得 c2a+b2 第 15 页（共 21 页） a3，b2c23 又B60， ， c4， 选 c2， 由余弦定理得，即， 解得或 b2（舍去） 又， ABC 的面积 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题 18设 nN*，向量（3n+1，3） ，（0，3n2） ，an （1）试问数列an+1an是否为等差数列？为什么？ （2
27、）求数列的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）通过向量的数量积求出数列的通项公式，然后利用等差数列的定义判断求 解即可 （2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可 【解答】解： （1）， an+1an（3n+4） （3n+7）（3n+1） （3n+4）6（3n+4） ， （an+2an+1）（an+1an）18 为常数， an+1an是等差数列 （2）， 第 16 页（共 21 页） 【点评】本题考查向量与数列相结合，数列求和的方法裂项消项法的应用，是基本知识 的考查 19某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦期间的 90 位游客购买情
28、况进行统计，得到如下人数分布表 购买金额 （元） 0，15） 15，30） 30，45） 45，60） 60，75） 75，90 人数 10 15 20 15 20 10 （1）根据以上数据完成 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下 认为购买金额是否少于 60 元与性别有关 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 40 女 18 合计 （2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于 60 元可抽奖 3 次，每次 中奖概率为 p（每次抽奖互不影响，且 p 的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的 频率） ，中奖 1 次减 5 元，中奖 2 次减 1
29、0 元，中奖 3 次减 15 元若游客甲计划购买 80 元的土特产，请列出实际付款数 X（元）的分布列并求其数学期望 附参考公式和数据：，na+b+c+d 附表： k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 【分析】 （1）22 列联表如下：利用 K2计算公式得出，即可判断出结论 （2）X 可能取值为 65，70，75，80，且利用二项分布列的计算公式即 可得出 X 的分布列及其数学期望 【解答】解： （1）22 列联表如下： 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 12 40 52 第 17
30、 页（共 21 页） 女 18 20 38 合计 30 60 90 ， 因此能在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为购买金额是否少于 60 元与性别有关 （2）X 可能取值为 65，70，75，80，且， ， ， X 的分布列为 X 65 70 75 80 P 【点评】本题考查独立性检验、二项分布列的计算公式及其数学期望，考查运算求解能 力和应用意识，属于中档题 20 如图， 在四棱锥 PABCD 中， AP平面 PCD， ADBC， ABBC， APABBCAD， E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O （1）证明：PO平面 ABCD （2）求直线 BC 与平面 PBD 所
31、成角的正弦值 【分析】 （1）推导出 AP平面 PCD，APCD从而四边形 BCDE 为平行四边形，进而 BECD，APBE推导出四边形 ABCE 为正方形，从而 BEAC进而 BE平面 APC， 则 BEPOAP平面 PCD，进而 APPC，POAC，由此能证明 PO平面 ABCD （2）以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，推导出平面 PBD 的法向量，由此 第 18 页（共 21 页） 能求出 BC 与平面 PBD 的正弦值的求法 【解答】解： （1）证明：AP平面 PCD，APCD ADBC，四边形 BCDE 为平行四边形，BECD，APBE 又ABBC，且 E 为 AD
32、的中点， 四边形 ABCE 为正方形，BEAC 又 APACA，BE平面 APC，则 BEPO AP平面 PCD，APPC，又， PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边 AC 上的中点， POAC 且 ACBE0，PO平面 ABCD （2）解：以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示 设 OB1，则 B（1，0，0） ，C（0，1，0） ，P（0，0，1） ，D（2，1，0） ， 则， 设平面 PBD 的法向量为， 令 z1，得 设 BC 与平面 PBD 所成角为 ， 则 sin|cos| 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间
33、的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21如图，已知点 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45时，|MN|16 第 19 页（共 21 页） （1）求抛物线 C 的方程 （2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由直线 l 的斜率及过的点写出直线方程与抛物线联立求出两根之和，根据 抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，再由相交弦长的值求出 p 值，进而求出 抛物线的方程； （2）分直
34、线 MN 的斜率存在和不存在两种情况，假设存在这样的 P 点，设 P 的坐标，设 直线 l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积， 求出 PM， PN 的斜率， 由直线 PM， PN 关于 x 轴对称，可得斜率之和为 0，求出 P 的坐标 【解答】解： （1）当 l 的斜率为 1 时，l 的方程为 由得 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 x1+x23p， |MN|x1+x2+p4p16，p4， 抛物线 C 的方程为 y28x （2）法一：假设满足条件的点 P 存在，设 P（a，0） ，由（1）知 F（2，0） ， 当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为 yk（x2）
35、 （k0） ， 由得 k2x2（4k2+8）x+4k20，（4k2+8）24k24k264k2+640， ，x1x24 直线 PM，PN 关于 x 轴对称， 第 20 页（共 21 页） kPM+kPN0， ， a2 时，此时 P（2，0） 当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性， 易知 PM，PN 关于 x 轴对称，此时只需 P 与焦点 F 不重合即可 综上，存在唯一的点 P（2，0） ，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称 法二：假设满足条件的点 P 存在，设 P（a，0） ，由（1）知 F（2，0） ， 显然，直线 l 的斜率不为 0，设 l：xmy+2， 得 y28my160，
36、 则 y1+y28m，y1y216.，kPM+kPN0（x2a）y1+（x1 a）y20， （my2+2a）y1+（my1+2a）y20.2my1y2+（2a） （y1+y2）2m（16）+（2 a）8m0， a2，存在唯一的点 P（2，0） ，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称 【点评】考查抛物线的性质及直线与抛物线综合应用，属于中档题 22已知函数 f（x）2ln（x+1）+sinx+1，函数 g（x）ax1blnx（a，bR，ab0） （1）讨论 g（x）的单调性； （2）证明：当 x0 时，f（x）3x+1 （3）证明：当 x1 时，f（x）（x2+2x+2）esinx 第 21 页
37、（共 21 页） 【分析】 （1）求出 g（x）的定义域，导函数，对参数 a、b 分类讨论得到答案 （2）设函数 h（x）f（x）（3x+1） ，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值， 即可得证 （3）由（1）可知 x1+lnx，可得（x+1）2esinx1+ln（x+1）2esinx，即（x+1）2esinx 2ln（x+1）+sinx+1 又（x2+2x+2）esinx（x+1）2esinx即可得证 【解答】解： （1）g（x）的定义域为（0，+） ， 当 a0，b0 时，g（x）0，则 g（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0，b0 时，令 g（x）0，得， 令 g（x）0，得，则
38、g（x）在上单调递减，在上单调 递增； 当 a0，b0 时，g（x）0，则 g（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0，b0 时，令 g（x）0，得， 令 g（x）0，得，则 g（x）在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：设函数 h（x）f（x）（3x+1） ，则 x0，cosx1，1， 则 h（x）0，从而 h（x）在0，+）上单调递减， h（x）f（x）（3x+1）h（0）0，即 f（x）3x+1 （3）证明：当 ab1 时，g（x）x1lnx 由（1）知，g（x）ming（1）0，g（x）x1lnx0，即 x1+lnx 当 x1 时， （x+1）20， （x+1）2esinx0，则（x+1）2esinx1+ln（x+1）2esinx， 即（x+1）2esinx2ln（x+1）+sinx+1，又（x2+2x+2）esinx（x+1）2esinx， （x2+2x+2）esinx2ln（x+1）+sinx+1， 即 f（x）（x2+2x+2）esinx 【点评】本题考查利用导数研究含参函数的单调和利用导数证明不等式，考查了转化思 想和分类讨论思想，属难题
